Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet

Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet RT1: fstandsberegning (Fra katederet) 5 RT2: Bold og Glob 6 OT1:Bestemmelse af Jordens radius 9 OT2:Modelafhængighed 11 OT3:fstanden til Månen 12 OT4:Månens radius. 13 OT5:fstanden til Solen 14 RT3: Bestemmelse af Solens radius 15 OT6:Bestemmelse af afstanden fra Solen til planeterne Merkur og Venus 16 OT7:Bestemmelse af afstanden fra Solen til Mars 17 OT8:Bestemmelse af afstanden fra Solen til en stjerne 18 Vinkelsummen i en trekant er 180 o - En tangent til en cirkel står vinkelret på radius. Hvis trekant BC er retvinklet med C = 90 o, så er: a mk sin c hyp Sinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem vinklens modstående katete og hypotenusen. cos b c h k hyp Cosinus til en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem vinklens hosliggende katete og hypotenusen. tan a b mk h k Tangens til en spids vinkel i en retvinklet trekant er forholdet mellem vinklens modstående katete og hosliggende katete. Hypotenuse Modstående katete Hosliggende katete Sætning: En tangent til en cirkel - (som ofte er sigtelinien) - står vinkelret på radius. fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 1

Opgave 1: For en cirkel har man målt at en cirkelbue med længden 10 cm svarer til en vinkel på 5 o. (husk enheder!) Beregn cirklens omkreds Beregn cirklens radius Beregn cirklens areal Opgave 2: Beregn omkreds og radius for en cirkel, hvor cirkelbuen B er 800 km, og den tilhørende vinkel, v er 7,2 o. v B r Opgave 3: De trigonometriske funktioner og din lommeregner. Benyt lommeregneren til at løse nedenstående opgaver, og skriv ned hvordan du trykkede på din lommeregner for at løse dem (!) Bestem cos(v) når v er 10 cos(v) = Indtastning: Bestem v, når cos(v) er 0,8660 v= Indtastning: Bestem sin(v) når v er 20 sin(v) = Indtastning: vinkel cosinus sinus tangens v cos(v) sin(v) tan(v) 10 0.9848 0.1736 0.1763 20 0.9397 0.3420 0.3640 30 0.8660 0.5000 0.5774 40 0.7660 0.6428 0.8391 45 0.7071 0.7071 1.0000 50 0.6428 0.7660 1.1918 60 0.5000 0.8660 1.7321 70 0.3420 0.9397 2.7475 80 0.1736 0.9848 5.6713 fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 2

Bestem v, når sin(v) er 0,8660 v= Indtastning: Bestem tan(v) når v er 60 tan(v) = Indtastning: Bestem v, når tan(v) er 14,30 v = Indtastning: PS!! Din lommeregner kan måle vinkler i grader (DEG), radianer (RD) og nygrader (GRD). DIN lommeregner skal indstilles til at måle i grader! Hvordan døres det? En hurtig måde at tjekke om lommeregneren er indstillet til at måle i grader er ved at indtaste: TN (45) = 1 - Hvis facit ikke er 1, er den indstillet forkert. Når du skal løse opgaver hvor du skal benytte sinus, cosinus eller tangens skal du først tegne en skitse, og derefter finde ud af hvilke størrelser du kender. På skitsen skal du angive - vinkel - modstående katete - hosliggende katete - hypotenuse. Giv dig god tid til de næste opgaver. Opgave 4: a) Beregn længden af de to kateter. c=10 cm a 40 o b fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 3

b) Beregn vinklen. 5,00 km 4,33 km v c) Beregn de manglende sider og vinkler i trekanten. 20 o grader 3,42 cm fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 4

RT1 : FSTNDSBEREGNING (Fra katederet) Øvelsens formål er at bestemme afstande i lokalet, ved hjælp af målebånd og vinkelmåler, idet du kun må foretage længdemål og vinkelmål fra katederet. På nedenstående figur ser du en skitse af lokalet. Til øvelsen benyttes :Målebånd og stor vinkelmåler. 1: bestemmelse af afstanden til døren i den modstående væg,(bc). B D D ør c a v2 v1 b C Som det fremgår af figuren flugter katederets højre kant med dørens venstre kant, således at vinkel C er 90 grader. Vi kan derfor bestemme afstanden fra kateterets punkt C, til døren ved at måle afstanden fra til C, og vinklen v1. Vælg et punkt ved, og mål afstanden fra til C: C = b = Stå ved punkt, og sigt mod dørens venstre kant. Tegn sigtelinien fra til B på katederet med kridt, og mål vinklen v1 = Vi kender v1 og den hosliggende katete. Vi skal beregne den modstående katete. Derfor kan afstanden til døren beregnes ved hjælp af: tan(v1) mk hk a a b tan(v1) b Mål nu afstanden fra C til B med et målebånd. a målt = Kommenter resultatet. 2:Bestemmelse af dørens bredde: Stil dig i punkt C, og benyt en vinkelmåler til at bestemme vinklen v2 : v2 = Tegn en skitse af trekanten CBD, og beregn dørens bredde: BD tan(v2) BD BC fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 5

RT2 : BOLD OG GLOB. Øvelsens formål er at simulere nogle astronomiske målinger fra planeten Kat (katederet) på stjernesystemet Bold, bestående af stjernen Bold(bolden) og planeten Glob (globus). Figur 1 Bold B a c C b v1 Ka t 1: Bestemmelse af afstanden til Bold: Placer dig i punktet C, således at sigtelinien mod punktet B danner en ret vinkel med katederkanten. Gå ud til punktet. Mål afstanden C og vinklen v1. Bestem afstanden CB, som repræsenterer afstanden til "stjernen". C = v1 = CB = Her er plads til dine beregninger: Når du er færdig med beregningerne måles afstanden med et målebånd: CB målt = fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 6

2: Bestemmelse af Bolds radius. (figur 2) Stil dig i punktet, og bestem Bolds vinkeldiameter vd. Beregn dernæst vinklen v2 som vd/2. fstanden B er lig med afstanden til Bold og er kendt fra tidligere målinger.bestem dernæst Bolds radius, afstanden BC i den retvinklede trekant. HVORFOR er vinkel C 90 grader? Fordi sigtelinien er tangent til cirklen, og..(fuldfør selv sætningen!) Figur 2 Bold Bold CB C Ka t vd = v2 = B = Radius BC = Her er plads til dine beregninger: Hvad forstås ved Bolds vinkeldiameter? Når du er færdig med dine beregninger måles Bolds omkreds med et målebånd: O = Beregn radius ud fra denne måling, og kommenter resultatet. cm fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 7

3: Bestemmelse af Globs baneradius: Set fra Kat ser det ud til at Glob bevæger sig i en cirkelformet bane omkring Bold. Man bemærker bl.a. at Glob har faser. I det øjeblik vi har "halvglob" måles vinklen v3 på nedenstående figur. I denne situation må vinkel C være 90 grader. fstanden til Bold (B) kendes fra tidligere målinger. Beregn Globs baneradius (BC) ud fra kendskabet til afstanden til Bold og vinklen mellem Bold og Glob ved præcis "halvglob". Bold CB a C c b v3 Ka t v3 = Baneradius BC = Her er plads til jeres beregninger: HVORFOR er vinkel C 90 grader? Når du er færdig med beregningerne måles afstanden med et målebånd: CB målt = fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 8

PROJEKT: FSTNDSBESTEMMELSE I SOLSYSTEMET. HVORDN KN VI UD FR SIMPLE TRIGONOMETRISKE BEREGNINGER BESTEMME FSTNDE I SOLSYSTEMET? Vi vil nu gå over til at se på afstandsbestemmelse i solsystemet. Det vil, som det vil fremgå, være vanskeligt for os at udføre de målinger der er nødvendige,- men principielt skulle det ikke være noget problem, -så derfor låner vi andres resultater. Desuden vil vi gøre den antagelse, at planeterne, og planeternes måner bevæger sig i cirkelformede baner (- ellers kommer vi i alvorlige "matematiske problemer"). Opgave T1: BESTEMMELSE F JORDENS RDIUS. Ca. 200 år før vor tidsregning levede der i Ægypten en lærd mand, ved navn Eratosthenes. Han var astronom, historiker, geograf, filosof, digter, teaterkritiker, matematiker,.... Han var også leder af det berømte bibliotek i lexandria; den tids kulturcentrum. Han læste en dag i en papyrusrulle, at der i byen Syene var en brønd, på hvis bund Solen skinnede den 21. juni kl. 12. Med andre ord: I Syene har man på dette tidspunkt Solen lige over hovedet. En (helt lodret) obelisk vil ikke kaste nogen skygge. Opgave 5: En 5 meter høj obelisk kaster en skygge der er 0,63 meter. Beregn den vinkel som solens stråler afviger fra lodret. (tegn en skitse - hvilken vinkel skal du bestemme - hvilke sider kender du i den retvinklede trekant) Opgave 6: Vinkel er 7,2 o Hvor stor er vinkel B? fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 9 B

Erastothenes blev nysgerrig, og på samme dato og tid undersøgte han forholdene i lexandria, og fandt ud af at en obelisk tydeligvis kastede en skygge. Han målte, at Solens stråler afveg 7,2 o fra lodret. Den 21. juni så det altså således ud i de to byer: Herefter hyrede han en professionel soldat til at afskridte afstanden mellem lexandria og Syene. fstande mellem de to byer var ca. 800 km. Han kunne derefter lave nedenstående skitse - idet han antager at 1) Jorden er rund og 2) at Solens stråler er parallelle. Ud fra dette kunne Eratostenes beregne Jordens radius. Beregn Jordens radius - (Besvarelse som om det var til en skriftlig eksamen!) fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 10

FSTNDSBESTEMMELSE I SOLSYSTEMET. Opgave T2: MODELFHÆNGIGHED: Omkring år 430 før vor tidsregning fremsatte den græske filosof naxagoras den teori, at solen var en ildkugle på størrelse med Pelopones (som er på størrelse med Bornholm), svævende over jorden i en afstand af ca 6000 km. Han vidste også at Solen stod lodret over Syene.d. 21/6 og Solens stråler afveg 7,2 o fra lodret i lexandria den samme dag. Han havde også kendskab til, at solens vinkeldiameter, - d.v.s. den vinkel Solen ses under fra jorden var ca 0,5 o. Vis, at naxagoras beregninger var rigtige, idet han antog at Jorden var FLD. Solen Solen B C 7,2 o 0,25 o Syene lexandria C 800km B Figur1 Figur2 Beregn først afstanden til Solen ud fra figur 1: Beregning af Solens radius ud fra figur 2: (Hvorfor er vinkel C ret?) fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 11

fstanden til Månen: FSTNDSBESTEMMELSE I SOLSYSTEMET. Opgave T3: fstanden til Månen og Månens radius. Når en afstand til et astronomisk objekt skal bestemmes, gøres dette ved at sammenligne afstanden med en kendt afstand, f.eks Jordens radius. I princippet kan afstanden til Månen bestemmes på følgende måde: P2 v Jorden P1 Månen To observatører, P1 og P2, befinder sig på Jorden. De er placeret således, at når Månen står lodret over P1, vil P2 netop se Månen i horisonten. Da vi kender Jordens radius, og vinklen v kan bestemmes ud fra P1 og P2 s placering på Jorden, har vi følgende retvinklede trekant til bestemmelse af afstanden til Månen: C b v Jorden a c B Månen Vinklen v kan bestemmes til: Jorden radius,b kendes : v = 89,05 o b = 6366 km (Hvorfor er vinkel C 90 o?) Bestem - ud fra oplysningerne - afstanden til Månen. ( D.v.s. afstanden c på figuren) fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 12

FSTNDSBESTEMMELSE I SOLSYSTEMET. Opgave T4: Månens radius: Betragtes månen fra Jorden ses den under en vinkel på ca 0,5 o. Man siger at Månens vinkeldiameter, vd, set fra Jorden er 0,5 o. (Hvad forstås ved Månens vinkeldiameter? ) C Jorden B vd= 0,5 o Månen Da vi nu kender afstanden til Månen kan Månens radius beregnes ved hjælp af trekant BC, da vinkel C må være 90 o (Hvorfor?). C a b:radius B v =0,25 o c Beregn Månens radius ud fra figuren. fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 13

FSTNDSBESTEMMELSE I SOLSYSTEMET. Opgave T5: fstanden til Solen. ntages at Jorden bevæger sig i en cirkelbane omkring Solen, og at Månen bevæger sig i en cirkelbane omkring Jorden, kan afstanden mellem Jorden og Solen, -som vi kan kalde r js - bestemmes ud fra kendskabet til afstanden mellem Jorden og Månen. Betragt Solen og Månen når Månen er præcis halv, og mål vinklen mellem dem, v. Måles denne meget nøjagtigt findes den til: fstanden mellem Månen og Jorden, r jm kendes: v = 89,85 o r jm = 384400 km Set fra månen må vinklen mellem Jorden og Solen så være 90 o, og vi har en retvinklet trekant, hvor ud fra vi kan beregne afstanden mellem Solen og Jorden: (Hvorfor er vinklen 90 o?) Månen r Jorden jm v r js Solen Som vi ser vil afstanden mellem Jorden og Solen altså være hypotenusen i ovenstående retvinklede trekant ved præcis halvmåne. Beregn afstanden mellem Jorden og Solen. ristarchos fra Samos benyttede denne metode til at bestemme afstanden mellem Solen og Jorden i slutningen af det tredje århundresde før vor tidsregning. Han målte vinklen til 87 o, hvorfor hans værdi blev alt for lille. Beregn den værdi som han fandt (han havde en værdi for afstanden mellem Jorden og Månen som var rimelig præcis). Hans dårlige resultat skyldes, at det er meget svært at afgøre præcis hvornår månen er halv, samt hans præcision m.h.t. måling af vinklen. fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 14

RT3: Bestemmelse af Solens radius Til eksperimentet benyttes et rør der er lukket i den ene ende. Over rørets nederste ende klistres et stykke mm-papir. I rørets øverste lukkede ende bores et lille hul. Når røret står rigtigt, ses solskiven på mm-papiret. (Pas på, det er farligt at se direkte mod Solen). 1:Solbilledests diameter d måles v.h.a. mm-papiret. 2:Rørets længde l måles. 3: Beregn solbilledets radius r fstanden til Solen kaldes L, og Solens diameter kaldes D. d = r = l = L = 1,49. 10 11 m Beregn Solens radius. (Benyt symbolet R for Solens radius) Kan du udfra målingerne beregne Solens vinkeldiameter? fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 15

FSTNDSBESTEMMELSE I SOLSYSTEMET. Opgave T6: Bestemmelse af afstanden fra Solen til planeterne Merkur og Venus. Hvis man antager at planeterne bevæger sig i cirkelbaner omkring Solen, er det muligt at bestemme afstanden mellem Solen og planeterne ud fra observationer fra Jorden. Vi vil her se på de to inderste planeter, Merkur og Venus. 11 fstanden mellem Jorden og Solen kender vi: rjs 1, 5 10 m 150000000km Betragtes Merkur og Venus fra Jorden, vil man - i modsætning til de andre planeter- altid finde dem tæt ved Solen. Set fra Jorden vil vinklen mellem Solen og Merkur aldrig overstige 27 o (= v mm ), og den maksimale vinkel mellem Solen og Venus findes til 47 o (= v mv ). Betragtes de to planeter gennem en astronomisk kikkert når vinklerne er maksimale, vil man se at vi netop på dette tidspunkt har h.h.v. "halv-merkur" og "halv-venus". fstanden mellem Solen og Merkur vil vi kalde for r SM og afstanden mellem Solen og Venus vil vi kalde for r SV. På nedenstående figur ses de to planeter netop når vinklen mellem Solen og planeterne er størst. 1: rgumenter for at de to vinkler må være retvinklede. 2: Beregn afstanden mellem Solen og Merkur. (Lav en lille skitse) 3: Beregn afstanden mellem Solen og Venus. (På tilsvarende måde) fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 16

Opgave T7: Bestemmelse af afstanden fra Solen til Mars. Mars Solen v =49 o Jorden Til et givet tidspunkt ses fra Jorden, at retningerne til Mars og Solen danner en vinkel på 90 o. Ud fra kendskabet til Jordens og Mars omløbstider kan vinklen v beregnes til: v =49 o. fstanden mellem Solen og Jorden er 1,49. 10 11 m ( = 1 U = 1 astronomisk enhed ) a) Beregn afstanden mellem Solen og Mars. b) Beregn afstanden mellem Jorden og Mars til det pågældende tidspunkt. c) Beregn den største afstand der kan være mellem Jorden og Mars. (ntag at Mars og Jorden bevæger sig i en cirkelbevægelse omkring Solen) d) Beregn den mindste afstand der kan være mellem Jorden og Mars. e) Hvor lang tid vil det tage et lyssignal at nå fra Mars til Jorden? (ntag at planeterne positioner er som på figuren) (s = v. t, v lys = lysets hastighed = 3,0. 10 8 m/s) f) Hvor lang tid vil det tage at radiosignal at nå fra Jorden til Mars og tilbage igen? (radiosignaler bevæger sig med lysets hastighed) fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 17

Opgave T8: Bestemmelse af afstanden fra Solen til en stjerne Ved at måle retningen til en stjerne - med et halvt års mellemrum - kan man beregne vinklen v på figuren. Vinklen kaldes for stjernens parallakse. fstanden mellem Solen og Jorden er lig 1U =1,49. 10 11 m. Parallaksen er altså størst for de nærmeste stjerner. v lfa-centauri 1 lysår = 9,46. 10 15 m = 6,35. 10 4 U (Hvis afstanden til en stjerne beregnes til fx 10 lysår, så vil det tage lyset 10 år om at nå fra stjernen til os. Dvs. at vi ser stjernen som den så ud for 10 år siden!!) 1 U Solen Jorden a) For de nærmeste stjerne, -Centauri, er parallaksen målt til: v = 0,0002125 o. Beregn afstanden til -Centauri. ngiv facit i 1) meter 2) stronomiske enheder og 3) lysår b) fstanden til stjernen Sirius er 8,3. 10 16 m (=8,8 lysår). Bestem Sirius parallakse. c) Den første måling af en parallakse blev udført i 1838 af den tyske astronom Bessel. Han målte for stjernen nr.61 i stjernebilledet Svanen en parallakse på 0,0000871 o. (Tycho Brahe havde tidligere forsøgt uden held - Derfor troede han at Jorden var universets centrum) Hvad er denne stjernes afstand til Solsystemet? d) Parallaksen for stjernen Betelgeuse i stjernebilledet Orion er 0,00000116 o. Hvor mange år har det taget lyset at nå fra stjernen til vores Solsystem? e) Find Sirius og Betelgeuse på et stjernekort i Naturfag 1. fra-m\ 04d \ \Trigonometri og afstandsbestemmelse i Solsystemet 18