Hedging af Optioner i en Udvidet Black-Scholes Økonomi med Stokastisk Rente

Hedging af Optioner i en Udvidet Black-Scholes Økonomi med Stokastisk Rente Økonomisk Øvelse i Finansielle Instrumenter Af Martin Brobæk Madsen og Søren Vistisen Københavns Universitet Økonomisk Institut Vejleder Michael Bødker Opponenter Jacob L. Serup og Thomas Niclasen Dato for præsentation 1. november 2006

Indhold 1 Indledning 2 1.1 Motivation..................................... 2 1.2 Problemformulering................................ 3 1.3 Opbygning..................................... 3 1.4 Metode....................................... 3 2 Modellen 4 2.1 Arbitrage-prisfastsættelse og komplethed.................... 4 2.2 Det basale set-up................................. 6 2.2.1 Det underliggende aktiv......................... 6 2.2.2 Renten................................... 7 2.2.3 Nulkuponobligationer........................... 8 2.3 Prisprocessen for den europæiske call-option.................. 9 2.4 Hedging...................................... 12 3 Numeriske resultater 14 3.1 Introduktion til simuleringen........................... 14 3.2 Simulering af en enkelt udfaldssti........................ 15 3.3 Simulering af forventede værdier......................... 17 3.4 Diskret rebalancering............................... 19 4 Diskussion og perspektivering 21 4.1 Diskussion af model antagelser.......................... 21 4.2 Diskussion af resultater.............................. 22 4.3 Anvendelsesområder............................... 24 5 Konklusion 25 A Appendiks - modellen 26 A.1 Di usionsprocessen for nulkuponobligationen.................. 26 A.2 Z- og Y-processerne................................ 26 A.3 Udledning af sandsynligheder.......................... 28 A.4 Variansen for forward prisen........................... 29 B Appendiks - simulering 30 B.1 Gennemgang af centrale dele af koden...................... 30 C Litteratur 33 1

1 Indledning 1.1 Motivation Den oprindelige version af Black og Scholes model fra 1973 giver os et af de mest fundamentale resultater indenfor nansieringsteori til dato. Hovedårsagen herfor er, at det lykkedes Black og Scholes at nde en konsistent løsning for prisen på et nansielt instrument, som dels kun kræver relativt milde antagelser og dels kræver meget få input. Især er det vigtigt at bemærke, at den eneste antagelse, der gøres vedrørende agenters præferencer overfor risiko er, at alle foretrækker deterministisk ere penge frem for færre. En antagelse springer dog hurtigt i øjnene, når man ser den oprindelige udlægning af Black-Scholes modellen - nemlig at der antages, at den korte rente er konstant. Dog viste Merton (1973) allerede i sin alternative udledning af Black og Scholes resultat, at det var muligt at udvide modellen med stokastisk rente. På trods af Mertons mere generelle model, har Black-Scholes formlen ere faktorer der gør, at den oftest har været anvendt. Først og fremmest er det først mod slutningen af 1970 erne og ind i 1980 erne, at der for alvor kommer fart på udviklingen af deciderede stokastiske rente-modeller. Det andet problem var, at de partielle di erentialligninger, som introduktionen af stokastisk rente vil medføre, var meget svære at løse. Men udviklingen indenfor abstrakt mål teori og især Jamshidians (1989) artikel om brugen af numeraireskift indenfor optionsprisfastsættelse i Gaussiske modeller, har drastisk reduceret de tekniske problemer En anden grund til, at den klassiske BIack-Scholes model med konstant rente stadig er meget fremherskende, er, at især aktie-optioner ofte har relativt korte løbetider (typisk mindre end 1 år) 1. I litteraturen ser man ofte nævnt, at konstant rente er en god approksimation, ved claims med kort løbetid. En af tingene, vi vil sætte spørgsmålstegn ved i indeværende opgave, er, hvad der sker, hvis optioner har længere løbetider. Motivationen for overhovedet at beskæftige sig med optioner med længere løbetider er, at det er vores overbevisning, at der i dag er et stigende behov for at afdække længere løbende positioner. Dette gør sig naturligvis gældende indenfor pensionsområdet, hvor mange pensionsprodukter er behæftet med forskellige garantiordninger. Men også den voksende fokus på virksomheders immunisering overfor risiko i nansielle positioner og hele asset liabillity management området skaber behov for mere so stikerede modeller. Dertil kommer, at man også kunne forestille sig et stigende behov for andre typer nansielle forsikringer. De sidste års voldsomme prisstigninger på ejerboliger har fremprovokeret en del hvisken i krogene om, at der er ved at opstå et behov for (eller nærmere en efterspørgsel efter) husprisforsikringer. Især det sidste leder os hen til en anden problematik, nemlig hvorvidt det er rimeligt at antage, at udviklingen i aktivet er ukorreleret med renteudviklingen Der er i dag bred enighed om, at Black-Scholes formel er for simpel til kunne prisfastsætte derivater. Især er man klar over, at prisen på en given option ikke alene afhænger af 1 Eksempelvis har optioner på danske aktier, som handles på OMX nordiske børs, løbetider på 3, 6 og 9 måneder (www.omxgroup.com) 2

volatiliteten i aktieafkastet. Ikke desto mindre bliver Black-Scholes ofte benyttet af tradere, som ønsker at hedge forskellige derivater, idet man benytter den implicitte volatilitet. 1.2 Problemformulering I denne opgave vil vi opstille en model, hvor det underliggende aktiv modelleres som i den klassiske Black-Scholes model, men hvor vi antager, at renten er stokastisk, og følger en såkaldt Vasicek model. Vi vil vise, at en trader, som tager markedsprisen på en europæisk call-option for givet, og som delta-hedger med den implicitte volatilitet på baggrund af en klassisk Black-Scholes model, vil hedge forkert i den opstillede model. Vi vil vise, at hans hedge vil blive dårligere i takt med at løbetiden på optionen bliver længere. Til sidst vil vi betragte en trader, som bruger det korrekte delta-hedge, men som ikke har mulighed for at hedge kontinuert. Vi vil vise, at denne trader vil kunne forbedre sit hedge ved at rebalancere sin portefølje, når afvigelserne bliver "for store"fremfor blot at rebalancere på ækvidistante tidspunkter. 1.3 Opbygning Resten af opgaven er opbygget på følgende vis. I resten af denne sektion giver vi en overordnet gennemgang af de benyttede metoder. Dette gøres for at give læseren et overblik over teknikken bag det teoretiske fundament for opgaven. Desuden vil vi give en kort motivation for vores simulering, og til sidst vil vi gennemgå rammerne for opgaven samt give en overordnet afgrænsning. I den efterfølgende sektion opstilles vores model, og de analytiske løsninger gennemgåes. Visse udledninger vil blive henvist til appendiks af pladshensyn og for at forbedre læsevenligheden, med mindre udledningen i sig selv direkte bidrager til forståelsen. Derefter gives en detaljeret gennemgang af simuleringen og vores resultater præsenteres. Dernæst vil vi diskutere antagelserne i modellen samt give en dybere fortolkning af vores vores resultater for til sidst at perspektivere til mulige anvendelsesområder, før vi konkluderer vores opgave. Opgaven er skrevet i fællesskab, men i henhold til formalia er de lige sider skrevet af Martin Brobæk Madsen og de ulige af Søren Vistisen. 1.4 Metode I indeværende opgave opstilles en model, som bygger på et standard Black-Scholes setup. For at tillade stokastiske udsving i renten, udvides modellen med en rente-model, hvor den korte rente antages at følge en standard Vasicek model. Vi har valgt at modellere over Vasicek, da denne har en række eftertragtede egenskaber. Udover at Vasicek giver en god intuitiv forklaring af udviklingen i den korte rente, er det muligt at nde løsninger for nulkuponobligationer på lukket form. 3

Både aktivet og renten følger stokastiske processer og antager værdier i kontinuer tid. For at nde analytiske løsninger for værdiprocessen for call optionen, benyttes Itô di erential- og integralregning, og speci kt forudsættes der kendskab til Itôs lemma for at få fuldt udbytte af de matematiske udledninger. Desuden benyttes såkaldte martingal metoder i form af målskift, og Girsanov transformationer vil blive brugt en del gange, men vægten vil blive lagt på applikationen og ikke på beviset (for en fuld gennemgang af Girsanov teoremet henvises læseren til Björk (2004) afsnit 11.2 og 11.3). Desuden vil vi gentagne gange benytte numeraireskift. Numeraireskift blev allerede brugt af Merton (1973), men teknikken er senere blevet udviklet, og en eksplicit gennemgang i et gaussisk set-up ndes bl.a. i Jamshidian (1989). Numeraireskiftene i indeværende opgave er primært inspireret af Geman et. al. (1995), og igen vil vægten ligge på applikationerne (for et fuldt bevis for numeraireskift henvises til Jamshidian (1989)). I vores numeriske sektion simulerer vi udfaldsstier for henholdsvis aktie- og renteprocessen. Vi har valgt at simulere for at nde forventede værdier og fordelinger for den replikerende portefølje. Til dette formål benytter vi programmet R. I opgaven de neres "virkeligheden"af modellen, og der er altså ikke tale om en empirisk opgave. Det vil sige, at vi antager, at den analytiske løsning for call optionen samt nulkuponpriserne, er markedsværdier, hvorefter vi giver forskellige tradere forskellig adgang til information. Vi har valgt parametrene udfra standard parametre, man ofte støder på i litteraturen, og valget af parametre vil kun blive diskuteret i det omfang, det ndes nødvendigt. Man kan argumentere for at valget er lidt arbitrært, men da dette ikke er en økonometrisk opgave vil fokus ligge et andet sted end på parametervalget. 2 Modellen I denne sektion opstiller vi vores model og nder analytiske løsninger for prisen på en europæisk call option på aktien. Igennem sektionen vil de implicitte antagelser blive nævnt, mens diskussionen af de vigtigste antagelser er henvist til diskussionsafsnittet. Vi starter sektionen med en gennemgang af, hvordan vi sikrer, at modellen er logisk konsistent udfra de to fundementale teoremer inden for arbitrage prisfastsættelse. Herefter fortsætter vi med at præsentere processerne for aktivet, renten og nulkuponpriserne. Dernæst ndes løsning for nulkuponprisen, hvorefter sektionen afsluttes med en beskrivelse af hedge-strategien. 2.1 Arbitrage-prisfastsættelse og komplethed Denne undersektion tjener det formål, at give en eksistensberetigelse af konsistent priser for call-optionen. Det er vigtigt at understrege, at målet med opgaven ikke er at bevise de fundementale sætninger indenfor arbitrage-prisfastsættelse. Ikke desto mindre er det vigtigt at huske på det teoretiske fundament, når man bygger sin model. I denne undersektion vil vi give en ren heuristisk gennemgang af de to vigtigste hovedsætninger. 4

Det første man skal sikre sig, hvis man vil bygge en logisk konsistent model er, at modellen ikke tillader arbitragemuligheder. Det første fundamentale teorem giver et svar på, hvornår en model er arbitragefri. Der ndes adskillige forskellige udlægninger af det første fundamentale teorem, men vi holder hos til Björks (2004) teorem 10.5: Teorem 1 (Første fundementale teorem) Modellen er arbitragefri hvis og kun hvis, der eksisterer et ækvivalent martingalmål Q. Et martingalmål, Q, er et sandsynlighedsmål, som sikrer, at alle aktiver er martingaler, når de normaliseres med et aktiv, der vokser risikofrit med den (lokalt) risikofri rente. To mål er ækvivalente, hvis en hændelse, der tillægges en sandsynlighed på 1 under det ene mål, også tillægges en sandsynlighed på 1 under det andet mål. Hvis man tænker på det risikofri aktiv som bankbogen, B(t), og aktiverne som S i for i = 1; :::N kan det formelt udtrykkes som: B(t) B(t) ; S 1(t) B(t) ; S 2(t) B(t) ; :::; S N(t) B(t) er martingaler under Q ~P idet P angiver det "sande"eller objektive sandsynlighedsmål. Det andet man skal sikre sig er, at modellen tillader en konsistent prisfastsættelse. Den l- ogiske betingelse er, at man kan replikere enhver fordring på de underliggende aktiver med en portefølje, som udelukkende består af de underliggende handlede aktiver samt evt. bankbogen. Hvis enhver fordring kan replikeres, siges modellen at være komplet. Det andet fundamentale teorem omhandler netop komplethed. Igen holder vi os til Björks (2004) udlægning som i teorem 10.17: Teorem 2 (Andet fundementale teorem) Hvis man antager, at modellen er arbitragefri, så er modellen komplet hvis og kun hvis, martingalmålet er unikt. Hvis der eksisterede ere forskellige ækvivalente martingalmål, ville det også give anledning til ere forskellige arbitragefri priser for de samme derivater. Det næste spørgsmål er så, hvordan man praktisk sikrer, at modellen er arbitragefri og komplet. Også dette spørgsmål giver Björk (2004) et svar på i sit meta-teorem 8.3.1: Meta-teorem 1 Lad M angive antallet af underliggende handlede aktiver i modellen foruden det risikofri aktiv, og lad R angive antallet af drivende stokastiske kilder. Så gælder der følgende relationer: 1. Modellen er arbitragefri hvis og kun hvis M R 2. Modellen er komplet hvis og kun hvis M R 3. Modellen er arbitragefri og komplet hvis og kun hvis M = R Den første relation kan forstås således: Hvis man forestiller sig, at der er to aktiver, hvor det stokastiske element er drevet af den samme kilde men har forskellig drift. Da er det klart, 5

at det vil være muligt at lave en arbitrageportefølje ved at købe en lang position i aktivet med det højeste gennemsnitlige afkast og sælge en tilsvarende kort position i aktivet med det laveste gennemsnitlige afkast. Da vil man have en portefølje med en initialværdi på 0 og et fremtidigt deterministisk afkast, som er større end 0. Den anden relation er lidt sværere at forstå: Hvis man forestiller sig en økonomi med tre aktiver, hvoraf kun de to er handlede. Så kan man godt overbevise sig selv om, at man ikke kan replikere det sidste aktiv alene ud fra de to handlede, såfremt udsvingende i det ikke-handlede aktiv er drevet af en anden stokastisk kilde end de to handlede. Den sidste relation følger direkte af de to første. I visse konkrete situationer kan det vises, at meta-teoremet er ækvivalent med de to fundamentale teoremer, men beviserne herfor og for de fundamentale teoremer selv ligger ude over rammerne for denne opgave. I stedet vil vi stille os tilfredse med, at vores model er arbitragefri og komplet, såfremt meta-teoremet er overholdt (se evt. Björk (2004) teorem 12.3). Det sidste spørgsmål, der vil blive behandlet i denne undersektion er, hvad der egentlig menes med drivende stokastiske kilder. Det er svært at give en præcis de nition, men et klassisk eksempel er poission jump processer. Et andet og endnu mere klassisk eksempel indenfor nansieringsteori er Wiener processer, altså kontinuerte processer hvor tilvæksten i processen er uafhængig normalfordelte med middelværdi nul og varians, som er lig med tidsskridtlængden. I vores model antages alle stokastiske processer at være Wiener-drevne. 2.2 Det basale set-up 2.2.1 Det underliggende aktiv I vores model antager vi, at der er et aktiv, som vi af praktiske grunde vil referere til som aktien. Vi lader tilvæksten i aktien følge en di usionsproces, som er en stokastisk di erentialligning, der er opdelt i et deterministisk led (drift-leddet) og et stokastisk led (di usionsleddet). Di usionsprocessen for aktien antages at følge en geometrisk Brownsk bevægelse: ds(t) = S(t)dt + S S(t)dW S (t) (1) hvor og S er konstante og W S (t) er en standard Wiener proces under det objektive sandsynlighedsmål P. Da det stokastiske led er normalfordelt med middelværdi 0, vil angive aktiens forventede lokale afkast (også kaldet driften). Desuden fremgår det, at standardafvigelsen i afkastet er: std ds(t) S(t) = = = r h dt E + S dw S (t) 2i E dt + S dw S (t) 2 r h i E 2 dt 2 + 2 S dw 2 S(t) + 2 S dtdw S (t) 2 dt 2 q p Sp 2 dt = S dt 6

S de neres som volatiliteten,.idet vi bruger følgende multiplikationstabel (for argumenter, se Björk (2004) side 46): 8 >< >: dt 2 = 0 dtdw = 0 dw 2 = dt Denne proces er fuldstændig tilsvarende aktivet i en standard Black-Scholes model. En di usionsproces af denne type svarer til, at aktien "i gennemsnit"vokser eksponentielt, idet løsningen på di erentialligningen (1) er (se evt. Björk (2004), proposition 5.2): S(t) = S(0)e ( 1 2 2 S)t+ S W S (t) Idet processen antages at starte i S(0): Da hele udtrykket i tælleren er normalfordelt, vil hele udtrykket være lognormalfordelt. 2.2.2 Renten I standard Black-Scholes antages det, at renten er konstant. I vores model antager vi, at den korte rente r(t) følger en Vasicek model (Ornstein-Uhlenbeck proces) af formen: dr(t) = (b ar(t)) dt + r dw r (t) (2) hvor a, b og r er konstanter og W S (t) igen er en standard Wiener proces under det objektive sandsynlighedsmål P. Grunden til vi vælger en Vasicek rente er, at modellen giver en god intuitiv forklaring på udviklingen i renten. Det skyldes, at selvom modellen lader renten variere tilfældigt, kan renten ikke blive ved med at vokse i modsætning til aktie-processen. Det fremgår, at hvis der kommer et positivt chok, der får renten til at overstige a vil di usionsprocessen have b negativ drift og vice versa for negative chok. Det betyder, at renten altid vil blive trukket mod "steady state"eller "mean-reversion"niveau. Dette er måske nemmere at se, hvis man bruger en lidt anden repræsentation af modellen (2): dr(t) = ( r(t)) dt + r dw r (t) Her angiver mean-reversion niveauet, og angiver, hvor hurtigt renten bliver drevet tilbage til mean-reversion niveauet. I resten af opgaven benyttes den første repræsentation af di usionsprocessen af beregningsmæssige hensyn. Det fremgår desuden, at processen har konstant volatilitet på r. Indtil videre har vi ikke gjort nogle antagelser om de drivende Wiener processer for henholdsvis aktien og renten. Det virker ikke som en rimelig antagelse, at udviklingen i aktien sker uafhængigt af chok i renteprocessen. Derfor lader vi de drivende Wiener processer for aktien og renten være korrelerede med en konstant korrelationskoe cient,. Vi introducerer korrelation mellem Wiener processerne ved at de nere W r udfra to uafhængige Wiener- 7

processer - W S og W r : W r = W S + p 1 2 W r dw r = dw S + p 1 2 dw r (3) På denne måde vil W r og W S være korrelerede med korrelationskoe cient. En ulempe ved Vasicek modellen er, at renten kan antage negative værdier. Men et "tilpas"parametervalg, vil sikre, at sandsynligheden for dette bliver forsvindende lille, og vi vil i indeværende opgave ikke diskutere hvorvidt muligheden for negativ rente er rimelig eller ej. 2.2.3 Nulkuponobligationer Som tidligere nævnt, kan vi i Vasicek modellen nde løsninger for prisen på nulkuponobligationer på lukket form. I Vasicek modellen er prisen på nulkuponobligationen med udløb på tidspunkt T givet ved (Björks (2004) proposition 22.3): A(t;T ) B(t;T )r(t) p(t; T ) = e B(t; T ) = 1 1 e a(t t) a A(t; T ) = fb(t; T ) T + tg ab 1 2 2 r 2 rb 2 (t; T ) a 2 4a Ud fra prisen, kan vi da bestemme di usionsprocessen for nulkuponobligationen med udløb på tidspunkt T, ved at benytte Itôs Lemma, idet W r (t) angiver Wiener processen under sandsynlighedsmålet P. (se appendiks A.1): dp(t; T ) It^o = m(t; T )p(t; T )dt r B(t; T )p(t; T )dw r (t) (4) Det fremgår, at prisprocessen for nulkuponobligationen også følger en geometrisk Brownsk bevægelse, hvilket senere vil vise sig at være en vigtig detalje. Det fremgår endvidere, at di usionsprocessen er drevet af den samme Wiener proces, som driver di usionsprocessen for renten. Det er vigtig at bemærke, at volatillitetsprocessen r B(t; T ) er deterministisk. Set i lyset af meta-teoremet er vi nødt til at gøre en enkelt men meget vigtig antagelse. Da vi har to uafhængige drivende Wiener processer (W S og W r ), er vi nødt til også at have to handlede aktiver eksklusive det risikofri aktiv (bankbogen). For at sikre dette antager vi, at nulkuponobligationen, som udløber samtidig med call-optionen, er et handlet aktiv. På denne måde bliver modellen arbitragefri og komplet. Det bemærkes, at alle standardantagelserne i Black-Scholes modellen også er gældende i den udvidede model. Dvs. at det antages, at alle positioner (både korte og lange), som ikke nødvendigvis er heltallige, er opnåelige i alle aktiver. Desuden antages det, at der ikke er transaktionsomkostninger. Disse antagelser vil ikke blive diskuteret i indeværende opgave. 8

2.3 Prisprocessen for den europæiske call-option Som tidligere nævnt vil udledningen af prisprocessen for call-optionen benytte sig af et centralt resultat indenfor abstrakt målteori - Girsanov teoremet. Når vi har overbevist os om, at modellen er arbitragefri og komplet, ved vi også, at der eksisterer et unikt ækvivalent martingalmål, Q. For at et aktiv normaliseret med bankbogen skal være en martingal, må Girsanov kernen være bestemt således, at aktivet selv under Q-målet nødvendigvis har den lokale drift r(t). Da en Girsanov transformation kun ændrer driftsledet, og ikke di usionsledet, giver dette os Q-dynamikken for aktien, idet dw angiver Wiener processer under Q: ds(t) = r(t)s(t)dt + S S(t)dW S (t) Og Q-dynamikken for nulkuponobligationen: dp(t; T ) = r(t)p(t; T )dt r B(t; T )p(t; T )dw r (t) Med dette i baghovedet fortsætter vi med udledningen af call-optionen. Udledningen af det generelle udtryk følger Geman et al. (1995), men i forhold til Geman et al. (1995) antager vi en speci k model for renten. Som bekendt er en europæisk call option en fordring på et underliggende aktiv, som på et fast tidspunkt, T, har følgende pay-o,, hvor K angiver strike prisen.: = max (S(T ) K; 0) Vi benytter først en lille omskrivning af dette udtryk: = (S(T ) K) I fs(t )Kg Hvor I fs(t )Kg er en indikator funktion: I fs(t )Kg = ( 1 hvis S(T ) K 0 hvis S(T ) < K ) Prisen på optionen på tidspunkt 0 skal være lig med det Q-forventede tilbagediskonterede pay-o : (0; ) = E Q h e R T 0 r(s)ds (S(T ) K) I fs(t )Kg i Idet E Q [:::] angiver den forventede værdi under Q. Nedenfor benytter vi et smart trick, som er udviklet af Jamshidian (1989) og Geman et al. (1995). Vi bruger en anden numeraire end bankbogen og skifter igen sandsynlighedsmål ved en Girsanov transformation, således at prisprocessen er martingal med hensyn til den nye numeraire-proces. Udfra første og andet fundementale teorem har vi eksistensen af det nye martingalmål givet. Til sidst benytter vi et resultat vedrørende optionsprisfastsættelse (Geman et al. (1995), teorem 2). Først bruger vi nulkuponobligationen med samme udløb som optionen, T, som numeraire 9

og skifter til det korresponderende martingalmål, som benævnes Q T (dette speci kke mål benævnes ofte som T-forward målet): (0; ) = p(0; T )E QT (S(T ) K) p(t; T ) I fs(t )Kg = p(0; T )E QT S(T ) p(t; T ) I fs(t )Kg Kp(0; T )E QT IfS(T )Kg Herefter benytter vi samme trick på det første led i (5), men vi bruger aktien som numeraire og kalder det tilsvarende martingalmål for Q S : (0; ) = S(0)E QS IfS(T )Kg Kp(0; T )E QT IfS(T )Kg = S(0)Q S [S(T ) K] Kp(0; T )Q T [S(T ) K] (6) Spørgsmålet er så, hvorvidt vi kan udregne sandsynlighederne i (6). For at nde ud af dette, de nerer vi først en ny proces, Z S;T (t): Z S;T (t) = S(t) p(t; T ) Dernæst bruger vi Itôs Lemma for at bestemme di usionsprocessen for Z S;T (t) (se appendiks A.2): dz S;T (t) It^o = m S;T (t)z S;T (t)dt + S Z S;T (t)dw S (t) + r B(t; T )Z S;T (t)dw r (t) (7) (5) Det fremgår, at di usionen (7) er en geometrisk Brownsk bevægelse med et to-dimensionelt di usionsled. Vi ved også, at Z S;T (t) er martingal under Q T, og di usionsprocessen kan da skrives som: dz S;T (t) = S Z S;T (t)dw T S (t) + r B(t; T )Z S;T (t)dw T r (t) (8) Idet vi indsætter dw r (t) fra (3) nder vi variansen for udtrykket (8) (se appendiks A.4): Hvilket giver os volatiliteten: V ar [dz S;T (t)] = 2 S + 2 rb 2 (t; T ) + 2 S r B(t; T ) 2 ZS;T (t)dt (9) {z } 2 S;T (t) S;T (t) = Vi kan nu skrive dz S;T (t) som: q 2 S + 2 rb 2 (t; T ) + 2 S r B(t; T ) (10) dz S;T (t) = S;T (t)z S;T (t)dw T (t) (11) Løsningen til di erentialligningen (11) evalueret i T bliver (se Björks (2004) proposition 10

5.2): Z S;T (T ) = S(0) Z 1 T Z T p(0; T ) exp 2 S;T (t)dt + S;T (t)dw T (t) 2 0 0 I eksponentialfunktionen er det første integral deterministisk, og det andet er stokastisk. I det stokastiske integral er integranden, S;T, deterministisk, hvorfor det stokastiske integral er normalfordelt med middelværdi 0 og varians (se Björks lemma 4.15): Z T var S;T (u)dw T (u) t = 2 S;T (T ) = Z T t Z T t 2 S;T (u)du 2 S + 2 rb 2 (t; T ) + 2 S r B(t; T ) du (12) Altså ved vi, at hele eksponenten er er normalfordelt under Q T og Z S;T er derfor lognormalfordelt. Vi kigger igen på sandsynligheden i det andet led i udtrykket for prisen på call optionen (6) (se appendiks A.3): 2 ln Q T [S(T ) K] = Q T 4 ZS;T e (T ) n p(t;t )K S(t) o + 1 2 2 S;T (t; T ) 3 5 (13) q 2 S;T (t; T ) Hvor e Z er standardnormalfordelt. Idet angiver fordelingsfunktionen for standardnormalfordelingen kan denne sandsynlighed pga. symmetri skrives som: 2 n o Q T [S(T ) K] = 1 4 ln p(t;t )K + 1 S(t) 2 2 S;T (t; T ) 3 q 5 2 S;T (t; T ) 2 n o = 4 ln S(t) 1 p(t;t )K 2 2 S;T (t; T ) 3 q 5 [d 2 ] (14) 2 S;T (t; T ) Inden vi går videre til den første sandsynlighed i udtrykket (6), de nerer vi processen Y S;T (t): Y S;T (t) p(t; T ) S(t) = 1 Z S;T (T ) Igen bestemmer vi di usionsprocessen ved brug af Itôs Lemma (se appendiks A.2): dy S;T (t) It^o = m Y S;T Y S;T (t)(t)dt S;T (t)y S;T (t)dw T (t) (15) Da Y S;T (t) er p(t; T ), som er et handlet aktiv, denomineret med et andet handlet aktiv, S(t), ved vi, at Y S;T (t) vil være en Q S martingal, og di usionsprocessen vil derfor have 11

formen: dy S;T (t) = S;T (t)y S;T (t)dw S (t) (16) Løsningen på di erentialligningen (16) er givet ved: Y S;T (t) = p(t; T ) S(t) Z 1 T exp 2 S;T (u)du 2 t Z T t S;T (u)dw S (u) Det første sandsynlighedsled i (6) kan da udregnes på tilsvarende vis (se appendiks A.3): 2 ln Q S [S(T ) K] = Q S 4e YS;T (T ) n p(t;t )K S(t) o + 1 2 2 S;T (t; T ) 3 5 q 2 S;T (t; T ) Hvor Y e er en standardnormalfordelt stokastisk variabel. Derved fås: 2 n o Q S [S(T ) K] = 4 ln S(t) + 1 p(t;t )K 2 2 S;T (t; T ) 3 q 5 [d 1 ] (17) 2 S;T (t; T ) Udtrykkene (14) og (17) indsættes i vores generelle prisfastsættelsesformel (6): (t; ) = S(t)Q S [S(T ) K] p(t; T )KQ T [S(T ) K] = S(t) [d 1 ] p(t; T )K [d 2 ] (18a) n o ln S(0) + 1 p(0;t )K 2 2 S;T (t; T ) d 1 = (18b) q 2S;T (t; T ) d 2 = d 1 q 2 S;T (t; T ) (18c) Det sidste, vi mangler, er, at udregne 2 S;T (t; T ) fra (12) (se appendiks A.4): 2 S;T (t; T ) = a2 2 S + 2 r + 2a S r a 2 (T t) 2 r + 2a S r a 2 B(t; T ) 2 r 2a B2 (t; T ) (19) Dermed har vi udledt prisen på optionen, og vi kan fortsætte med hedgen. 2.4 Hedging Hele argumentationen for, at vi kan udlede prisen på call-optionen som ovenfor, bygger på, at vi kan replikere optionens cash- ow ud fra en selv nansierende portefølje. I denne undersektion vil vi kigge på, hvordan den replikerende portefølje skal se ud. Vi starter med at kigge på klassiske Black-Scholes model med konstant rente, r. Pris-processen for calloptionen i den klassiske Black-Scholes model (Björk (2004) proposition 7.10) er: 12

BS (t; ) = S(t) d BS 1 e r(t t) K d BS 2 o ln + r + 12 (T t) 2 d BS 1 = n S(t) K p T t (20a) (20b) d BS 2 = d BS 1 p T t (20c) Antag at vi sælger en call-option og ønsker at hedge den med en selv nansierende portefølje bestående af positioner i det underliggende aktiv og bankbogen. Hvis vi lader V (t) angive værdiprocessen for den selv nansierende replikeringsportefølje har vi: V (t) = w S S(t) + w B e r(t t) Hvor w S og w B angiver vægtene i henholdsvis aktien og bankbogen. Det føljer trivielt at for at sikre, at hedgeporteføljen har samme værdiproces som calloptionen er vi nød til dynamisk at sikre at porteføljevægtene er: w S = d BS 1 og wb = K d BS 2 Da porteføljen er selv nansierende (Björk (2004) teorem 8.5) er det nok, at bestemme andelen af aktier, hvorefter vægten i bankbogen er givet residualt. Denne form for hedging bliver ofte kaldt delta-hedging, idet = @C @S = (d 1) Hvis vi igen ser på vores udvidede model (18), følger det, at den replikerende portefølje skal bestå af aktien og nulkuponobligationen, som udløber på tidspunkt T med vægtene w S = [d 1 ] og w P = K [d 2 ] Hvor d 1 og d 2 er givet ved (18b) og (18c). Det fremgår, at det teoretisk korrekte hedge dels involverer nulkuponobligationen og dels har et andet delta. Lad os antage, at man kun kan observere prisen på optionen på tidspunkt 0. Den uinformerede trader nder den implicitte volatilitet, som sikrer at prisen, BS (t; ) (20) er lig med markedsprisen (t; ) (18). Udfra denne bestemmer den uinformerede trader sit delta-hedge og rebalancerer derefter sin portefølje dynamisk frem til optionens udløb. 13

3 Numeriske resultater I denne sektion anvendes modellerne vist i sektion 2 til at nde numeriske resultater. For en gennemgang af centrale dele af koden henvises læseren til appendiks B.1. Først simulerer vi en enkelt udfaldssti, for at overskueliggøre hvordan processerne og hedgen foregår idet vi lader to tradere hedge dynamisk med forskellig information. Dernæst gentager vi simuleringen, men trækker et stort antal udfaldsstier for at nde forventede værdier. Afslutningsvist koncentrerer vi os om den fuldt informerede trader, men antager han ikke kan hedge dynamisk. I dette afsnit vil vi kun beskrive de fundne resultater, idet diskutionen henlægges til sektion 4. 3.1 Introduktion til simuleringen En kontinuær simulering vil kræve, at der simuleres på uendelig mange tidspunkter. Da dette ikke er muligt simulerer vi udfaldsstierne ved en såkaldt Euler approksimation, hvor der trækkes realiseringer af processerne på diskrete tidspunkter med skridtlængde t, kaldet Euler-punkter. dw -leddene trækkes fra en normalfordeling med middelværdi 0 og med standardafvigelse lig kvadratroden af skridtlængden t. Denne diskretisering vil asymptotisk nærme sig den kontinuære proces, når antallet af Euler-punkter vælges tilpas højt. Valg af antallet af Euler-punkter er en trade-o mellem aproksimationens tilnærmelse og simuleringstid, hvor vi har fundet frem til 60 punkter per år som et fornuftigt valg. Der foretages 150.000 simuleringer, hvilke giver konsistente resultater. I simuleringen bruges paramtre som vist i tabel 1. Tabel 1 Drift i aktien = 0:06 Volatilitet i aktien S = 0:15 Aktiepris på tidspunkt t 0 S(0) = 100 Strike på optionen strike = E[S(T )] = S(0)e (T ) Mean-reversion niveau i Vasicek = 0:3 Mean-reversion styrke = 0:05 Volatilitet i Vasicek r = 0:03 Rente på tidspunkt t o r 0 = 0:03 Korrelation mellem Wiener-processerne, W r og W S = 0:3 Vi har, som i Menkveld & Vorst (1998), valgt en korrelation på -0.3, hvilket stemmer overens med økonometriske undersøgelser af sammenhængen mellem renten og aktieafkast (eksempelvis Scott (1997)). Renten, på tidspunkt 0, er sat lig mean-reversion niveauet for at undgå at forstyrre resultater når der sammenlignes forskellige udløb på optionerne. Strike er valgt, så den er lig den forventede værdi af S(T ) på tidspunkt T, hvorved optionen er forward-at-the-money. 14

Vi starter med to tradere: Trader #1 har fuld information og delta-hedger teoretisk korrekt, dvs. hans replikerende portefølje består af aktivet og nulkuponobligationen. Han anvender korrekt volatilitet, som vist i sektion 2. Trader #2 har begrænset information, idet han kun kender prisen på optionen på tidspunkt 0 og observerer den aktuelle aktiepris og rente. Han delta-hedger udfra den klassiske Black-Scholes model, dvs hans replikerende portefølje består af aktien og bankbogen. Da han ikke kender volatiliteten benyttes den implicitte volatilitet. Følgende nder sted i simuleringen: 1. Der ndes en en pris på call-optionen på tidspunkt 0, c(0), og de initiale vægte i replikeringsporteføljen i henholdvis aktien og nulkuponobligationen henholdsvis bankbogen, således den initiale værdi af replikeringsporteføljen er lig c(0). 2. Derefter ndes på ethvert efterfølgende Euler-punkt en realisering af processerne. nye vægte i replikeringsporteføljen 3. På udløb, T, ndes de realiserede værdier af optionens pay-o og replikeringsporteføljen. Forskellen på de to betegnes Pro t & Loss account (P&L). Det centrale er P&L, idet denne fuldstændig beskriver hvor godt replikeringsporteføljen perfomer. Den løbende forskel mellem værdien af den replikerende portefølje og call-prisen, c(t), betegnes hedgeerror fremtil tidspunkt T, hvor P&L realiseres. 3.2 Simulering af en enkelt udfaldssti På gur 1 og 2 ses en enkelt realisering af aktie- og renteprocessen. Det fremgår af gurene, at begge processer svinger, men med den forskel at aktien har en voksende tendens, mens renten svinger omkring mean-reversion niveauet (3%-linjen på grafen). På tid 0.2 ses den negative korrelation tydeligt, idet aktien falder mens renten stiger. 15

Figur 1 Figur 2 Figur 3 Figur 4 Figur 3 viser udviklingen i andelen af aktier i den replikerende portefølje (trader #1 s værdier plottet med blå og trader #2 med rød). Andelen af aktier går fra ca. 0.4 stigende til 1, hvilket skyldes at optionen relativ hurtig kommer in-the-money. Figur 4 viser den korte position i nulkuponobligationen henholdsvis bankbogen. Det fremgår, at i takt med at andelen af aktier stiger, øges den korte position. Dette er logisk, da replikeringsporteføljen er selv nansierende. Hvis optionen kommer langt out-of-the-money ville andelen af aktier gå mod 0 og bankbogen ligeledes mod 0, da positionen i aktien netop er sandsynligheden for at aktien kommer over striken på tidspunkt T. 16

Figur 5 Figur 6 På gur 5 ses værdien af replikeringsporteføljen. På tidspunkt 0 er den netop lig callprisen og frem mod udløb stiger værdien mod knap 12. Figur 6 viser forløbet for forskellen mellem værdien af den replikerende portefølje og den teoretisk call-pris, c(t). Som det ses medfører trader #2 s misspeci kation, at han har meget store udsving i forhold til trader #1 - selvom forskellen i aktieandelen mellem tradere i gur 3 umiddelbart virker ubetydelig. Tabel 2 Aktiepris på tid T S T = 118:14 Forventet aktiepris på tid T E[S(T )] = 106:18 Realiseret options pay-o S T strike = 11:95 Pro t & Loss account for trader #1 P &L 1 = 11:70 ( 0:26) Pro t & Loss account for trader #1 P &L 2 = 11:48 ( 0:47) På tidspunkt T sælger traderne deres replikerende porteføljer, og betaler køberen af optionen det realiserede options pay-o. De realiserede værdier på tidspunkt T fremgår af tabel 2. For begge tradere gælder, at deres hedge har medført et tab på henholdsvis - 0.26 og -0.47. Diskretiseringen medfører, at trader #1 får et afvigelse på P&L. På enkelte realisteringsstier kan trader #2 "være heldig" at klare sig bedre, og derfor fortsætter vi den numeriske analyse med "mange" udfaldsstier. 3.3 Simulering af forventede værdier Ved at udføre mange simuleringer ndes de forventede værdier for de to tradere. Endvidere kører vi simuleringerne med forskelige løbetider. Tabel 3 viser resultaterne for den forventede middelværdi af P&L, sandsynligheden for tab og den betingede Value-at-Risk (CVaR). CVaR 17

er også kendt som Expected Tail Loss, og måler det forventede tab i de tilfælde, hvor VaR overskrides. CVaR er et bedre mål end VaR, da det tillader sammenligning mellem forskellige fordelinger. 2 Tabel 3 Trader T=1 T=2 T=5 c(0) 4.463 5.611 8.239 strike 106.184 112.745 119.72 E[P &L] P rob(p &L < 0) CV ar(95%) #1 #2 #1 #2 #1 #2-0.001-0.037 0.497 0.514-1.597-3.354-0.003-0.271 0.497 0.504-1.685-9.516-0.017-3.886 0.498 0.471-2.313-58.296 I tabel 3 ses, at middelværdien for P&L for trader #1 ligger tæt på 0 (middelværdien vil gå mod 0 når antallet af Euler-punkter og simuleringer øges). Ligeledes for trader #1 er sandsynligheden for tab meget tæt på 1. Dette betyder, at de realiserede værdier af P&L 2 fordeler sig ligeligt omkring 0. Trader #2 har et forventet tab, der stiger sålvel absolut som relativt til trader #1. Endnu mere interessant er CVaR, som for trader #2 stiger voldsomt - igen både absolut og relativt til trader #1. Med udløb på fem år betyder det, at trader #2 i 5% af tilfældene i gennemsnit taber 7 gange optionens pris. Havde kontinuær simulering været mulig, ville trader #1 hedge perfekt og derved ville alle ovenstående værdier være lig nul. Figur 7 Figur 8 2 For en uddybende gennemgang henvises til Rockafellar & Uryasev (2002). 18

Figur 7 og 8 viser de traderes hedgeerror med en option med tid til udløb på henholdsvis 1 og 5 år. Den absolutte forskel mellem trader #1 og #2 for den 1-årige option er begrænset, men med 5 års løbetid ses det tydeligt, at hedgeerror for trader #2 efter et år stiger markant. På gur 9 og 10 plotter vi tætheden for P&L, da værdierne i tabel 3 kraftigt indikerer at fordelingerne for P&L ikke er ens for de 2 tradere. Figur 9 Figur 10 Det ses på gur 9, at trader #1 ligger fordelt tæt omkring 0, mens fordelingen for trader #2 har højere varians. Fordelingen forklarer den høje CVaR for trader #2, da fordelingen har fede haler. Figur 10 viser, at tætheden for trader #1 fortsat er fordelt tæt omkring 0, mens tætheden for trader #2 nu afviger markant. Toppunktet er positivt, hvilket udtrykker at det mest sandsynlige udfald er positivt, dog er den forventede værdi negativ. Det ses, at variansen stiger markant for længere løbende optioner. 3.4 Diskret rebalancering Indtil videre har vi antaget, at vores tradere rebalancerede "kontinuært"(dvs. på ethvert Euler-punkt). Vi indfører nu to tradere, som vi antager ikke har mulighed at rebalancere på ethvert Euler-punkt. Trader #3 har samme setup som trader #2, men der rebalanceres kun for hvert 5. Eulerpunkt (hvilket svarer til 12 årlige rebalanceringer). Trader #4 har fuld information og korrekt model (som trader #2), men kan modsat trader #3 selv vælge sine rebalaceringer med den begrænsning, at der højest må hedges 12 gange årligt i gennemsnit. Praktisk gøres dette ved, at der kun rebalanceres når [ws h 1 ws h ] + > HedgeBand, dvs. hvis vægten i aktien fra tidspunkt h 1 til h ændres mere end et fastsat HedgeBand. 19

Forskellen på de to tradere er, at trader #3 rebalancerer på faste tidspunkter, mens den nye trader rebalancerer "når der er behov- hvor behovet sættes eksplicit i HedgeBand. Fordelen ved denne strategi er, at når der er begrænset rebalanceringer, så bruges disse når gevinsten er størst. Figur 11 Figur 12 Tabel 4 Trader T=1 T=2 T=5 c(0) 4.463 5.612 8.239 strike 106.184 112.750 119.72 E[P &L] #3-0.027-0.052-0.106 #4-0.015-0.027-0.023 P rob(p &L < 0) #3 0.496 0.499 0.496 #4 0.504 0.506 0.492 CV ar(95%) #3-3.559-3.875-5.448 #4-2.008-2.155-3.128 Tabel 4 viser, at trader #4 klarer sig bedre end trader #3. Figur 11 og 12 (trader #3 er rød og trader #4 er grøn), viser at trader #3 har større varians samt har en dårligere forventet P&L. Trader #4 s strategi er derved bedre, hvilket skyldes at der "kun"rebalanceres når behovet er der. Vores metode medfører, at antallet af rebalanceringer i den enkelte realisering ikke nødvendigvis er ens for de 2 tradere, men at antallet kun er ens i gennemsnit for hele simuleringen. Derved vil der i realiseringer med store udsving eller mange ændringer omkring in-the-money / out-of-the-money foretages ere rebalanceringer, mens der i realiseringer med tæt på det forventede udfald eller hvor optionen gennemgående er in-the-money eller out-ofthe-money vil der rebalanceres færre gange. 20

4 Diskussion og perspektivering I denne sektion vil vi starte med at kigge lidt nærmere på nogle af antagelserne i modellen og komme med nogle forslag til mulige udvidelser. Desuden vil vi diskutere nogle af de matematiske resultater. Derefter vil vi kort diskutere vores resultater hvorefter vi slutter af med at give nogle eksempler på nogle af de anvendelsesområder, som vi nævnte i indledningen. 4.1 Diskussion af model antagelser Det første vi vil diskutere er selve processen for det underliggende aktiv. Man kan diskutere, hvorvidt det er rimeligt at antage, at aktieprocessen har konstant drift, mens renten antages stokastisk. Hvis man de nerer risikopræmien for at holde aktier fremfor at have penge på bankbogen som forskellen mellem det gennemsnitlige lokale afkast på aktien,, og den lokalt risikofri rente r(t), vil det medføre, at risikopræmien vil være stokastisk under det objektive sandsynlighedsmål. Det kan i yderste konsekvens medføre negativ risikopræmie. I dette afsnit vil vi give et rent heuristisk argument for, at antagelsen måske ikke er så urimelig endda. Først og fremmest nder Bowman & Chay (1999) en negativ sammenhæng mellem renten og risikopræmien på aktieafkast. Dette indikerer, at det gennemsnitlige merafkast varierer mindre end renten, hvilket naturligvis også vil være tilfældet, når vi har konstant drift. Mht. spørgsmålet om negativ risikopræmie, vil et "tilpas"valg af gøre scenariet usandsyligt. Ikke desto mindre ville det være et naturligt skridt at udvide modellen til at tage højde for mulig stokastik i driften, hvilket faktisk er muligt indenfor rammerne af den opstillede model. Det næste, der kan diskuteres, er rimeligheden af antagelsen om at volatiliteten i aktieafkastet er konstant. Det er relativt let at udvide modellen til at tillade volatiliteten at følge en deterministisk funktion. Men det er tilsvarende let at vise, at det ikke vil ændre konklusionerne, så længe man lader funktionen være kendt af agenter i markedet. Desuden er tanken om en volatillitet, som svinger, men hvor svingningerne følger en deterministisk sti langt fra overbevisende. Det er derfor naturligt at lade volatiliteten være stokastisk. Desværre viste Merton (1973), at mens driften kan antage en meget generel form, er volatiliteten på aktieafkastet i Black-Scholes modellen begrænset til at være "nonstochastic and, at most, a known function of time". Det er dog alligevel muligt at lave en model, som tillader stokastisk volatilitet i et Black-Scholes lignende set-up. Det kræver dog en noget mere omfattende udvidelse. Valget af rentemodel fortjener også en kort behandling. Som tidligere nævnt, har vi valgt en standard Vasicek model for den korte rente pga. den intuitive forklaring af den korte rente. Først og fremmest er det naturligt at sætte spørgsmålstegn ved, om det er rimeligt at antage, at hele rentestrukturen kan forklares ud fra den korte rente alene. Den korte rente i Vasicek modellen skal opfattes som en markedsrente. Det kan diskuteres, om det er en rimelig antagelse at den korte rente vil ligge og svinge tilfældigt om et konstant mean-reversion niveau. Hvis man i stedet modellerer renten ud fra Hull-White modellen (eller udvidet Vasicek), inkorporerer man, at mean-reversion niveauet kan ændre sig over 21

tid. Desuden kan Hull-White kalibreres til at " tte"enhver rentestruktur, hvilket ikke altid vil være muligt i Vasicek modellen. I vores stillistiske økonomi har dette dog ingen praktisk betydning, og vores konklusioner vil være uændrede under Hull-White modellen. Det sidste vi her vil diskutere vedrørende antagelserne i modellen, er rimeligheden ved at antage, at alle stokastiske processer er Wiener drevne. Wiener processer har nogle meget attraktive egenskaber, hvis vi ønsker at bygge modeller, som giver os analytiske løsninger. Desuden giver Wiener processerne os nogle udfaldsstier for aktiverne, som umiddelbart ser meget fornuftige ud, så længe der hersker "normale tilstande"på markederne. Det største problem ved Wiener processerne er, at der ikke tillægges stor nok sandsynlighed til ekstreme hændelser. Dermed kan nogle af de store udsving, der sker i virkeligheden, når markederne er under pres (f.eks. i forbindelse med bobler og crash) ikke forklares af normalfordelte tilvækster alene. Derfor virker det meget naturligt, at modi cere aktiv-processerne for at tillade såkaldte jumps. Man kan i princippet sagtens tilføje et stokastisk led som eksempelvis en poissonjump di usion. Problemet her er, at det giver en aktiv proces med en meget "grim"fordeling fra et beregningsmæssigt synspunkt. Disukussionen vedrørende Wiener processer er meget interessant, men også for dyb til at kunne give en grundig behandling indenfor rammerne af denne opgave. 4.2 Diskussion af resultater Et af målene med vores nummeriske afsnit er at vise, hvad der sker, når en trader hedger calloptionen på baggrund af den klassiske Black-Scholes model i en verden med stokastisk rente. I visse tilfælde er det muligt at nde analytiske udtryk for hedgeerror, men kompleksiteten i modellen gør, at vi har vurderet, at det er nemmere at danne sig et overblik over e ekterne ved at simulere udfaldsstier for aktiv- og renteprocesserne. Resultaterne er rimeligt entydige, når vi kigger på optioner med løbetider længere end 1 år, og i stedet for at diskutere selve resultaterne, vil vi give en forklaring på, hvorfor de ser ud som de gør, idet vi starter med at kigge på den replikerende portefølje. Årsagen til, at den teoretisk korrekte replikerende portefølje skal bestå af aktien og nulkuponobligationen fremfor aktien og bankbogen, er, at selvom nulkuponobligationen er et risikofyldt aktiv, vil positionen have et deterministisk cash- ow ved udløb. På trods af at bankbogen er et (lokalt) risikofrit aktiv, vil udviklingen frem til optionens udløb være stokastisk. Det betyder, at den uinformerede trader, der delta-hedger dynamisk baseret på den klassiske Black-Scholes model, også vil have risiko i den korte position i bankbogen på udløbstidspunktet. 3 Den anden grund til at den uinformerede trader ikke vil kunne replikere call-optionen, selv om han hedger dynamisk er, at han ikke tager højde for, at volatiliteten ikke er konstant. 3 Det kan vises, at man godt kan hedge call-optionen med aktien og bankbogen ved at justere deltaet, men det kræver, at renten er drevet af samme Wiener-process som aktien (se Geman et al. (1995), side 453). 22

Når han benytter den implicitte volatillitet, vil han ramme den gennemsnitlige volatillitet 4, men det betyder også, at hans position i aktien vil være forkert allerede fra starten. Hvis den sande volatillitet er mindre end gennemsnittet fra starten, vil den uinformerede trader, ligge for langt i sin position i aktien og dermed have for meget risiko i sin hedge portefølje. Hvis den sande volatillitet er højere end gennemsnittet fra starten, vil den uinformerede trader ikke gå langt nok i aktien, og dermed risikerer han senere at skulle købe aktien "for dyrt". Hvorvidt, volatilliteten er højere eller lavere end gennemsnittet fra start, afhænger af parametervalget. Resultaterne viser også, at det klassiske Black-Scholes delta hedge er en meget god approksimation, så længe optionen ikke har for lang løbetid. Dette giver også en intuitiv forklaring på, hvorfor Black-Scholes stadig er meget fremherskende. For det første har optioner på aktier typisk relativt korte løbetider. For det andet kræver en mere eksakt prisfastsættelse og hedge strategi, at den udvidede model i sig selv giver en bedre beskrivelse af den virkelige verden. Det er i sagens natur en umulig opgave, at lave en model, som giver en fuld beskrivelse af virkeligheden. Derfor skal man være opmærksom på, at enhver modeludvidelse sker på bekostning af noget andet. So stikering af modeller giver altid et trade-o mellem modellens forklaringsgrad, og en større operationel risiko i form af en større risiko for misspeci kation. En af styrkerne ved den klassiske Black-Scholes model er, at den giver en rationel prisfastsættelse, som kræver meget få input, og dette risikerer man at miste, når man udvider modellerne. En anden ting, man kan diskutere, er, hvordan man vælger at give sin uinformerede trader information. I vores set-up lader vi den uinformerede trader bestemme sit delta ud fra den implicitte volatillitet og den korte rente. Dermed antager man implicit, at den uinformerede trader tror at renten er konstant, og dermed også at rentestrukturen er helt ad. Man kunne også lade traderen bestemme sit delta ud fra den e ektive nulkuponobligationsrente. Men målet med denne opgave er, at undersøge hvordan den klassiske Black-Sholes model performer i en verden med stokastisk rente, og vi har derfor valgt at lade den uinformerede trader hedge, som om han tror at den klassiske Black-Scholes model holder. Endelig kan diskuteres vores antagelser, når traderne ikke kan rebalancere på alle tidspunkter i vores simulering. Den nemmeste måde at forstå denne situation er, at der er omkostninger forbundet med at rebalancere, men dette vil i udgangspunktet bryder med antagelserne i vores model. Vi slipper uden om denne problematik ved at undlade at indføre transaktionsomkostninger og i stedet antage, at traderne kun har et "kunstigt"begrænset antal rebalanceringer, men at "markedet"kan rebalancere kontinuert. For en grundigere gennemgang af et Black-Scholes setup med transaktionsomkostninger henvises læseren til Whalley & Wilmott (1993) som kommer frem til en tilsvarende konklusion. I vores simulering af de to tradere, som hedger "diskret"fremgår det umiddelbart, at traderen, som bruger Hedgeband (trader #4) fremfor at rebalancere på faste tidspunkter, 4 Problemet er, at den implicitte volatilitet han nder, er ikke volatiliteten på det underliggende aktiv, men derimod volatiliteten på forward kontrakten på aktivet. 23

klarer sig gennemsnitlig bedst. Det skyldes, at trader #4 hedger, når der er behov for det. Det betyder også, at denne trader for visse udfaldsstier vil rebalancere oftere end trader #3. Vi har valgt hedgebandet, således at de to tradere i gennemsnit vil rebalancere lige mange gange. 4.3 Anvendelsesområder Vi har tidligere nævnt, at optioner med lang løbetid kan bruges til nansielle forsikringer. En oplagt forsikringstype er en garanti mod fald i et underliggende aktiv. I de følgende vil vi fokusere på to eksempler, nemlig udbetalingsgaranti på pensionsopsparing samt husprisforsikring. I begge tilfælde har vi kun fokuseret på den del, der er relavant for vores opgave. En af de første artikler, der benyttede Black & Scholes optionsteori, til at prisfastsætte noget andet end et egentligt derivat var Brennan & Scwartz (1976). I artiklen prisfastsætter de en udbetalingsgaranti på en pensionsopsparing. De nder, at hvis en agent har en given portefølje, kan der laves en garanti ved at købe en put på porteføljen, hvor striken er lig det garantede beløb og prisen på garantien netop er lig optionsprisen. Garantistiller (banken eller forsikringsselskabet) kan da undgå den nansielle risiko i garantien ved netop at hedge perfekt i markedet. På grund af den ekstrem lange løbetid (i options sammenhæng) er det vigtigt at anvende den rette model, hvilke vores resultater med stor tydelighed viser. Umiddelbart vil det nok være relavant at udvide vores model yderligere, fx med tidligere nævnte poison-jump. Pensionsopsparings-garantier er siden blevet meget velbeskrevet og videreudviklet indenfor den forsikringsvidenskabelige litteratur. I Danmark har vi de seneste 5-10 år set større fokus på dels markedsrente opsparinger fremfor fastforrentede opsparinger og dels større fokus på afgrænsning af risikoen bl.a. gennem formueplejeprodukter - generelt er fokus på håndtering aktiv siden øget. Et andet væsentlig aktiv er boliger. Shiller & Weiss (1994) viser, hvordan man kan lave en forsikring mod fald i boligprisen. Forsikring af det enkelte hus vil dels involvere moral hazard, og dels er det besværligt at prisfastsætte forsikringen korrekt. Derfor forsikres der istedet mod fald i et passende husprisindeks. Det er altså ikke den idiosynkratiske risiko, der forsikres, men istedet generelle fald i boligpriserne. Forsikringen kan forsimplet anskues som en put-option i dette pris-indeks, hvor køber selv bestemmer forsikringssummen ved at købe et passede antal put-optioner og hvor valget af strike afgør selvrisikoen. Man må forvente, at der vil være efterspørgsel efter længere løbende optioner. Desuden må der forventes en negativ korrelation mellem huspriser og renten, hvorved modelspeci kationen som vist bør inkorporere en model for renten. Der ndes i dag ikke et velegnet indeks, og Shiller & Weiss (1994) nævner adskillige problematikker omkring konstruktionen af et sådant. Mest relavant for vores opgave er, at det kræves, at indekset i sig selv er et handlet aktiv for at forsikringsstiller kan hedge sin nansielle risiko i positionen. Generelt er tendensen at mange af de nansielle redskaber, som større institutionelle 24