>> Analyse af et rektangels dimensioner Kommensurabilitet Tag et stykke kvadreret papir og klip ud langs stregerne et rektangel så nogenlunde stort og tilfældigt. Nu vil vi finde forholdet mellem længde og bredde. Det er allerede klart, at dette forhold kan skrives som en uforkortelig brøk af typen a/b. Vi har jo ikke valgt et gyldent rektangel for irrationale tal kan ikke tegnes ind på kvadreret papir. Hvordan finder vi det modul, den længdeenhed, der går op i begge sider? Vi bruger hvirvlende kvadrater. A: Vi har en tegne-algoritme, hvor vi indtegner de størst mulige kvadrater. Vi starter fra den ene side, ligesom ved det gyldne rektangel og Martin Gardners figur med de hvirvlende kvadrater. Indtegn det størst mulige kvadrat. Der efterlades et nyt rektangel. Indtegn her det størst mulige kvadrat (nabo til foregående). Gentag foregående operation - indtil hele arealet er brugt. På kvadreret papir går konstruktionen hurtigt op. Skravér det allersidste kvadrat. Dette er så det eftersøgte modul, der går op i både længde og bredde. Tæller vi baglæns finder vi sidelængderne a og b, og disse små hele tal er vort facit. Brøken a/b er uforkortelig, de to sider i rektanglet var kommensurable og oprindeligt havde vi et a:b rektangel. B: En tilsvarende situation opstår hvis vi tilfældigt vælger to store positive tal og spørger: hvad er største fælles divisor? Her har vi den klassiske metode Euklids algoritme, der gammeldags sagt måler det store tal op i termer af det lille, - og fortsætter med dette indtil intet er til rest. - Også den største fælles divisor, d = sfd(m,n), kan opfattes som et modul, der deler de to givne størrelser op. Hvis vi skriver tallene op som en brøk kan der deles med modulet både i tæller og nævner, og vi får en uforkortelig brøk m / n = (d a) / ( d b ) = a / b Tager vi det største tal øverst, så er tælleren størst og brøken er større end én. Lige som tallet phi, men denne gang har vi altså et rationalt tal, skrevet som uforkortelig brøk. C: Præcis det samme kan vi opnå ved at udtrykke m/n som en kædebrøk. Det bliver denne gang en endelig kædebrøk, med først den hele del, så de følgende partial nævnere. De er små, hele tal, f.eks. m / n = [ int( m/n ), p, q, r, s, t ] Processen at finde partial-nævnerne er nem på lommeregneren, men ikke nem at beskrive i ord. Bagefter skal man så opstille et skema a la Wallis og beregne konvergenterne, de approksimerende brøker. Og den sidste af disse er så a/b eller den forkortede udgave af brøken m/n. Det ønskede facit. Side 12.
D: Naturligvis kan vi også forkorte brøken ved forsøgsvist at gætte en faktor i tæller og nævner. Opdeling i primfaktorer er en mere systematisk metode, der også fører til en uforkortelig brøk. Ser vi bort fra den sidste metode D så foregik der hver gang præcist det samme. Metoderne Hvirvlende kvadrater Euklids algoritme Kædebrøksudvikling er præcis den samme analyse i forskellig forklædning. Vi afslører hermed at to størrelser har et fælles modul: de er kommensurable. Vi bliver en del overraskede, hvis metoderne ikke fører til et endeligt resultat. Så er størrelserne inkommensurable, og vi får brug for irrationale tal eller andre tricks for at beskrive forholdene. Det var en sådan krise, der ramte pythagoræerne. De troede, at alt var tal - men opdagede så at de kendte tal ikke slog til i geometrien. Penrose fliser og brolægning Tegn et pentagram og klip to spidser af. De kan klistres sammen til Penrose-flisen kaldet dragen. Løber vi rundt i denne flise fra den største vinkel, der er 144 grader, så er sidelængderne én, phi, phi og én. De øvrige tre vinkler er 72 i dragen, og nu kommer pilen, den anden Penrose-flise. Klip pentagrammets spidser fra og tegn på den nye pentagon to korder, fra samme hjørne. Du kan bruge en afklippet spids til at tegne efter, for pentagonens sidelængde er én, mens kordernes længde er phi. Klip to stumpe trekanter ud af pentagonen og sæt dem sammen til pilen (en ikke konveks firkant ). Pilen og dragen kan sættes sammen til en gylden rhombe med de ydre sidelængder phi, og vinklerne 72 og 144. Find halerne! Inde i rhomben støder dragens d-hale ind i pilens p-hale. Nu forbyder vi dette og kopierer figurerne. Så kan de pusles sammen og dække planen, uden at d-hale møder p-hale. Fantastisk! Vi får en smuk ikke-periodisk brolægning. [figur på følgende side]. Side 13.
>> Januar 1977-nummeret af det amerikanske tidsskrift Scientific American havde en Penrose-brolægning på forsiden, en smuk ikke-periodisk dækning af planen. Linearkombinationer Tidligere så vi på tallene a og b i det kvadratiske legeme baseret på sqr5. Vi lærte at danne reciprok-værdien af en sådant tal vhja. dets norm og dets koordinater (a1, a2) eller (b1, b2). - I dette afsnit får symbolerne lille a og b endnu en gang en ny betydning, - nu er bogstaverne igen almindelige koefficienter, sml. førstegradsligningen f(x) = a x + b Dog i det følgende afsnit er lille a og b rationale koefficienter i vilkårlige tal af typen s = a phi + b t = c phi + d a, b, c, d fra Q Tallene er de såkaldte linearkombinationer af phi og vores sædvanlige enhed 1 (éen). Disse kombinerede størrelser viser sig at danne et lukket område overfor de sædvanlig fire regningarter. Vi kan lægge sammen og trække fra uden at forlade området, helt elementært ved at regne på de relevante koefficienter. Men vi kan også multiplicere to linearkombinationer og igen få en linearkombination. Eksempel: s t = ( 3 phi + 1) ( 2 phi 3) = vi ganger ind = 6 ( phi + 1) 9 phi + 2 phi 3 =... omskriver phi 2 = phi + 3 og trækker sammen Vi kalder kort tallene s og t for linearkombinationer, underforstået linearkombinationer af henholdsvis vor irratinale og vor rationale enhed. Disse tal danner phi-området og vi noterer Man kan addere to linearkombinatiner Man kan subtrahere to linearkombinationer Man kan multiplicere og Man kan dividere Resultatet giver igen en linearkombination, blot med nye rationale koefficienter. Husk at man ikke kan dividere med nul, dvs. ikke dividere med (a,b) = (0,0), linearkombinatinen nul, skrevet 0 = 0 phi + 0. Division. Brøken t/s vil vi udregne i to skridt, først danner vi s reciprok, derefter ganger vi med t. Som model-eksempel vil vi se på s reciprok, udtrykt ved phi-koefficienterne for s = (a,b). Vedrørende s reciprok Med tallet s = a phi + b og hjælpetallet k = sq(a) + a b + sq(b) fås 1/s = a / k phi + (a+b) / k Det er en højst mærkelig reciprokregel, men den følger af vore regneregler inde i det kvadratiske tallegeme baseret på kvadratrod 5; [ Resultatet udledes ved at regne i K(sqr5), se side 7 ]. Vi kan få brug for reciprokværdierne i opgaver med kvotientrækker. Og ved reducering af udtryk. Side 14.
Phi-potenserne - igen Tidligere har vi set på kvotientrækken startende med én, og med kvotienten phi. Leddene var i øvrigt linearkombinationer. Nu beregner vi leddene i den reciprokke række, kvotientrækken startende med én og med kvotienten phi reciprok. Vi bruger formlen for s reciprok hver gang og atter ser vi fibonaccitallene komme i brug. [tallet n, ordenstallet n-te, kan udtales således] Tabel. positive potenser negative potenser (phi) 0 0 phi + 1 0 phi + 1 (phi) 0 (phi) 1 1 phi + 0 1 phi 1 (phi) 1 (phi) 2 1 phi + 1 1 phi + 2 (phi) 2 (phi) 3 2 phi + 1 2 phi 3 (phi) 3 (phi) 4 3 phi + 2 3 phi + 5 (phi) 4 (phi) 5 5 phi + 3 5 phi 8 (phi) 5 (phi) 6 8 phi + 5 8 phi + 13 (phi) 6 (phi) 7 13 phi + 8 13 phi 21 (phi) 7 Alle tallene er positive og kan selvfølgeligt fremkaldes på lommeregneren. Tallene til højre er faktisk både positive og numerisk små. De bliver mindre og mindre, idet talfølgen (phi) n går mod nul oppefra, som vi siger: Følgens første led er 1, alle øvrige led ligger inde i intervallet [ 0; 1 ]. Summerer vi potenserne skal vi addere en uendelig mængde af små tal, som hver for sig er udtrykt ved fibonaccital det kan kun de største ånder gøre. Vi dødelige må udføre additionen på en snildere måde, med en kvotientrækkeformel. Kvotientrækkers sum Når en kvotientrække med positive led aftager, så er kvotienten q mindre end én. Og med kvotienten lille q [ nu et reelt tal inde i intervallet [0;1] ] - så findes der to simple formler for rækkens sum s1 = 1 / ( 1 q ) første led er 1 s2 = p / ( 1 q ) første led er p [et positivt, reelt tal] Vi skal bruge kvotientrækker i forbindelse med figuren på næste side: de hvirvlende kvadrater i det gyldne rektangel. Først udfører vi en beregning på phi-potenserne: Opgave: Et lille eksempel på en kvotient kunne være tallet phi reciprok, altså q = (phi 1). Find summen af 1 plus alle de reciprokke potenser i den foranstående tabel. Rækken kan skrives 1 + q + q 2 + q 3 + q 4 + og har summen = 1 / ( 1 phi 1 ) = 1 / ( 2 phi ) Vi sætter nævneren s = 1 phi + 2 hvor (a,b) = ( 1, 2) og finder s reciprok eller 1/s ved hjælp af hjælpestørrelsen k = sq(a) + a b + sq(b) = 1 2 + 4 = 1 [heldigt] og formlen 1/s = a / k phi + (a+b) / k = +1 phi + 1 = phi + 1 [pænt facit] Fortolkning: Dette tal angiver - sml. figuren næste side - den samlede bredde af alle de hvirvlende kvadrater. Klip dem ud og læg dem på samme grundlinie, side om side. Side 15.
Sum af uendelige kvotientrække Det første kvadrat har bredden 1 enhed, det næste er mindre, man skal dividere 1 med phi. Og det næste er endnu mindre, igen skal man dividere med phi. Så summen af grundlinierne er en kvotientrække med første led 1 og kvotienten phi reciprok. [Tegningen viser de hvirvlende kvadrater i det gyldne rektangel før opklipningen. Vi har endnu ikke tegnet kvadraterne lagt i forlængelse af hinanden] Samlet grundlinie for kvadraterne = phi + 1 = 2,1816 Samlet længde af cirkelslagene = pi/2 ( phi + 1 ) = 4,1123 Samlet længde af kvadraternes diagonaler = sqr2 ( phi + 1 ) = 3,7025 Spiralens længde: Hvert kvadrat på denne figur indeholder en kvartcirkel med længden pi/2 gange kvadratets grundlinie. Så summen af alle cirkelslagende er ligesom før summen af en kvotientrække. Første led er pi/2 og kvotienten er som før phi reciprok. Med sumformlen s2 får vi Sammenstykket spirallængde = pi ( phi + 1) / 2 Denne kurve er ikke en logaritmisk spiral; den er i øvrigt heller ikke det, der med et moderne udtryk hedder en desigerkurve, en Beziér-kurve. Den er blot en sammenstykket cirkelslagskurve med en vis længde. Og dermed har vi fundet en eksakt formel, hvor både pi og phi forekommer! Lad os sige, at at kurven starter i hjørnet (0,0) og drejer ind mod forsvindingspunktet fuldstændigt ligesom en logaritmisk spiral ville gøre det. Forsvindingspunktets koordinater? Flere kvotientrækker Lad os se på arealerne af de hvirvlende kvadrater. Tilsammen dækker de det gyldne rektangel med arealet A = højde bredde = 1 phi. Det første kvadrat er enhedskvadratet. Det næste har grundlinien (phi reciprok) og altså arealet phi-i-minus-to-te. Når den lineære dimension af den følgende del skal ganges med en vis faktor, så skal arealet ganges med denne faktor kvadreret. Derfor danner arealerne en kvotientrække med kvotienten q = (phi) 2, som vi omskriver straks til q = 2 phi. Rækkens første led er 1 så vi kan direkte bruge den simple formel Summen s1 = 1 + phi 2 + phi 4 + phi 6 + = 1/( 1 q ) = 1 / ( phi 1 ) Vi vil finde arealsummen efter denne formel, selv om vi allerede har en formodning om dens værdi! Nævneren omskrives ovenfor til s = 1 ( 2 phi ) = phi 1. Nu skal vi danne reciprokværdien af dette tal, der er linearkombination (a,b) = ( 1, 1). Hjælpetallet for dette tal er k = sq(a) + a b + sq(b) = 1 1 + 1 = 1 og den ønskede sum bliver s1 = 1/s = 1/ ( 1) phi + (1 1) / ( 1) = 1 phi + 0 = phi (slet og ret). Side 16.
Så summen af de hvirvlende kvadrater i det gyldne rektangel er beregnet til phi, det allerede kendte måltal for hele arealet. Det virker ræsonnabelt, og dermed kontrollerede vi også vor beregning af den reciprokke linearkombination. Kvadraternes diagonaler kan sammensættes til en knækkurve, hvis længde er en passende faktor, sqr2, gange kvadraternes grundlinie. Hvirvlende kvadrater: Kvadraternes arealsum er phi Forsvindingspunktet bliver (xo,yo) = ( (3 phi + 1)/5, ( phi + 3)/5 ) Vi slutter med at se på forsvindingspunktet. Hvad angår xo-koordinaten ser vi på bredden af første kvadrat, plus bredden af 5-te kvadrat, plus bredden af 9-te kvadrat, plus osv. Første led er tallet 1, kvotienten q er phi 4. Så vi skal beregne summen eller tallet 1/s = 1 / (1 phi 4 ). Gys. Gys. Først beregner vi linearkombinationen phi 4 = 3 phi + 5 Derefter beregnes nævneren s = 1 phi 4 = 3 phi 4 = (3, 4). Og dette tal s har hjælpetallet k = sq(a) + a b + sq(b) = 9 12 + 16 = 5 Dermed kan reciprokværdien findes, og summen xo bliver xo = 1/s = 3/( 5) phi + (3 4)/( 5) = 3/5 phi + 1/5 = ( 3 phi + 1) / 5 [facit] Vi fandt dermed første-koordinaten ved at gå ud fra enhedskvadratet. Vedrørende anden-koordinaten kikker vi i det gyldne rektangel på det fjerde kvadrat. Det har højden h = phi 3 = 2 phi 3 og højden fungerer nu som første led i en kvotientrække, der har kvotienten phi 4 ligesom ovenfor. Vi finder altså højden af 4-te kvadrat, plus højden af 8-te, plus 12-te, plus følgende, der markerer op til yo. yo = h + h q + h q 2 + h q 3 + h q 4 + = h / ( 1 q ) = h / s Tallet s reciprok er allerede beregnet ovenfor som xo, så vi finder anden-koordinaten yo = (3 phi + 1) ( 2 phi 3) / 5 = regne, regne = ( 3 phi ) / 5 Tilbageblik. Det har været nogle ret krævende kalkulationer, men for alle fem eksempler har vi kunnet fortolke rækkernes sum på en anskuelig måde. En grundlinie, et areal, en kurvelængde, en x-koordinat, en y-koordinat. For at reducere udtrykkene brugte vi regnereglerne for vort særlige phi-område. For alle linearkombinationer af phi og vore almindelige rationale tal har vi dels en formel for normen eller hjælpetallet lille k, dels en formel for reciprok. Plus eller minus går af sig selv. Multiplikation klarer vi ved almindelig regning med parenteser, hvert led i den ene gange hvert led i den anden. Endelig kan vi altid omskrive sq(phi), phi phi eller kvadratet på phi, til phi plus éen. Tilsvarende kan vi omskrive de højere phi-potenser. Dermed holder beregningerne sig fint inden for området af linearkombinationer. Side 17.
Den logaritmiske spiral O Vi har nævnt Coxeters geometribog. Han viser at den relevante logaritmiske spiral kan skrives r = (phi) ^ ( 2 x / pi) = exp( 2 ln( phi ) x / pi ) hvor x i denne ligning er et passende vinkelmål. Lille r er længden af radiusvektor målt ud fra forsvindingspunktet (xo,yo) eller kurvens pol. [vi har omskrevet Coxeters ligning lidt]. Vi indlægger som før det gyldne rektangel i første kvadrant i vort koordinatsystem: fra origo store O(0,0) og til ( phi, 1 ). Retlinede afstande i koordinatsystemet beregnes vhja. formlen Pythagoras. Vi finder afstanden fra origo og ind til polen - eller omvendt - til at være dist = sqr(10) / 5 sqr( phi + 2 ) Længden af spiralen [ begrænset mellem to valgte værdier for radius ] er beregnet i min gamle lærebog Andersen, Bohr og Petersen, 1960. Udtrykket er sqr( 1 + 1 / sq(b) ) ( r2 r1 ) = sqr( 1 + 1 / sq(b) ) dist Konstanten lille b i dette tilfælde er 2 ln( phi ) / pi, medens vi for differensen indsætter dist. Længden af den logaritmiske spiral fra yderste hjørne O og helt ind til forsvindingspunktet bliver da sqr(10) / 5 sqr( phi + 2 ) sqr( 1 + sq( pi / 2 / ln( phi ) ) ) = 4,1070 (afr.) En formel med tre kvadratrødder, med phi og pi samt den naturlige logaritme! Det er lidt af en tasteopgave at beregne dette tal på din lommeregner. Her er afrundet til fire decimaler og enheden er som altid det største kvadrat i det gyldne rektangel. Kontroller beregningen og værdien. Sammenlignet hermed er cirkelslagskurven længere [figur side 16]. Den logaritmiske spiral skærer siderne under en lille vinkel. Den foretager sig ikke så mange svinkeærinder som cirkelslagene, der kun lige berører, tangerer siderne i de hvirvlende rektangler. Og knæk-kurven sammensat af en diameter fra hvert kvadrat er endnu kortere, - den skyder så at sige genvej overalt. Længdetabel Cirkelslagene 4,1123 Den logaritmiske spiral 4,1070 Hvirvlende diametre 3,7025 Vi har uden videre talt om længden af vore kurver: spiralen, cirkelslagskurven og de sammenstykkede diametre. Uanset det fantastiske forhold, at kurverne aldrig kan tegnes færdig, - de spiralerer ind mod grænsepunktet i det uendelige. Antallet af omdrejninger bliver uendeligt. Har vi nu en krise? Side 18.