Matematik C Hvad kan folkeskoleeleven?

Matematik C Matematik C er en spændende udfordring, fordi der her er så mange elever, der har svært ved matematik. Det følgende er dog ikke en redegørelse for, hvorledes man generelt takler sådanne elever. Faktisk er det udelukkende en beskrivelse af et enkelt forløb. Forhistorien er, at jeg for snart 5 år siden fik et hold til matematik C for første gang. Og så var gode råd dyre, da jeg ingen erfaringer havde med disse matematiksvage elever. Men på baggrund af egne erfaringer og på baggrund af denne læringsteori konstruerede jeg et forløb, som det her skitserede. Målet var, at de skulle lære matematik, og så gjorde det ikke så meget, hvis det var lidt kedeligt og ensformigt. Men husk endelig, at man ikke direkte kan udlede et forløb som dette ud fra denne læringsteori. På det punkt adskiller denne teori sig fra de traditionelle læringsteorier, fordi den kun kan underbygge og kommentere forløbet. Men det gør jeg så til gengæld i rigt mål. Jeg finder nu også argumenterne langt mere interessante end selve forløbet, som i bund og grund er ret banalt og ensformigt. Fremstillingen her er altså ikke møntet på at gengive forløbet, men snarere at gengive de principper, der ligger bag. Så jeg vil ikke anbefale andre direkte at kopiere forløbet, men håber, at nogen kunne have glæde af nogle af de ideer, der præsenteres i det følgende. Hvad kan folkeskoleeleven? Først skal vi have afklaret, hvad det er for et elevmateriale, som vi i gymnasiet modtager fra folkeskolen. Ja, man kan selvfølgelig studere Bekendtgørelsen, men det er nu ikke særlig interessant. Niveauet fra elev til elev varierer utrolig meget. Man kan godt møde elever, som kan en del også mere specifikke matematiske fagbegreber, ligesom man kan møde elever fra folkeskolen, som ikke kan meget. De ved som regel, hvad 2+3 giver, men et udtryk som 2 2 3 udregner de fleste forkert. En del har også svært ved f.eks. at afsætte et punkt i et koordinatsystem. Så de svageste har ikke megen ballast med. Men hvad er det egentligt for viden, som jeg her efterlyser? Ja, kort fortalt er det handlingsbilleder, som repræsenterer forskellige helt specifikke handlinger, som f.eks at udregne et udtryk som 2 2 3 eller afsætte et punkt i et koordinatsystem. De har selvfølgelig alle hørt om koordinatsystemet, og de fleste ved også, at der kan afsættes punkter, men mange kan ikke huske, hvordan man afsætter et komkret punkt. Jeg tror såmænd heller ikke, at den slags har den højeste prioritet i folkeskolen, men i gymnasiet er det essentielt. Kan man ikke disse elementære ting som at afsætte et punkt og udregne 2 2 3, bliver man hurtigt hægtet af, fordi i gymnasiet bruger man den slags i andre sammenhænge. Skal man f.eks. tegne grafen for funktionen f x =x 2, får man den sikkert aldrig tegnet, fordi man ikke korrekt kan udfylde sildebenet og efterfølgende ikke kan afsætte punkterne i et koordinatsystem. Og hvordan lærer man så disse handlingsbilleder, som f.eks. at afsætte et punkt i et koordinatsystem og at udregne 2 2 3? Ja, det spørgsmål kan enhver gymnasielærer i matematik svare på. Det skal optrænes. Det samme svar vil man få, hvis man søger svaret i denne læringsteori. Passende handlingsbilleder opstår sjældent sådan lige i et hug, men skal gradvis opbygges. Der skal med andre ord øvelse og træning til. Desværre vægtes øvelse og træning ikke særligt højt i folkeskolen i dag. Det gjorde det til gengæld i gamle dage, da Børge gik i skole. Børge er min tidligere underbo, en ældre murer, som havde drukket tæt hele livet. En dag mødte jeg ham i kælderen, og vi faldt i snak. Da han hørte, at jeg underviste i matematik, fortalte han, at han var god til matematik, da han gik i skole. Det skulle prøves, så jeg stillede ham straks en opgave: Hvad er en kvart delt med en kvart.ja, man kunne næsten høre tandhjulene knirke, men efter lang betænkningstid kom svaret: Det er en. Mange folkeskoleelever ville end ikke forstå opgaven i dag. Nu er det ikke, fordi jeg har vil efterlyse gamle dage, men det er som om, man har lukket barnet ud med badevandet. Og det er selvfølgelig øvelse og træning, som med tiden er nedprioriteret. http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 1/10

Hvad tænker folkeskoleeleven om matematik? Det er meget påfaldende, at elever fra folkeskolen forventer en god forklaring. De vil forstå, og den forståelse og forklaring skal læreren leverer. Forstår de det ikke, er det lærerens skyld. Selv kan de hverken gøre til eller fra. Det er beholder-modeller, der her er på spil. Eleverne opfatter viden som væske, der kan fyldes på dem, som væske i en beholder. Var det bare så enkelt, så kunne vi undgå alt den snak om læringsteorier og handlingsbilleder. Som nævnt ovenfor skal der øvelse og træning til for at opøve de handlingsbilleder der ligge bag mange af de ting, man skal kunne i matematik. Hvis man ikke agerer derefter, får man heller ikke lært matematik. Overlades de derfor til dem selv og deres egen opfattelse af at lære matematik, får de derfor aldrig lært matematik. Så enkelt er det. Og så er vi også lidt oppe imod tidsånden, thi den tilsiger de unge at gøre, hvad de har lyst til og følge deres egen indstilling. Og der er mange undskyldninger for ikke at være aktiv i matematik, som f.eks. at jeg har aldrig kunnet finde ud af matematik, jeg har det lidt dårligt i dag, jeg kigger med ved sidemanden, jeg vil først forstå, inden jeg selv regner osv. Men den slags undskyldninger skader mere end de gavner. Den fastholder dem i deres egen selvopfattelse, og det kommer der ikke meget matematik ud af. Vi skal simpelthen godt og grundigt have brudt denne cirkelslutning. Hvad kan man gøre ved det? Jeg har et par gange haft held med følgende strategi: Først skal vi have åbnet op, dvs. gjort det klart for eleverne, at matematik i gymnasiet er noget ganske andet end i folkeskolen. Først og fremmest arbejdes der mere systematisk, hvilket stiller helt andre krav til undervisning og til deres indsats. Derefter startede jeg ud med en kraftig lærerstyret undervisning, men alligevel elevaktiverende. Konkret indskrænkede jeg mig til ultrakorte forklaringer efterfulgt af små opgaver, som de så regner. Opgaverne skal være så nemme, at stort set alle kan regne dem, hvilket giver tid til at gå rundt og få dem med, som af den ene eller den anden grund er faldet af. Derefter igen lidt forklaring efterfulgt af små opgaver osv. For eleverne er det vigtigere at være med end at forstå. Det er ekstremt vigtigt at være aktiv. Forståelsen opbygger vi så hen af vejen. Jeg forsøger så at planlægge de små forløb, så vi efterhånden kommer omkring et emne. På den måde får man langsomt, men sikkert, opbygget en større og større viden om et emne. Man kunne f.eks. starte således på et lille forløb om regneregler, hvor bogstavregning løbende trænes: 1. 2 3= 2. 3 5= 3. 7 3= 4. 12 5= 5. 3 5= 6. 7 10= 7. 5 3= 8. 3 5= 9. 2 12 5= 10. a a= 11. a a a= 12. a a a a= 13. 1 a a= 14. 2 3 a a= 15. a a= http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 2/10

16. a a b= 17. a a b b= 18. 3b b= 19. a a 2b b= 20. a 2a 2 b b= Dette er ret simple regnestykker, som de fleste kan regne. En del skal sikkert lige hjælpes i gang med opgaverne med bogstaver, men når de lige har set fidusen, går det sikkert helt af sig selv. Ja, man behøves faktisk ikke være specielt god til at regne for at kunne regne med bogstaver, som i disse simple opgaver. Eksempelvis kan min datter, som på nuværende tidspunkt er syv og ikke kan trække fra, dividere og gange, regne de fleste af disse opgaver. Men hun kan selvfølgelig ikke formulere, hvorfor hun må gøre, som hun gør. Hun kan med andre ord ikke formulere de regneregler, der ligger til grund. For hende fungere det som to forskellige områder: tal og bogstaver. Og det gør det sikkert også for de fleste af vore elever. Derfor er det en god ide at øve disse helt simple udtryk, så de kan vænne sig til udtryk, hvor der indgår bogstaver. Rent matematisk er der ingen forskel, men hvis man underviser efter den devise, går det helt sikkert galt. Særligt hvis man repeterer alle regneregler med tal og så pludselig en dag begynder at bruge bogstaver, fordi det blot er som at regne med tal. Så er det selvfølgelig dømt til at mislykkes, fordi ingen af eleverne før har set, hvordan man regner med bogstaver. Man skal før have set at a a=2a, før det er helt indlysende. Formuleret med denne læringsteori betyder det, at man ingen handlingsbilleder har opbygget, der omhandler regning med bogstaver. I længden dur det selvfølgelig ikke, at eleverne opfatter bogstavregning og tal som to forskellige områder. De skal lære matematikken bag. Man skal blot være opmærksom på, at det ikke er en sammenhæng, der opstår af sig selv i elevernes hoveder. Den skal hjælpes på vej. Og det er ikke nok at nævne det en gang. Det skal sikkert nævnes mange gange, og i hvert fald hver gang eleverne falder i og ikke rigtigt kan finde ud af det med bogstaverne. Så kan man altid hjælpe på vej ved at oversætte problemet til et almindeligt talproblem. Derved dannes handlingsbilleder, der både omhandler tal og bogstavregning. Og sådan fortsætter vi ellers. Fem små opgaver af gangen, og det er hurtigt at supplere med nogle flere, hvis de synes det er svært. Ellers går vi videre til næste emne. Det er vigtigt med stort flow, dvs. hellere en opgave for meget, end en for lidt. Der skal ikke tænkes ret meget. Der skal arbejdes med tingene, så den sidder lige i skabet. Der skal simpelthen opbygges handlingsbilleder. Ovenstående forløb er et eksempel på, hvorledes man kan opbygge handlingsbilleder. Der indgik både konkrete opgaver, eksempler og en generel formulering af nogle regneregler. Og det er vigtigt at komme rundt om et emne på forskellig måde. Man skal huske, at til grund for tanke, tale og handling ligger handlingsbilleder. Det er handlingsbilledet vi skal rundt om. Det er det, der skal opbygges. Derfor er det godt både at bruge tale, handling og tanke (kvalitative metoder) når der skal dannes og opbygges handlingsbilleder. Netop til det formål egner de traditionelle opgaver fra matematikbøgerne sig slet ikke. De peger i for mange retninger. Det er vigtigt, at opgaverne omhandler det samme emne for at underbygge dannelsen af passende handlingsbilleder. Derfor må man selv lave opgaverne, men det tager ikke så lang tid, når man først har fået træningen. Det er utrolig vigtigt at skabe succesoplevelser fra starten, ellers er eleverne tabt igen. Derfor valgte jeg også denne kraftige lærerstyring fra dag et. Det er alfa og omega med en god start, så ingen bliver hægtet af. Eleverne har haft nederlag nok, og et til i starten af et matematik C-forløb vil blot betyde at mange dropper faget. Det er også vigtigt, at man som lærer får opbygget lidt goodwill, så eleverne ikke senere opgiver matematik, selvom matematikken gradvist bliver sværere. http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 3/10

Opbyg en kultur Ovenstående forløb skal selvfølgelig suppleres med passende doserende tale om at lære matematik: man skal være aktiv, forståelse er noget, man opbygger og ikke noget, der opstår i et nu osv. Vi skal nemlig gerne have ændret elevernes indstilling, så de af sig selv er indstillet på at være aktive, når de har matematik. Men det er ikke nok at sige det en gang. Det skal gentages igen og igen, og det skal også helst afspejle sig i forløbet, således de mærker, at de lærer noget, hvis de bare selv gør en indsats. Så tager de også ordene til sig. Ellers bliver det en vittighed, og så har man virkelig cementeret deres hidtidige opfattelse. Det minder om den måde, som man trænede de amerikanske soldater under Vietnamkrigen. For at indgyde soldaterne et had imod nordwietnameserne og kommunismen, spillede man kommunistisk musik for soldaterne under den hårde træning på træningsbanerne inden de skulle i krig. Lidt bisset form for indoktrinering, men sikkert meget effektiv fordi soldaterne knytter ubehaget ved træningen sammen med kommunismen og Nordvietnam. Eller som en musikpædagog engang fortalte mig: Hun tog rundt til børnehaver og lavede musik med børnene. Problemet er at det tit går lidt stærkt i en børnehave, så når de kom til hende var børnene godt oppe at køre. Hun skulle med andre ord have skabt lidt ro og opmærksomhed. Men det klarede hun meget simpelt. I stedet for at skælde og smelde, havde hun altid en rød kuffert med sig, og når hun tog den frem og åbne den vidste børnene, hvad der skulle ske. Det var som et tegn til dem om, at nu skulle der spilles musik. På samme måde skal vore elever vænnes til, at når der står matematik på skemaet så skal man være aktiv. Kultur er også handlingsbilleder. Når der på skemaet står et fag, indstiller man sig på det, og hvad det normalt bringer. Og så er det selvfølgelig ikke ligegyldigt, hvad man som lærer vænner dem til. Noter Der er mange fordele ved at tage noter. For det første holder eleverne meget bedre fokus på det faglige, når de tager noter. Sørger man desuden for præcist at formulere sig på tavlen, får de samtidig nogle gode noter, når der skal læses lektier eller repeteres til eksamen. Det er to vigtige grunde, men absolut ikke uomgængelige. Men jeg vil fremføre endnu et argument, som næsten er uomgængeligt: Mange af de elever, jeg selv har, er så svage til matematik, at man simpelthen skal benytte enhver lejlighed til at få noget matematik igennem hånden på dem. Og her mener jeg bogstaveligt igennem hånden. De er så svage til matematik, at enhver tale om matematik går hen over hovedet på dem. Man kan simpelthen ikke nå dem ved at tale om matematik. Og tale matematik skal man for alt i verden undgå. Det har de prøvet i folkeskolen, og det gik ikke godt. Men når de tager noter, arbejder de med matematik på en anden måde, end ved at tale om matematikken. Faktisk lærer man en masse ved at tage noter, som f.eks. at skrive en brøk, skrive en ligning, opstilling osv. I det hele taget får man øvet alt det, som man ikke får øvet udelukkende ved at lytte, og den side af sagen skal man sandelig ikke undervurdere. I en ligning som f.eks. 2 x 3=5 er der meget der er underforstået. Eksempelvis at x blot er symbol for et tal, at der imellem 2 og x står gange fordi gange er underforstået, at x skal ganges med 2 inden man lægger 5 til osv. Alt det, som man ikke nævner, hver gang man taler om en sådan ligning. I folkeskolen arbejder man ikke systematisk Men der er andre karakteristiske ting ved folkeskolen. De arbejder ikke systematisk. Det vil folkeskolen sikkert selv mene, men de er nu ikke konsekvent systematiske, når der undervises. Jeg ved ikke hvorfor, men eleverne mangler i den grad gode forklaringer, når de kommer til os. Et eksempel er fysik. Når eleverne kommer til os, er de sjældent særligt interesseret i fysik, men så http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 4/10

får de nogle gode forklaringer, så de selv kan håndtere opgaver og øvelser. Vi opbygger med andre ord en sammenhæng ved at arbejde systematisk, og det virker. Det kan de lide. Og så begynder fysik pludselig at blive et interessant fag. Til stor overraskelse for eleven selv. Et andet eksempel er løsning af ligninger. Jeg forstår ikke helt hvorfor, det skal være så kompliceret, men eleverne er i hvert fald lettere forvirret, når de kommer i gymnasiet. Nu har jeg afviklet en del brobygningshold, dvs. elever som to eller tre dage er i praktik på et lokalt gymnasium. Hvis man får et hold, som er lidt interesseret i matematik kan man faktisk få et fantastisk forløb bare ved at løse ligninger med dem i et helt modul, hvilket i mine øjne er et klart tegn på, at der er noget galt et eller andet sted. Allerede fra 4. klasse lærer de at løse ligninger, så det er et vigtigt emne i folkeskolens matematikundervisning. Hvordan systematisk? Man kan være systematisk på flere måder. Man kan være fagligt systematisk. Det er vi gode til i gymnasiet. I matematik starter vi altid ud med en definition og så en sætning osv. Lige efter bogen, sådan gjorde Euklid også. Men der er vist efterhånden gået op for de fleste, at dette ikke altid dur. Det er svært at sige, hvorfor forholdene har ændret sig. Måske er det fordi, gymnasiefrekvensen er blevet større. Jeg tror nu også det hænger sammen med, at systematik kræver træning, og systematik træner man ikke i folkeskolen i samme grad som tidligere. Men man kan også være systematisk på en anden måde. Man kan være systematisk i sin måde at præsentere et emne på. For nogle år siden var jeg med i et forsøg, hvor der var en meget fin introduktion til proportionalitet. Først definerede man en proportional sammenhæng mellem to størrelser, hvis forholdet mellem dem er konstant. Dernæst at den matematiske sammenhæng mellem de to størrelser kan beskrives ved den matematiske sammenhæng y=a x og endelig at punkterne vil ligge på en ret linie, hvis de to størrelser afbildes i et koordinatsystem. God og grundig introduktion med mange eksempler, men det virkede bare ikke. Efterfølgende havde eleverne ikke den store forståelse for proportionalitet. Blev de bedt om at vise, at to størrelser var proportionale, var der absolut ikke enighed om fremgangsmåden. Problemet er selvfølgelig, at man i forløbet benytter flere formuleringer af proportionalitet, og det giver forvirring blandt eleverne. Faglige introduktioner undgår man næppe, men hvordan kan man så være systematisk, hvis man ikke skal give det en faglig vinkel og heller ikke en vinkel, hvor man forsøger at give en god pædagogisk introduktion med en rød tråd. Systematikken skal man i hvert fald ikke frafalde, men måske skulle man gå efter noget helt tredje. Og hvad er mere oplagt end at gå efter at opbygge handlingsbilleder. Men det er selvfølgelig nemmere sagt end gjort, fordi der ikke findes generelle metoder til at danne handlingsbilleder. Jeg har et par gange haft held med følgende fremgangsmåde, som jeg har benyttet til brobygning, dvs. til folkeskoleelever som er i praktik i gymnasiet. De har før set ligninger, når de kommer til brobygning. De kan også selv finde eksempler, men når vi kommer til at omskrive ligningen bliver svarene mere svævende. Her er jeg hård, fordi formuleringer a la flytte over og lignende formuleringer vil jeg ikke acceptere. Problemet med disse overflytningsregler er, at de siger hvad man skal gøre uden egentlig at befordre en forståelse. På den måde får de karakter af at være ad hoc regler, hvilket man så vidt muligt skal undgå. Nej, jeg banker i bordet og siger, at det eneste man må, er at lægge samme tal til, trække samme tal fra, gange eller dele med samme tal på begge sider af lighedstegnet. Som illustration henviser jeg ofte til en gammeldags vægt med en vægtstang. For at opretholde ligevægten må man fjerne eller lægge lige meget vægt i hver skål. Ellers vil ligevægten ændres. Det er en god gammel metafor, som stadig har sin berettigelse, fordi den så godt illustrerer de fire omskrivningsregler, selvom det ikke lige er den type vægte, eleverne har derhjemme i køkkenet. Men det er en god metafor, fordi den giver en sammenhæng imellem de fire omskrivningsregler, og den giver en forklaring af, hvorfor reglerne er formuleret som de er. Modsat de ovennævnte overflytningsregler, som i http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 5/10

elevernes hoveder får karakter af frit svævende regler, som man lærer udenad uden at forstå reglerne. I fællesskab tager vi så et par eksempler sammen. Eksemplet skal ikke være alt for let, men heller ikke alt for uoverskueligt. Det kan være dette: 2x 3=5 3 2x 3=5 3 læg 3 til på begge sider 2x=2 udregning 2x 2 =2 2 del med 2 på begge sider x=1 udregning Jeg fastholder også, at ligningen skrives hver gang, der laves en ændring. Det er selvfølgelig fristende at lægge 3 til og udregning i samme arbejdsgang og dermed spare en linie, men så mister de matematiksvage elever hurtigt fodfæstet. Det er vigtigt, at man nemt kan gennemskue hvilken regneregel, der er brugt. Og så får de ellers 5 opgaver at kæmpe med. De første minder meget om eksemplet, så alle får en succesoplevelse, men efterhånden gør jeg opgaverne umærkeligt sværere. Men 5 opgaver af gangen, som vi så tager på tavlen efterhånden. En elev kan godt skrive en opgave op på tavlen imens de andre regner videre. Det er vigtigt med stort flow. Det er lidt spild af tid, hvis de først skal regne opgaverne, og bagefter se på, at en anden løser dem på tavlen. Det er selvfølgelig en kunst at finde de rette opgaver. Det er en balance. De er for lette hvis alle umiddelbart kan regne alle opgaver. Men der må gerne være nogen af opgaverne, som de mener er lette. Omvendt må de ikke blive så svære, at man skal til at forklare. Alle problemer skal helst kunne klares med en lille bemærkning i form af et hint. Hvis noget skal forklares, er det vigtigt at forklare ved hjælp af de præsenterede omskrivningsregler. Undgå for alt i verden andre formuleringer og ad hoc forklaringer. Dette er et eksempel på et forløb, hvor man systematisk går efter at opbygge handlingsbilleder hos eleverne. De bliver først præsenteret for en introduktion, som siden følges op af en aktivitet, som hele tiden kredser om det, de blev introduceret til. Det er vigtigt at kredse om det samme. Det sikrer, at man udbygger samme handlingsbillede. I en introduktion kan man også kredse på forskellige måder. Ved at give et eksempel, formulere det på skift, formulere det med ord, med en metafor med en tegning ect. Det er en helhed, man skal opbygge, og derfor er det vigtigt at vinkle på forskellig måde. Det sikrer en bred dannelse af et handlingsbillede. Og hele tiden skal man huske på, at det er lidt tilfældigt hvad der opstår i elevernes hoveder, så det skal tjekkes løbende f.eks. ved små opgaver. http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 6/10

Kvalitative metoder I forrige afsnit pointerede jeg, at det er vigtigt at planlægge systematisk med at opbygge handlingsbilleder, men hvordan introducerer man egentligt nye emner og begreber? En traditionel systematisk tilgang kan der åbenbart ikke blive tale om, thi den taler til vor fornuft, og det er ikke helt optimalt til elever, der ikke er vant til en traditionel systematik. Men hvad skal man så gribe til? Der findes ikke generelle metoder til at danne handlingsbilleder, så gode råd er dyre. Her de senere år er jeg begyndt at benytte, hvad man kunne benævne kvalitative metoder. Det er metoder, der ikke umiddelbart taler til vor logik og systematik. Men først vil jeg præsentere et eksempel, der demonstrerer, hvor effektiv en sådan kvalitativ metode kan være. Steve Denning var ansat til at analysere Verdensbankens informationssystemer og fandt ud af, at der rundt i den store organisation findes mange nyttige informationer og erfaringer om udviklingsprojekter. Dennings tanke var, at Verdensbanken skal udvikles fra udelukkende at være en financiel institution til også at overføre viden. Han forsøger så ved diagrammer, tegninger og rationelle argumenter at overbevise Verdensbanken om at man skal vidensdele, men taler stort set for døve ører. Endelig får Denning syv minutter på en konference, hvor der bl.a. deltager et par af bankens underdirektører. I stedet for argumenter og diagrammer vælger Denning at fortælle følgende historie: I juni 1995 loggede en sundhedsarbejder ansat af Verdensbanken i Zambia, sig ind på de amerikanske sundhedsmyndigheders website og fandt svar på spørgsmålet om at behandle malaria. Men bemærkelsesværdigt nok var Verdensbanken ikke involveret. Den var organiseret på en måde, så en sundhedsarbejder i Zambia ikke kunne få adgang til denne information via Verdensbanken, men selv måtte søge den et andet sted. Da de syv minutter var gået styrtede de to underdirektører op og stillede spørgsmål til Denning: Hvorfor har vi ikke en strategi for vidensdeling? Hvad holder os tilbage? Som om de selv havde fået ideen! I oktober 1996 bliver hans forslag om vidensdeling til en integreret del af Verdensbankens strategi, og Verdensbanken blev ændret fra udelukkende at være en låneorganisation til også at være en organisation med fokus på vidensdeling. Det er da elevaktivering, der vil noget :) Man kan for øvrigt læse meget mere om Steve Denning og storytelling på nettet. Men hvorfor er en sådan historiefortælling egentlig så god? Svaret er simpelt. Den aktiverer simpelthen flere handlingsbilleder, end tabeller og grafer gør. Af netop samme grund er historiefortælling også særdeles effektiv over for elever, som ikke er trænede matematikere, fordi en god historie aktiverer flere handlingsbilleder og dermed langt bedre understøtter dannelsen af nye handlingsbilleder, end en mere stringent matematisk fremstilling. Fysik har en god tradition for gode historier. Her er en, som jeg bruger til at introducere symboler: Første gang, vi får en formel på tavlen, skriver jeg den fuldt ud, som f.eks. tyngdekraft=masse tyngdeacceleration. De kan godt se, at det hurtigt bliver besværligt, at skrive disse ord igen og igen. Symboler er simpelthen indført af ren og skær dovenskab. Der er intet fysik eller matematik i det, men man går simpelthen træt af at skrive de samme fysiske betegnelser igen og igen i ligninger. Derfor forkorter man til symboler, som typisk er første bogstav i den fysiske betegnelse. Eksempelvis: Fysisk størrelse Symbol Kraft eller Force på engelsk Masse Volumen Og et andet simpelt eksempel på historiefortælling: Regnereglernes hiraki. Et eksempel som 2 2 3 udregnes ved at gange før plus. Men egentligt kunne man lige så godt omvendt, dvs. plus før gange. Men en af delene skal man gøre. Vi kan ikke gøre noget forskelligt, så man har engang besluttet, at man ganger, inden man lægger sammen. Der er intet matematik i det, blot en http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 7/10 F m V

hensigtsmæssig beslutning om, hvad der først skal udregnes. Vi skal jo alle helst alle få samme resultat. Jeg ved ikke, hvor virkningsfuld denne historie er. Men den sikrer i hvert fald, at de får en forklaring på, hvorfor gange er højere i hirakiet, end plus. Og så vidt muligt skal man forsøge at give forklaringer. Selv den mest indlysende matematik kan man godt give en lille historie med på vejen. Man må aldrig gøre matematik til indlysende sandhed. Sammenhæng og forklaring er det, der gør matematik sjovt for os, og det er også det, der gør det sjovt for eleverne: Vi er alle små matematikere, men vi er ikke alle lige hurtige til at se matematiske sammenhænge. En anden kvalitativ metode er at bruge metaforer, som er et fantastisk redskab til at introducere nye emner og begreber, hvis man altså lige har en passende metafor til rådighed. Jeg synes, en af de bedste metaforer i matematik er vægten til at illustrere de fire omskrivningsregler ved ligningsløsning. Formidabel metafor, som på en meget enkel måde både forklarer og også hjælper med at huske de fire omskrivningsregler. Metaforen hjælper simpelthen med at danne passende handlingsbilleder. Her vil jeg lige give et eksempel på en sidste kvalitativ metode, nemlig nærmeste udviklingszone. Det betyder blot, at man planlægger et forløb, hvor næste trin ligger tæt op af forrige trin, så man kan overføre noget fra ene trin til det næste. Det kan man udnytte til at introducere beviser, som ofte volder eleverne problemer på et matematik C hold. De har ikke før mødt eksempler på beviser, og de forstår ikke ideen i at lave et bevis. Men følgende fremgangsmåde har jeg ofte held med, som f.eks. til at vise formlen a= y y 2 1 som man bruger til at finde hældningskoefficienten for den x 2 x 1 rette linie, der går gennem punkterne x 1, y 1 og x 2, y 2 Man starter med at regne en opgave med 2 givne punkter, hvor man skal finde ligningen for den rette linie gennem de to punkter. Og det gør man igen og igen indtil de godt kan se, at det er det samme vi gør igen og igen. Og så viser vi det for et vilkårligt koordinatsæt x 1, y 1 og x 2, y 2 Hvis de har svært ved at regne med bogstaver kan man evt. regne det igennem med 2 givne punkter, hvor man undlader at lave udregninger, så man kan genkende x 1, y 1, x 2 og y 2 i sit udtryk for hældningskoefficienten, og på den måde generalisere til den generelle formel a= y y 2 1 Dermed bliver et bevis et praktisk x 2 x 1 hjælpemiddel i tilfælde, hvor man ofte får brug for at gøre det samme igen og igen. Det er godt nok ikke sådan man normalt omtaler et matematisk bevis, men her handler det altså bare om at få matematikken til at give mening for disse elever. Gentagelsen er en særdeles vigtig kvalitativ metode. Gentagelsen er selvfølgelig effektiv fordi den underbygger dannelsen af handlingsbilleder, og genkendelsens glæde er som bekendt altid stor. Det udnytter jeg til at opstille ligninger, som ofte falder eleverne svært, men det hjælper meget med en standard fremgangsmåde: opskriv formel indsæt tal løs ligning. På den måde får man delt et uoverskueligt problem ned til delproblemer, og så glider det ligesom lidt lettere ned. Desuden bruger jeg denne fremgangsmåde igen og igen. På den måde kan man fremstille mat C som et stort kursus i ligningsløsning i forskellige afskygninger. Nogen bliver faktisk så gode til ligningsløsning, at de synes det er lidt træls først at indsætte tal for derefter at løse ligningen. De vil hellere først flytte rundt og derefter indsætte, når de har isoleret den ukendte. Se så begynder det at ligne noget, men det kræver lang tids træning, før de kan se fornuften i den fremgangsmåde. http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 8/10

Kan ikke lige se hvordan Et meget stort problem er, at mange elever har svært ved at generalisere og huske, hvad man skal gøre. Jeg kan huske en gang, hvor vi løste ligninger. De havde fået en kort introduktion til ligningsløsning og et par eksempler, og nu fik de så et par opgaver. Og det var simple opgaver, som f.eks. 2 x 5=19 Så spurgte en elev, hvad man skulle gøre ved den. Efter lidt tøven svarede jeg Prøv at lægge 5 til på begge sider. Så spurgte eleven: Hvorfor det? Da ophørte min forklaringskraft, og jeg svarede: Prøv det og se, hvad du får ud af det. Eksemplet viser, hvad man er oppe imod. Men det viser også strategien. På mange måder minder matematik faktisk om et håndværk, hvor man har en række redskaber til rådighed til at klare nogle af de praktiske opgaver. Her er problemet at få x til at stå alene, men så er der disse -5. Hvordan får man dem fjernet? Ja, det gør man så ved at lægge 5 til på begge sider. Når man har set det nogen gange bliver det nemme og nemme at løse et lignende problem en anden gang. Det er selvfølgelig derfor disse elever ofte har uheldige erfaringer med matematik. Hvis man ikke lige kan se, hvilket redskab man skal bringe i spil, når man ikke langt. Og den slags udfordringer, hvor små og ubetydelige de end er for os andre, er nærmest uoverskuelige hindringer for disse elever. Men har man så at gøre med et umuligt projekt? Tja det kommer lidt an på, men hvis man aldrig kommer videre end den ovenfor omtalte elev, og man efter flere gange at have set lignende eksempler og stadig ikke kan finde ud af at lægge 5 til på begge sider, ja, så er der vist ikke meget at gøre. Men den slags elever er der nu ikke mange af. De fleste opøver efterhånden en vis rutine, men mange har til stadighed svært ved at genkende selv de mest simple regneregler. Men der er et lille lyspunkt. Det kan godt være de ikke selv kan komme på det, men de har det alligevel et eller andet sted og skal lige have en lille påmindelse, så hjælper det. En aha-oplevelse. Men man skal kunne henvise til noget, de har hørt før, ellers giver det ikke denne aha-oplevelse. Ad hoc forklaringer, dvs. forklaringer man lige ryster ud af ærmet lige til situationen, dur simpelthen ikke, og dem skal man for alt i verden undgå. Genkendelsens glæde er stor, måske fordi man derved opbygger handlingsbilleder. Dette leder straks hen til en mulig strategi. De skal simpelthen lære nogle redskaber, som man igen og igen kan henvise til. Med redskaber tænker jeg mere specifikt på handlingsbilleder, men metaforen redskaber dækker sådan set udmærket, hvad jeg tænker på. Et eksempel, som alle matematiklærere vil nikke genkendende til, er brøkregning: Læg brøker sammen, træk brøker fra hinanden, gang brøker ect. Det er jo regneregler, man finder frem igen og igen, og de bruges hver gang på samme måde, nøjagtigt som når håndværkeren finder et redskab frem og næsten altid bruger det på samme måde. For at lære at bruge disse redskaber skal det øves. Et godt eksempel er løsning af ligninger, og det er absolut ikke nok med en 5-10 ligninger. Det rækker som en skrædder i helvede på et sådant hold, og de glemmer desuden også lige så hurtigt, som man skifter emne. Men et emne som trigonometri til at repetere ligningsløsning er oplagt. 1 Overordnet plan Disse overvejelser leder frem til en overordnet plan for afviklingen af hele forløbet, så man i videst muligt omfang sørger for at bygge op og har mulighed for at henvise til tidligere forløb. Det virker selvfølgelig meget struktureret og lidt gammeldags, men man skal tænke på, at det ikke er en traditionel faglig struktur. Det er planlagt efter, at man skal opbygge handlingsbilleder. Så kan man håbe på, at det ikke vil virke så tungt for eleverne, som en traditionel faglig plan ville gøre. 1 I dette afsnit har jeg benyttet redskab som metafor for handlingsbillede. Det har jeg fra Wittgenstein, som sammenligner brugen af sprogspil med brugen af redskaber. http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 9/10

Derved bliver det muligt, at fastholde lidt af de gamle dyder i matematik. Eller sagt med andre ord: Man forsøger at fastholde et minimum af matematisk tænkning og forståelse. Faktisk tager man eleverne alvorligt som matematikere. Det er utroligt vigtigt af flere grunde. For det første er det netop at kunne se sammenhænge, der gør matematik sjovt, f.eks. pludselig at kunne løse en lille tvist Det er det, der gør det sjovt for os, der underviser i matematik, og det er også det der gør det sjovt for vore elever, også selvom mange af disse elever umiddelbart ikke kan så meget. For det andet virker det utroligt nedværdigende for eleverne, hvis man i sin daglige undervisning udstråler, at man ikke mener, de kan matematik. Det kan man nemt komme til at gøre uden, at man er sig det bevidst. Et typisk eksempel er en svær formel, som man blot servere med ordene: det er for svært for jer. Det fremmer i hvert fald ikke lysten til at lære matematik. Men ved at forsøge at forklare alt, undgår man dette. Ikke præsentere en formel uden en forklaring, ikke en regneregel uden en forklaring osv. En sådan overordnet plan kunne se således ud: Regneregler for tal og bogstaver. Fortegnsregler Regnereglernes hiraki. Parentesregneregler. Løsning af ligninger. Brøker omskrives straks til tal, så vi først senere regner med brøker. Til at træne løsning er trigonometri et godt emne. Man får altid en relativ simpel ligning, som skal løses. Oplagt er i første omgang pythagoras, ensvinklede trekanter og sinus og cosinus i retvinklede trekanter. Senere på året kan man så medtage sinus- og cosinusrelationerne. Derfor får man lige lejlighed til at repetere trigonometri igen. Det skader aldrig. Brøkregneregler. Lineære funktioner. Osv. God fornøjelse Ole Andersen August 2012 http://www.skolekom.dk/~ole.andersen/ Side 10/10