7 Funktioner Hayati Balo, AAMS Følgende fremstilling er baseret hovedsageligt på følgende bøger 1. Nils Victor-Jensen, Matematik for adgangskursus B-niveau 1 og 2 2. Hans Sloth, Trip s matematiske bog 1 og 2 3. Crone og Rosenquist, Matematiske elementer 1, Gyldendal 1986 4. Carstensen, Frandsen og Studsgaard,Mat B1 og MatB2, Systime2010 7.1 Funktionsbegrebet Funktioner angiver sammenhænge mellem to forskellige størrelser: 1. Den luftsmodstand en bil skal overvinde, er en funktion af bilens hastighed. 2. En persons indkomstskat er en funktion af indkomsten. 3. Et køretøjs tilbagelagte afstand er en funktion af den tid, det har kørt. Matematisk, et udtryk 2y 4x + 8 = 0 er som bekendt ligningen for en linie. Det er også et utryk mellem to variabler x og y. Hvis vi isolerer y, får vi 1
y = 2x 4 altså en lineær sammenhæng mellem x og y. Variablen x, kaldes den uafhængige variabel, og så beregner man y, der kaldes den afhængige variabel. Variablen y kan også skrives som f (x),læses som - f af x-, altså y-værdien eller funktionesværdien. f (x) = 2x 4 Man siger da at f (x) er en funktion af x. For ovenstående funktion, er funktionsværdien i x = 3 lig med 2, det skrives f (3) = 2.3 4 = 2 Vi laver en tabel med samhørende værdier af x og f(x): x -4-3 -2-1 0 1 2 3 f(x) = y -12-10 -8-6 -4-2 0 2 Hvis vi afsætter de samhørende værdier af x og y = f (x) i et koordinatsystem, får vi grafen som kaldes funktionens graf. Vi bruger GeoGebra s regneark til at indsætte tabellens værdier og få grafen for funktionen f (x) = 2x 4. 2
Læg mærke til at r =1(man kan også bruge r 2 i stedet) altså sammenhængen mellem x og y som er overbevisende. GeoGebra bruges til at tegne grafen uden først at beregne samhørende værdier. Fremover vil du møde mange andre ligninger, som giver en nøje sammenhæng mellem de to variable y og x. F.eks. x 2 xy + y = 0 Omskrives ligningen fas; x 2 y(x 1) = 0 x 2 = y(x 1) y = x2 x 1 Eller som regneforskriften for fuktionen f; f (x) = 3 x2 x 1
talpar; f (x) kaldes funktionsværdien af x. Vi laver igen en tabel med samhørende x -4-3 -2-1 0 1 2 3 f(x) -3,2-2,25-1,33-0,5 0-4 4,5 Det er ikke altid, at enhver x-værdi må indsættes i funktionens regneforskrift. F.eks. må man ikke indsætte x = 1 i regneforskriften for så bliver nævneren nemlig nul og man MÅ IKKE dividere med nul. De x-værdier der må bruges i en funktion, kaldes definitionsmængden for funktionen og den betegnes med Dm f. (Ligesom grundmængden er for ligninger!) Dm f = R \ {1} Eller Dm f = {x R x 1} Definitionsmængden er altså mængden af alle de tal, som det er tilladt at indsætte i funktionens regneforskrift - det svarer til grundmængden for en ligning. Hver gang man indsætter et tal fra definitionsmængden i funktionens regneforskrift, får man en funktionsværdi - tabellen ovenover - Mængden af samtlige mulige funktionsværdier kaldes funktionens værdimængde og betegnes V m f. tallet 4 f.eks. i tabellen er med i værdimængden. Man kan også spørge f.eks. om tallet 2 ( f (x) = 2) er med i værdimængden. Vi kan med det samme ud fra tabellen konstatere at tallet 2 ikke er med i værdimængden (Hvorfor?). 4
Hvis vi ikke har tabellen med tal-par kan vi undersøge det ved at skrive funktionen på følgende måde og løse ligningen mht. x. x 2 x 1 = 2 2(x 1) = x 2 x 2 2x + 2 = 0 Da diskriminanten af denne andengradlsligning er mindre end nul, er der ikke reelle rødder. Det betyder at tallet 2 ikke er med i værdimængden. Vi kan se funktionens graf i det følgende og læg mærke til hvorfor tallet x=1 ikke er med i definitionsmængden. Grafen består af alle punkter med koordinatsæt af formen (x, f (x)),hvor x tilhører definitionsmængden for f. Grafen er altså punktmængden: 5
{(x,y) x Dm f y = f (x)} Eksempel: Lad os se på en linjes ligning som en lineær funktion: y = f (x) = 3x 2 Her kan man sagtens beregne forskellige y-værdier for givne x-værdier: x -4-3 -2-1 0 1 2 3 4 y=f(x) -14-11 -8-5 -2 1 4 7 10 Som ses svarer kun én y-værdi for hver x-værdi så har vi altså en funktion, dvs en nøjere fastlagt sammenhæng mellem den afhængige variabel x, og den uafhængige variabel y. Skitsering kan foregå vha. GeoGebra. 6
Konklusionen er at linjes ligning er en linæer funktion. Eksempel: Ligningen for enhedscirklen er: x 2 + y 2 = 1 Vi prøver at beregne nogle værdier, men for at gøre det skal vi lige isolere y. y = ± 1 x 2 Man kan se at der er to løsninger. Hver for sig er der tale om en funktion da der kun er en y-værdi for hver x-værdi. 7
x -1-0.75-0.5-0.25 0 0.25 0.5 0.75 1 f (x) = 1 x 2 0 0.66 0.87 0.97 1 0.97 0.87 0.66 0 g(x) = 1 x 2 0-0.66-087 -097-1 -097-087 -0.66 0 Samlet dvs. x 2 + y 2 = 1 er der ikke tale om en funktion da der findes netop to forskellige y-værdier for hver x-værdi som det også fremgår af ovenstående tabel. En funktion kan f.eks. fastlægges ud fra en regneforskrift eller ud fra en graf eller ud fra en tabel. Konklusionen er at ligningen til en cirkel ikke er en funktion! 8
Eksempel: Lad funktionen f være givet ved følgende regneforskrift f (x) = x 2 2 < x 4 Skitseres funktionen GeoGebra s kommando Function[ ] med angivelse af definitionsmængden i kommandoen. Dermed får vi følgende graf med definitionsmængde indtegnet. Denne funktion har definitionsmængden Dm f =] 2; 4] og værdimængden V m f = [0;16] Hvis en graf starter eller ender med en lille udfyld cirkel, betyder det at punktet hører med til definitionsmængden. Hvis grafen starter eller ender med i en lille åben cirkel, hører punktet ikke med til definitionsmængden. 9
7.1.2 Eksempel Betragt funktionen med forskrift f (x) = x 2 Hvis der ikke står andet, er det altid underforstået af definitionsmængden er den største talmængde hvor udtrykket har mening. Denne funktion har definitionsmængden Dm f = R da alle reelle tal må indsættes i funktionen og den har værdimængden V m f = [0; [. Skitsering vha. GeoGebra kan hjælpe os med at se definitons- og værdimængden. 10
Eksempel: En funktion er givet ved regneforskriften f (x) = 5 x 4 Brøken er meningløs hvis nævneren er nul og det er den hvis x = 4. Der gælder derfor Dm f = {x R x 4}. 4. Dette skrives også Dm f = R \ {4}.Det læses mængden af reelle tal undtagen Symbolet \ kaldes differensmængde se. evt side 21 i bog 1. Når det bruges i mængdelæren og det læses fraregnet. 11
7.1.1 Definition Ved en funktion af én variabel, forstås en nøje fastlagt sammenhæng mellem to størrelser. For at vi vil tale om en funktion må der for et givet x kun være én y-værdi. Eller sagt på en anden måde: En størrelse y kaldes en funktion af en størrelse x, hvis der til hver værdi af x svarer præcis én værdi af y, som kaldes funktionsværdien af x. Man skriver y = f (x). 12
Den mængde af tal, inden for hvilken den uafhængige variabel x kan variere, kaldes funktionens definitionsmængde og den betegnes Dm( f ). Den mængde af tal, der udgøres af samtlige funktionsværdier, kaldes funktionens værdimængde og betegnes V m( f ). Resume: Funktioner kan udtrykkes som et regneforskrift, et grafisk billede eller en verbal forklaring. 1. Bestemmelse af definitionsmængden Dm f : Definitionsmængden består af samtlige x-koordinater til punkter på grafen. Den aflæses derfor på x-aksen 2. Bestemmelse af værdimængden V m f : Værdimængden består af samtlige y-koordinater til punkter på grafen. Den aflæses derfor på y-aksen. 3. Bestemmelse af en funktionsværdi f (x) for en kendt x-værdi Man finder x på førsteaksen eller x-aksen. Derfra går man lodret op -eller ned - til grafen og dernæst vandret ind på andenaksen - y-aksen -, hvor f (x) aflæses. Hvis forskriften for funktionen er kendt, kan man beregne funktionsværdien ved at indsætte x-værdien i funktionen. Når man skal undersøge en funktion, er det nyttigt at kende en regneforskrift. Hvis ikke man har en regneforskrift, så vil man opstille en regneforskrift ud fra de givne oplysninger Man bruger flere forskellige skrivemåder for funktioner: 13
a) f (x) = x 3, x 3 b) f (x) = x 3, x {x x 3} c) f (x) = x 3, x [3; [ d) f (x) = x 3 Definitionsmængden er altså den størst mulige delmængde af de reelle tal, for hvilken funktionen har mening. 7.1.6 Øvelse Bestem defintionsmængden og værdimængden for funktionen f (x) = 2x + 3 Løsning: Umiddelbart kan vi se ud fra grafen at både definitions- og værdimængden er det hele reelle tal. 14
Man kan således indsætte alle reelle tal i funktionens forskrift og få en reel værdi. Dvs. Dm f = R Værdimængden er også det hele reelle tal. Dvs. V m f = R. 7.1.7 Øvelse Bestem definitionsmængden og værdimængden for funktionen f (x) = x 2 6x + 11 Løsning: Vi kan bestemme Dm f og V m f vha. figuren. Definitionsmængden aflæses på x-aksen Dm f = R Værdimængden aflæses på y-aksen. Dvs. V m f = [2; [ 15
7.1.8 Øvelse Bestem definitionsmængden for følgende funktioner a) f (x) = x + 6 b) f (x) = x 6 c) f (x) = (x + 6)(x 6) d) f (x) = x + 6 x 6 x + 6 x 6 e) f (x) = f) f (x) = x 6 x + 6 Løsninger: Vi starter med at skitsere funktionerne. a) f (x) = x + 6 Som ses defineres funktionen i intervallet [ 6; ]. Derfor vil definitionsmængden være Dm f = [ 6; [ 16
Værdimængden kan vi også aflæse direkte af figuren. V m f = [0; [ Man kan også beregne definitionsmængden ved at sige at indmaden af kvadratroden IKKE må være negativ! (x + 6) 0 x 6 [ 6; [ b) f (x) = x 6 Indmaden af kvadratroden må ikke være negativ betyder (x 6) 0 x 6 Dm f = [6; [ 17
Værdimængden bliver vm f = [0; [ c) f (x) = (x + 6)(x 6) Igen starter vi med at kræve at indmaden ikke må være negativ. (x + 6)(x 6) 0 Vi bruger nu regel 6 på side 91 i bog 1: (x + 6 0 x 6 0) (x + 6 0 x 6 0) (x 6 x 6) (x 6 x 6) x 6 x 6 Foreningsmængden er løsningsmængden: L =] ; 6] [6; [ Vi skitserer funktionen: 18
Det ser rigtig ud! Der er sammenhæng mellem beregningerne og grafen. Værdimængden kan aflæses direkte af grafen. V m f = [0; [ d) Vi starter med at kræve at indmaden ikke må være negativ. f (x) = x + 6 x 6 dem Og vi kæver at begge skal opfyldes samtidig, dvs. vi skal bruge : mellem (x + 6 0 x 6 0) Fællesmængden er løsningsmægden og dermed definitionsmængden. Dm f = [6; [ Vi kan bedre se definitions- og værdimængden ved at skitsere funktionen vha. GeoGebra 19
Værdimængden er V m f = [0; [ e) Vi starter med at skitsere funktionen Definitionsmængden bliver: Dm f =] ; 6] ]6; [ Lad os beregne definitionsmængden i hånden og se om det stemmer overens med grafen. f (x) = x + 6 x 6 Der er to ting der må gælde samtidig i denne situation: x + 6 x 6 0 x 6 0 20
Nævneren må jo ikke være nul i en brøk. Regel 7 side 91 bruges igen {(x + 6 0 x 6 0) (x + 6 0 x 6 0)} {x 6 0} {(x 6 x 6 ) (x 6 x 6)} {x 6} {(x 6 x 6)} {x 6} Løsningsmængden bliver: ] ; 6] [6; [ x 6 Dvs. L =] ; 6] ]6; [ Definitionsmængden er løsningsmængden Dm f =] ; 6] ]6; [ Værdimængden kan ses af grafen V m f = [0;1[ ]1; [ f) f (x) = x 6 x + 6 Vi bruger igen samme fremgångsmåde som i e) {(x 6 0 x + 6 0) (x 6 0 x + 6 0)} {x + 6 0} 21
{(x 6 x 6) x 6 x 6)} x 6} (x 6 x 6) (x 6) Løsningsmængden er definitionsmængden: Dm f =] ; 6[ [6; [ Skitsér funktionen vha. GeoGebra og bestem værdimængden. 7.1.9 Øvelse Bestem definitonsmængden og værdimængden for funktionen f (x) = 2x 4 Definitionsmængden kan let beregnes ud fra den forudsætning at indmaden ikke må være negativ. 2x 4 0 2x 4 x 2 Vi indsætter nu de værdier fra definitionsmængden ind i funktionen for at beregne nogle y-værdier for at bestemme værdimængden. x 2 3 4 5 6 7 8 y= f(x) 0 2 4 6 8 10 12 Som ses af ovenstående tabel, er funktionen ikke defineret for x-værdier, der er mindre end 2, dvs. definitionsmængden bliver 22
Dm f = [2; [ Værdimængden er V m f = [0; [ Definitions- og værdimængden kan også ses af grafen nedenunder. 7.1.10 Øvelse Bestem definitionsmængden og værdimængden for nedenstående funktioner a) f (x) = x 3 + 1 b) f (x) = x 4 + 1 c) f (x) = 1 x 4 d) f (x) = 1 + 1 x + 1 e) f (x) = x 2 4 e) f (x) = 4 x 2 Løsninger: a) 23
f (x) = x 3 + 1 Som ses af udtrykket kan man indsætte alle relle tal og på tilsvarende måde få relle tal ud af funktionen. Altså Dm f = R og V m f = R Man kan sagtens beregne nogle y-værdier ved at indsætte x-værdier og lave en tabel og skitsere funktionen for at se om det passer. Vi prøver med GeoGebra b) f (x) = x 4 + 1 24
Skitseres funktionen vha. GeoGebra kan man både bestemme definitions- og værdimængden direkte af figuren. Som ses af ovensående bliver definitionsmængden alle reelle tal Dm f = R Funktionen starter med x = 0 dvs. y = 1, derfor bliver værdimængden V m f = [1; [ c) f (x) = 1 x 4 + 1 Umiddelbart skal vi kræve at nævneren ikke må være nul x 4 + 1 0 x 4 1 25
Ifølge reglerne på side 32 i bog1 er løsningen ikke reel derfor kan vi konkludere at x kan antage alle reelle tal. Dm f = R For at finde værdimængden kan vi skitsere funktionen Som ses bliver værdimængden V m f =]0;1] d) f (x) = 1 x + 1 Nævneren kan alrig blive nul! Altså definitionsmængden Dm f = R 26
Værdimængden findes lettere ved at skitsere funktionen vha. GeoGebra ved at skrive i inputfeltet følgende: Dvs: 1 abs(x) + 1 V m f =]0;1] e) f (x) = x 2 4 Indmaden skal ikke være negativ 27
x 2 4 0 (x 2)(x + 2) 0 Ifølge reglerne på side 91 (x 2 0 x + 2 0) (x 2 0 x + 2 0) x 2 x 0 Løsningsmængden er også definitionsmængden: Dm f =] ; 2] [2; [ Værdimængden ses af grafen V m f = [0; [ f) Lav selv 28
7.2 Grafen for en funktion Man har i gamle dage, vha. sildeben,beregnet nogle sammenhørende værdier for en funktion, for at skitsere grafen. Du skal gennemregne eksemplerne 7.2.1 og 7.2.2 for at være fortrolig med metoden. Bagefter kan du bruge GeoGebra til skitsering og på den måde kan du kontrollere dine resultater. 7.2.3 Øvelse Givet funktionen med regneforskriften f (x) = x2 1 + x 2 a) Bestem funktionens definitionsmængde b) Skitsér grafen for funktionen c) Gør rede for om funktionen er lige eller ulige d) Bestem funktionens værdimængde Løsning: a) Nævneren må ikke være nul. Det bliver den heller ikke uanset hvad man indsætter i x ens plads. Derfor Dm f = R b) Skitsering vhs. GeoGebra 29
c) Funktionen er en lige funktion da grafen er symmetrisk om y-aksen. Du kan også bruge f ( x) = f (x). Lige funktioner er symmetriske om y-aksen mens ulige funktioner er symmetriske om origo eller nulpunktet. d) Værdimængden aflæses direkte af figuren: V m f = [0;1[ 7.2.4 Øvelse Skitsér grafen for følgende funktion og gør rede for om funktionen er lige eller ulige. f (x) = 1 5 x3 5x 30
Løsning: Vi bruger GeoGebra til at skitsere funktionen Funktionen er en ulige funktion. Det kan ses ved at dreje funktionen mod uret omkring origo. Grafen går over i sig selv. Du kan også bruge f ( x) = f (x). Definitions- og værdimængden er alle reelle tal! 7.2.5 Øvelse Skitsér grafen og bestem værdimængden for følgende funktioner a) f (x) = x x 2 b) g(x) = 1 + 1 x 2 + 1 Løsning: GeoGebra skitsering a) 31
Værdimængden kan aflæses direkte af figuren V m f = [ 0,5;0,5] Funktionen er ulige fordi den er symmetrisk om origo. b) 32
Værdimængden ifølge figuren bliver V m f =]0;1] Funktionen er lige da den er symmetrisk om y-aksen. 7.3 Lineære funktioner Fra afsnit 4.4 ved man, at en linie, som går gennem de to punkter A(x 1,y 1 ) og B(x 2,y 2 ) har hældningskoefficienten og at linien har ligningen α = y 2 y 1 x 2 x 1 33
y = αx + q hvor (0,q) er liniens skæring med y-aksen når man indsætter x = 0 i ligningen. 7.3.1 Definition Ved en lineær funktion forstås en funktion, som har en regneforskrift på formen. f (x) = αx + q 7.3.2 Sætning Hvis f er en lineær funktion med regneforskriften f (x) = αx + q så er grafen for f en ret linie der har hældningskoefficienten α og som skærer y-aksen i punktet (0,q). Gennemregn nu eksemplerne 7.3.3 og 7.3.4 og 7.3.5. 7.3.6 Øvelse Tegn graferne for de to funktioner f (x) = 2 x + 2 og g(x) = 2x + 5 3 Beregn derefter skæringspunktet mellem de to grafer. Løsning: Vi tegner graferne vha. GeoGebra og finder skæringpunkterne både vha. GeoGebra og beregning. 34
Som ses er grafen for f en ret linje. Deres skæring beregnes ved at sætte dem lige med hinanden Vi samler x erne og tallene for sig 2 3 x + 2 = 2x + 5 2 3 x + 2x = 5 2 8 3 x = 3 x = 9 8 1,13 y-koordinaten findes ved at indsætte denne værdi i én af ligningerne. Hermed skæringpunktet y = 2x + 5 = 2(1,13) + 5 2,75 S(1,13,2,75) 35
7.3.7 Øvelse Det oplyses om en lineær funktion, at f ( 3) = 4 og f (6) = 2, samt at værdimængden er V m f = [ 6;9[= [ 6;8]. Bestem regneforskrift og definitionsmængde for f. Løsning: Vi har to punkter dvs. vi kan lave to ligninger med to ubekendte (se evt. eksempel 7.3.5) f (x) = αx + q Indsættes de to punkter fås to ligninger: 4 = α( 3) + q 2 = α(6) + q Vi kan nu isolere q erne fra begge to og sætte dem lig med hinanden. 4 = 3α + q 2 = 6α + q q = 4 + 3α q = 2 6α 4 + 3α = 2 6α Vi samler α erne og tallerne for sig 3α + 6α = 2 4 9α = 6 α = 2 3 Vi har fundet hældningskoefficienten og vi mangler at beregne skæring med y-aksen : 36
q = 4 + 3α = 4 + 3( 2 3 ) = 2 Nu kender vi både hældningskoefficienten og skæring med y-aksen. Altså kan vi beregne ligningen: y = αx + q f (x) = y = 2 3 x + 2 Definitionsmængden beregnes ud fra værdimængden som er V m f = [ 6;9[= [ 6; 8] ved at indsætte disse i funktionens regneforskrift. Skitsering kan foretages vha. GeoGebra ved at anvende følgende kommando: Function[ 2 3 x + 2, 9,12] 37
7.3.8 Øvelse Vis, at følgende funktion er lineær og tegn dens graf f (x) = (x 2) 3 + 6x 2 x 3 Løsning: Vi prøver først at omskrive funktionen f (x) = (x 2)(x 2)(x 2) + 6x 2 x 3 f (x) = (x 2 2x 2x + 4)(x 2) + 6x 2 x 3 f (x) = (x 2 4x + 4)(x 2) + 6x 2 x 3 f (x) = x 3 2x 2 4x 2 + 8x + 4x 8 + 6x 2 x 3 f (x) = 12x 8 Vi kan også bruge GeoGebra CAS til at faktorisere funktionen ved at bruge Factor kommandoen. Som ses er denne funktion lineær og dens graf er en ret linie, fordi y = αx + a Linien har en hældningskoefficient på 12 og linien skærer y-aksen i -8. Det kan ses af nedenstående figur. 38
7.4 Andengradspolynomier Vi ved fra tidligere at ligningen y = Ax 2 + Bx +C repræsentererer en parabel - et andengradspolynomium - som er en funktion. 7.4.1 Definition En funktion f med en regneforskrift af formen f (x) = Ax 2 + Bx +C hvor A 0 (hvorfor?) 39
kaldes et andengradspolynomium. Grafen for et andengradspolynomium er altså en parabel. Gennemregn eksempel 7.4.2 og læg især mærke til hvordan parablens grene vender op- eller nedad afhængig af koeefficienten A. Brug gerne GeoGebra til at skitsere parablerne. Bemærk også forskellen mellem parablens ligning og et andengradspolynomium som er en funktion. 7.4.3 Sætning Grafen for andengradspolynomiet f (x) = Ax 2 + Bx +C A 0 er symmetrisk om den lodrette linie der går igennem toppunktet, med ligningen Bevis: x = B 2A Grafen for en funktion er symmetrisk om en lodret linie (der går igennem toppunktet) med ligningen x = a, hvis der gælder, at f (a h) = f (a + h) for ethvert h ]0; [. Dette giver for et andengradspolynomium f (a h) = f (a + h) 40
A(a h) 2 + B(a h) +C = A(a + h) 2 + B(a + h) +C A(a 2 2ah + h 2 ) + Ba Bh +C = A(a 2 + 2ah + h 2 ) + Ba + Bh +C Aa 2 A2ah + Ah 2 + Ba Bh +C = Aa 2 + A2ah + Ah 2 + Ba + Bh +C Symmetrilinien har altså ligningen: 4Aah = 2Bh a = 2Bh 4Ah = B 2A x = a = B 2A Vi kan også vise ovenstående bevis vha. GeoGebra, grafisk på følgende måde: 7.4.4 Definition Skæringspunktet mellem parablen med ligningen y = f (x) = Ax 2 + Bx +C A 0 og dens symmetrilinie x = B 2A kaldes for parablens toppunkt. 41
7.4.5 Sætning Toppunktet for parablen med ligningen y = f (x) = Ax 2 + Bx +C A 0 har koordinaterne hvor D = B 2 4AC er diskriminaten. T = ( B 2A, D 4A ) Bevis: Da toppunktet ifølge definitionen ligger på symmetrilinien med ligningen x = B B, er toppunktets x-koordinat netop. Dermed bliver y-koordinaten 2A 2A y = f ( B 2A ) = A( B 2A )2 + B( B 2A ) +C = A B2 4A 2 B2 B2 +C = 2A 4A 2B2 4A + 4AC 4A = B2 + 4AC 4A = (B2 4AC) 4A = D 4A x-kkoordinaterne til et andengradspolynomiums skæringspunkter med x-aksen kaldes for andengradspolynomiets rødder. Disse beregnes ved at løse ligningen f (x) = 0, hvilket jo bliver en andengradsligning. 7.4.6 Sætning For andengradspolynomiet f (x) = Ax 2 + Bx +C gælder følgende: Hvis D 0 er rødderne/roden givet ved x = B ± D 2A 42
Hvis D < 0 er der ingen (reelle) rødder. Bevis: For at beregne rødderne skal ligningen f (x) = 0 løses. Ax 2 + Bx +C = 0 Divideres hele udtrykket med A ( B 2A )2 lægges til på begge sider x 2 + B A x = C A x 2 + B A x + ( B 2A )2 = C A + ( B 2A )2 (x + B 2A )2 = 4AC 4A 2 + B2 4A 2 = B2 4AC 4A 2 (x + B 2A )2 = D 4A 2 x + B D D 2A = ± 4A 2 = ± 2A x = B D 2A ± 2A = B ± D 2a Gennemregn eksempel 7.4.7 inden du går videre. 7.4.8 Sætning - Faktorisering Et andengradspolynomium f (x) = Ax 2 + Bx +C med rødderne α og β kan omskrives til f (x) = A(x α)(x β) = Ax 2 + Bx +C 43
Bevis: Denne form for omskrivning kaldes at faktorisere. De to rødder er ifølge sætning 7.4.6 givet ved α = B + D 2A og β = B D 2A Disse udtryk indsættes i f (x) = A(x α)(x β) som udregnes og omskrives til f (x) = Ax 2 + Bx +C på følgende måde: = A(x 2 x B D 2A = A(x 2 ( B D 2A f (x) = A(x α)(x β) = A(x B + D 2a x B + D 2A )(x B D ) 2A + ( B + D 2A )( B D )) 2A + B + D )x + ( B + D)( B D) 2A 4A 2 ) = Ax 2 ( B D B + D )x + ( B + D)( B D) 2 4A = Ax 2 + Bx + B2 + 2 D 2 D D 4A = Ax 2 + Bx + (B2 4AC) 4A = Ax 2 + Bx + B2 B 2 + 4AC 4A f (x) = Ax 2 + Bx +C = A(x α)(x β) 7.4.9 Sætning - Røddernes sum og produkt For et andengradspolynomium f (x) = Ax 2 + Bx +C med rødderne α og β gælder α + β = B A og α β = C A 44
Bevis: Ifølge sætning 7.4.8 gælder A(x α)(x β) = Ax 2 + Bx +C A(x 2 αx βx + αβ) = A(x 2 + B A x + C A ) x 2 αx βx + αβ = x 2 + B A x + C A x 2 (α + β)x + αβ = x 2 + B A x + C A Heraf ses at (α + β) = B A og αβ = C A α + β = B A og αβ = C A 7.4.10 Øvelse Beregn toppunktet og skitsér grafen for hver af følgende andengradspolynomier. a) f (x) = x 2 8x + 7 b) g(x) = x 2 2x + 1 c) h(x) = 2x 2 + 8x + 1 c) k(x) = 0.25x 2 2.5x 3.25 Løsning: Toppunktet beregnes a) f (x) = x 2 8x + 7 A = 1,B = 8, og C = 7 45
T = ( B 2A, D 4A ) D = B 2 4AC D = ( 8) 2 4 1 7 = 64 28 = 36 T = ( 8 36 = 4, = 9) = (4, 9) 2 1 4 1 Skitsering kan foregå vha. GeoGebra Lav selv de andre. 7.4.11 Øvelse Beregn værdimængden for funktionen f (x) = 0.5x 2 3x + 2.5 Løsning: Vi beregner toppunktet 46
A = 0.5, B = 3, C = 2.5 D = B 2 4AC = ( 3) 2 4 (0.5) (2.5) = 4 T = ( B 2A = 3 2 0.5 = 3 1 = 3, D 4A = 4 4 0.5 = 2) Værdimængden aflæses på y-aksen, dvs. toppunktets y-koordinat. V m f = [ 2; [ 47
7.4.12 Øvelse Bestem ved beregning regneforskriften for et andengradspolynomium som opfylder at; α + β = 2 α β = 3 Løsning: Vi bruger sætning 7.4.9 - røddernes sum og produkt. α + β = B A α β = C A A(x α)(x β) = Ax 2 + Bx +C A(x 2 + ( α β)x + α β) = A(x 2 + ( 2)x + ( 3)) = A(x 2 2x 3) hvor A R \ {0} Vi kan kontrollere løsningen ved at finde rødderne af x 2 2x 3 = 0 vha. solve(x 2 2x 3 = 0) som giver x = 1 x = 3 Røddernes sum er = 3 1 = 2 Røddernes produkt er = ( 1)(3) = 3 Hvad er røddernes sum og produkt af følgende ligninger? x 2 8x + 7 = 0 x 2 2x + 1 = 0 48
7.4.13 Øvelse En parabel går gennem punkterne (-2,-4), (0,2) og (1,3.5). Bestem ved beregning ligningen for parablen. Løsning: Disse tre punkter indsættes i f (x) = y = (Ax 2 + Bx +C) 4 = A( 2) 2 + B( 2) +C 2 = C 3.5 = A + B +C Ovenstående tre ligninger løses ved at anvende en af de tre metoder vi har lært. Løs dem og se om du får følgende: A = 1 2 B = 2 C = 2 Du kan også prøve GeoGebra s Solve kommando Solve[{ 4 = 4A 2B +C,2 = C,3.5 = A + B +C},{A,B,C}) 7.4.14 Øvelse En parabel har toppunkt i (3,2) og går gennem punktet (6,-1). Bestem ved beregning ligningen for parablen. Løsning: Lav selv! 49
7.5 Potensfunktioner En potensfunktion er en funktion med regneforskriften af typen. f (x) = x n hvor n er et reelt tal. Hvad definitionsmængden for funktionen er, og hvilke egenskaber funktionen har, afhænger helt af hvilken værfi n har. De forskellige muligheder gennemgås nedenunder med GeoGebra. 50
n = 0 og n = 1 Funktionen f (x) = x 0 = 1 har definitionsmængden Dm f = R \ {0} (0 0 er udefineret!) Grafen er altså en vandret linie med hul i (0,1). Funktionen er lige - symmetrisk om y-aksen. Funktionen f (x) = x 1 = 0 er jo en lineær funktion og har derfor definitionsmængden Dm f = R. Funktionen er lige - symmetrisk om origo. n helt positivt tal I dette tilfælde er Dmf = R. Funktionerne har globalt minumum i (0,0) og lige n helt positivt ulige tal (n 1) Definitionsmængden er Dmf = R. Funktionerne har en vandret tangent i (0,0) og lige. n helt negativt lige tal I dette tilfælde er Dmf = R\{0}. Funktionerne har den lodrette asymptote med ligningen x = 0 og den vandrette asymptote med ligningen y = 0. Funktionerne er lige. n helt negativt ulige tal I dette tilfælde er Dmf = R\{0}. Funktionerne har den lodrette asymptote med ligningen x = 0 og den vandrette asymptote med ligningen y = 0. Funktionerne er ulige. 51
n reelt ikke-helt positivt tal I dette tilfælde er Dmf = [0; [. Funktionerne har globalt minimum i (0,0). n reelt ikke-helt negativt tal I dette tilfælde er Dmf = ]0; [. Funktionerne har den lodrette asymptote med ligningen x = 0 og den vandrette asymtote med ligningen y = 0. Eksempler på potensfunktioner: 1. For en tør varmeisoleret luftmasse gælder med meget god tilnærmelse følgende sammenhæng mellem tryk p og temperatur T. p(t ) = b T 3.5 hvor b er konstant. den absolutte temperatur T finder man ved at lægge 273 til temperaturen målt i grader Celcius. 2. Gallileos fald lov i vacuum fortæller noget om genstande der falder frit i vacuum med følgende funktion s(t) = 1 2 g t2 3. Cirklens areal er en funktion af radius T (r) = π r 2 52
7.6 Stykkevis definerede funktioner En funktion, hvis regneforskrift er givet ved forskellige regneforskrifter i forskellige intervaller kaldes en stykkevis defineret funktion. Dvs. at vi kan opdele en funktions definitionsmængde i delintervaller således, at funktionen i hvert af dem er voksende, eller aftagende. Sådanne intervaller kaldes monotoniintervaller (Herom senere). Gennemregn nu eksemplerne 7.6.1, 7.6.2 og 7.6.3. Brug gerne Geogebra Function [ ] kommando til at skitsere. 7.6.4 Øvelse Skitsér grafen for følgende funktioner x 2 6x 6 f or x 3 a) f (x) = 2x 2 f or 3 < x < 0 x 1 f or x 0 x 3 f or x 1 b) g(x) = x + 1 f or x > 1 Løsning: a) Vi bruger GeoGebra til at skitsere funktionerne med kommandoen skrevet ind i inputfeltet. Function[ x 2 6x 6,, 3] Function[ 2x 2, 3,0] Function[x 1,0, ] Grafen bliver som følger 53
b) Igen kan vi bruge kommadoen Function[ ] på følgende måde: Function[x 3,,1] Function[x + 1,1, ] 54
7.6.5 Øvelse Du skal nu lave øvelse 7.6.5 og sammenligne din løsning med GeoGebra løsningen på figuren nedenunder. 7.6.6 Øvelse Opstil tuborg-udtryk for følgende funktioner og skitsér deres grafer a) Tuborg-udtryk opstilles f (x) = x 1 55
(x 1) hvis x 1 0 x 1 = (x 1) hvis x 1 < 0 Funktionen skitséres Function[x 1,1, ] Function[ x + 1,,1] e) f (x) = x 3 + 2 x 3 = 2 x 3 = 2 (x 3) = 2 (x 3) 0 x 3 = (x 3) = 2 (x 3) < 0 56
Skitsering foregår vha. Function[ ] kommando i GeoGebra: Du skal nu lave de andre opgaver selv. 7.7 Grafisk løsning af uligheder I afsnit 3.5 i bog 1 lærte I hvordan man løser uligheder vha. regneregler på siderne 89-93. Man kan også løse uligheder grafisk. Metoden er som følger: 1) Løs ved beregning ligningen f (x) = g(x) 2) Skitsér graferne for de to funktioner i samme koordinatsystem 3) Aflæs løsningen til uligheden på grafen 57
Gennemregn nu eksempel 7.7.1 på side 26 Bog 2 inden du går videre. 7.7.2 Øvelse Løs følgende uligheder grafisk a) 1 2 x2 + 2 x + 1 Løsning: 1) Vi løser ligningen f (x) = g(x), dvs. 1 2 x2 + 2 = x + 1 1 ( 1 2 x2 + 2 = 2 x2 + 2) = x + 1 hvis ( 1 2 x2 + 2) 0 ( 1 2 x2 + 2) = x + 1 hvis ( 1 2 x2 + 2) < 0 1 2 x2 x + 1 = 0 x 2 + 4 0 1 2 x2 x 3 = 0 x 2 + 4 < 0 (x = 0,73 x = 2,73) ( 2 x 2) x = 0,73 (x = 3,65 x = 1,65) (x < 2 x > 2) x = 3,65 Løsningsmængden bliver L = [0,73;3,65] 58
Skitsering Man kan også indtaste funktionerne f (x) og g(x) direkte ind i Geogebra og få aflæst de værdier hvor disse to funktioner skærer hinanden på følgende måde: I inputfeltet i GeoGebra kan du indtaste følgende funktioner lige efter hinanden: abs( 1 2 x2 + 2) x + 1 59
b) x 2 6x + 13 x + 3 Indtastes begge funktioner hver for sig: x 2 6x + 13 x + 3 60
Som ses af grafen bliver løsningsmængden følgende: L =] ;2] [5; [ Eller kan man løse analytisk på følgende måde: f (x) = g(x) x 2 6x + 13 = x + 3 x 2 7x + 10 = 0 Solve giver følgende rødder x = 2 x = 5 Alternativ løsning: 61
x 2 6x + 13 x 3 0 (x 2)(x 5) 0 Regel 6 på side 91 i bog 1 anvendes (x 2 0 x 5 0) (x 2 0 x 5 0) (x 2 x 5) (x 2 x 0) (x 5 x 2) Løsningsmængden er foreningsmængden L =] ;2] [5; [ Brug nu GeoGebra til at løse c, d og e 7.8 Kontinuerte funktioner Lad os starte med at se på en funktion f (x) = 1 x Definitinions- og værdimægden er Dm f = R \ {0} V m f =] ;0[ ]0; [ 62
Funktionen f ikke er defineret for x = 0 som også blev konstateret allerede ved beregning af definitionsmængden. Dvs funktionen f er kontinuert for x > 0 og kontinuert for x < 0. Fuktionen er ikke definineret i x = 0 altså kontinuært undtagen ved x = 0. Vi vil nu se på følgende figur med to stykkevis definerede funktioner. 63
Som ses af grafen, er der et spring ved x = x 0 = 3 hvilket svarer til at f 1 (x 0 ) f 2 (x 0 ). Funktionen siges at være diskontinuert i x = x 0. = 3 Hvis derimod f 1 (x 0 ) = f 2 (x 0 ), siges funktionen at være kontinuert. Hvordan ville grafen se ud i så fald? Betragter vi x-værdier, der er en smule større end x 0 = 3, får vi y-værdier, der er tæt på tallet 45. Lader vi herefter x nærme sig vilkårligt tæt til x 0 = 3, vil f (x) nærme sig vilkårligt tæt til 45. Man siger, at f (x) har grænseværdien 45, x gående mod x 0 = 3 fra højre og skriver: f (x) 45 f or x x 0 = 3 + For x-værdier, der er lidt mindre end x 0 = 3, får vi y-værdier, der er tæt på 9. Lader vi igen x nærme sig vilkårligt tæt til x 0 = 3, men fra den anden side, vil f (x) nærme sig tallet 9. 64
I dette tilfælde siger man, at f (x) har grænseværdien 9 for x gående mod x 0 = 3 fra venstre og skriver: f (x) 9 f or x x 0 = 3 7.8.1 Definition En funktion siges at være kontinuert i x 0, hvor x 0 Dm f, hvis den opfylder følgende betingelse: lim x x0 + f (x) = lim x x0 f (x) = f (x 0 ) I modsat fald siges funktionen at være diskontinuert i x 0. 7.8.2 Definition En funktion siges at være kontinuert, hvis den er kontinuert i alle x 0 Dm f. En funktion kaldes kontinuert, hvis dens graf er sammenhængende. Populært sagt er en funktion kontinuert i et interval fra a til b, hvis man kan tegne grafen fra a til b uden at løfte blyanten fra papiret. 7.8.4 Øvelse Undersøg om følgende funktion er kontinuert og tegn derefter grafen x + 1 f or x < 1 f (x) = x 2 + 1 f or x 1 Løsning: lim x 1 (x + 1) = 2 65
lim x 1 +(x 2 + 1) = 2 f (1) = 1 + 1 = 2 eller f (1) = 1 2 + 1 = 2 Da alle tre tal ens er funktionen kontinuertt som også kan ses af følgende figur. 7.8.5 Øvelse Tegn grafen for følgende funktion og undersøg om den er kontinuert. x 3 + 2 f or x < 2 f (x) = 2x + 14 f or x 2 Løsning: lim x 2 (x 3 + 2 = 10 66
lim x 2 +( 2x + 14) = 10 f (2) = (x 3 + 2) = 10 f (2) = ( 2x + 14) = 10 Funktionen er kontinuert og kan ses nedenunder: 7.9 Monotoniforhold og ekstrema Figuren nedenunder viser graferne for tre funktioner, f (x), g(x) og h(x). 67
Vi ser at funktionsværdierne for f (x) bliver større, når x gennemløber definitionsmængden fra venstre mod højre. En sådan funktion kaldes en voksende funktion. Tilsvarende kaldes funktionen g(x) en aftagende funktion, mens funktionen h(x) kaldes en konstant funktion. Ved en monoton funktion forstås en funktion der enten er aftagende eller voksende. Det betyder at f (x) og g(x) på figuren er monotone funktioner mens h(x) ikke er monoton. 7.9.1 Definition En funktion f siges at være voksende, i et åbent interval, hvis der gælder x 1 < x 2 f (x 1 ) < f (x 2 ) for alle x 1,x 2 Dm f. 68
7.9.2 Definition En funktion f siges at være aftagende, i et åbent interval, hvis der gælder x 1 < x 2 f (x 1 ) > f (x 2 ) for alle x 1,x 2 Dm f. 7.9.3 Definition Voksende of aftagende funktioner kaldes under et for monotone funktioner. Dvs. en funktion, der er voksende eller aftagende, kaldes monoton. Et afklarende eksempel: Følgende figur viser grafen for en kontinuert funktion f (x) i intervallet [ 2;2] a) Bestem (aflæs) definitionsmængden og værdimængden for funktionen. b) Bestem (aflæs) f (0) og f (1). 69
c) Løs ligningen f (x) = 1 ved hjælp af grafen d) Angiv den største og mindsteværdi for funktionen. e) Bestem monotoniforholdene for funktionen. Løsning: a) Definions- og værdimængden aflæses Dm f = [ 2;2] V m f = [0;4] b) f (0) = 0 og f (1) = 1 c) Løsningen af ligningen f (x) = 1 Vi skal, på y-aksen, finde funktionsværdien svarende til 1 og aflæse x-værdien og det er x = 1 d) Den største og mindste værdi dvs. max og min værdierne aflæses min = (x = 0, y = 0) max = (x = 4, y = 4) e) Monotoniforholdene Husk at funktionen f er kontinuert i intervallet [ 2; 2] og differentiabel i det åbne interval ] 2;1[ og ]1;2[ f (x) er aftagende i intervallet [ 2;0[ 70
f (x) er voksende i intervallet ]0;1[ f (x) er voksende i intervallet ]1;2] Når vi på denne måde finder de dele af definitionsmængden hvor funktionen enten er voksende, eller aftagende, siger vi at vi bestemmer funktionens monotoniintervaller, eller at vi bestemmer monotoniforholdene for f. Skitsér eksempel 7.9.4 og undersøg monotoniforholdene vha. GeoGebra 7.9.5 Definition En funktion f siges at have globalt maksimum i x 0, hvis der for alle x Dm f gælder: f (x 0 ) f (x) 7.9.6 Definition En funktion f siges at have globalt minimum i x 0, hvis der for alle x Dm f gælder: f (x 0 ) f (x) 7.9.7 Definition En funktion f siges at have lokalt maksimum i x 0, hvis der findes et åbent interval I 0 omkring x 0, således at f (x 0 ) f (x) for alle x I 0. 71
7.9.8 Definition En funktion f siges at have lokalt minimum i x 0, hvis der findes et åbent interval I 0 omkring x 0, således at f (x 0 ) f (x) for alle x I 0. 7.9.9 Definition En funktions maksima og minima kaldes under et for dens ekstrema. Bemærk, at globale ekstrema kan også være lokale men ikke omvendt. Gennemregn eksempel 7.9.10 ved brug af definitionerne ovenover. 7.9.11 Øvelse Gør rede for monotoniforhold og ekstrema for de tre funktioner, hvis grafer ses på side 30 i bog 2 Figur 1: Funktionen er defineret i 2 x < 2 Dm f = [ 2;2[ V m f =]0;2] Vi konstruerer følgende tabel over de givne data i figuren: x 0 f (x 0 ) Konklusion 2 1 lok.minimum 0 2 lok.maximum 72
f (x) er voksende i intervallet [ 2;0[ f (x) er aftagende i intervallet ]0;2[ Figur 2: Funktionen er defineret 2 x 0 og 0 < x < 2 Dmg = [2;0] og Dmg =]0;2[ V mg = [0;2] og V mg =] 1;2[ x 0 g(x 0 ) Konklusion 2 2 lok.max. 1 0 lok.min. g(x) er aftagende i intervallet [ 2; 1[ g(x) er aftagende i intervallet ]0; 2[ g(x) er voksende i intervallet ] 1;0] Der er ikke globale akstrema da funktionen ikke er defineret i hele sin definitionsmængde. Figur 3: Funktionen er defineret i intervallet 2 x 2 Dmh = [ 2;2] V mh = [ 2;2] 73
x 0 h(x 0 ) Konklusion 1 1 lokalt max. 1 2 globalt/lokalt min. 2 2 globalt max h(x) er voksende i intervallet [ 2; 1[ h(x) er voksende i intervallet ]1;2] h(x) er aftagende i intervallet ] 1;1[ 7.9.12 Øvelse Skitsér grafen for en funktion f, som opfylder følgende fem betingelser: 1) f har definitionsmængden Dm f =] 4;3] 2) f har værdimængden V m f = [ 2;6[ 3) f er voksende i intervallet] 1; 3] 4) f er aftagende i intervallet ] 4; 1[=] 4; 2] 5) f (3) = 2 Løsning: Vi bruger GeoGebra til at skitsere funktionen 74
7.10 Inverse funktioner Regneforskriften for en lineær funktion y = f (x) = 2x 4 giver en sammenhæng mellem to størrelser, x og y. Det betyder, at hvis man kender værdien af x, kan man således beregne værdien af y. For mange funktioner er det sådan at man også gøre det modsatte. Altså hvis man kender y, så kan man beregne x. Denne modsatte sammnhæng giver en ny funktion som kaldes den inverse - den omvendte - funktion til f og den betegnes med f 1. Man kan beregne den inverse eller omvendte funktion ved at ombytte x med y og derefter isolere y. Lad os beregne den omvendte af ovenstående funktion. 75
y = 2x 4 x og y ombyttes; x = 2y 4 Isoleres y x + 4 = 2y eller det samme som 2y = x + 4 y = 1 2 x + 2 Skitsering af disse to funktioner viser at den omvendte funktion er en ny sammenhæng eller ny funktion og de er hinandens spejlbilleder omkring linien y = x. 7.10.1 Sætning Graferne for f og f 1 er hinandens spejlbilleder i linien y = x. 7.10.2 Definition En funktion f kaldes injektiv - en-entydig, hvis den opfylder følgende: For ethvert y V m f findes der præcist et x Dm f således at f (x) = y 76
Ovenstående definition siger, at der til enhver y-værdi hører præcis en x-værdi. Er funktionen f (x) = x 2 injektiv? 7.10.3 Definition Hvis f er en injektiv funktion, kan y = f (x) omskrives til x = f (y) og derefter til x = f 1 (y). Funktionen f 1 kaldes den inverse funktion til f, og der gælder altid: Dm f = V m f 1 og V m f = Dm f 1 VIGTIGT: Gennemregn nu eksemplerne 7.10.4, 7.10.5, 7.10.6,7.10.7 og 7.10.8 inden du går videre! 7.10.9 Øvelse Gør rede for at følgende funktion er injektiv og bestem regneforskriften for den inverse funktion. f (x) = x 4 for x > 0 Løsning: Det ses af grafen for f at enhver vandret linie skærer grafen højst et sted. Altså er f injektiv og den har en invers funktion. Vi kan nu bestemme regneforskriften for den inverse funktion ved at ombytte x og y i ligningen og isolere y: y = x 4 77
x = y 4 y = 4 x Skitsering vha. Geogebra Dm f 1 = V m f =]0; [ V m f 1 = Dm f =]0; [ 7.10.10 Øvelse Bestem i hvert af følgende tilfælde den inverse funktion og skitsér graferne for f og f 1 i samme koordinatsystem. a) f (x) = 1 x + 3 b) f (x) = 2x 3 5 c) f (x) = x + 4 Løsning: a) 78
y = f (x) = 1 5 x + 3 Ifølge eksempel 7.10.4 er enhver lineær funktion er injektiv. derfor har enhver - ikke vandret - lineær funktion en invers funktion. Vi finder nu den inverse funktion ved at bytte om på x og y. x = 1 5 y + 3 y = 5x 15 Dm f 1 = V m f = R b) f (x) = 2x 3 x og y. En lineær funktion er altid injektiv. Vi finder den inverse funktion ved at bytte x = 2y 3 79
y = f 1 (x) = 1 2 x + 3 2 Dm f 1 = V m f = R c) f (x) = x + 4 Regn selv! 7.10.11 Øvelse Bestem den omvendte funktion til følgende funktion og skitsér graferne for f og f 1 i samme koordinatsystem. Løsning: f (x) = 3x 4 2x + 4 80
Vi bestemmer først definitionsmængden og skitsér grafen vha. GeoGebra. Nævneren må ikke være nul. 2x + 4 0 x 2 Dvs. definitionsmængden bliver Dm f = R \ { 2} = V m f 1 Den omvendte funktion bliver y = f (x) = 4x + 4 3 2x Definitionsmængden af den omvendte funktion ses umiddelbart Dm f 1 = R \ { 3 2 } = V m f 81
7.10.12 Øvelse Lav nu øvelse 7.10.12 inden du går videre. Der er facit bag ved bogen! 7.11 Sammensatte funktioner Funktionen med regneforskriften f (x) = x 2 har den effekt, at den kvadrerer et tal - f.eks. giver f (2) = 2 2 = 4. Funktionen g(x) = x + 1 har den effekt, at den lægger 1 til et tal - f.eks giver g(4) = 4 + 1 = 5. Hvis disse to funktioner sammensættes, dvs. at man først anvender den ene funktion på et tal og dernæst anvender den anden funktion på resultatet af den første, fås en ny funktion, nemlig den funktion som kvadrerer tallet og derefter lægger en til. En funktion, der fremkommer på denne måde, kaldes den sammensatte funktion af f og g, og den betegnes g f (læses g bolle f). I det her nævnte eksempel får den sammensatte funktion g f altså regneforskriften (g f )(x) = g( f (x)) = x 2 + 1. Hvis de to funktioner ovenfor sammensættes i modsat rækkefølge, fås en funktion, der først lægger 1 til og derefter kvadrer. Den sammensatte funktion f g får altså regneforskriften ( f g)(x) = f (g(x)) = (x + 1) 2. De to funktioner er altså ikke ens. Det er ikke ligegyldigt i hvilken rækkefølge to funktioner sammensættes. De to funktioner ovenfor har begge definitionsmængden R. De kan derfor uden videre sammensættes i begge rækkefølger uden at får reduceret deres definitions- 82
mængder. Dette er ikke altid tilfældet. Derfor er der nogle kriterier der skal være opfyldt før man sætter to eller flere funktioner sammen. Eksempel: Vi har følgende funktioner som skal sammensættes. f (x) = x 2 1 og g(x) = x Vi ser på f g først ( f g)(x) = f (g(x)) = ( x) 2 1 = x 1 Vi kan se at en nødvendig forudsætning for at det virker er at x 0, dvs. g s definitionsmængde er afgørende, Dmg = [0; [ Dernæst ser vi på g f g f = x 2 1 Her må vi kræve at x 2 1 0. Igen er det g s definitionsmængde der er afgørende for at sammensætningen virker. Hvorfor? Fordi vi skal vælge den mest restriktive definitionsmængde for den sammensatte funktion! Men V m f = [ 1; [ og som man kan se indeholder negative tal. Da vi ikke kan indsætte negative tal i funktionen g, må definitionsmængden for funktionen f indskrænkes så funktionen f ikke giver negative værdier. x 2 1 0 (x 1)(x + 1) 0 83
Regel 6 side 91 i bog 1 bruges (x 1 0 x + 1 0) (x 1 0 x + 1 0) (x 1 x 1) (x 1 x 1) x 1 x 1 Løsningsmængden er definitionsmængden for den sammensætte funktion Dm(g f ) =] ; 1] [1; [ Vi kan hurtigt løse sammensætte funktioner vha. Geogebra: 84
At bestemme definitionsmængden for en sammensat funktion g f betyder altså, at man om nødvendigt skal indskrænke eller reducere definitionsmængden for funktionen f, så værdierne f (x) Dmg. 7.11.1 Definition Lad f og g være to funktioner, som opfylder, at V m f Dmg 85
Den sammensætte funktion g f defineres ved: (g f )(x) = g( f (x)) med Dm(g f ) = Dm f Eksempel Fra side 35 i bog 2 har vi to funktioner f (x) = 2x 6 Dm f = [3; [ g(x) = 3x + 7 Dmg = R Vi undersøger først om V m f Dmg ifølge definition 7.11.1 ovenover. [0; [ R Funktionen f s værdimængde er en delmængde af funktion g s definitionsmængde. Det betyder at vi kan sammensætte de to funktioner (g f )(x) = g( f (x)) = 3 2x 6 + 7 Og vi skal også kræve at der gælder Dm(g f ) = Dm f [3; [= [3, [ Vi kan skitsere f (x), g(x), g f og f g vha. GeoGebra og aflæse definitonsmængderne direkte af figuren. 86
Gennemregn nu eksemplerne 7.11.12 og 7.11.13. Brug gerne Geogebra til at kontrollere. 7.11.4 Øvelse To funktioner f og g er givet ved f (x) = x 2 + x + 3 og g(x) = 2x 9 f g. Bestem definitions- og værdimængder for de to funktioner. Bestem derefter regneforskrifterne for de sammemsætte funktioner g f og Løsning: f (x) er jo en andengradspolynomium hvis graf er en parabel. Definitionsmængden for en andengradspolynomium er alle reelle tal. Værdimængden kræver at vi finder toppunktet, som bliver T = ( 1 2, 11 4 ) 87
f (x) = x 2 + x + 3,Dm f = R,V m f = [ 11 4 ; [ Funktionen g(x) er en lineær funktion hvis graf er en linie og har g(x) = 2x 9,Dmg = R, V mg = R Vi sammensætter f g og g f på følgende måde: ( f g)(x) = (2x 9) 2 + (2x 9) + 3 = 4x 2 34x + 75 (g f )(x) = g( f (x)) = 2(x 2 + x + 3) 9 = 2x 2 + 2x 3 Dm(g f ) = Dm f R = R Dvs. både ( f g) og (g f ) kan lade sig gøre uden at lave begrænsninger i definitionsmængderne. 88
7.11.5 Øvelse To funktioner f og g er givet ved f (x) = x 2 3 og g(x) = 2 2x 6 Bestem efinitions- og værdimængder for de to funktioner. Bestem derefter regneforskrifterne for de sammensatte funktioner g f og f g. Løsning: Skitsering af de to funktioner viser både definitions- og værdimængderne: Dm f = R og V m f = [ 3; [ Dmg = [3; [ og V mg = [0; [ Vi undersøger først om betingelsen V m f Dmg. Den er IKKE opfyldt. Det betyder ikke at vi ikke kan sammensætte g f 89
(g f )(x) = 2 2(x 2 3) 6 = 2 2x 2 12 Da V m f = [ 3; [ indeholder negative tal, kan vi ikke bare indsætte disse negative tal ind i funktionen g som består af kvadratrod. Skal sammensætning g f fungere, må definitionsmængden for funktionen f indskrænkes så funktionen f ikke giver negative værdier. Dvs. vi må kræve Dm(g f ) =] ; 6] [6; [ Sammensætning f g = (2 2x 6) 2 3 = 4(2x 6) 3 = 8x 27 kan lade sig gøre uden at lave om på defintionsængderne da betingelsen V mg Dm f er opfyldt. Regning med funktioner Hvis vi forestiller os at vi har følgende funktioner f og g så kan vi danne nye funktioner vha. de elementære regneoperationer. f (x) = 1 2 x2 2x 2 g(x) = 3 x Addition af f og g: sumfunktionen ( f (+g)(x) = f (x) + g(x) = 1 2 x2 2x 2 + 3 x = 1 2 x2 3x + 1 Subtraktion f og g og g og f : differensfunktionerne ( f g)(x) = f (x) g(x) = 1 2 x2 2x 2-(3-x)= 1 2 x2 x 5 90
(g f )(x) = g(x) f (x) = 3 x ( 1 2 x2 2x 2) = 1 2 x2 + x + 5 Produktet af f og g: produktfunktionen ( f g)(x) = f (x) g8x) = ( 1 2 x2 2x 2) (3 x) = 1 2 x3 + 7 2 x2 4x 6 Division af f og g og g og f : Kvotientfunktionerne Øvelse: ( f 1 f (x) )(x) = g g(x) = 2 x 2 2x 2 3 x ( g f )(x) = g(x) f (x) = 3 x 1 2 x2 2x 2 Prøv at skitsere ovenstående funktioner vha GeoGebra. 91