Den svingende streng Stig Andur Pedersen October 2, 2009 Ufuldstændigt udkast. Abstract 1
I det 18. århundrede blev differential- og integralregningen, som var introduceret af Newton, Leibniz og mange andre matematikere, videreudviklet og anvendt til løsning af fysiske problemer. F.eks. fik hydrodynamikken er præcis matematisk form. Et andet område var beskrivelsen af bølgefænomener. I forbindelse med studiet af den svingende streng, blev bølgeligningen, som vi kender den i dag, udledt og diskuteret af bl.a. Jean d Alembert (1717 1783), Leonhard Euler (1707-1783) og Joseph Louis Lagrange (1736-1813). Det var en vanskelig opgave at løse bølgeligningen med datidens matematiske midler. Både d Alembert, Euler og Lagrange kom frem til brugbare løsninger, med der opstod stor uenighed om, hvad man egentlig skulle forstå ved en løsning til bølgeligningen. Kontroversen omkring den svingende streng er filosofisk interessant af mange grunde. For det første er det den første partielle differentialligning som bliver analyseret på en dyb matematisk måde. For det anden giver den anledning til en detaljeret diskussion af, hvad man skal forstå ved en løsning, og dermed til en diskussion af det matematiske funktionsbegreb. For det tredje giver studiet af bølgeligningen anledning til nogle af de første succesrige anvendelser af uendelige trigonometiske rækker (Fourierrækker). I det følgende giver vi en moderne introduktion til de metoder d Alembert og Lagrange anvendte til løsning af bølgeligningen. 1 Den svingende streng efter d Alembert Betragt en streng, som er fastgjort i endepunkterne (Figur 1). Det antages, at vægtfordelingen i strengen er den samme over hele strengen, hvilket vi udtrykker ved at sige, a massefordelingen, µ, i strengen eller snoren er konstant. Vi betragter Figure 1: Streng ophængt i 0 og L nu et lille udsnit, x, af strengen. På figuren har vi tegnet kraftvektorerne i udsnittets endepunkter, samt vinklerne α og β mellem kraftvektorerne og x-aksen. 2
x-komponenterne af kraftvektorerne T 1 og T 2 er Figure 2: Udsnit x af streng T 1x = T 1 cos α T 2x = T 2 cos β Det antages nu, at der ikke er nogen samlet kraft i x-aksens retning, hvilket betyder T 1x = T 2x = T y-komponenterne af kraftvektorerne T 1 og T 2 er T 1y = T 1 sin α T 2y = T 2 sin β Vi anvender nu Newtons 2. lov på udsnittet x, hvilket giver µ x 2 y t 2 = T 2y T 1y = T 2 sin β T 1 sin α Vi dividerer med T på begge sider af denne ligning, hvilket giver µ x = T 2 sin β T 1 sin α T t 2 T T = T 2 sin β T 2 cos β T 1 sin α T 1 cos α = tan β tan α 3
idet T = T 1 cos α = T 2 cos β. Vektorerne T 1 og T 2 er tangenter til kurven y = y(x, t). Derfor er tan β = y x x+ x tan α = y x x+ Vi får derfor µ x T t = y 2 x x+ x y x x+ hvilket giver ved division med x µ T t = 1 ( y 2 x x x+ x y ) x x+ Når vi lader x gå mod nul, x 0, får vi Vi indfører betegnelsen µ T t = 2 y 2 x 2 a = T µ som indsættes i ligningen, hvilket giver den endimensionale bølgeligning x 1 2 a 2 t = 0 (1) 2 d Alembert fandt en generel løsning til ligningen (1) ved at foretage et variabelskift i ligningen. Indfør u og v som nye variable ved u = x + at v = x at For at udtrykke ligningen (1) i de nye variable skal vi bestemme de dobbelte afled- 4
ede som funktioner af u og v. Det sker ved følgende udregninger y x = y u u x + y v v x = y u + y v = ( y x 2 x u + y ) v = 2 y x u + 2 y x v x u = 2 y u + 2 y 2 v u = 2 y x v v + 2 y 2 u v Indsættes de to sidste ligninger i ligningen for 2 y x 2 På tilsvarende vis bestemmer vi 2 y t 2 får vi x = 2 y 2 u + 2 2 y 2 u v + 2 y (2) v 2 y = y u t u t + y v v t = a y u a y v t u = y a 2 u a 2 y 2 v u t v = a 2 y u v y a 2 v 2 = a 2 2 y t 2 u + 2 2 y 2 u v + 2 y v 1 2 a 2 u 2 y 2 2a2 u v + 2 y a2 v 2 Sættes udtrykkene (2) og (3) ind i bølgeligningen (1), får vi ( a 2 2 y 2 y som reduceres til u 2 2a2 u v + a2 2 y v 2 ) = 0 u v = 0 (3) 5
som er bølgeligningen i koordinaterne u og v. Denne ligning kunne d Alembert nemt finde en generel løsning til. Vi har nemlig, at u v = 0 y v = f 1(v) hvor f 1 er en vilkårlig funktion af v. Men y v = f 1(v) y = u c f 1 (t)dt + g(v) hvor g er en vilkårlig funktion af v. Vi får derfor den generelle løsning, hvor vi har indsat de oprindelige variable x og t y(x, t) = f(x + at) + g(x at) (4) Men da y(x, t) skal være løsning til ligningen (3), må y(x, t) være to gange differentiabel i begge variable, ræsonnerede d Alembert. 2 Den svingende streng efter Lagrange Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) analyserede den svingende streng ved at betragte N ens partikler med masse m, som var hængt op i en vægtløs elastisk snor. Figure 3: Partikler i vægtløs snor Betragt tre på hinanden følgende partikler (Figur 2). Partiklen i position x + h påvirkes af partikel i position x med kraften F x og af partiklen i position x + 2h med kraften F x+2h. Den samlede kraft på partiklen i position x + h bliver F = F x + F x+2h 6
Figure 4: Tre på hinanden følgende partikler Det antages, at de enkelte partikler kun påvirkes af nabopartiklerne. Vi antager, at der på de enkelte partikler ikke er nogen kraftpåvirkning i x- aksens retning, så vi kun behøver at se på kræfterne i y-aksens retning. Vi antager, at snoren er elastisk, hvilket betyder, at kraften i snoren følger Hookes lov, som siger, at kraften er proportional med ændringen i snorens længde. Vi får derfor F x = k(y(x) y(x + h)) F x+2h = k(y(x + 2h) y(x + h)) og for den samlede kraft på partiklen i x + h F = k(y(x + 2h) 2y(x + h) + y(x)) Newton 2. lov anvendt på partiklen i punktet x + h giver m 2 y(x + h) = k[y(x + 2h) 2y(x + h) + y(x)] t 2 Denne ligning omskrives til [ ] m 2 y(x + h) y(x + 2h) y(x + h) y(x + h) y(x) = kh t 2 h h Ifølge Taylor-udviklingen af y(x) gælder der y(x + h) y(x) = y x x h + 1 2 x 2 x h 2 + o(h 2 ) y(x + 2h) y(x + h) = y x x+h h + 1 2 x 2 x+h h 2 + o(h 2 ) (5) 7
Dette indsættes i ligning (5), hvilket giver [ m 2 y(x + h) y = kh t 2 x x+h y x x + 1 2 Vi dividerer nu med h på begge sider m (x + h) h t 2 = kh [ y x x+h y x x h x 2 x+h h 1 ] 2 x 2 x h + o(h) ] + 1 2 x 2 x+h 1 2 x 2 x +o(h) Når h 0 vil m µ, som er massetætheden i strengen. Tilsvarende antages h det, at kh T, hvor T er spændingen i strengen. Den sidste ligning giver derfor, når h 0 eller hvor µ 2 y t 2 = T 2 y x 2 x 2 1 a 2 t 2 = 0 (6) a = T µ Ligning (6) er identisk med ligning(1), altså igen den endimensionale bølgeligning. 8