gudmndsen.net Dette dokument er publiceret på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/. Ophvsret: Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning f dette dokument eller dele derf er fuldt ud tilldt i ikke-kommercielle smmenhænge, sålænge det foregår med tydelig kildengivelse. Al nden brug kræver forftterens udtrykkelige skriftlige tilldelse (milto:info@gudmndsen.net). Potensfunktioner Funktioner kn opdeles i grupper, efter hvordn de fungerer mht. definitions- & værdimængder, funktion osv. En stor og hyppigt nvendt gruppe er potensfunktioner, med et utl f undergrupper. Potensfunktioner er lle på formen y = b x...hvor er potensen og b er en koefficient som virker som sklr. I princippet kn og b hve næsten lle værdier, selv om der ofte (Mtemtik på C-niveu) begrænses til 0 < b og definitionsmængden 0 x.. Potensfunktioner ift. værdien for Alt efter værdien f vil potensfunktioner optræde som 5 forskellige grundformer for funktioner: Illustrtion : potensfunktioner i 5 forskellige grupper Hvis vi som udgngspunkt ser bort fr koefficienten b, dvs. sætter b =, vil funktionernes forskellige egenskber som resultt f forskellige grupper f værdier for potensen,, kunne igttges, jfr. Illustrtion herover. potens.odt Side /9 Jkob Gudmndsen: 09--6
.. ε Z Grundlæggende kn potensfunktioner deles i to grupper: ) Heltllig potens, ε Z. For de heltllige potenser er definitionsmængden både positive og negtive tl, dvs. lle reelle tl R, undtget negtive heltllige potenser, som ikke er defineret ved x = 0. 2) Ikke-heltllig potens For ikke heltllige potenser er definitionsmængden kun de positive reelle tl R+, undtget negtive ikke-heltllige potenser, som ikke er defineret ved x = 0...2 Størrelse f De 5 førnævnte forskellige grundformer hr forskellige definitions- & værdimængder og særdeles forskellige forløb. ) < 0: Jfr. definitionerne for potensregnereglerne er x -p = /x p og funktionerne hr en grfisk form som hyperbel. Funktionerne er ftgende i hele definitionsmængden, med ftgende hældning for x < 0, og tiltgende hældning for 0 < x. D vi ikke kn dividere med 0 (nul) hr disse funktioner begrænsede definitions- og værdimængder; R\{0} for heltllig og R+\{0} for ikke-heltllig. 2) = 0: Jfr. definitionerne for potensregnereglerne er x 0 =, som er en vndret linje med hældning lig 0, er ofte set ekskluderet fr gruppen f potensfunktioner. Definitionsmængden er lle reelle tl, mens værdimængden er begrænset til funktionsværdien som er lig værdien f b-koefficienten. Denne form kldes også for konstntfunktionen. 3) 0 < < : Jfr. definitionerne for potensregnereglerne er x ½ = x, kldes denne gruppe ofte for rodfunktionerne. Funktionerne er voksende i hele definitionsmængden, med en ftgende hældning. Disse funktioner hr begrænsning i definitionsmængderne til de reelle positive tl (incl. nul) R+, som ligeledes er begrænsningen f værdimængden. 4) = : Jfr. definitionerne for potensregnereglerne er x = x, som er lineære funktioner, fbildet som rette linjer, med hældningen lig b-koefficienten. Alt efter b-koefficientens fortegn er funktioner voksende eller ftgende med konstnt hældning i hele definitionsmængden. Både definitions- & værdimængden udgøres f lle reelle tl R. 5) < : Prblen for y = x 2 hører til i denne gruppe. Her skl der være fokus på hvorvidt potensen er heltllig ( ε Z) eller ej, og hvorvidt den i så fld er et lige eller ulige tl: )For ikke-heltllig, fås nogle voksende potensfunktioner med tiltgende hældning og definitions- og værdimængder begrænset til R+. 2) For ε Z hr vi en særlig klsse inden for potensfunktionerne som kldes Polynomier, som lle hr lle reelle tl, R, som definitionsmængde. 2) Er potensen et lige tl (ex.vis = 2 som er den klssiske prbel) hr grfen først en ftgende hældning og efter toppunktet en tiltgende hældning (for 0 < b). Værdimængden fgrænses f toppunktet (globlt ekstrem), som for den reneste form er y = 0, dvs. værdimængden er er lig de positive reelle tl R+. 2b) Er potensen et ulige tl (ex.vis = 3) vil funktionen være konstnt voksende med først ftgende hældning og efter centerpunktet tiltgende hældning. Værdimængden er lle reelle tl. Som det ses er der tle om 5 grupper meget forskellige funktioner, på trods f de lle hører til potensfmlien. potens.odt Side 2 /9 Jkob Gudmndsen: 09--6
Desuden optræder den sidste gruppe, <, som 3 forskellige typer, hvor de heltllige resulterer et en selvstændig gruppe f funktioner kldet polynomier. I denne gruppe hører i princippet også = 0 og = d disse indgår som elementer i polynomier f højere grd. Dette kn summeres op i nedenstående skem, hvor der forst tges udgngspunkt i 0 < b. < 0 ε Z < 0 ikke-heltllig = 0 Hyperbel Dm(f)=R\{0} Vm(f)=R\{0} ftgende ftgende / tiltgende hældning Hyperbel Dm(f)=R + Vm(f)=R + ftgende tiltgende hældning Konstntfunktion (0.grds polynomiet) Dm(f)=R Vm(f)=R 0 < < Rodfunktioner Dm(f)=R + Vm(f)=R + = <, ikke-heltllig <, ε Z, lige <, ε Z, ulige Lineære (.grds polynomiet) Ligegrds polynomier Uligegrds polynomier Dm(f)=R Vm(f)=R Dm(f)=R + Vm(f)=R + For positiv b: Dm(f)=R Vm(f)=R + Dm(f)=R Vm(f)=R konstnt voksende voksende voksende ftgende / voksende konstnt hældning lig 0 ftgende hældning konstnt hældning lig tiltgende hældning tiltgende hældning voksende ftgende / tiltgende hældning Ved negtive b-koefficienter vil der byttes om på voksende og ftgende i ovenstående skem, ligesom værdimængderne vil ændre fortegn (ex.vis bliver R + til R - og omvendt)..2 Potensfunktioner som resultt f værdien for b For en fst potensværdi,, vil der forekomme forskellige funktioner ved t ændre b- koefficienten, som i princippet er en sklr (skleringskonstnt), som gnge lle y-værdier med en fst konstnt. Illustrtion 2: funktionen x gnget med b-koefficienten lig, 2, og 4 potens.odt Side 3 /9 Jkob Gudmndsen: 09--6
Herved er det muligt t ændre funktionen til t psse til en given sitution (som model for forhold i 'den virkelige verden'). Det er også muligt t benytte negtive b-koefficienter, som derved vil spejle grfen for funktionen over x-ksen, ift. funktionen med smme potens og tilsvrende b-koefficient med modst fortegn, jfr. Illustrtion 3 herunder: Illustrtion 3: Potensfunktionen x med hhv. b= og b=-.3 Regneregler for potensfunktioner Som værktøjer til løsningerne f potensfunktioner benyttes potensregnereglerne med tilhørende definitioner smt logritmeregneregler,.3. Definitioner for potenser n = n = n =... n fktorer... 0 = og = n fktorer i nævner n = n n = n hvor 2 = og 3 = 3.3.2 Potensregneregler. m n = m n 2. m n = m n, 0 3. n m = n m 4. n b n = b n 5. n 6. p q = q p = b n q p = n b p q = p q = q p potens.odt Side 4 /9 Jkob Gudmndsen: 09--6
Løsning f inverse potensfunktioner på generel form, jfr. potensregneregel #6 nævnt herover:.3.3 Logritmeregneregler y = n n x = x x n = y x = y n x = y n = n y Når løsningen indebærer t vi skl hve isoleret potensen,, hr vi ikke muligheder med potensregnereglerne, men det viser sig t logritmer ikke kun kn bruges til eksponentielle funktioner, men også til potensfunktioner.. log b = log log b 2. log b = log log b 3. log x = x log x = b x = log b log Det er hovedsgeligt den 3. regel vi benytter i smmenhænge med potensfunktioner..4 Løsninger Med ovenstående definitioner og regneregler for potenser og logritmer er det nu muligt t opbygge et system f løsninger til potensfunktionerne. Som udgngspunkt hr potensfunktioner op til 4 ubekendte størrelser {y, b,, x} og lt efter hvilken størrelse der mngler kn der benyttes en rækkeløsninger. ) Mngler b Isolér b y = b x b = y x 2) Mngler x y = b x y b = x y b = x Potensregel: p q = p q = q p 3) Mngler y = b x y b = x log y b = log x log y b = log x = log y b log x Logritmeregel: log x = x log potens.odt Side 5 /9 Jkob Gudmndsen: 09--6
4) Kendes to punkter P(x;y) P2(x2;y2) y y = b x og 2 y2 = b x 2 = x 2 y y 2 = x 2 y x log y 2 y = log x 2 log y 2 y = log x 2 x x x Potensregel: Logritmeregel: n b n b = y x = n b log x = x log = log y 2 y log x 2 = x log y 2 log y log x 2 log x Logritmeregel: log b =log log b Efter t hve fundet kn b findes ved løsning..5 Fremskrivning På lige fod med ndre funktioner, kn fremskrivningsfktoren for en potensfunktion bestemmes: For potensfunktionerne gælder det, t mulitpliceres x-værdien med en konstnt k, vil den tilhørende y-værdi muliltpliceres med k. y 0 = F y y, x 0 = F x x F y y = b F x x F y y = b F x x F y y = F x b x F y = F x Potensfunktionen: Potensregel: y = b x b p = p b p.5. Reltiv fremskrivningsfktor Det kn være nyttigt t udtrykke fremskrivningsfktoren i reltive størrelser, ex.vis procent. Fremskrivningsfktoren Fy kn udtrykkes som (Fx) og dette giver en reltiv vækst r udtrykt ved: r = F x k y k x k y k x k 00 % y k 00 % potens.odt Side 6 /9 Jkob Gudmndsen: 09--6
.6 Dobbeltlogritmisk fbildning Normlt fbilder vi grfen for en funktion i et såkldt Krtesisk koordintsystem, hvor kserne står vinkelret og hr lineære kseinddelinger det sædvnlige koordintsystem - som bl.. benyttes for potensfunktionerne på Illustrtion. Det kn vise sig hensigtsmæssigt t ændre den lineære kseinddeling til en nden, for t lette brugen ifm. visse funktioner, herunder potensfunktionerne. En særlig egenskb ved potensfunktioner, er t de ved fbildning i et dobbeltlogritmisk koordintsystem, dvs. hvor kseindelingerne er ændret til logritmisk skl, vil fremstå som rette linjer, i stedet for den kurveform vi ser i det sædvnlige koordintsystem. Illustrtion 4: En stribe potensfunktioner i dobbeltlogritmisk fbildning. De smme funktioner som i Illustrtion En logritmisk skl hr de egenskber t vi ikke kn fbilde værdien 0 (nul) d vi ikke kn tge logritmen f 0, men begynder i værdien, 0. eller hvd der er hensigtsmæssigt i ktuelle smmenhæng. Den fysiske fstnd mellem og 0 er den smme som mellem 0 og 00, mellem 00 og 000 osv. hvilket giver systemet de særlige egenskber. At denne smmenhæng virker, kn beskrives ud fr følgende, hvor der tges udgngspunkt i funktionen på formen y = bx som der tges logritmen f på begge sider: log y = log b x log y = log b log x log y = log b log x Logritmeregel: Logritmeregel: Den rette linje: log b = log log b log x = log x y = x b D b er en konstnt er log(b) ligeledes en konstnt og udtrykket kn skrives som en lineær funktion, hvor værdierne for y og x er erstttet f værdierne for log(y) og log(x), hvilket netop er tilfældet i et dobbeltlogritmisk koordintsystem. Det ses t grfen for potensfunktionen må skære log(y)-ksen i værdien log(b), ligesom potens.odt Side 7 /9 Jkob Gudmndsen: 09--6
hældningen er lig! Lige netop hældningen er norml lineær størrelse og kn derfor flæses ved den rette linjes sædvnlige form: = y x...men udmålt efter en lineær skl ikke den logritmiske. Dvs. t funktionens potens er direkte t flæse som den rette linjes hældning i den dobbeltlogritmiske fbildning..7 Smmenstte potensfunktioner Der er tilfælde hvor et enkelt led ikke er nok til t lve en tilfredsstillende model over et givent fænomen, hvorfor det til enhver tid er muligt t bruge flerleddede potensfunktioner. y = b x ± b 2 x 2 ±... ± b n x n Disse flerleddede potensfunktioner lider dog f den svghed, t det ikke ltid er muligt t finde løsninger, d lgebrisk vej, som det er tilfældet for et-leddede potensfunktioner. Disse former for funktioner er derfor oftest blevet til vh. CAS som hr gennemført en numerisk regression og der ud fr fundet nogle størrelser som tilsmmen giver pssende model..8 Polynomier I fsnit. Potensfunktioner ift. værdien for blev det konstteret, t potensfunktioner med heltllige potenser hr særlig forhold, herunder definitionsmængden. Derfor er interessen smlet om disse heltllige, og især om de positive heltllige potenser: y = b x n, n Z + For en god ordens skyld kn vi tilføje potensen n = 0, d denne også indgår i serien f potensfunktioner, som udgør polynomierne. Disse ltså er flerleddede potensfunktioner, med heltllige positive potenser! y = k n x n ±... ± k 3 x 3 ± k 2 x 2 ± k x ± k 0 x 0 Polynomierne benævnes efter den højeste grd der optræder, hvorfor lineære funktioner (den rette linje) også kldes.grds polynomium, jfr. definitionerne for potensreglerne, fsnit.3. : y = x b eller y = x b x 0 Her ses det tydeligt, t den højeste grd er og t 0.grdsleddet hr sin berettigelse. Hvis b = 0 vil grfen for funktionen skære i Origo (0,0) ligesom hvis = 0 vil hældninger være lig nul, hvorfor der er tle om en vndret linje, også kldet konstntfunktionen. At grfen for et polynomium skærer y-ksen i konstntleddets værdi, skyldes t lle punkter på y-ksen hr en x-værdi lig 0 (nul), hvorfor lle led med x n bliver lig 0 og kun konstntleddet er tilbge..8. Udvlgte polynomier En kortfttet oversigt over de vigtigste forhold ved polynomier er beskrevet herunder, og der henvises til utllige publiktioners gennemgng f disse fænomener, for yderligere fordybelse. potens.odt Side 8 /9 Jkob Gudmndsen: 09--6
0.grds polynomiet Vndret linje.grds polynomiet Ret linje gennem 2 punkter, P(x;y) og P2(x2;y2). er linjens hældning 2.grds polynomiet Prbel For 0 <, vender prblen opd. For < 0, vender prblen nedd Toppunkt Tp: y = k 0 x 0 eller y = k 0 y = x b x 0, = y x = y 2 y x 2 x x = 0 y = b y = 0 x = b y = x 2 b x c x 0 x = 0 y = c y = 0 x = b± d, d = b 2 4c 2 T p = b 2 ; d 4 For polynomier f højere grd (ex.vis x 3, x 4 osv.) findes der ikke simple lgebriske løsninger til y = 0, men det er forst konstnt leddet der udgør skæring med y-ksen. Illustrtion 5: De første 4 simple polynomier, k = Se endvidere dokumenter om Den rette linje og Prblen på http://www.gudmndsen.net/res/mt_vejl/ potens.odt Side 9 /9 Jkob Gudmndsen: 09--6