Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008
1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk modellering, på sommerskolen. Differentialregning er et stort emne i gymnasiet, og det er ikke meningen at denne note skal erstatte en lærebog i gymnasiet. Noten er tænkt som en lynkursus i emnet for de elever, der går i 1. g, og ikke kender til emnet. Noten indeolder en række opgaver, som er gode at lave for at forstå stoffet. Men det er ikke et krav at alle opgaver er gennemregnet inden sommerskolens start. Vi ar lavet en vejledende besvarelse af disse opgaver. Vi anbefaler at man først kigger på besvarelse, når man er gået i stå med en opgave. På denne måde fås det største udbytte af opgaverne. Der vil være en kort gennemgang af noterne samt en snak om opgaverne på sommerskolens første dag. 2 Grænseværdi I definitionen af differentiabilitet indgår begrebet grænseværdi. Det lægger uden for denne korte note at give en grundig beskrivelse af dette vigtige begreb. Dette er derfor blot en kort introduktion. Lad os starte med at tage udgangspunkt i følgende funktioner: f (x) x + 2 og g (x) x2 4 x 2. Prøv at tegne graferne for disse funktioner på din lommeregner. Bemærk at f og g ar samme funktionsværdi i etvert x i R, bortset fra 2 vor g ikke er defineret, idet der for x 2 gælder g (x) x2 4 x 2 (x 2) (x + 2) x 2 x + 2 f (x). Det fremgår eraf at vis vi vælger x tæt på 2 vil f og g begge antage værdier tæt på 4. Vi siger at f og g ar grænseværdien 4 for x gående mod 2. Dette skrives med symboler ved: f (x) 4 for x 2, g (x) 4 for x 2. Dette læses: f (x) går mod 4 for x gående mod 2. Tilsvarende for g. En anden notation som benyttes er: lim f (x) 4, x 2 der læses: grænseværdien af f (x) for x gående mod 2 er 4. lim står for det græske ord limes som betyder grænse. 1
At funktionerne ar grænseværdien 4 for x gående mod 2 afænger altså ikke af funktionernes beskaffened i selve tallet 2, g er endda ikke defineret i 2, men derimod af vordan de opfører sig i en omegn 1 af tallet 2. Disse overvejelser fører os til følgende definition: Definition 2.1. En funktion f siges at ave grænseværdien a for x gående mod x 0, netop når vi kan opnå at f (x) er så nær a, vi ønsker, ved at vælge x tilstrækkelig nær x 0, men forskellig fra x 0. Definitionen er illustreret på nedenstående figur. 3 Regneregler for grænseværdi Vi vil nu indfører nogle regneregler der gør det nemmere at bestemme grænseværdier for komplicerede funktioner ud fra et kendskab til de mere simple funktioner. Lad os tage udgangspunkt i et eksempel: Eksempel 3.1. Betragt funktionen (x) (3x 9) (2x + 1). er da et produkt af de simplere funktioner f (x) 3x 9 og g (x) 2x + 1. Udfra kendskab til grænseværdier for f og g vil vi være i stand til at bestemme grænseværdier for. Lad os f.eks. finde lim (x). x 2 Da lim x 2 f (x) 3 og lim x 2 g (x) 5 vil f (x) være nær 3 og g (x) nær 5, vis blot vi vælger x tilstrækkelig tæt på 2. Men så vil (x) f (x) g (x) være nær ( 3) 5 15, vis x er tilstrækkelig tæt på 2. Der gælder altså eller lim (x) 15, x 2 lim f (x) g (x) lim f (x) lim g (x). x 2 x 2 x 2 1 Ved en omegn omkring tallet x 0 forstås et symmetrisk, åbent interval omkring x 0, dvs. et interval af typen ]x 0 k, x 0 + k[, vor k > 0. 2
Med andre ord: grænseværdien for produktet er lig produktet af grænseværdierne. Ved lignende ræsonnementer, som det er anførte, kan man indse rigtigeden af følgende sætning: Sætning 3.2. Når funktionerne f og g ar grænseværdi for x gående mod x 0 gælder: 1) lim (f (x) + g (x))) lim f (x) + lim g (x) x x0 x x0 x x0 2) lim (f (x) g (x))) lim f (x) lim g (x) x x0 x x0 x x0 3) lim (f (x) g (x))) lim f (x) lim g (x) x x0 x x0 x x0 Hvis der yderligere gælder at lim x x0 g (x) 0 f (x) 4) lim x x0 g (x)) lim x x 0 f (x) lim x x0 g (x) Det skal dog understreges at eksempel 3.1 ikke er et bevis for påstand 3) i sætning 3.2. Et bevis for denne sætning ligger uden for denne notes rammer. 4 Kontinuitet Undervejs i vores gennemgang af differentialregning får vi beov for begrebet kontinuitet. Derfor vil vi nu va. grænseværdier indføre dette begreb. For at få en forståelse kontinitet, kan det være nyttigt at se på funktioner, der ikke er kontinuerte: Lad os starte med at betragte en funktion f, som ar ar grænseværdien a for x gående mod x 0 fra venstre og grænseværdien b for x gående mod x 0 fra øjre, og vi forestiller os at a b. Derfor vil grafen for f ave et spring i x 0, og funktionen f vil ikke ave en grænseværdi for x gående mod x 0. Hvis vi derimod forestiller os at de to ovenstående grænseværdier er ens, dvs. at a b, vil funktionen f ave en grænseværdi i x 0 nemlig a. 3
Lad nu f være en funktion, der ar grænseværdien a for x gående mod x 0, men f (x 0 ) a. Da vil grafen for f omkring x 0 ligge i næreden af punktet (x 0, a), men punktet (x 0, a) vil ikke ligge på grafen. Hvis f derimod ar grænseværdien a f (x 0 ) for x gående mod x 0, vil grafen omkring x 0 ligge meget tæt på grafpunktet (x 0, f (x 0 )). Vi siger da at f er kontinuert i x 0. Definition 4.1. Hvis funktionen f er defineret i en omegn om x 0 og f (x) f (x 0 ) for x x 0 siges f at være kontinuert i x 0. Løst sagt kan dette formuleres ved at grafen for funktionen f ænger sammen i punktet (x 0, f (x 0 )), og derfor ar grafen for f ikke nogen spring i dette punkt. Hvis f er kontinuert i alle x i defintionsmængden for f siges f at være kontinuert. En kontinuert funktions graf kan således tegnes uden at løfte blyanten. Øvelser Øvelse 1 I sætning 3.2 kunne vi ave medtaget følgende regel: Hvis c er et tal, så gælder der lim x x 0 (c f (x)) c lim x x0 f (x) Denne regel følger umiddelbart af en af de andre regler i sætning 3.2. Forklar vilken og vordan. Øvelse 2 Hvilke af reglerne fra sætning 3.2 skal man benytte for at indse at: lim (2x 5) 3? x 4 Øvelse 3 Lad funktionerne f og g være givet ved f (x) 5x + 10 og g (x) x 2 + 1. Bestem tallene f (x) lim (f (x) + g (x)), lim (f (x) g (x)) og lim x 2 x 2 x 2 g (x) 4
4.1 Lidt notation En funktion f tager et element x i en mængde A og giver et element f (x) i en mængde B. Man skriver da f : A B. Mængden A kaldes definitionsmængden og mængden B kaldes billedmængden. 5 Funktionstilvækst Lad f være en funktion, f : A B, vor A og B er delmængder af R. Lad x ligge i A. Funktionstilvæksten ( er det store græske bogstav delta) defineres ved vor er et tal forskelligt fra nul. f (x + ) f (x), Differenskvotienten ud fra punktet x er givet ved f (x + ) f (x). Den angiver ældningen for sekanten mellem punkterne (x, f (x)) og (x +, f (x + )). Husk at sekanten mellem (x, f (x)) og (x +, f (x + )) er den rette linje, der går igennem de to punkter. Eksempel 5.1. Betragt funktionen f : R R givet ved f (x) x 2. Vi opskriver nu differenskvotienten ud fra punktet x: f (x + ) f (x) (x + )2 x 2 x2 + 2x + 2 x 2 2x + 2 2x +. 5
Når vi lader jælpepunktet (x +, f (x + )) nærme sig punktet (x, f (x)), vil afstanden gå mod nul. Sekantældningen vil derfor gå mod tallet 2x. Dette skrives i symboler: vor symbolet læses "går mod". 2x for 0, Med udgangspunkt i eksempel 5.1 indføres følgende definition: Definition 5.2. Definition af differentialkvotient. Funktionen f siges at være differentiabel i punktet x, vis størrelsen f (x + ) f (x), ar en grænseværdi for gående mod nul. Hvis dette er tilfældet, så er differentialkvotienten af f i x lig med denne grænseværdi: f (x) lim 0. f (x) læses "f mærke af x". Funktionen f (x) kaldes også den afledte af funktionen f (x). Hvis f er differentiabel i etvert punkt i sin definitionsmængde, siges f at være en differentiabel funktion. Eksempel 5.3. I eksempel 5.1 så vi at differentialkvotienten af f (x) x 2 blev bestemt til f (x) 2x. Derfor er det nu let at finde differentialkvotienten af f i en ver x- værdi: Hvis x 2, så er f (2) 2 2 4, Hvis x 0, så er f (0) 0 2 0, Hvis x 2, så er f ( 2) 2 ( 2) 4. 6 Geometrisk fortolkning af differentialkvotient Lad f være en differentiabel funktion, og lad os betragte grafen for f, dvs. kurven med ligningen y f (x). Vi vil nu vise vordan vi kan benytte differentialregning til at finde ligningen for tangenten til y f(x) i et a R. Betragt punktet (a, f (a)) samt dets "nabobunkt"(a +, f (a + )) vor 0. Vi betragter nu den sekant, s, som de to førnævnte punkter udspænder. Hældningen af sekanten s er givet ved: f(a + ) f(a) a + a f (a + ) f (a) Jo mindre vælges desto tættere vil sekanten udspændt af punkterne (a, f (a)) og (a +, f (a + )) være på tangenten til y f (x) i punktet (a, f (a)). 6
Vi ser da at tangentældningen netop er lig med funktionens differentialkvotient i a, f (a). Vi ved at den rette linje med ældningen f (a) gennem (a, f (a)) ar ligningen: y f(a) f (a)(x a), og dermed y f (a) (x a) + f (a). Vi opsumerer vores resultater i følgende sætning: Sætning 6.1. Hvis f er differentiabel i a, ar tangenten til grafen y f (x) i punktet (a, f (a)) ligningen y f (a) (x a) + f (a) Førstegradspolynomiet i sætning 6.1 kaldes det approksimerende førstegradspolynomium i punktet (a, f (a)). Det er den bedste lineære approksimation til f i næreden af punktet (a, f (a)). 7 Beregning af differentialkvotient - 3 trinsreglen. For at finde en funktions differentialkvotient skal man igennem en række trin. Metoden kaldes tretrinsreglen. Første trin Opstil formlen for ældningen af sekanten mellem røringspunktet (x, f (x)) og et jælpepunkt (x +, f (x + )): f (x + ) f (x). Andet trin Omform og simplificer udtrykket for sekantældningen. Tredje trin Undersøg om det reducerede udtryk for sekantældningen gående mod nul. Hvis denne grænseværdi eksisterer, så er funktionen differentiabel i x, og grænseværdien er differentialkvotient af f i x, f (x). ar en grænseværdi for Vi vil nu kigge på en række eksempler, vor vi anvender tretrinsreglen til at differentiere nogle velkendte funktioner: 7
Eksempel 7.1. Lineære funktioner Vi betragter funktioner på formen f (x) ax + b. Lad x være et vilkårligt tal. Trin 1: Sekantældningen mellem punkterne (x, f (x)) og (x +, f (x + )) er givet ved: f (x + ) f (x) Trin 2: Vi udregner og reducerer: a (x + ) + b (ax + b). a (x + ) + b (ax + b) ax + a ax a a. Trin 3: Vi bemærker at ikke afænger af, så vi ar lim 0 lim 0 a a. Da grænseværdien eksisterer findes er funktionen f (x) ax + b differentiabel. Grænseværdien er differentialkvotienten i punktet x, dvs. f (x) a. Eksempel 7.2. Lad os nu betragte funktionen f : R R givet ved f (x) x 3. Lad x være et vilkårligt tal. Vi ønsker at vise at f er dfferentiabel, og benytter derfor tretrinsreglen: Trin 1: Hældningen af sekanten udspændt af punkterne (x, f (x)) og (x +, f (x + )) er: Trin 2: Vi udregner og reducerer: f (x + ) f (x) (x + ) (x + )2 x 3 (x + )3 x 3. (x + ) (x2 + 2x + 2 ) x 3 (x3 + 2x 2 + x 2 + x 2 + 2x 2 + 3 ) x 3 3x2 + 3x 2 + 3 3x 2 + 3x + 2 Trin 3: Vi er i stand til at finde differentialkvotienten f, vis udtrykket ovenfor ar en grænseværdi for gående mod nul. Ved at benytte regnereglerne for grænseværdier vil både 3x og 2 gå mod nul når går mod nul. Heraf får vi at: lim 0 lim ( 3x 2 + 3x + 2) 3x 2. 0 Vi kan således konkludere at f (x) x 3 er differentiabel i x med differentialkvotienten f (x) 3x 2. 8
Eksempel 7.3. Lad os se på funktionen f : R\ {0} R givet ved f (x) 1. Lad x være x et vilkårligt tal. Vi vil vise at f er differentiabel. Vi benytter igen tretrinsreglen: Trin 1: Sekantældningen mellem punkterne (x, f (x)) og (x +, f (x + )) er: f (x + ) f (x) Trin 2: Vi udregner og reducerer: x x+ x(x+) x(x+) x(x+) x 2 +x (x 2 + x) 1 x+ 1 x. x (x+) x(x+) 1 x 2 + x (7.1) Trin 3: Lader vi nu gå mod nul i (7.1) vil leddet x i nævneren gå mod nul, og vi får da at: lim 0 lim 1 0 x 2 + x 1 x. 2 Vi ar ermed vist at f (x) 1 x er differentiabel i x med differentialkvotienten f (x) 1 x 2. Øvelser Øvelse 4 Bevis ud fra tretrinsreglen, at: a) f (x) a ar differentialkvotienten f (x) 0, og b) f (x) x ar differentialkvotienten f (x) 1. Øvelse 5 Bevis ud fra tretrinsreglen at f (x) x, x > 0 ar differentialkvotienten f (x) 1 2. x Vink til trin 2: Benyt følgende omskrivning: ( ) ( ) x + x x + x x + + x ( x + + x ), samt kvadratsætningen (a b) (a + b) a 2 b 2. Øvelse 6 Lad f : R R være en funktion, der (som fx. eksponentialfunktionen) opfylder: f (x + y) f (x) f (y), for alle x, y i R. Bevis, at vis f er differentiabel i nul, så er f differentiabel i etvert punkt x i R med en differentialkvotient f (x), der kan udtrykkes ved f (x) og f (0). Vink: Udnyt at der gælder f (y) f (x) f (x + (y x)) f (x). 9
8 Sammenængen mellem differentiabilitet og kontinuitet I det foregående afsnit definerede vi vad det vil sige at en funktion f er kontinuert. Vi vil nu undersøge sammenængen mellem differentiabilitet og kontinuitet. Vi vil tage udgangspunkt i et eksempel: Eksempel 8.1. Betragt funktionen f, der er givet ved: { x vis x 1 f(x) x + 3 vis x > 1 Vi bemærker at f ikke er kontinuert i 1. Vi vil nu undersøge om f er differentiabel i 1. Dette gøres ved at undersøge om differenskvotienten ud fra punktet x 1 ar en grænseværdi for gående mod 0. Vi opskriver derfor: f (1 + ) f (1) (1 + + 3) (1) Vi antager at > 0, og lader så gå mod nul. Da vil + 3 + 3. 1 + 3 1 + for 0 Dermed findes grænseværdien ikke og funktionen er ikke differentiabel i 1. Det fremgår af eksempel 8.1 at for at en funktion f kan være differentiabel i et givent x, skal funktionen være kontinuert i x. I det næste eksempel vil vi undersøge vorvidt kontinuitet medfører differentiablitet. Eksempel 8.2. Vi vil nu betragte funktionen { x vis x 0 f(x) x x vis x < 0 Vi ser at f (x) 0 f (0) for x 0. f er således kontinuert i 0, faktisk er f kontinuert for etvert x R. Men f (x) f (0) x 0 vilket viser at f ikke er differentiabel i x 0. x { 1 vis x > 0 x 1 vis x < 0 Det fremgår af eksempel 8.2 at kontinuitet ikke nødvendigvis medfører differentiabilitet. Man kan i en vis forstand sige at det er "sværere"at være differentiabel end kontinuert. Faktisk er det endda muligt at konstruere en kontinuert funktion som ikke er differentiabel i noget punkt. Studiet af funktioner med sådan en egenskab fører naturligt til studiet af de såkaldte fraktaler. Derimod vil differentiabilitet altid medføre kontinuitet, vilket er indoldet i næste sætning: 10
Sætning 8.3. Hvis f er differentiabel i a, da er f kontinuert i a Bevis. Da f er differentiabel, ved vi at: f (x) f (a) lim x a x a f (a) og da lim x a (x a) 0 følger det af regnereglerne for grænseværdi at lim (f (x) f (a)) lim (x a) f (a) 0 x a x a Dermed ar vi at f (x) f (a) for x a. Dette viser at f er kontinuert i a. 9 Regneregler for differentialkvotienter Indtil videre ar vi differentieret visse simple funktioner ved jælp af tretrinsreglen. For mere komplicerede funktioner kan det blive besværligt at benytte denne metode til differentiation. Derfor vil vi i det følgende vise en række regneregler for differentialkvotienter. Sætning 9.1. Differentialkvotient af en sum Hvis funktionerne f og g er differentiable i x, så er summen (f + g) (x) f (x) + g (x) også differentiabel i x, og der gælder (f + g) (x) f (x) + g (x). Bevis. Vi bruger tretrinsreglen på funktionen F (x) f (x) + g (x). Trin 1: F F (x + ) F (x) f (x + ) + g (x + ) (f (x) + g (x)). Trin 2: Ved omformning af F får vi nu F f (x + ) + g (x + ) (f (x) + g (x)) f (x + ) f (x) + g (x + ) g (x) f (x + ) f (x) g (x + ) g (x) + + g. Af f og g er differentiable i x betyder i følge definitionen at f (x + ) f (x) 11 f (x) for 0,
og g g (x + ) g (x) g (x) for 0. Vi benytter nu regneregler for grænseværdier og får så at F + g f (x) + g (x) for 0. Så F f + g er differentiable i x, da F ar en grænseværdi for gående mod nul og, da grænseværdien blev f (x) + g (x), gælder der F (x) (f + g) (x) f (x) + g (x). Sætning 9.2. Hvis funktionen f er differentiabel i x, og k er en konstant, så er funktionen (k f) (x) k f (x) også differentiabel i x, og der gælder Bevis. Vi sætter F (x) (k f) (x). Så er Heraf fås: (k f) (x) k f (x). F F (x + ) F (x) k f (x + ) k f (x) F k (f (x + ) f (x)) k. k k k f (x) for 0. Det ses således at funktionen k f (x) er differentiabel med differentialkvotient (k f) (x) k f (x). Eksempel 9.3. Vi kan nu let udregne differentialkvotienten for funktioner såsom f (x) 2x 3 + x 2 + 5x + 2: f (x) ( 2x 3 + x 2 + 5x + 2 ) ( 2x 3 + x 2) + (5x + 2) ( 2x 3 + x 2) + 5 ( 2x 3) + ( x 2 ) + 5 2 ( x 3) + ( x 2 ) + 5 2 3x 2 + 2x + 5 6x 2 + 2x + 5 Overvej i vert trin ovenfor vilken regneregel der benyttes Sætning 9.4. Differentialkvotient af et produkt Hvis funktionerne f og g er differentiable i x, så er produktet (f g) (x) f (x) g (x) også differentiabel i x, og der gælder (f g) (x) f (x) g (x) + f (x) g (x). 12
Bevis. Som før benytter vi tretrinsreglen, nu på funktionen F (x) f (x) g (x). Trin 1: F F (x + ) F (x) f (x + ) g (x + ) (f (x) g (x)). Trin 2: Vi omskriver tælleren ved at lægge 0 f (x) g (x + ) + f (x) g (x + ) til, og vi får F f (x + ) g (x + ) f (x) g (x) f (x + ) g (x + ) f (x) g (x + ) + f (x) g (x + ) f (x) g (x) [f (x + ) f (x)] g (x + ) + f (x) [g (x + ) g (x)] g (x + ) + f (x) g g (x + ) f (x) g + g (x + ) + f (x) g Trin 3: Vi skal bestemme grænseværdien af F for gående mod nul. Men vi kender grænseværdien af og g, som v. er f (x) og g (x). Da g er differentiable i x, og derfor også kontinuert i x, gælder der at g (x + ) g (x) for 0. Dermed ar vi: g (x + ) + f (x) g f (x) g (x) + f (x) g (x) for 0. Så F f g er differentiabel i x med differentialkvotient: F (x) (f g) (x) f (x) g (x) + f (x) g (x). Vi ar nu fundet differentialkvotienten af følgende simple funktioner: f (x) x ax + b k x 2 x 3 x 1 x f (x) 1 a 0 2x 3x 2 1 x 2 1 2 x Der er et mønster i disse differentialkvotienter: (x) 1 ( x 2 ) 2x ( x 3 ) 3x 2. Disse tre differentialkvotienter passer i formlen (x n ) n x n 1 for n 1, 2, 3. Faktisk gælder denne formel for alle naturlige tal n. 13
Sætning 9.5. Differentialkvotienten af x n Funktionerne x n for alle n N, er differentiable i alle x R, og der gælder: (x n ) n x n 1 Bevis. Beviset føres ved at vise, at vis reglen gælder for den n te potens af x, så gælder den også for den n + 1 te potens af x. Vi antager derfor at der for et eller andet n N gælder (x n ) n x n 1. Så benyttes produktreglen på funktionerne x n 1 og x: ( x n+1 ) (x x n ) (x) x n + x (x n ) 1 x n + x n x n 1 x n + n x n (n + 1) x n Dette er netop reglen for potensen n + 1. Så vis reglen gælder for ét tal n i talrækken N, så gælder det også for det næste tal, n + 1, i rækken. Men den gælder jo for n 1. Derfor slutter vi, at den gælder for alle tal n N. Den netop benyttede bevismetode kaldes induktion. Induktion betyder at slutte fra det enkelte til det almene. Vi beviser, at vis et nummer i rækken ar en bestemt egenskab, så vil det næste nummer i rækken også ave den egenskab. Hvis vi desuden ved, at det første i rækken ar egenskab, så slutter vi, at alle ar den. 10 Sammensatte funktioner Definition 10.1. Lad f : B C og g : A B være to funktioner. Sammensætningen af f og g f g, læses f bolle g, er funktionen f g : A C defineret ved f g (x) f (g (x)). Definitionsmængden for f g er Dm (f g) {x Dm (g) g (x) Dm (f)}. Definitionsmængden er altså de x i definitionsmængden for g, vorom der gælder at g (x) ligger i definitionsmængden for f. Eksempel 10.2. Hvis vi betragter de to funktioner f (x) 1 x 2 og g (x) 3x + 2. Da er Dm (f) [ 1, 1] og Dm (g) R. Vi vil finde den sammensatte funktion f g, så først finder vi definitionsmængden for f g: Dm (f g) {x Dm (g) g (x) Dm (f)} {x R 1 3x + 2 1} { x R 1 x 1 } 3 [ 1, 1 ]. 3 14
Vi finder nu f g (x) f (g (x)) 1 (3x + 2) 2 3 12x 9x 2. Men omvendt ar vi Dm (g f) {x Dm (f) f (x) Dm (g)} { x [ 1, 1] } 1 x 2 R [ 1, 1], og g f (x) g (f (x)) 3 1 x 2 + 2. Vi bemærker at f g (x) g f (x). Det er således afgørende i vilken rækkefølge to funktioner sættes sammen. Sætning 10.3. Differentiation af en sammensat funktion Hvis funktionen f er sammensat af de to funktioner g og, f (x) g (x), vor g er differentiabel i x, og er differentiabel i g (x), så er f differentiabel i x med differentialkvotienten: f (x) (g (x)) g (x). Vi vil dog ikke bevise denne sætning, men illusterer brugen af den ved følgende eksempel: Eksempel 10.4. Hvis f (x) 2x 2 + x 5, så kan f betragtes som sammensat af to funktioner: g (x) 2x 2 + x 5 (den indre) og (x) x (den ydre). Så er f (x) (g (x)). Både g og er differentiable, og vi kender deres differentialkvotienter: g (x) 4x + 1 og (x) 1 2 x. Derfor er f differentiabel med differentialkvotienten: Øvelser f (x) (g (x)) g (x) 1 2 g (x) (4x + 1) 1 2 (4x + 1) 2x 2 + x 5 Øvelse 7 Vis, at vis funktionerne f og g er differentiable i x, så er differensen (f g) (x) f (x) g (x) også differentiabel i x, og der gælder (f g) (x) f (x) g (x). 15
Øvelse 8 Betragt funktionerne f (x) x og g (x) 2x 3 a) Bestem Dm (f g) og Dm (g f) og find en forskrift for både f g og g f. b) Bestem funktionsværdierne f g (2) og g f (2). Øvelse 9 Skriv funktionen f (x) dens differentialkvotient. 1 4x + 2 som sammensat af simplere funktionsudtryk og bestem Øvelse 10 Forklar vordan følgende sætning kan bevises va. nogle af de viste regneregler for differentialkvotienter: Sætning 10.5. Differentialkvotienten af en brøk. Lad f og g( være ) differentiable i x, og antag at g (x) 0. Så er brøken mellem de to f funktioner (x) f (x) differentiabel i x med differentialkvotienten: g g (x) ( ) f (x) f (x) g (x) f (x) g (x) g (g (x)) 2 Øvelse 11 Lad f (x) x n, vor n er et negativt elt tal. Vis, at f (x) n x n 1. 16