Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras og andre sætninger

Pythagoras Pythagoras fra den græske ø Samos levede i det 6. århundrede f.v.t. fra ca. 580 til ca. 500. Han lægger som sagt navn til den sætning, vi tidligere har nævnt, og som det afbildede græske frimærke på den foregående side viser et eksempel på. Selve sætningen kan føres tilbage til babyloniske kilder, der er mindst 1000 år ældre end Pythagoras. Men hvem der er ophavsmand til det første bevis, står hen i det uvisse. Men nogle hundrede år senere kan vi finde 2 forskellige beviser for sætningen hos Euklid. Pythagoras lægger iøvrigt også navn til pythagoræiske talsæt: det vil sige 3 heltal, der svarer til sidelængderne i en retvinklet trekant. Et par eksempler er: {3; 4; 5} og {5; 12; 13} Nu vil vi bevise hans sætning med et af de mange beviser, der i tidens løb er fremkommet. Du kan finde en lang række andre beviser på http://www.cut-the-knot.org/pythagoras/index.shtml Det første, der nævnes der, er det ene af Euklids beviser for sætningen: nemlig I.47 fra Euklids første bog. De fleste af de øvrige sætninger i dette kapitel er direkte eller indirekte afledt af denne sætning. 65

Pythagoras sætning For enhver retvinklet trekant gælder: kvadratet på hypotenusen er lig med summen af kateternes kvadrater. 16 Bevis Hovedideen i beviset vises her; detaljer fremgår af den efterfølgende opgave: 1. Vi har givet en vilkårlig retvinklet trekant (her kaldt ABC) med tilhørende kvadrater; c er hypotenusen og a og b er kateterne 2. Vi betragter summen af kateternes kvadrater (svarende til arealet af den sammensatte blårøde figur) 3. Vi fjerner et areal svarende til 2 gange trekantens areal (markeret med sort) - og lægger det samme til et andet sted (rød og blå trekant). Det samlede areal er uforandret. 16 "Kvadratet på hypotenusen" kan opfattes: 1) som arealet af det kvadrat, der har samme sidelængde som hypotenusen eller 2) som tallet, der fortæller hvor stort kvadratets areal er (og det får man ved at gange hypotenusens længde med sig selv.) I det bevis der følger, vises sammenhængen for arealerne, men deraf følger sætningen (hvor der bruges tal): hypotenusen 2 = katete 2 2 1 + katete 2 eller forkortet: hyp 2 = k 2 2 1 + k 2 66

Den nye figur (til højre) er et kvadrat med samme side som hypotenusen; dermed er sætningen bevist. Opgave: Om frimærket fra kapitlets forside Vi måler længder på figurerne ved at sætte sidelængden på de helt små tern til 1 (en). Den hvide trekant i midten er retvinklet. Hvor lang er hypotenusen? Svar: Hvad er hypotenusens kvadrat (som tal)? Svar: Hvad er den mindste katetes kvadrat? Svar: Hvad er den største katetes kvadrat? Svar: Hvad er måleenheden for arealerne? Svar: Passer Pythagoras sætning i dette tilfælde? Svar: Hvorfor? Svar: 67

Opgave: Præciser argumentationen Der findes mange forskellige beviser for denne sætning. Her beviser vi den med geometriske argumenter; andre metoder benytter også algebraiske argumenter, det vil sige inddrager beregninger i argumentationen. Beviset gennemgås i et diasshow; det følger hovedideen som nævnt ovenfor, men er en mere detaljeret gennemgang. For at forstå beviset er det nødvendigt at besvare de spørgsmål, der kommer undervejs. Hent diasshowet: http://pc-p4.mimimi.dk/08/pythagoras/sakk.pps (fx. med Internet Explorer; højreklik og vælg 'fuld skærm'. Når du skal udskrive et dias, klik <ESC> og udskriv normalt. Følg instruktionen på skærmen. Detaljen med at dreje trekanterne kan ses på hjemmesiden: http://pcp4.mimimi.dk/c/pythagorasbevis.html Bemærk, at ingen af begrundelserne har noget med den valgte trekant at gøre. Du kan faktisk ændre på størrelse og beliggenhed af ABC - og gentage alle argumenterne. Omvendt Pythagoras For enhver trekant gælder: at hvis kvadratet på en af siderne er lig med summen af de to andres kvadrater, så er det en retvinklet trekant. Eksempel Vi har en trekant med siderne 5, 12 og 13. Beregnes kvadraterne fås hhv. 25, 144 og 169. Det ses nemt, at 25 + 144 = 169. Sætningen påstår så, at denne trekant er retvinklet. 68

Opgave Tegn en retvinklet trekant med kateter på 12 og 5 cm Beregn hypotenusens længde Begrund omhyggeligt, hvorfor din tegning har samme vinkler som trekanten i eksemplet med siderne 5, 12 og 13. Bevis Det generelle bevis overlades til dig selv. Opgave De oplyste tal er de tre sidelængder i 5 trekanter: T, S,... Sæt ud for de retvinklede. T: 16, 63, 65 S: 12, 16, 20 R: 20, 22, 29 P: 97, 72, 65 O: 65, 16, 63 Hvis trekanten er retvinklet, har du et pythagoræisk talsæt. Pythagoras i standardtrekanten Hvis v er en spids vinkel gælder cos 2 v sin 2 v =1 Bemærk betydningen af skrivemåden: cos 2 v =cos v cos v Bevis Tegningen ved siden af er en tilfældig valgt standardtrekant. Kald den ene spidse vinkel v. Skriv sidernes længder på tegningen. Benyt Pythagoras sætning. 69

Afstandsformlen Eksempel Opgaven er at beregne afstanden mellem P(-200;100) og Q(300;250) i det retvinklede koordinatsystem. Derfor dannes PQR; R vælges med det ene punkts x-værdi og det andet punkts y- værdi. Her har R koordinaterne (300;-100). PR er dermed parallel med x-aksen og QR med y-aksen. Trekanten er derfor retvinklet og Pythagoras sætning kan anvendes. Først beregnes længderne af kateterne: q = 300 - (-200) = 500 og p = 250 - (-100) =350 Værdierne indsættes i: hyp 2 = k 2 1 + k 2 2 : hvorefter r 2 = 500 2 + 350 2 r 2 = 372500 r = 610,3 r = 610 Det ses at, uanset om man beregner længden af kateten eller den tilsvarende negative 70

værdi, vil værdien af afstanden være den samme når tallene er indsat i formlen. Generelt fås sætningen: Hvis P(x 1 ;y 1 ) og Q(x 2 ;y 2 ) er 2 punkter i et retvinklet koordinatsystem, kan afstanden mellem dem beregnes som PQ = x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 Sætningen kan nemt generaliseres; i det 3-dimensionale rum fås helt tilsvarende: PQ = x 2 x 1 2 y 2 y 1 2 z 2 z 1 2 Sinus og cosinus igen Vi har tidligere defineret sinus- og cosinusfunktionerne ved hjælp af standardtrekanter. Definitionerne var gældende for alle spidse vinkler. Der er herunder tegnet et koordinatsystem og en enhedscirkel. A ligger i (0 ; 0), B er et punkt på enhedscirklen (kaldet retningspunktet) og C er et punkt på x-aksen med samme x-værdi som B. Link til figur: http://pc-p4.mimimi.dk/c/udvidetsinusdefinition Først bemærkes, at cos(a) = AC og at sin(a) = CB ifølge vor hidtidige definition, så længe B ligger i 1. kvadrant. Det vil sige, at koordinaterne til B(x B ;y B ) = (cos(a) ; sin(a)) sin(a) kunne derfor lige så godt være defineret som: sin(a) = y B, og tilsvarende for cos(a): cos(a) = x B. Hvis vi ændrer definitionen, får det ingen betydning for de hidtidige vinkler, men vi får nu mulighed for at finde sinus og cosinus til andre vinkler end hidtil. Ændringen af definitionen er en udvidelse; nu kan den anvendes på alle mulige vinkler: stumpe, rette, spidse osv. 71

Definition af sinus og cosinus (ny) For en vilkårlig vinkel v vælges (0 ; 0) som vinkelspidsen. Det ene vinkelben er x-aksen, det andet er en linje drejet vinklen v mod uret fra x-aksen. For v > 0 er x-aksen vinklens højre ben, for v < 0 er x-aksen venstre ben. Principielt kan et hvilkensomhelst gradtal (blandt de reelle tal) anvendes. Der hvor det drejede ben skærer enhedscirklen findes retningspunktet B(x B ;y B ). Så defineres sin(a) = y B, og cos(a) = x B. Herunder findes en enhedscirkel med en række retningspunkter. Lav en tabel med overskrifterne: Navn, Positiv vinkel, Negativ vinkel, cos(v), sin(v). Ud over rækken med overskrifter skal der være 8 rækker: en for hvert punkt. Benyt vinkelmåler. Udfyld tabellen. Forklar: hvorfor har fx vinklerne 120 og -240 samme sinusværdi? er der flere vinkler med præcis denne sinusværdi? hvor mange? Tegn en række tilfældige trekanter og mål sider og vinkler så præcist som muligt (med lineal og vinkelmåler.) Kald den første trekant ABC. a Beregn brøkerne: sin A ; b sin B ; c sin C Beregn de tilsvarende brøker for dine andre trekanter. Kan du se et mønster? Sammenlign dine beregninger med din sidemands beregninger. Kan I formulere en regel? (En sætning.) Hvis JA: skriv den herunder: 72

Sinusrelationerne I en vilkårlig ΔABC gælder: a sin A = b sin B = c sin C Bevis En vilkårlig ΔABC opdeles af en højde h i 2 retvinklede trekanter. I den brune retvinklede ΔACH er hypotenusen b; i forhold til vinkel A er h den modstående katete. Derfor gælder: h=b sin A Tilsvarende fås for den guleδbch, at hypotenusen er a og i forhold til vinkel B er h igen den modstående katete. Derfor fås: h=a sin B Da h er den samme i begge ligninger fås: b sin A =a sin B Divider begge sider med sin A sin B. b sin A sin A sin B = a sin B Forkort venstre side med sin A, sin A sin B b sin B = a sin A forkort højre side med sin B. På nøjagtig samme måde kan det vises ved at dele trekanten med højden fra B, at c sin C = a sin A Derfor er alle tre brøker lige store: a sin A = b sin B = c sin C hvilket skulle vises. 73

I beviset ovenover har vi forudsat, at ΔABC kunne opdeles i to retvinklede trekanter. Det er ikke altid tilfældet - se figuren her. Men bevis så, at også her gælder: h=b sin A Noter: hvor er den retvinklede trekant, hvor A er en spids vinkel og b er hypotenusen? h=a sin B Bemærk, at sin(b) = sin(180 -B) Derfor er det uden betydning, om højden falder indenfor eller udenfor trekanten. Typiske opgaver For at anvende sinusrelationerne skal du kende en af brøkerne, dvs. både tæller og nævner. Sagt på en anden måde: du skal kende både en vinkel og den tilsvarende modstående side. Så skal du yderligere kende en side eller en vinkel mere. Er den 3. oplysning en vinkel, kan du nemt beregne den sidste vinkel og indsætte de kendte tal i formlen: der er altid præcist et svar for de manglende størrelser. Er den tredje oplysning en sidelængde, kan der opstå 3 situationer: der er 1 løsning, 2 løsninger eller 0 løsninger. 17 Hvordan kan det gå til? Se på figuren ovenover: her er vinkel A givet, c er givet og a er givet. De 2 første størrelser er vist på figuren. Forestil dig nu, at a er meget lille! hvad sker der så? eller a er meget stor! hvad sker der så? og endelig, at a har en mellemstørrelse. Find svarene ved at tegne cirkler på figuren. 17 Når der skal findes vinkler, kan du skrive sinusrelationerne: sin A sin B sin C = = a b c Hvorfor er det også rigtigt? Hvorfor er det praktisk? 74

Eksempel I ABC er A= 75 ; a = 5 og c = 4. Beregn manglende sider og vinkler. Svar Sinusrelationerne gælder i enhver trekant, derfor gælder: a sin A = c sin C Ved indsætning fås: sin 75 5 sin C = eller = sin C 4 4 sin 75 5 C=sin 1 4 sin 75 5 sin A sin C = a c C = 50,60 = 50,6 18 Derefter kan B beregnes med reglen om vinkelsummen i en trekant; Β = 180 50,6 75 = 54,4 Den sidste side fås ved at anvende sinusrelationerne igen: a sin A = b sin B Ved indsætning fås: 5 sin 75 = b sin 54,4 5 sin 54,4 =b sin 75 b = 4,20 = 4,2 18 Sinus-ligningen har normalt to løsninger mellem 0 og 180 ; hvis v er løsning er 180 -v også en løsning. Dog skal det også gælde, at overfor den største side ligger den største vinkel. Men da a > c og A= 75 < 180 50,6 = 129,4, kan C ikke være 129,4. I tilfældet her er der kun én løsning. Det kan også nemt indses ved at konstruere trekanten. 75

Trekantsberegninger med sinusrelationer 19 I ABC er B= 68 og C = 59 ; c = 5. Beregn de manglende sider og vinkler. I ABC er Β= 68 og b = 8 og c = 10. Beregn de manglende sider og vinkler. Tegn en vilkårlig trekant og mål 3 af størrelserne heraf 1 eller 2 sider og mindst en vinkel overfor en kendt side. Beregn de manglende størrelser. Kontroller, at de beregnede mål stemmer overens med tegningen. Trekantens areal Arealet T for en vilkårlig trekant ABC kan beregnes som T = 1 2 bc sin A = 1 2 a c sin B = 1 2 a b sin C Bevis I beviset for sinusrelationerne viste vi, at h c =b sin A =a sin B Vælges c som grundlinje og h c som højde gælder: T = 1 2 h g= 1 2 b sin A c= 1 b c sin A 2 T = 1 2 h g =1 2 a sin B c= 1 og a c sin B 2 Den tredje sætning fås tilsvarende ved at benytte en af de andre højder. Cosinusrelationerne I en vilkårlig trekant gælder det, at a 2 =b 2 c 2 2 b c cos A b 2 =a 2 c 2 2 a c cos B c 2 =a 2 b 2 2 a b cos C Huskeregel: Sætningen kaldes også "udvidet Pythagoras". Den ligner den alm. sætning, men der er til sidst et "rettelsesled" med alle 3 bogstaver. Vinklen skal svare til siden på venstresiden af ligninen. 19 Lav nøjagtige tegninger, hvor mål kan kontrolleres. 76

Bevis 20 1.1 c=z w 1.2 c 2 = z 2 w 2 2 z w c deles ad H i linjestykkerne z og w fås af 1.1 1.3 z=b cos A som fås af sætningen om den hosliggende katete anvendt på den venstre (blå) retvinklede trekant 1.4 h 2 =b 2 z 2 og h 2 =a 2 w 2 som fås af Pythagoras sætning anvendt på den blå og den røde trekant som følger af 1.4 1.5 a 2 w 2 =b 2 z 2 a 2 =b 2 z 2 w 2 a 2 =b 2 c 2 z 2 w 2 c 2 1.6 a 2 =b 2 c 2 z 2 w 2 z 2 w 2 2 w z a 2 =b 2 c 2 2 z 2 2 w z a 2 =b 2 c 2 2 z z w som følger af 1.5 idet 1.2 benyttes 1.7 a 2 =b 2 c 2 2 b cos A c a 2 =b 2 c 2 2 b c cos A som følger af 1.1 og 1.3 QED 20 Det forudsættes stiltiende, at c kan deles i to linjestykker af punktet H (som er fodpunktet for højden.) Selvom det ikke er tilfældet kan sætningen også bevises, men det gøres ikke her. 77

Gennemfør nu beviset i det tilfælde, at H ligger på linjestykket AB's forlængelse. Er sætningen også rigtig, hvis A (eller B) og H falder sammen? Hvad ville en af sætningerne hedde i trekant TUV? Cosinusrelationerne anvendes typisk til at finde den tredje side når du kender den modstående vinkel og de to andre sider at finde vinkler i en trekant med tre kendte sider Find vinklerne i en trekant med siderne 4,2; 6,0 og 5,8. Find den tredje side i en trekant, hvor den modstående vinkel er 116 og de to kendte sider har længderne 31 og 45. Renskriv den fulde løsning til den sidste opgave herunder. 78

Egne geometriopgaver for par eller grupper II Alle gruppens medlemmer laver opgaver til hinanden vha. hjemmesiden pcp4.mimimi.dk/c/trekantsmaal På hjemmesiden trækker opgavestilleren punkterne A, B og C til en tilfældigt valgt position og udskriver siden i et passende antal eksemplarer. For de sider, der skal udleveres, skjuler du først algebravinduet: Menuen: Vis / Algebra vindue Til gengæld noterer opgavestilleren 3 af oplysningerne (om sider, højder eller vinkler eller arealer eller andre størrelser) fra sin egen kopi på de sider der udleveres til de andre. Benyt alle decimaler. Skriv spørgsmålstegn på tegningen for de størrelser, der ønskes beregnet. Beregninger foretages på løse ark. Svar skal gives med samme antal decimaler som de oplyste størrelser. For ikke at lave unøjagtige beregninger pgra. afrunding af mellemfacit er det en god vane 1. At udskyde brug af lommeregner indtil du kan finde det ønskede direkte uden at skulle genindtaste mellemfacitter. 2. Hvis du skal bruge et tidligere beregnet resultat, bruger du ikke det nedskrevne resultat, men ét, du har gemt i lommeregnerens hukommelse. T er arealet, A = α, B = β og C = γ. δ = ½ β. 79