Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 1 Opgave 1 Løs ligningen: 3(2 x+1)=4 x+9 Løsning 3(2 x+1)=4 x+9 6 x+3=4 x+9 6 x+3 3=4 x+9 3 6 x=4 x+6 6x 4 x=4 x+6 4 x 2 x=6 2 x 2 = 6 2 x=3 Opgave 2 P(3,1) er et punkt på grafen for funktionen f(x) = 7x + b, hvor b er et tal. b bestemmes f (3)=31 7 3+b=31 21+b=31 21+b 21=31 21 b=10 Opgave 3 Der er givet to ensvinklede trekanter; på tegningen er der oplyst tre af sidelængderne. Beregn DE Da trekanterne er ensvinklede, findes der en fælles forstørrelsesfaktor k. Da siderne b og e ligger overfor lige store vinkler, kan k beregnes som e/k. De kendte størrelser indsættes: k = 20/5 = 4 Da f og c ligger overfor lige store vinkler, er f en forstørrelse af c, og kan beregnes som: f = k c. De kendte tal indsættes: f =4 3=12 eller DE = 12

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 2 Opgave 4 Prisen for vareudbringning er givet ved funktionen kroner for at transportere varer x km. f (x)=15 x+75, hvor f(x) er prisen i Prisen for at transportere varer 10 km f (10)=15 10+75=225 Prisen for at transportere varer 10 km er kr. 225 Parametrenes betydning Parameteren a=15 (hældningskoefficienten) betyder, at for hver km, der køres længere, stiger den samlede pris med 15 kr. Parameteren b=75 (begyndelsesværdien) er et startgebyr, der skal betales udover den betaling, der afhænger af, hvor langt der køres. Opgave 5 Grafen for en eksponentiel funktion går gennem P(1,6) og Q(3,24) Beregning af parametre For eksponentielle funktioner gælder: a= x 2 x y 1 2 og b= y 1 y 1 a x 1 Koordinaterne fra de to punkter indsættes i den første formel: a= 3 1 24 6 = 4=2 2 De kendte størrelser indsættes i den anden formel: b= 6 2 1 =3 Parametrene er: a=2 og b=3 Opgave 6 Tredjegradspolynomiet er givet. Løs f'(x)=0 f ' ( x)=3 x 2 3 2 x 9=3 x 2 6 x 9 f ' ( x)=0 3 x 2 6 x 9=0 x 2 2 x 3=0 x= ( 2)± 16 2 1 x= 1 x=3 idet a=1, b=-2, c=-3 og d =2 2 4 1 ( 3)=4+12=16 L={ -1 ; 3}

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 3 Monotoniforholdene for f Da f'er en andengradsfunktion og a > 0, bliver fortegnsvariationennfor f' som vist i tabellen herunder: x x < -1 x= -1-1 < x < 3 x = 3 3 < x f'(x) + 0-0 + f(x) voksende lok. maks. aftagende lok. min. voksende I ] ; -1] vokser f (da f'(x) > 0) I [-1 ; 3] aftager f (da f'(x) < 0) I [3 ; + [ vokser f (da f'(x) > 0)

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 4 Opgave 7 Forskrifterne for funktionerne f og g er givet (se herunder). Bestem f(8) Efter at have indtastet funktionsforskrifterne, beregnes f(8) som f_8 =f(8), dvs. f(8) = 24 1 Bestem toppunkt x-værdien i toppunktet beregnes som y-værdien beregnes som f(3,5) = 3,75 b 2 a ; x= ( 7) (1 2) =3,5 T = (3,5 ; 3,75) 2 1 Eller f (8)=8 2 7 8+16 2 Der er flere måder at finde toppunktet på; fx direkte med formlen T =( b 2 a, d 4 a )

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 5 Løs ligning Ligningen f (x)=g( x) løses ved at finde x-værdier for skæringspunkterne mellem graferne, som derefter kan aflæses: L = {3 ; 5} 3 Opgave 8 I en tabel vises 4 samhørende værdier af løbedistancer målt i km (x) og tiden målt i sekunder (y).sammenhængen beskrives meden funktion af typen f (x)=b x a, dvs. en potensfunktion. Bestem parametre Parametre bestemmes ved potensregression (med GeoGebra): I algebravinduet ses funktionsforskriften for f; parametre kan aflæses som: a = 1,06 og b = 186 (idet jeg har afrundet til 3 betydende cifre) Modeltid for et maraton-løb Med den fundne model findes tiden som f(42,195) = 9826,9 Dvs. at løberen ifølge modellen vil kunne løbe et maratonløb på ca. 9830 sekunder. 3 Ligningen er ensbetydende med x 2 7 x+16= x+1 som løses som sædvanlig andengradsligning; først ændres ligningen, så højresiden er 0 (nul).

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 6 Opgave 9 Trekant ABC har målene på tegningen; yderligere vides, at dens areal er 25. Beregn vinkel A 1( mk Vinkel A beregnes i den retvinklede trekant ABH. Derfor kan sætningen v=sin hyp) benyttes. De oplyste tal indsættes: Vinkel A=sin 1( 5 7) Vinkel A=45,6 o Beregn AC I enhver trekant gælder arealformlen T = 1 2 h g og med den oplyste højde fås: 25= 1 2 5 g 10=g AC = 10 Beregn omkredsen Først beregnes længden af a i trekant ABC med cosinusrelationerne (der gælder i alle trekanter): a 2 =b 2 +c 2 2 bc cos( A) Heri indsættes de oplyste og beregnede størrelser: a 2 =10 2 +7 2 210 7 cos(45,6) a= (10 2 +7 2 4 210 7 cos(45,6)) a=7,14 Omkredsen = 7,14 + 7 + 10 = 24,14 Omkredsen = 24,1 Opgave 10 Minimum og maksimum samt kvartilsættet er oplyst for nogle ål fanget ved Ribe å. Boksplot tegnes Med kommandoen: Boksplot[2, 1, 35, 58, 73, 81, 97] tegnes det ønskede Boksplot, hvor de to første parametre udelukkende bestemmer layout. (Se næste side) 4 Selvom ligningen har en negativ løsning, kan den ikke benyttes som en længde.

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 7 Opgave 11 Funktionen f (x)= ( x) x+2 afgrænser sammen med koordinatakserne et område M Arealet bestemmes Forskriften indtastes i GeoGebra (hvorved grafen tegnes); skæringspunkt(er) mellem x- akse og graf findes: A. Første koordinat (x-værdi) for A er 4. Da f(x) > 0 i intervallet [0 ; 4[, fås arealet af M som: 0 4 f ( x)dx, som beregnes af GeoGebra med kommandoen: Integrale[f,0,x(A)] Arealet af M = 5,33

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 8 Opgave 12 En influezaepidemi kan beskrives ved modellen, der er gengivet herunder: Tegn grafen Grafen for N er gengivet herover som den blå graf. Dog er der benyttet x som den uafhængige variabel. N(5) findes med: N_5=N(5): I algebravinduet ses: N(5) = 87,7 Beregn N'(12) N'(12) findes som N'_{12} = N'(12) = 63,3 med GeoGebra. Det betyder, at 12 dage efter udbruddet stiger antallet af ramte med ca 63 influenzaramte hvert døgn. Det gælder i den periode, hvor den grønne tangent er tæt på den blå graf. Opgave 13 En kasse har mål som vist på figuren: Bestem kassens overfladeareal Bunden = x 2 Låget = x 2 π (0,4 x) 2 Sider (hver) = x h idet der er benyttet formler for hhv. kvadrat, cirkel og rektangel.

Ib Michelsen Vejledende løsning stxb 101 9 Overfladearealet=x 2 + x 2 π 0,16 x 2 +4 x h Overfladearealet=(2 0,16 π) x 2 +4 x h Minimer overfladeareal Idet rumganget = 10, fås ligningen 10=h x 2 10 x 2 =h h= 10 x 2 Overfladearealet=(2 0,16 π) x 2 +4 x h Overfladearealet=(2 0,16 π) x 2 +4 x 10 x 2 Overfladearealet=(2 0,16 π) x 2 + 40 x Overfladearealet indtastes som en funktion af x i GeoGebra: For at finde x-værdien, der minimerer Overfladearealet, findes den afledte funktions nulpunkter. Der er kun ét: heraf ses, at funktionen er aftagende i [0 ; 2,37] da den afledte funktion har negative værdier i intervallet og voksende i [2,37 ; 10] da den afledte funktion har positive værdier i intervallet og Overfladearealet har minimum for x = 2,37 (x-værdien i A)