Af a S
Statik s.4-6 o Forklarg p ikke og grupperede statik s.4 o Ikke grupperede s.4 o Grupperede s.6 Tal- og bogstavregng s.8-11 o Tal s.8 o Regnearterne s.8 o Parteser s.8 o Brøker s.8 o Potr s.10 o Rødder s.11 Lignger og formler s.12-15 o Lignger s.12 o Lignger med brøker s.12 o Lignger med potr og rødder s.13 o Formler s.13 o Uligheder s.14 Proct- og rtesregng s.16-23 o Proct s.16 o Proctdel af et tal s.16 o Et tal som proctdel af et andet tal s.16 o At lægge proctdel til s.16 o At trække proctdel fra s.16 o F-faktor s.17 o Anvdelse af F-faktor i proctregng s.17 o Rteforml s.17 o Proctvise stigng i forskellige tidsrum s.19 o Gnemsnitlig proct s.20 o Indekstal s.21 o Annuitetsopsparg s.22 o Annuitetsln s.23 Geometri s. 24-34 o Trekanter s.24 o Forstørrelsesfaktor s.25 o Retvklet trekanter s.26 Pythagoras sætng s.26 Sus, cosus og tange relationerne s.26 o Vilkrlige trekanter s.27 Cosusrelationerne s.27 Susrelationerne s.30 o Ligebet trekanter s.33 Indholdsfortegnelse Lavet af a S 2
Variabelsammhænge s.35-38 o Regneforskrifter og støttepunkter s.35 o Koordatsystem s.35 o Mere om funktiobegrebet s.37 Leære funktioner s.39-43 o Leær funktioner s.39 o Betydng af a og b s.39 o Leære væksttype s.40 o Beregng af a og b s.41 o Grafisk og algebraisk løsng af leære funktioner s.41 o Leære modeller s.42 o Leære regression s.43 Ekspontielle funktioner s.44-49 o Ekspontielle funktioner s.44 o Graf s.45 o Ekspontielle lignger s.45 o Betydng af a og b s.46 o D ekspontielle væksttype s.46 o Beregng af a og b s.47 o Fordoblgskotant og halvergskotant s.47 o Ekspontielle modeller s.48 o Ekspontiel regression s.49 Potefunktioner s.50-53 o Potefunktioner s.50 o Graf s.50 o Potelignger s.50 o Potevækst s.51 o Beregng af a og b s.52 o Potemodeller s.52 o Poteregression s.53 Ligefrem og omvdt proportionalitet s.54 o Ligefrem og omvdt proportionalitet s.54 o Omvdt proportionalitet s.54 Magic papers s.55 o Pote og rtesregng s.55 o Retvklet trekanter s.57 o Vilkrlige trekanter s.58 o Funktioner s.59 o Funktio lignger s. 60 Lavet af a S 3
Statik Nr man snakker om statik er der altid snak om nogle observationer som kan være grupperede og ikke grupperede. Man kan kde grupperede p at der er tervaller som ser sdan her ud [30;40[og man kan kde ikke grupperede p at der bare er nogle observationer som sdan her 7. Man taler ogs om hyppighed, frekve, kumuleret frekve, middeltal/gnemsnit, median, øvre kvartil, nedre kvartil mdste værdi og største værdi m ved grupperede er der ogs terval midtpunkt Ikke grupperede: Til ikke grupperede skal man bruge et pdediagram, et trappediagram og et blokspot Obs. observationer Hyp. hyppighed Frek. frekve Kum. Frek. kumuleret frekve Sum i alt Obs. Hyp. Frek. Kum. frek. 00 4 0,08 0,08 6 4 8 0,12 0,08 0,12 0,20 0,16 0,2 0,16 0,36 7 16 0,32 0,36 0,32 0,68 10 12 12 4 0,24 0,68 0,24 0,92 0,92 0,08 1 0,08 Sum 50 02 Hyppighed er hvor mage der er af hver af dem. Frekve er nr man tager hyppighed og dividere med summ af hyppighed. D kumuleret frekve er nr man tager og ligger alle frekvrne samm 1 1 Til pdediagrammet bruger man frekve til at fde højd p pdde P y-aks er det frekve der str fra 0 til 1 P x-aks er der hvor observationerne str Lavet af a S 4
Til trappediagrammet bruger man d kumuleret frekve P x-aks er der hvor observationerne str P y-aks er det frekve der str fra 0 til 1 Nr man skal lave trapp skal man lave to punkter ude fra hand s mellem 00 og 02 skal man tegne streg ved 0,08 og ig ved 02 og 4 tegner m streg ved 0,20 og sdan forsætter man Til blokspottet skal man kde mdste værdi, største værdi, nedre kvartil, median og øvre kvartil Nedre kvartil 4 Median 7 Øvre kvartil 10 Mdste værdi 00 Man fder dem p trappediagrammet ved at tegne nedre kvartil som er ved 0,25 som er 25%, median ved 0,50 som er 50% og øvre kvartil ved 0,75 som er 75% og stregerne skal tegnes fra yaks og ud til trapp og derefter ned p x-aks. M hvis man ikke har et trappe diagram vil man kunne fde det p dne her mde: Median vil man kunne fde midt punktet som i eksemplet her hvor der er et ulige antal observationer: 02, 4, 7, 10, 12 M hvis man s har et lige tal observationer vil man skulle gøre som i eksemplet her: 00, 02, 4, 7, 10, 12 Man tager de to midterste observationer og plusser dem med hand derefter tager man det resultat og dividerer med to Største værdi 12 5,5 Nedre og øvre kvartil vil man skulle fde ved at bruge mere eller mdre samme prcip som ved median bortset fra at man vil skulle fde nedre kvartil blandt de grønne observationer og man vil skulle fde øvre kvartil blandt de gule observationer. Ved de beregnger skal man huske at forholde sig til om der er et lige eller ulige antal observationer. S blokspottet vil se sdan her ud Middeltallet fder man ved at ligge alle obs. Samm antal gange de forekommer og dividere med antallet (00 4) (02 6) (4 8) (7 16) (10 12) (12 4) Lavet af a S 324 6,48 50 5
Grupperede: Interval obs. terval observationer Hyp. hyppighed Frek. frekve Kum. Frek. kumuleret frekve Sum i alt Interval obs. Hyp. Frek. Kum. Frek. 30; 40 6 0,12 0,12 Interval midt. ( ) 35 ( ) 45 ) 55 ) 65 75 15 0,30 50; 60 17 0,34 0,42 0,34 0,76 ( 60; 70 5 0,10 0,76 0,10 0,86 ( 70; 80 3 0,06 0,86 0,06 0,92 ( ) 0,06 0,92 0,06 0,98 ( ) 90; 100 Sum 3 1 50 80; 90 0,02 1 Hyppighed og frekve og kumuleret frekve er det samme som før m terval midtpunkt er at man plusser de to terval observationer og divider det tal med 2 40; 50 0,2 0,30 0,42 Interval midt. terval midtpunkt 0,98 0,02 1 ( 85 ) 95 1 y-aks er frekve fra 0 til 1 x-aks er tervallerne fra 30 til 100 Til hogrammet bruger man frekve til at fde højderne p søjlerne Lavet af a S 6
Til sumkurv bruger man d kumuleret frekve y-aks er frekve fra 0 til 1 x-aks er tervallerne fra 30 til 100 Mdste værdi 30 Nedre kvartil 44 Til blokspottet skal man ig kde mdste værdi, største værdi, nedre kvartil, median og øvre kvartil Man fder dem p sumkurv t ved at tegne nedre kvartil som er ved 0,25 som er 25%, median ved 0,50 som er 50% og øvre kvartil ved 0,75 som er 75% og stregerne skal tegnes til de rammer graf og s lig ned Median 52 Øvre kvartil 59 Største værdi 100 S blokspottet vil se sdan her ud Middeltallet fder m ved at tage tervalmidtpunktet og ganger med hyppighed og s plusser man alle talle samm og til sidst dividere man det med summ af hyppighed (35 6) (45 15) (55 17) (65 5) (75 3) (85 3) (95 1) Lavet af a S 2720 54,4 50 7
Tal- og bogstavregng Tal: Der er de naturlige tal N(1,2,3,4,5...), de hele tal Z(...-3,-2,-1,0,1,2,3...), de rationale tal Q,,, og de irrationale tal som er et tal som ikke kan skrives som brøk med et helt tal i tæller og nævner Ex., 2 4,,, 100 3 9 5 1, 0,, 2 6 ℎ ø ( ) / ) ( æ 1. 2. 3. 4. Regnearter: Parteser: Regneregler nr der er parteser med i et regnestykke 1. Man ganger et tal med partes ved at man ganger tallet d i partes ( ) ( )( ) 2. Man ganger to parteser med hand ved at man ganger hvert led i d første partes med hvert led i d and partes ( )( ) ( )( )( )( ) 3. Man hæver plus partes ud at ændre fortegne i partes ( ) 4. Man hæver mus partes ved at ændre fortegne p ledde i partes ( ) Brøker: Nr man plusser, ganger, musser, divider, forlænger, forkorter brøker med hand og ganger eller divider brøker med et helt tal 1. Nr man forkorter brøk skal man fde et tal der gr op i bde tæller og nævner og s divider man med tallet i bde tæller og nævner : : Ex. 40: 4 8 28: 4 7 2. Nr man forlænger brøk skal man fde et tal der gr op i bde tæller og nævner og s ganger m med det tal i bde tæller og nævner Ex. Lavet af a S 8
8 4 40 7 4 28 3. Nr man skal skaffe fælles nævner for to brøker og kan man ved at forlænge ved at gange med d i bde tæller og nævner og for at forlænge ved at gange med b i bde tæller og nævner for s har man fælles nævner da man ganger b og d med hand og det vil give det samm resultat begge gange Ex. 1 5 1 2 5 3 2 15 3 2 32 23 6 6 4. Nr man ligger to brøker samm skal de to brøker have samm nævner og s ligger man dem bare de to tæller samm Ex. 2 15 2 15 17 6 6 6 6 5. Nr man trækker to brøker fra hand skal de to brøker have samme nævnere og derefter trækker man bare de to tæller fra hand Ex. 2 15 2 15 13 6 6 6 6 6. Man ganger to brøker med hand ved at man ganger tæller med tæller og nævner med nævner Ex. 1 5 15 5 3 2 32 6 7. nr man dividere to brøker med hand ved at man ganger d første brøk med d and brøk som bare er omvdt og det vil sige at de tæller og nævner skifter plads Ex. 1 5 1 2 12 2 3 2 3 5 3 5 15 8. Man ganger brøk med et helt tal ved at man ganger tallet med tallet i tæller og beholder d samme nævner Ex. 9. 5 5 4 20 4 6 6 6 Nr man divider brøk med et tal ganger man det tal i nævner og beholder tæller Lavet af a S 9
: Ex. 1 1 1 :2 4 42 8 10. Nr man divider et tal med brøk ganger man tallet med d omvdte brøk : 6 5 5 5 25 5: 5 5 6 6 6 hvor a er et positivt tal og kaldes grundtallet og n kaldes ekspont og. 5 555555 1 Potr: En pote er et tal p form deferes sdan her.5 3. 4. 2 ( ). ) 1 555 2. 3 2 (3 2) 6 1,5 5. (. Desud defere man at 1 Poteregneregler: A og b er positive tal og m og n er rlle tal gælder de regler 1.. 2 2 2 2 2. Ex.. (2 ) 2 2 Ex. For et positivt tal x er logx bestemt ved 10 log 100 2 10 100 log 10 1 10 10 log 1 0 10 1 10 log 0,1 1 0,1 Logx er alts det tal som 10 skal opløftes med for at give x Logaritmeregneregler: For positive tal a og b samt rlle tal x gælder 1. log( ) log log. log 2 log 10 log(2 10) 2. log( : ) log log. log 10 log 2 log(10: 2) 3. log( ) log. log(5 ) log 5 Lavet af a S 10
Rødder: Lad n være et tal der er forskelligt fra 0 ved d n'te rod af det positive tal a forsts som et positivt tal x som er opløftet i n'te pote giver a d n'te rod af a betegnes der gælder alts ℎ Ex. 2 8 2 16 2 8 2 16 S for positive tal x og y ℎ Ex. ℎ Ex. 7 7 343 11 11 3,31 Lavet af a S 11
Lignger og formler Omformngsregler for lignger: 1. man m lægge det samme tal til p begge sider af lighedstegnet 2. man m trække det samme tal fra p begge sider af lighedstegnet 3. man m gange med det samme tal p begge sider af lighedstegnet (dog ikke 0) 4. man m divider med det samme tal p begge sider af lighedstegnet (dog ikke 0) Eksempler: 4 3 11 3 HUSK Det modsatte af 4 3 3 11 3 4 8 : 4 4 8 4 4 og omvdt 2 3 4 6 11 4 3 4 4 6 11 4 3 6 15 6 3 6 6 15 6 3 15 3 15 3 3 : 3 5 Lignger med brøker: Nr der s er brøker i ligng skal man fde et man ganger med tæller s det kan g op med nævner og blive et helt tal og hvis der er flere brøker i ligng skal tallet g op i alle de brøker der er i ligng Man ganger med 6 da bde 3 og 2 gr op i 6 og man laver derfor partes op det oprdelige og ganger 6 d i partes for at ophæve d og derefter skrive d r over to tr Og derefter regner man det bare som alle andre lignger 1 1 3 1 2 3 6 6 1 1 3 6 1 2 3 6 6 18 6 2 3 3 18 2 6 2 3 18 2 2 6 2 18 6 18 18 18 6 18 24 Lavet af a S 12
Lignger med potr og rødder: Nr man snakker om lignger med potr og rødder snakker man om at y er positive tal Eksempel: 144 1,5 ±12 17,08 ± 144 og at x og Man gør det modsatte af kvadratrod som er at tage og opløfte det der er p d and side af lighedstegnet for at fde x 1,5 Man gør det modsatte af opløftet som er at tage kvadratrod af det der er p d and side af lighedstegnet for at fde x s er M hvis der er uvelkomm gæst skal man fjerne d før man modregner kvadratrod eller opløftet Eksempel: 2 (1 ) 16 D uvelkomm gæst her er 2 s derfor divider man med 2 for at fjerne 2 : 2 2 (1 ) 16 2 2 (1 ) 8 8 Man gør det modsatte som man gjorde i de andre eksempler 1 8 1 2 1 1 1 21 Formler: For et kvadrat 1 y (2 ) (2 ) x For cirkel r d Eksempel p at fde radius nr arealet er 55 2 r radius d diameter 55 55 : 17,51 s ud fra det kan man se at hvis man mangler et tal s kan man fde de manglde tal ved hjælp af ligng der er flere eksempler p næste side Lavet af a S 17,51 17,51 4,18 13
fde svgngstid nr pdulets længde er 5 meter T svgngstid i sekunder L pdulets længde i meter 2 2 9,81 5 9,81 2 9,81 9,81 9,81 2 25 2 æ 1,8^2 23 æ 3,24 3,24 23 3,24 12,5 12,5 9,81 : ) æ 3,24 3,24 æ 74,52 9,81 3,97 9,81 3,97 23 2 æ (ℎø : 2 3,97 25 2 Fde vægt nr man ved at højd er 1,8 og BMI' er 23 Fder pdulets længde nr svgngs tid er p 25 sek 4,48 15,82 9,81 9,81 9,81 15,82 9,81 9,81 9,81 155,3 Uligheder: Nr man snakker omkrg uligheder s snakker man faktisk mere eller mdre om lignger da de samme regler gælder her d este forskel der er at nr man dividere eller ganger med et negativt tal s vder ulighedstegnet sig. Lavet af a S 14
HUSK: Hvis man ganger eller divider med et negativt tal vder ulighedstegnet sig ø ø Løsngsmængde til tallje og tervalform: 3; ; 3 : 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 ø : 1 2 3 4 5 3; ; 3 1 2 3 4 5 : ø : Nr man regner ulighed skal man huske at skrive løsngsmængd i bde tallje og tervalform for selve opgave er ikke helt færdig før det er gjort Eksempler: 3 6 18 3 66 18 6 6 3 12 3 3 12 3 :3 2 3 4 5 6 ; 4 4 3 2 4 3 2 4 1,5 1 0,5 0 0,5 4 2 4 2 0,5; 4 2 2 42 4 2 4 4 2 4 : 4 0,5 Lavet af a S 15
Proct- og rtesregng Proct: Nr man skal lave decimalt tal om til procttal og omvdt. For at f decimaltal skam man divider med 100 og for at f procttal skal man gange med 100% Fra proct til decimaltal 0,234 100% 23,4% 1,47 100% 147% 1066,2 100% 106620% 0,0079 100% 0,79% % 0,50 % 0,25 % 1 % 0,1096, Fra decimaltal til proct 12% Proct af et tal: Nr man skal fde proctdel af et tal skal man tage proct og divider med 100 s man fr proct i decimaltal, det tal tager man s og ganger med det tal man skal fde proctdel af Eksempel: 300 250% 300 0,12 300 36 30 30 2,5 30 75 Et tal som er proctdel af et andet tal: D proctdel som et af talle udgør af et andet tal, fder man ved, at man tager det første tal og divider med det andet tal. Det resultat ganger man med 100% for, at fde d proctdel det e tal udgøre af det andet tal 0,25 100% 25% 0,34 100% 34% At lægge proctdel til: Nr man skal lægge proctdel til et tal, skal man tage proct og divider med 100. Det tal det giver skal man gange med det tal man undersøger, og til sidst plusser man det tal man undersøger med det tal man fandt ved at bearbejde proct 17% 200 200 34 200 34 234 Eller ved hjælp af Ffaktor som er forklaret under emnet F-faktor 17% 1 200 1,17 1,17 200 234 At trække proctdel fra: Nr man skal trække proctdel fra et tal skal man tage proct og divider med 100. Resultatet af beregng skal man gange med det tal man undersøger og til sidst musser man det tal man undersøger, noget af med det tal man fandt ved at bearbejde proct 17% 200 200 34 200 34 166 Eller ved hjælp af Ffaktor som er forklaret under emnet F-faktor Lavet af a S 17% 200 1 0,83 0,83 200 166 16
F-faktor: Man fder F-faktor ved hjælp af dne formel 1 hvor S hvis man skal lægge et tal til proctdel skal man tage F-faktor og ganger med det tal man undersøger. Hvis man skal trække proctdel fra skal man ogs tage F-faktor og gange med det tal man undersøger m det der er forskell er at r er negativ æ æ Ex. 300 1,07 321 Anvdelse af F-faktor i proctregng: Nr man lægger procter til eller trækker procter fra begyndelsesværdi (B), bruger man dne her formel M hvis man ikke kder F-faktor og man kder slutværdi og begyndelsesværdi kan man bruge dne formel Ex. 1,07 M hvis det s er begyndelsesværdi man skal fde og man kder slutværdi og F-faktor skal man bruge dne formel Ex. 300, Rteforml: Nr man snakker om rteformler er det vigtigt at vide at æ æ (,, ) Hvis man skal fde Kn skal man bruge forml (1 ) som er grundforml for alle rteformler og det er d formel man skal bruge til at bevise de andre formler for K0, r og n Eksempel. 2000? 0,03 4 Eksempel (1 ) 2000 (1 0,03) 2251,02 Lavet af a S 17
Hvis man skal fde K0 skal man bruge forml ( Eksempel? 20000 0,029 5 ) og d bevises med forml (1 ) Bevis (1 ) (1 ) 20000 20000 (1 0,029) : (1 0,029) 17336,17 (1 0,029) (1 0,029) (1 0,029) 20000 (1 0,029) 20000 (1 0,029) Hvis man skal fde r skal man bruge forml 1og d bevises med forml Bevis 1 (1 ) : 2500 3000 1 2500 0,0309 100% (1 ) 3000 2500 Eksempel 2500 3000? 6 17336,17 3000 (1 ) 2500 3000 1 2500 1 3000 1 1 1 2500 100% 0,0309 100% % 3,09% % 3,09% 3000 2500 (1 ) 2500 2500 Lavet af a S 18
Hvis man skal fde n skal man bruge forml Eksempel ) og d bevises med forml (1 ) Bevis log(1 ) 1500 1200 (1 0,03) : 1200 1500 1200 log(1 0,03) 1500 1200 (1 0,03) 1200 1200 log 1500 (1 0,03) 1200 7,55 ø 1500 log(1 0,03) 1200 (1 ) log 1200 1500 0,03? ( log 1500 1200 log(1 0,03) log : log(1 0,03) 1500 1200 log(1 0,03) log log(1 0,03) (1 0,03) 1500 1200 log(1 0,03) log 7,55 ø S for 1 r 0,04 Proctvis stigng i forskellige tidsrum: S kan man snakke om rt pr. r i decimaltal som betegnes r1r og F-faktor som betegnes Fn r fordi n kan variere, da det kommer an p hvor mange og p hvad opgav spørg efter S hvis man har rlig rte p 4% 1 0,04 1,04 S for 2 r 1,04 1,04 1,04 S for 3 r 1,04 1,04 1,04 1,04 S grundformel for Fn r er (1 ) S hvis man siger at man kder r1 r m hvis man gerne vil fde rn r kan man bruge forml (1 ) 1 s hvis rt er 4% og vi fde d proctvise stigng over 7 r (1 0,04) 1 0,3159 100% 31,59% Kan ogs skrives Lavet af a S 0,04 1 0,04 1,04 1,04 (1,04 1) 100% 31,59% 19
Dette fænom kaldes rtes rte fordi d ogs beregner de stignger der er undervejs i forløbet, s hvis man skal fde rt pr. r nr man kder rn r og derfor skal man bruge forml (1 ) 1 nr proct for 8 r er 24% hvad er d s for et r Kan ogs skrives (1 0,24) 1 0,0273 100% 2,73% 0,24 1 0,24 1,24 1,24 (1,0273 1) 100% 2,73% man kan i nogle tilfælde st i et dilemma hvis man for af hvide at noget vokser med 37% p 6 r m man skal fde rt 3 r og 5 r nr man str i sdanne situationer skal man starte med at fde rte for et r og derefter for 3 r og til sidst fder man s rt for 5 r (1 For 1 r )1 (1 0,37) 1 0,0538 100% 5,38% (1 ) 1 (1 0,0538) 1 0,1702 100% 17,02% For 5 r (1 ) 1 (1 0,0538) 1 0,2995 100% 29,95% For 3 r 1000 1,01 1000 1,01 1,02 1000 1,01 1,02 1,09 Efter 1 r: Efter 2 r: Efter 3 r: Gnemsnitlige proct: Hvis man s ser p situation hvor man har 1000kr, det første hvor rt 1%, 2% det næste r og det tredje r er rt s p 9% Det der str ov over er det samme som ) (1 ) (1 ) (1 ) 1 bevises ved at sætte K3 op i mod S3 i ligng 1000 (1 ) 1000 1,01 1,02 1,09 (1 sdan her. 1000 (1 ) og det er s derfor forml vil være sdan: : 1000 1000 (1 ) 1000 1,01 1,02 1,09 1000 1000 (1 ) 1,01 1,02 1,09 1,01 1,02 1,09 1 1,01 1,02 1,09 1 1 1,01 1,02 1,09 1 1,01 1,02 1,09 1 100% 0,0394 100% % 3,94% Lavet af a S 20
Indekstal: Hvis man vil fde dekstal som for eksempel hvis man har et økoareal som det er man skal fde et dekstal af. M i nogle tilfælde kder man g af dekstalle m i de tilfælde m man selv vælge et tal og sætte d som for eksempel 100 som man kan tage udgangspunkt i og man skal bruge dne formel Eksempel Her kder man ikke dekstallet s derfor er der blevet sat 100 d i r 200 Årstal 1998 1999 2000 2001 Økoareal 44102 60232 93537 130894 (hektar) Indekstal X X 100 X 93537 100 100 60232 93537 60232 : 93537 100 60232 93537 93537 93537 S hvis man skal fde dekstallet for r 1999 tager man og sætter det op imod r 2000 100 60232 93537 64,4 S hvis man skal fde dekstallet for r 1998 tager man og sætter det op imod r 1999 44102 60232 64,4 64,4 44102 60232 : 60232 64,4 44102 60232 60232 60232 64,4 44102 60232 47,17 S hvis man skal fde dekstallet for r 2001 tager man og sætter det op imod r 2000 93537 130894 100 93537 100 130894 : 93537 93537 100 130894 93537 93537 100 130894 93537 139,93 Lavet af a S 21
s vil skemaet se sdan her ud Årstal 1998 1999 2000 2001 Økoareal 44102 60232 93537 130894 (hektar) Indekstal 47,17 64,4 100 139,93 M hvis man s i et tilfælde mangler tal fra økoareal som bliver brugt som eksempel her. S kan man prøver at fde økoarealet for r 2000, tager man og sætter det op mod t r 1999 eller r 2001 m her bliver d sat op mod r 1999 60232 64,4 100 100 60232 64,4 : 64,4 100 60232 64,4 64,4 64,4 100 60232 93527,950310559 64,4 Annuitetsopsparg: 93527,95 Dato Indbetalg 2/1-06 4000 2/1-07 4000 2/1-08 4000 2/1-09 4000 3 2 Værdi d.2/1-09 4000*1,02 4000*1,02 4000*1,02 4000 M til at regn det bruger man forml ( Annuitetsopsparg kan forklares med det her skema ø ø æ ℎ ) S nr rt er p 2% og beløbet man dsætter hver term er p 4000kr og det forsætter de næste 4 r ( ), 4000, 16486,43 For at fde b bruger man dne formel 16486,43 (, ( ), ) 4000 For at fde n bruger man dne formel, ( ( ), ) 4 Lavet af a S 22
Annuitetsln: For at fde ud af hvor meget m kan lne bruger man forml ( (2500kr) (187724kr) (0,0053) (96). ( 2500 ),, ( ), (, ) 2500 For at fde n bruger man forml (, ( ), 187724 187724 For at fde y bruger man forml ) ) 96 Lavet af a S 23
Geometri spids Trekanter: Omkrg trekanter snakker man om spidsvklet, stumpvklet og retvklet trekanter. En spidsvklet trekant er trekant hvor alle vkler er mellem 0 og 90 spidsvklet En stumpvklet trekant er trekant hvor der bare er af vklerne der er mellem 90 og 180 m man skal huske og være opmærksom p at nog gange rat man regner det kommer det til at give vkel p under 90 m for s at fde d rigtige vkel skal man bare sige 180 mus d grad man fandt først og s vil man have d vkel grad d rigtigt skal have stump stumpvklet En retvklet trekant er trekant hvor af vklerne er 90 ret retvklet I alle trekanter er vkel summ p 180 og kan bevises ved forml ( 2) 180 hvor n er antallet af sider s for eksempel med firkant 180 (4 2) 180 360 180 180 180 360 Hvis man i trekant kder to af vklerne vil man kunne fde d tredje vkel ved at tage 180 med de grader man kder B 65 35 C A 180 65 35 80 Man kan fde arealet af trekant med forml ℎ h g Lavet af a S 24
Forstørrelsesfaktor: Man kan fde forstørrelsesfaktor ved at man bruger forml og d kan bruges nr det er der er tale om to e vklede trekanter m med forskellige størrelser. Man viser de er e ved at sætte to streger ved vkel A, to streger ved vkel B og tre streger ved vkel C. Nr man skal fde K skal man bruge d samme side til at gange eller divider med som der ogs er v p tegng. Man skal huske at d mdste trekant ikke behøver og være begyndelses trekant S B :.3 18 12 B S 12 4 6 : Lavet af a S 25
Retvklet trekanter: Man har retvklet trekant nr der er 90 vkel s kan man bruge Pythagoras sætng til at fde side hvis man mangler af de sider man mangler Fde a Bogstaverne kan være forskellige m man ved at (.) ℎ (ℎ. ) ℎ (ℎ. ) Fde b B Fde c c hypotus a modstde katete C Man kan fde ud af hvad siderne hedder ud fra vklerne A b hosliggde katete B c a C b A Man kan ogs bruge cosus, sus og tange til at fde sider og vkler man det kommer an p hvad man øker at fde og cosus og sus ligger p d retvklet trekant. Cosus, sus og tange har formlerne B C cosa A 1 sa Hvis man søger vkel A skal man bruge de her formler og man skal bruge d formel det er man har tal til at udfylde og det kan bevises med ligng s s s cos cos tan cos tan tan Hvis man søger vkel B skal man bruge de her formler og man skal bruge d formel det er man har tal til at udfylde og det kan bevises med ligng Lavet af a S 26
s s cos cos s tan tan cos tan Hvis man søger side a skal man bruge de her formler og man skal bruge d formel det er man har tal til at udfylde og det kan bevises med ligng Formel: Bevis: Bevis: Bevis: Formel: Formel: Formel: Formel: Hvis man søger side b skal man bruge de her formler og man skal bruge d formel det er man har tal til at udfylde og det kan bevises med ligng Formel: Formel: Bevis: Bevis: Bevis: Formel: Hvis man søger side c skal man bruge de her formler og man skal bruge d formel det er man har tal til at udfylde og det kan bevises med ligng Lavet af a S 27
c A 2 b 2 2 Forml for at fde side b c B a 2 2 2 Vilkrlige trekanter: En vilkrlig trekant er trekant der ikke har 90 vkel kan man bruge cosusrealationerne til at fde vklerne og siderne man mangler ved hjælp af formlerne. Hvis man skal fdelængd p af siderne skal man kde vkel der ligger navn til sid plus de to andre sider Forml for at fde side a Forml for at fde side c b C 2 a 2 2 Lavet af a S 28
Forml for at fde vkel A A c b C a 2 : 2 2 2 1 2 cos 1 ( ) 1 (2 ) B cos 2 Forml for at fde vkel B Lavet af a S 29
A c b C 2 a : 2 2 2 1 B cos 2 2 cos 1 ( ) 1 (2 ) Forml for at fde vkel C A a cos 2 2 : 2 2 1 C B b c 1 ( ) 1 (2 ) 2 cos 2 Lavet af a S 30
Man kan ogs bruge susrealationerne som har forml hvor man s kun skal bruge to s(82,87) 7,21 8 7,21 8 7,21 s(82,87) 4,47 : 4,47 8 7,21 s(82,87) 8 8 7,21 s(82,87) 8 s 7,21 s(82,87) 8 7,21 s(33,6) 4,47 7,21 s(33,6) 4,47 7,21 s(33,6) 4,47 4,47 s(33,6) 4,47 : 8 afsnit af formlerne de afsnit man skal bruge kommer an p hvilke tal man har i s opgave m man skal selvfølelig bruge d formel som det er der fder det man søger m samtidig har talle til forml og for at vise det har jeg bestemt at gnem alle regnestykkerne er side a7,21, side b8, side c4,47, vkel A63,53, vkel B82,87 og vkel C33,6 De to mulige formler der er for at fde vkel A 7,21 s(33,6) 4,47 s 63,41 63,20 De to mulige formler der er for at fde side a s(82,87) 8 s(63,53) 8 s(63,53) s(63,53) : s(82,87) s(33,6) 4,47 s(82,87) 8 s(63,53) s(82,87) s(82,87) s(82,87) 4,47 s(63,53) s(33,6) 4,47 s(63,53) s(33,6) s(33,6) s(33,6) : s(33,6) 8 s(63,53) s(82,87) 4,47 s(63,53) s(33,6) 7,21 7,23 De to mulige formler der er for at fde vkel B s(63,53) 7,21 8 8 s(33,6) 4,47 8 s(63,53) 7,21 : 7,21 4,47 8 s(33,6) 4,47 4,47 : 4,47 8 s(63,53) 7,21 7,21 7,21 8 s(63,53) 7,21 Lavet af a S 8 s(63,53) s 7,21 8 s(33,6) 4,47 8 s(33,6) 4,47 s 8 s(33,6) 4,47 31
De to mulige formler der er for at fde side b s(82,87) s(63,53) 7,21 s(82,87) s(33,6) 4,47 4,47 s(82,87) s(33,6) 4,47 s(82,87) s(33,6) s(33,6) s(33,6) s(63,53) 7,21 s(82,87) s(63,53) s(63,53) : s(63,53) s(63,53) s(82,87) 7,21 : s(33,6) 7,21 s(63,53) s(63,53) 4,47 s(82,87) s(33,6) 7,99 8,01 De to mulige formler der er for at fde vkel C s(63,53) 7,21 4,47 s(82,87) 8 4,47 4,47 s(63,53) 7,21 : 7,21 4,47 s(63,53) 7,21 7,21 7,21 4,47 s(63,53) 7,21 4,47 s(82,87) 8 : 8 s 4,47 s(63,53) 7,21 4,47 s(82,87) 8 8 8 4,47 s(82,87) 8 s 4,47 s(82,87) 8 33,67 33,70 De to mulige formler der er for at fde side c s(63,53) s(33,6) 7,21 s(82,87) 8 s(33,6) s(63,53) 7,21 s(33,6) Lavet af a S s(63,53) 7,21 s(33,6) s(63,53) s(63,53) s(82,87) s(33,6) 8 s(82,87) 8 s(33,6) s(82,87) s(82,87) : s(82,87) : s(63,53) 7,21 s(33,6) 8 s(33,6) 32
B a A b C c Resultaterne er ikke helt præcis m det er fordi det bliver regnet med koma tal m talle ligger meget tæt p det tal det skal være Man kan ogs bruge susrealationerne til at fde arealet af vilkrligtrekant m man skal stadig huske man skal bruge d formel man har flest tal til at kunne ud regne Ligebet trekanter Man ved det er ligebet trekant nr trekant opflyder alle de fire kriterier der er for at det kan være ligebet trekant Det første kriterie er at [AB] og [AC] er lige store A h B C Det andet kriterie er at vkel B og C er e da ligebet trekant ogs kan skilles ad s det er to retvklet trekanter Lavet af a S 33
A A ℎ ℎ B H C Det tredje kriterie er at vkel A1 og A2 er e 180 A 180 h B C Det fjerde kriterie er at [BH] og [HC]er e og kan bevises p to forskellige mder Lavet af a S 34
A A B H ℎ ℎ ℎ ℎ ℎ 2. metode C 1. metode Lavet af a S 35
Variabelsammhænge Regneforskrifter og støttepunkter: Hvis man har funktion som ( ) s ville ( ) være regneforskrift for eksempel 2 1 s ville 2 1 være regneforskrift. Hvis man ikke kder regneforskrift m kder x som er uafhængig (man kan selv vælge dem og y som er afhængig (d er bestemt) kan man fde regneforskrift sdan her 3 2 1 0 1 2 3 1 0 1 2 3 4 5 Forskell mellem de her to bestemmer hvad man skal mus eller plusser med x Forskell mellem hvert tal i y rækk og det er forskell der bestemmer hvad man skal gange med x S ville regneforskrift i det her tilfælde se sdan her ud 2 M hvis det nu er y man ikke kder m man kder x og regneforskrift kan man ved hjælp af et hjælpe skema fde y sdan her 2 3 (3) 2 1 Man fder y ved at sætte de 2 (2) 2 0 x der vælger man selv tal man har valgt d p x's 1 (1) 2 1 hvilke tal der skal st plads efter og s har 0 02 2 man y 1 12 3 2 22 4 3 32 5 Nr man s kder bde x og y kan man fde nogle støttepunkter som er betegnet ( ; ) s p baggrund af hjælpeskemaet fra før vil man kunne tegne nogle støtte punkter (3; 1), (2; 0), (1; 1), (0; 2), (1; 3), (2; 4) og (3; 5) støttepunkterne kan bruges til at tegne punkter d i et koordatsystem som kan blive til graf Koordatsystem: Et koordatsystem bruges til at man kan tegne graf som man kan tegne ud fra de fra for eksempel de støttepunkter fra før. I et hvert koordatsystem er delt op i fire dele som skrives med romer talle fra 1 til 4 sdan her Lavet af a S 36
y-aks ( ; ) ( ; ) II I (2; 2) (2; 2) x viser hvor meget man skal g h af x-aks og y viser hvor meget man skal g op ad y-aks (2; 2) III IV ( ; ) ( ; ) (2; 2) x-aks S hvis man prøvede og tegne de støttepunkter man har fra før d i koordatsystemet og hvis man s tager og tegner streg gnem alle de punkter man har tegnet d s vil man have tegnet graf og d vi s se sdan her ud Nr man har graf kan der være tale om tre forskellige slags grafer som er voksde, aftagde og kotante som vil se sdan her ud Aftagde (a er et negativt tal) Lavet af a S Voksde (a er et positivt tal) Kotant (a er lig med 0) 37
graf kurv kurv graf Mere om funktiobegrebet: Man ved det er graf hvis der er man tegner parallel lje med y og s m d lje kun skære d lje man undersøger gang og s ved man det er graf og hvis d lje man undersøger sære lj to gange s vil det være kurve som for eksempel kurv Maks. ( ) 7; 5 ( ) 3; 5 5 5 Man kan fde ud af om kantpartes skal være lukket([x;x]), b(]x;x[) eller halvb(]x;x] eller[x;x[)ud fra om prikkerne er fyldte eller ikke fyldte 3 Vm(f) 1-7 Med nogle grafer kan man fde detitiomængd (Dm(f)), værdimængd(vm(f)), maksimum og mimum. P det her skema kan man se hvordan man fder de forskellige tg 5-5 -3-3 7; 5 (lukket) 7; 5 (b) M. 7; 5 (halvb) Dm(f) 5-7 7; 5 (halvb) Man kan ogs bevise ligng ved algebraisk og grafisk metode d algebraiske er bare løser ligng sdan her 2 17 1 2 11 71 2 6 : 2 2 6 2 2 3 D grafiske metode er at man tager s ligng og deler d op i to ved lighedstegnet. Sdan her 2 1 og 7 de to dele sætter man s d i hvert sit hjælpeskema (H-skema) og fr lavet nogle støttepunkter som man kan sætte d i et koordatsystem sdan her Lavet af a S 38
kkkkkkkkkkkkk 3 2 1 0 1 2 3 7 7 7 7 7 7 7 7 ø 7 7 7 7 7 7 7 (3; 7) (2; 7) (1; 7) (0; 7) (1; 7) (2; 7) (3; 7) ø (3; 5) (2; 3) (1; 1) (0; 1) (1; 4) (2; 5) (3; 7) 3 2 1 0 1 2 3 2 1 2 3 1 5 2 2 1 3 2 1 1 1 201 1 211 4 221 5 231 7 Da d algebraiske metode giver at 3 nr man s har sat de to grafer d i et koordatsystem vil de skære hand i punktet (3; 7) og derfor er resultaterne e da de to grafer skære hand i 3 p x-aks og d algebraiske gav at 3 og det viser de to tal er e Lavet af a S 39
Leære funktioner 50 115 180 245 310 375 440 0 50 100 150 200 250 300 1,3 50 1,3 0 50 1,3 50 50 1,3 100 50 1,3 150 50 1,3 200 50 1,3 250 50 1,3 300 50 Leære funktioner: En leære funktion er hvis man har regneforskrift af form hvor y er afhængig og x er uafhængig me bde a og b er kotanter. Man kan udregne værdierne x og y ved hjælp af et hjælpeskema (H-skema). Man kan for eksempel bruge et eksempel med et mobil abonnemt til 50 kr. om mned og 1,3 kr. i muttet og regneforskrift for leære funktion vi være 1,3 50 Nr man har lavet et hjælpeskema(h-skema) kan man fde y-tilvækst og x-tilvækst som beskriver det sprg der er mellem hvert led i hjælpeskemaet (H-skema) man kan ogs forst y-tilvækst og x-tilvækst som og da det er (delta) som er sat d i stedet og betegnels for tilvækst. Man skal forst ytilvækst som og x-tilvækst som 50 0 50 50 50 50 50 50 0 50 100 150 200 250 300 1,3 50 1,3 0 50 1,3 50 50 1,3 100 50 1,3 150 50 1,3 200 50 1,3 250 50 1,3 300 50 50 og 115 50 65 65 65 65 65 65 115 og det er de tal det er man har sat d i forml S her vil 0 og 50 me man bruger for at fde og 50 115 180 245 310 375 440 Betydng af a og b: Man fder betydng af b ved at tage og bruge et hjælpeskema (H-skema) hvor man sætter 0 d p x's plads i regneforskrift som sdan her 0 0 0 Hvis man laver samme udregng som der er i hjælpe-skemaet vil y give b og hvis man s følger regneforskrift for leære funktioner vil man fde ud af at graf skære (0; ) som betyder at hvis man tager og tegner graf vil d skære y-aks i b s det vil sige b er der hvor graf skære y-aks Lavet af a S 40
Man fder betydng af a ved at man tager og bruge et hjælpeskema (H-skema) hvor man vil tage og bruge betegnels da x kan være et tilfældigt tal 1 1 ( 1) Hjælpeskemaet beviser at nr x stiger med 1 s vil y stige med a det vil sige hvis man gr vandret til højre p x-aks s ville man skulle g a lodret op eller ned til man rammer graf som vil sige at a er hældngs tallet eller stigngs tallet. Voksde (a er et positivt tal) Aftagde (a er et negativt tal) Kotant (a er lig med 0) Hvis a er positiv skal man bevæge sig lodret op til man ramme graf Hvis a er negativ skal man bevæge sig lodret ned til man ramme graf Hvis a er 0 s ville man hverk skulle bevæge sig lodret op eller ned da det bare vil give helt vandret lje Leære væksttype: Ved leære funktion er der givet sammhæng mellem og ved formel man kalder forml for tilvækstformel fordi nr x vokser med s ville y f tilvækst p som vil sige at y-tilvækst er stigngs tallet gange med x-tilvækst 1 ( 1) man kan se i hjælpeskemaet at ændrgerne i y-værdierne er da a er kotant vil x-tilvækst give bestem y-tilvækst uaet valget af tallet x for leære funktioner være at stigngs tallet som er a som bestemmer om funktion er voksde, aftagde og kotant Hvis a er større d 0 s ville funktion være voksde Hvis a er mdre d 0 s ville funktion være aftagde Hvis a er lig med 0 s ville funktion være kotant Lavet af a S 41
Beregng af a og b: Hvis man har støttepunkterne ( ; ved hjælp af formlerne ) og ( ; og ) til d leære funktion vil man kunne beregne a og b : ( ( ) ) Ex. 50 65 50 50 50 65 50 1,3 Eller 1,3 50 1,3 0 1,3 0 1,3 0 50 1,3 0 50 1,3 0 1,3 0 65 : 50 50 Eller 50 1,3 0 50 Grafisk og algebraiske løsng af leære funktioner: Hvis man skal løse d p d grafiskmetode og algebraiskmetode kan man som et eksempel tage to mobil selskaber som der er brugt som eksempel her i dne sammhæng m man kan bruge mange forskellige eksempler TDC: Abonnemt p 50 kr. pr. mned og 1,2 kr. pr. mut man taler. Hvis man s skal lave graf ud af det vil man bruge forml som man ville sætte talle d i s p a's plads vil man sætte de 1,2 d og p b's plads vil man sætte de 50 d og s vil man have forml til at tegne graf som her ville være 1,2 50 Telor: Abonnemt p 100 kr. pr. mned og 0,8 kr. pr. mut man taler. Hvis man s skal lave graf ud af det vil man bruge forml som man ville sætte talle d i s p a's plads vil man sætte de 0,8 d og p b's plads vil man sætte de 100 d og s vil man have forml til at tegne graf som her ville være 0,8 100 D algebraiskmetode er at man tager og sætter de to formler op i mod hand og løser dem ligesom ligng Lavet af a S 42
1,2 50 0,8 100 50 1,2 50 50 0,8 100 50 1,2 0,8 50 0,8 1,2 0,8 50 0,8 0,4 50 : 0,4 125 0,4 50 0,4 0,4 D grafiskmetode er at man tager og laver et hjælpeskema (H-skema) p hver af de to grafer sdan her 1,2 50 ø 0,8 100 ø (100; 170) (100; 180) 100 1,2 100 50 170 100 0,8 100 100 180 (105; 176) (105; 184) 105 1,2 105 50 176 105 0,8 105 100 184 (110; 182) (110; 188) 110 1,2 110 50 182 110 0,8 110 100 188 (115; 188) (115; 192) 115 1,2 115 50 188 115 0,8 115 100 192 (120; 194) (120; 196) 120 1,2 120 50 194 120 0,8 120 100 196 (125; 200) (125; 200) 125 1,2 125 50 200 125 0,8 125 100 200 (130; 206) (130; 204) 130 1,2 130 50 206 130 0,8 130 100 204 Nr man s har lavet de to hjælpeskemaer (H-skema) d i et koordatsystem hvor man s gr h og fder det punkt hvor de to grafer skære hand Hvis man s fder punkt x alts det antal man gr h af x-aks til at fde skærgspunktet og hvis det tal er det samme tal som man fandt via d algebraiskmetode s har man gjort det hele rigtigt Leære modeller: Hvis man i nogle tilfælde er ude for at ikke alle punkterne ligger p ret lje hvis man plottede dem d i et koordatsystem som her i dne tabel for perso højde. 2 3 4 5 6 7 8 9 ø 84 91 98 104 112 119 124 129 Lavet af a S 43
Man vil der for skulle fde d bedste rette lje man kan og det kan man gøre ved at plotte alle de tal fra tabell d i geogebra og derefter f geogebra til at fde d bedst mulige rette lje(sæt punkterne d kopier alle punkterne tryk p værktøj 4 vælg værktøjet bedste rette lje aflæs d leære funktion) y 84 91 98 104 112 119 124 129 Man kan ogs selv fde regneforskrift for funktion ved at bruge formlerne for at fde a og b som er gnemget under underemnet beregng af a og b x 2 3 4 5 6 7 8 9 S her siger geogebra at funktion er 6,56 71,55 98 6,5 4 72 6,5 Nr man s selv har regnet a og b som man kan sætte d i forml for leære funktioner s her vil funktion være 6,5 72 hvis man s sammlignede d med d geogebra fandt ville man kunne se de er mere eller mdre e Leære regression: Nr man nu har lavet sdan graf hvor det er punkterne ikke ligger p lige lje vil man skulle regne d som i geogebra m ogs via wordmat da wordmat kommer med forklargsgrad som er d der fortæller os hvor god d ret lje der er blevet lavet er s det vil sige jo tættere p 1 forklargsgrad er jo bedre er d rette lje Man fder forklargsgrad via wordmat (tryk p ikonet wordmat vælg knapp regression tryk p dsæt tabel skriv talle man undersøger d i tabell kopiere tabell tryk p regression vælg leære) Leær regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R2 0,9962918 6,559524 71,54762 Her kan man s se at regneforskrift næst er d samme som de andre vi fandt og her kan man se at forklargsgrad er p 0,99 som vil sige d passer meget god i forhold til virkelighed Lavet af a S 44
Lavet af a S 45
Ekspontielle funktioner 0,91 1,18 1,54 2 2,6 3,38 4,39 2 1,3 2 1,3 2 1,3 2 1,3 2 1,3 2 1,3 2 1,3 2 1,3 3 2 1 0 1 2 3 Ekspontielle funktioner: En ekspontiel funktion er hvis man har regneforskrift af form hvor y er afhængig og x er uafhængig me bde a er fremskrivngsfaktor (F-faktor) og b er begyndelsesværdi m de er ogs begge to positive kotanter. Man kan udregne værdierne x og y ved hjælp af et hjælpeskema (H-skema). Man kan for eksempel bruge et eksempel hvor man siger at a er 1,3 og b er 2 Nr man har lavet et hjælpeskema(h-skema) kan man fde d x-tilvækst og d relative y-tilvækst som beskriver det sprg der er mellem hvert led i hjælpeskemaet (H-skema) man kan ogs forst x-tilvækst som og d relative y-tilvækst som da det er. Man skal forst d relative y-tilvækst som 1 100% og x-tilvækst som 2 3 1 2 1,3 2 1,3 2 1,3 2 1,3 2 1,3 2 1,3 2 1,3 2 1,3 1 3 2 1 0 1 2 3 1 1 1 1 (1,3 1) 100% 30% 30% 30% 30% 30% 30% 1,3 og 1 og det er de tal det er man har sat d i forml S her vil 2 og 3 me man bruger for at fde og 0,91 1,18 1,54 2 2,6 3,38 4,39 Lavet af a S 46
Kotant (a er lig med 1) Voksde (a er større 1) Aftagde (a er mellem 0 og 1) Graf: Nr man snakker om ekspontielle funktioner s er det vigtigt at vide at hvis a er et tal der er større d 1 s er funktion voksde hvis a er et tal mellem 0 og 1 s er funktion aftagde hvis a er lig med 1 s er funktion kotant lig med b Ekspontielle lignger: Ved ekspontielle funktioner skal man vide at y er afhængig vaiable, x er uafhængig vaiable, b er start beløb og a er fremskrivngsfaktor (f-faktor) s derfor kan man ved hjælp af ligng fde x som det er man ikke kder 5 2 1,3 : 2 5 2 1,3 2 2 2,5 1,3 log 2,5 log 1,3 log 2,5 log 1,3 : log 1,3 log 2,5 log 1,3 log 1,3 log 1,3 log 2,5 log 1,3 3,49 3,49 Lavet af a S 47
Betydng af a og b: Man fder betydng af b ved at tage og bruge et hjælpeskema (H-skema) hvor man sætter 0 d p x's plads i regneforskrift som sdan her 0 1 Hvis man laver samme udregng som der er i hjælpe-skemaet vil y give b og hvis man s følger regneforskrift for leære funktioner vil man fde ud af at graf skære (0; ) som betyder at hvis man tager og tegner graf vil d skære y-aks i b s det vil sige b er der hvor graf skære y-aks 1 1 ( ) ( ) Man fder betydng af a ved at man tager og bruge et hjælpeskema (H-skema) hvor man vil tage og bruge betegnels da x kan være et tilfældigt tal Hjælpeskemaet beviser at nr x stiger med 1 s vil y ganges med a eftersom y ændres fra til D ekspontielle væksttype: Ved ekspontielle funktion gælder der at nr x vokser med s ganges y med s derfor fr y relativ tilvækst p 1 100% s bestemt absolut x-tilvækst svarer alts til bestemt relativ y-tilvækst 1 man kan se i hjælpeskemaet at ændrgerne i y-værdierne er til Lavet af a S 48
Beregng af a og b: Hvis man har støttepunkterne ( ; ) og ( ; ved hjælp af formlerne og ) til d leære funktion vil man kunne beregne a og b 0,91 Ex. 1,18 0,91 : 0,91 1,18 0,91 1,18 0,91, 0,91 1,3 1,3 1,3 0,91 1,3 2 Eller 1,18 0,91 1,3 Eller, 1,3 : 1,3 0,91 : : 0,91 1,3 2 1,18 0,91 1,3 Fordoblgskotant og halvergskotant: For voksde ekspontiel funktion hvor a er større d 1 s er fordoblgskotant d x-tilvækst som det er der giver fordoblg af y-værdi man betegner fordoblgskotant som som er har forml ( ) ( ) s hvis man skal fde fordoblgskotant hvor a er lig med 1,3 ( ) ( ) ( ) (, ) 2,64 Det vil sige at hvis a er lig med 2,6 s ville tallet være fordoblet nr der er get 2,64 r Lavet af a S 49
M for aftagde ekspontiel funktion hvor a ligger mellem 0 og 1 er halvergskotant d x-tilvækst som giver halverg af y-værdi man betegner halvergskotant som som har forml s hvis man skal fde halvergskotant hvor ( a er lig med 0,91 (, ( ) ) 7,35 S det vil sige at hvis a er lig med 0,91 s vil tallet være halveret nr der er get 7,35 r S ifølge geogebra vil d ekspontielle lje være 99,1 0,98 Ekspontielle modeller: Hvis man i nogle tilfælde er ude for at ikke alle punkterne ligger efter hand til ekspontiel lje m hvis man plottede dem d i et koordatsystem som her i dne tabel for væskes tempratur. ( ) 0 10 30 50 60 100 83 58 42 35 Man vil der for skulle fde d bedste ekspontielle lje man kan og det kan man gøre ved at plotte alle de tal fra tabell d i geogebra og derefter f geogebra til at fde d bedst mulige ekspontielle lje(sæt punkterne d tryk p put lj dtast Fitvækst dtast de punkter man har under le med punkter aflæs d ekspontielle funktion) y 100 83 58 42 35 x 0 10 30 50 60 Man kan ogs selv fde regneforskrift for funktion ved at bruge formlerne for at fde a og b som er gnemget under underemnet beregng af a og b 100 0,98 100 83 100 0,98 Lavet af a S 50
Nr man s selv har regnet a og b som man kan sætte d i forml for ekspontielle funktioner s her vil funktion være 100 0,95 hvis man s sammlignede d med d geogebra fandt ville man kunne se de er mere eller mdre e R2 0,9994787 Ekspontiel regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: 99,1 0,98 Ekspontiel regression: Nr man nu har lavet sdan graf hvor det er punkterne ikke ligger p lige ekspontiel lje vil man skulle regne d i geogebra m ogs via wordmat da wordmat kommer med forklargsgrad som er d der fortæller os hvor god d ekspontielle lje der er blevet lavet er s det vil sige jo tættere p 1 forklargsgrad er jo bedre er d rette lje Man fder forklargsgrad via wordmat (tryk p ikonet wordmat vælg knapp regression tryk p dsæt tabel skriv talle man undersøger d i tabell kopiere tabell tryk p regression vælg ekspontiel) Her kan man s se at regneforskrift næst er d samme som de andre vi fandt og her kan man se at forklargsgrad er p 0,99 som vil sige d passer meget god i forhold til virkelighed Lavet af a S 51
Potefunktioner Potefunktioner: potefunktion har regneforskrift hvor y er afhængig og x er uafhængig me a er kotant og b er positiv kotant. Graf: Nr man snakker om potefunktion gælder de regler at hvis a er mdre d 0, s er funktion aftagde, hvis a er større d 0, s er funktion voksde, hvis a er lig med 0, s er funktion kotant lig med b. a>1 a 1 0<a<1 a<0 a0 Aftagde Kotant a>0 Voksde Man kan derfor fastsl at det er a der har betydng for om funktion er voksde, aftagde eller kotant m nr det kommer til betydng af b er at man ved at hvis man har potefunktion vil d g ignem punktet (1 ; b) hvilket er bev her 1 1 1 Man skal dog huske p at udregng i H-skemaet glæder uaet hvad a er Potelignger: Ved pote funktioner skal man vide at y er afhængig vaiable, x er uafhængig vaiable, a er kotant og b er positiv kotant s derfor kan man ved hjælp af ligng fde x som det er man ikke kder 2 8 : 8 2 8 8 8 0,25 0,25 : 0,25 0,25 0,25 0,25 52 Lavet af a S 0,25 1 4
Potevækst: Ved pote funktion gælder der at nr x ganges med k s ganges y med hvis man s derefter bytter dne formel 1 som giver d relative tilvækst og derfor vil x f relativ tilvækst p ( 1) 100% og y fr relativ tilvækst p ( 1) 100% ) ) ( ( I pote vækst vil man nogle gange kunne komme ud for opgave som for eksempel som dne hvor man har pote model der hedder 146,7, og et dbyggertal p 1,23 millioner kroner hvor man s ville skulle bestemme hvor mange proct et areal af storby vokser nr de dbyggertal fordobles. Dne slags opgave vil man kunne løse p to mder. D første mulighed er at man beregner det ved hjælp af, derefter og til sidst me d and mulighed er at man starter med at lave et hjælpeskema og derefter beregner og til sidst s beregne. Mulighed 2 s regnemetode: Da man fr at vide i opgav at vi skal udregne ((1 ) 1) 100%, nr befolkngsmængd stiger med det dobbelte, s det vi skal fde er. For at fde skal vi først fde F, derfor ganger vi 1,23 2 2,46. Efterfølgde bruger vi forml: Da man ig skal fde s stigng i proct, nr dbyggertallet fordobles, vil man mere eller mdre kunne bruge samme prcip som i d and regnemetode, m bare ved at regne d ved hjælp af y-værdierne i stedet. Dette gør man ved at lave et hjælpeskema. 146, Mulighed 1 s regnemetode: 2, æ 2,46, æ 2,46 1,23 1,23 2 S derfor vil fremskrivngsfaktor af x være 2. M da man skal bruge d relative x-tilvækst, vil man derfor skulle regne : ( 1) 100% (2 1) 100% 100% skal omregnes til decimaltal og vil derfor være S nu har man fundet -formel: 1,23 146 1,23, 168,53 2,46 146 2,46, 268,14 Ved dne udregngsmulighed regner man alts p y-værdierne og det gør man ved at udregne :, æ 268,14, æ 168,53 268,14 168,53 1,59 Man har derfor nu fundet fremskrivngsfaktor af y, m man skal bruge, s derfor bruger man dne regnemetode: 1, vil man bare skulle sætte det d i 1 100% (1,59 1) 100% ((1 1), 1) 100% 59% 59% S har man regnet ud, at 59% og det er det rigtige resultat. Derfor kan man konkludere at nr befolkngsmængd for det pgældde lands fordobles, s stiger arealet med 59%. Lavet af a S S vil man have fundet ud, at 59% og dette er ogs det rigtige resultat, ligesom det var i d and regnemetode Derfor kan man konkludere at nr befolkngsmængd for det pgældde lands fordobles, s stiger arealet med 59%. 53
Beregng af a og b: Hvis man har støttepunkterne ( ; ved hjælp af formlerne ) og ( ; og ) til d leære funktion vil man kunne beregne a og b Ex. 21 10 log 4 1, 4 log 21 4 10 log 1 0,72 log 4 1 S ifølge geogebra vil d pote funktion være 0,14, Potemodeller: Hvis man s i nogle tilfælde er ude for at ikke alle punkterne ligger efter hand til pote funktion m hvis man plottede dem d i et koordatsystem som her i dne tabel 20 29 47 86 120 ( ) 100 225 660 2500 5000 ( ) Man vil derfor gerne fde d lje der passer bedst for pote funktion og man fder d lje der passer bedst ved at tage talle fra tabell og plotte dem d ti geogebra og følge dne anvisng (tryk p vis vælg regneark dsæt observationerne (de tal man har fet oplyst) i regnearket marker alle observationerne højre klik p dem og vælg lav le af punkterne luk derefter regnearket tryk p put og skriv fit med piletasterne fde værktøjet der hedder fitpot derefter beder d om le og da man har fet lavet le skriver man bare le og de nummer man har derefter s regne graf og regneforskrift) Man ville ogs kunne sammligne potefunktion med arealforml som er ℎ Da man ved at T arealet og at y arealet s derfor ville man her kunne sige at som her ville være h og g som ogs er lig med længde. 0,5 Lavet af a S da x længde 54
De to formler er faktisk ved at man ser p dem idtiske og tjer samme forml at kunne udregne arealet nr trekant har e længde p grundlj og højd 0,5 ℎ 0,5 0,5 Poteregression: Nr man nu har lavet sdan graf hvor det er punkterne ikke ligger p pote funktion vil man skulle regne d i geogebra m ogs via wordmat da wordmat kommer med forklargsgrad som er d der fortæller os hvor god d pote funktion er blevet lavet s det vil sige jo tættere p 1 forklargsgrad er jo bedre er d pot funktion Man fder forklargsgrad via wordmat (tryk p ikonet wordmat vælg knapp regression tryk p dsæt tabel skriv talle man undersøger d i tabell kopiere tabell tryk p regression vælg pote) x y 20 100 29 225 47 660 86 2500 120 5000 Pote regression udført vha. CAS-værktøjet WordMat: R2 0,9999181 0,1412401, Her kan man s se at regneforskrift næst er d samme som d and vi fandt og her kan man se at forklargsgrad er p 0,99 som vil sige d passer meget god i forhold til virkelighed Lavet af a S 55
Ligefrem og omvdt proportionalitet 0 Voksde 0 Aftagde Ligefrem proportionalitet: En ligefrem proportionalitet er et specieltilfælde af leærfunktion. S d har derfor forml M da b ikke er med i d funktio formel vil d derfor altid skære i 0 punktet m a m derfor heller aldrig være 0 som vil sige at a er kotant forskellig fra 0 S graf kan kun d være voksde eller aftagde Omvdt proportionalitet: En omvdt proportionalitet er et specieltilfælde af potefunktion da x altid ville være opløftet i 1 m nr man ændre forml fra at man dividere til at gange vil x altid være opløftet -1 s derfor skal x altid være større d 0 og b skal derfor altid være positiv kotant Man kan lave b om til brøker ved at dividere b med 1 da det i sidste de bare vil give b s 1 1 1 S da man har to brøker s ville man kunne gange dem med hand som man gjorde med brøker i kapitel 1 s derfor vil y bare have forml S hvis man vil kunne skrive at da man bare gør det modsatte som hvis man laver ligng s man skal altid huske at skifte fortegne p det opløftede som man gjorde i kapitel 1 p side 23 som ogs er v kort her 1 S graf for omvdt proportionalitet vil altid være aftagde da x er mdre d 0 Lavet af a S 56
Lavet af a S 57
Lavet af a S 58
Lavet af a S 59
Lavet af a S 60
Lavet af a S 61
Lavet af a S 62