KAPITEL 10 flere eksempler

KAPITEL 10 flere eksempler Afsnit 10.3 Matematik i virksomhedsøkonomiske problemstillinger E3a GROMS og GROMK til bestemmelse af optimale afsætning, hvis salgsprisen er konstant I eksempel 3 i kapitel 10 fandt vi ud af, at det ville koste næsten 1.500 at producere et stk. mere, hvis vi i forvejen havde produceret.1000 stk. Kan det så svare sig at producere 1.001 stk.? Hvis vi antager, at der er tale om et produkt med en fast pris, er det ret enkelt at tage stilling til spørgsmålet. Her ville salgsprisen være afgørende for beslutningen. Hvis vi sælger produktet til f kr. 10.000,- så ville der være tale om et tab; hvorimod en salgspris på f 15.000,- ville give en fortjeneste. Som udgangspunkt gælder, at så længe GROMS (grænseomsætningen) er større end GROMK (grænseomkostningerne), så kan det betale sig at udvide produktionen/salget; men så snart GROMK er større end GROMS bør produktionen stoppe. Den optimale produktion er derfor, netop der hvor GROMK GROMS. Hvis vi antager, at vor omsætningsfunktion er givet som O() 15.000, er der tale om en fast salgspris uafhængig af afsætningen. GROMS er her da 15.000 kr. Den optimale produktionsmængde findes ved at løse ligningen: Gromk Groms 0,0000651515 0,0198701 + 5.8417 15.000 0,0000651515 0,0198701 + 5.8417 15.000 0 1.071,69 Vi kan naturligvis bestemme løsningen ved at anvende nulpunktsformlen til andengradsligninger; men med de værdier, der indgår, er det lettere at anvende et CAS-program eller lignende. Principielt skal vi aflæse, hvor GROMK er 15.000 kr.

f().0000651515^-.0198701+5.8417 f()15 y i tusind kr 18 16 14 GROMS 15 1 10 8 6 4 GROMK() 0,0000651515-0,0198701 + 5.8417 100 00 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 100 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 1071,7 Det fremgår, at den optimale produktion vil være på 1.071 stk. E3b GROMS og GROMK til bestemmelse af optimale afsætning, hvis salgsprisen varierer med afsætningen Vi har flere gange set på forløb, hvor der f er en lineær sammenhæng mellem prisen og afsætningen. Det vil derfor betyde, at omsætningen ikke kan beskrives ved en lineær funktion. Hvis: afsætning Prisen: p() a +b Omsætningen pris gange afsætning: O() (a + b) a + b Vi antager, at prisfunktionen er givet ved forskriften p() -0,006 + 18 Vor omsætningsfunktion er derfor givet ved O() -0,006 + 18 Vi kan nu bestemme GROMS: GROMS() O ' () -0,01 + 18

Hvis GROMK har samme forskrift som i eksempel 3a, er det følgende ligning, der skal løses, når GROMS GROMK: -0,01 + 18 0,0000651515 0,0198701 + 5.8417 Det er principielt også her en andengradsligning, som løses enten ved anvendelse af nulpunktsformlen eller et CAS-program. Vi får to løsninger, hvor den ene forkastes, da den er negativ, så vi får: 841,65 y f().0000651515^-.0198701+5.8417 Serie 1 f()-0.01+18; R²1 18 16 GROMS () - 0,01 + 18 14 1 10 8 6 4 GROMK() 0,0000651515-0,0198701 + 5.8417 100 00 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 100 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 841.65 Vi skal således lægge produktionen til rette, så der stoppes når der er produceret 841 stk. I praksis er der næppe tale om så simple modeller for omkostnings- og omsætningsforløb; men principielt er funktionsforskrifterne uden betydning, idet vi med CAS-programmer kan løse stort set alle ligninger, ligesom vi uden vanskeligheder kan fastlægge skæringspunkt mellem to funktioner. E4a Wilsons formel når der indkøbes til lager En virksomhed anvender i sin produktion en komponent, som koster 8 kr. pr. stk. i indkøb Forbruget er 18.000 stk. pr. år. Lageromkostningerne er 0 % p.a. af lagerets gennemsnitlige værdi, og hver afgiven ordre medfører 100 kr. i omkostninger.

Vi lader betegne seriestørrelsen (antal komponenter pr. ordre) C l g() de samlede årlige lageromkostninger C p h() de samlede årlige forberedelsesomkostninger (dvs. her hjemtagelsesomkostningerne) C f() g() + h() de totale årlige omkostninger. Udviklingen i lagerbeholdning kan ses på følgende figur: Forbruget af komponenter foregår jævnt (som illustreret ovenfor) med som den maksimale lagerstørrelse og 0 som den minimale størrelse, dvs. er den gennemsnitlige lagerstørrelse, og dermed er idet 1 8 4 lagerets gennemsnitlige værdi. Hermed kan vi bestemme forskriften for g, g() 0 % af 4 0,0 4 0,8 for 0 Produktionsforberedelsesomkostningerne er 100 kr. gange antal serier pr. år. Når forbruget er 18.000 stk. pr. år og seriestørrelsen, er antal serier pr. år Antal serier pr. år Dvs. forskriften for h er 18.000 18.000 1.800.000 h () 100 for > 0 Dermed er forskriften for de totale omkostninger C bestemt ved

18.000 0,8 + 1.800.000 f () 0,8 + 100 for > 0 ' Dette er en brøkfunktion, som vi fandt f til i kapitel 5. Vi får ' (1,6) (0,8 + 1.800.00) 1 f () brøkreglen anvendes ' 0,8 1.800.00 f () tælleren reduceres Vi sætter tælleren lig 0. 0,8 1.800.00 0 1.500 1.500 Af monotoniforholdene (tjek selv) følger at f har globalt minimum i 1.500. Dvs. der skal indkøbes 1.500 stk. for at minimere de samlede indkøbs- og lageromkostninger. Graferne for funktionerne er 8500 8000 y 7500 7000 6500 6000 5500 5000 4500 4000 3500 3000 de samlede omkostninger f() 500 000 1500 Indkøbsomkostninger h() Lageromkostninger g() 1000 500 1.500 den optimale seriestørrelse -00-100 100 00 300 400 500 600 700 800 900 1000 1100 100 1300 1400 1500 1600 1700 1800 1900 000 100 00 300 400 500 600 700 800 900 Af graferne ses, at den optimale seriestørrelse 1.500 stk. er skæringen mellem lageromkostningerne og indkøbsomkostningerne. Vi har løst dette trade off problem mellem voksende lageromkostninger og faldende indkøbsomkostninger ved større seriestørrelser. Omkostningerne er lige store, hvilket ses at g(1.500) 1.00 kr. og h(1.500) 1.00 kr. dvs. de samlede minimale omkostninger er.400 kr.

E4b Wilsons formel når der produceres til lager I det følgende vil vi udvide problemstillingen til en produktionsvirksomhed. Hvis virksomheden selv fremstiller varen, vil produktionen foregå over en periode, og varelageret vil blive gradvist opbygget i løbet af denne produktionsperiode. Forbruget/salget af varer i produktionsperioden vil betyde, at den maksimale lagerbeholdning (ved afslutning af produktion af en serie) er mindre end seriestørrelsen. En virksomhed har et årligt salg på 480.000 stk. af et produkt. Produktet fremstilles i serier på et anlæg med en årlig kapacitet på.400.000 stk. Produktionsforberedelsesomkostningerne er 8.400 kr. pr. serie, og lagerrenten er 15 % p.a. Fremstillingsomkostningerne er 15 kr. pr. stk. Der regnes med 360 produktionsdage pr. år. Den optimale seriestørrelse produktionen p. serie bestemmes i dette tilfælde som: C l g(), C p h() og C f() være bestemt som i eksempel E4a. Vi bestemmer først forskrifterne for de tre funktioner. Der skal produceres stk. pr. serie. Da produktionsapparatet kan fremstille.400.000 stk. pr. år,.400.000 360 eller stk. pr. dag vil produktionsperioden være dage. 360.400.000.400.000 360 Der sælges 480.000 stk. pr. år eller 480.000 360 stk. pr. dag. I løbet af produktionsperioden vil der således blive solgt 360 480.000 stk..400.000 360 5 Det maksimale lager er da stk., og det minimale lager 0 stk. Gennemsnitslageret er 1 4 stk. 5 5 hvilket er illustreret i følgende tegning

Lagerets gennemsnitlige værdi er således 15 0,4 6, og derfor er g() 15 % af 6 0,15 6 0,9 for 0 Forskriften for h finder man som i eksempel E4a. Der fremstilles stk. pr. serie, og derfor skal der fremstilles serier pr. år. Hermed har vi 480.000 4.03.000.000 h () 8.400 og dermed er de totale omkostninger 4.03.000.000 0,9 f () 0,9 + + 4.03.000.000 Vi finder nu f ' og nulpunkterne for f ' (tjek selv eller anvend CAS), som giver: ' 0,9 f () f '() 0 4.03.000.000 0,9 4.03.000.000 0 66.93,8 idet 66.93,8 pga. definitionsmængden må forkastes som løsning. Af monotoniforholdene for f sluttes, at den optimale seriestørrelse er 66.933 stk. (helt positivt tal). Grafen der viser omkostningsfunktionerne i dette eksempel ses på næste side

400000 y f()403000000/ f()0.9 f()0.9+403000000/ 300000 de samlede omkostninger f() 00000 100000 prouktionsomkostninger h() lageromkostninger g() 10000 0000 30000 40000 50000 60000 70000 80000 90000 66.933 stk Afsnit 10.4 Matematik i samfundsøkonomiske sammenhænge Ea udvidet indkomstdannelsesmodel et eksempel I den udvidede model indgår to yderligere aktører, nemlig udlandet og den offentlige sektor. Dette giver en ny avanceret udgave af Keynes cyklusmodel, illustreret i følgende figur Produktion Indkomst Eksport Import Offentlig efterspørgsel Efterspørgsel Skatter Det fremgår af figuren, at den udvidede indkomstdannelsesmodel indeholder 4 nye faktorer, som påvirker den økonomiske aktivitet: Import, eksport, offentlig efterspørgsel og skatter. Eksport og offentlig efterspørgsel er begge med til at øge aktiviteten, mens import og skatter mindsker den indenlandske aktivitet.

Som det fremgår af figuren, indgår det offentlige i den økonomiske cirkel, både med hensyn til skatter og i form af offentlig efterspørgsel. Fører vi det over på den samlede efterspørgsel fås D følgende: Y C+ I + G, hvor G betegner den offentlige efterspørgsel. Noget af indkomsten gik til skatter, samtidig med det offentlige betaler overførselsindkomster i form af SU, dagpenge, pension osv. Skatter betegnes med TA, og indkomstoverførsler får betegnelsen TR. Der skelnes i følgende mellem bruttoindkomsten, Y, og den disponible indkomst YD. Pr. definition er den disponible indkomst givet ved: YD Y - TA + TR Dvs. nu afhænger det private forbrug af den disponible indkomst i stedet: C C+ cyd Dette kan således skrives som: C C+ c( Y TA+ TR) For at finde frem til den samlede efterspørgsel i samfundet må vi antage nogle logiske konklusioner. Indkomstoverførelserne samt det offentlige forbrug antages til værende eksogene, altså konstante. Indkomstskatten afhænger af skatteprocenten. Vi betegner den gennemsnitlige skatteprocent med t. Dvs. TA ty Vi har derved TR TR,G G samt TA ty, hvor 0 < t < 1 Da det stadig gælder, at efterspørgslen er lig udbuddet, som er lig den samlede indkomst/produktion, kan vi sammenfatte den samlede indkomst i samfundet til følgende: Y C + c( Y ty + TR) + I + G Endnu en gang kan vi herved udlede ligevægtsindkomsten ved samling af alle endogene størrelser på sammen side. Y Y Y Y (1 c(1 t)) C + ctr + I + G Y C + c(y C + cy cy + cty ty cty C + ctr + I + G (1 c(1 t)) + TR) + I + G + ctr + I + G C + ctr + I + G Dette udtryk er ganske interessant for nu kan fortolke effekten af forskellige indgreb i økonomien. Ser vi f på en forøgelse af investeringerne i samfundet vil et sådant indgreb øge den økonomiske aktivitet med mere end forøgelsen af investeringerne. Dette ses nok en gang ved at differentiere indkomsten Y som funktion af investeringerne I dy 1 1 di 1 c(1 t) > Det matematiske argument er helt simpelt: c(1-t) giver et positivt tal der er mindre end 1 da 0 <c < 1 og 0 < 1-t < 1. Dette betyder, at 1-c(1-t) < 1 og derved bliver brøken større end 1. Så hvis vi øger

investeringsniveauet med f 1 milliard vil den økonomiske vækst blive større end 1 milliard. Den økonomiske forklaring af den matematiske models resultater er de såkaldte afledte effekter. Det at vi øger investeringsniveauet har nogle afledte effekter f kunne de øgede investeringer være investeringer i maskiner. Disse bliver købt i en virksomhed der derved får større indtjening, noget af denne indtjening bruger virksomheden til andre varekøb hvilket giver øget indtjening i en anden virksomhed, der så bruger lidt ekstra penge og derved at en positiv spiral i gang. Keynes brugte modellen til at argumentere for at den offentlige sektor skulle spille en aktiv rolle under forskellige konjunktur forløb f ved at øge det offentlige forbrug under lavkonjunkturer og nedsætte det offentlige forbrug under højkonjunkturer. Lad os lige se dette argument i vores model. dy 1 En forøgelse af det offentlige forbrug vil nemlig øge aktiviteten i samfundet: 1 dg 1 c(1 t) > Når indkomsten blev højere ved en forøgelse af det offentlige forbrug, vil det naturligvis medføre d( ty ) dy flere skatteindtægter: t > 0 dg dg Det ville i denne situation være nærliggende, at stille det spørgsmål om det offentlige forbrug var selvfinansieret? Her bruger man udtrykket budgetsaldoen (B), som er forskellen mellem staten indtægter og udgifter, som er givet ved: B ty G TR Herved kan ligevægtsindkomsten indsættes og effekten findes: C + ctr + I + G B t G TR 1 c(1 t) t(c + ctr + I + G) (1 c(1 t)) (G + TR) B 1 c(1 t) t(c + I) (1 c)tr + (c 1)(1 t)g B 1 c(1 t) En ændring i det offentlige forbrug vil altså have følgende effekt: db (c 1)(1 t) dg 1 c(1 y) db 1 < dg < 0

db Lad os først argumentere for at < 0. Tælleren er negativ da (c-1) er mindre end 0 og (1-t) er dg større end 0. produktet mellem et positivt og et negativt tal giver noget negativ. Nævneren er et positivt tal mindre end 1 som vi argumenterede for før. db (c 1)(1 t) Hvad så med >-1? Stilles ligningen op fås følgende udtryk: >-1 For at udtrykket dg 1 c(1 y) kan bevises må tælleren i alle tilfælde numerisk være større end nævneren. (c 1)(1 t) > 1 1 c(1 t) (c 1)(1 t) > c(1 t) 1 c ct 1+ t > c ct 1 t > 0 Og da det sidste udsagn er sandt, er det første udsagn sandt Nu kan vi drage to konklusioner: For det første er en stigning i det offentlige forbrug ikke selvfinansierende, da ændringen ikke er over 0. For det andet er forringelsen på budgetbalancen ikke lige så stor som stigningen i det offentlige forbrug. Den sidste effekt som vil blive analyseret, er en ændring i skattesatsen. Det virker umiddelbart indlysende, at en skattestigning vil føre til lavere aktivitet, og derved mindre indkomst i samfundet. Dette kan bekræftes ved følgende: dy dt C + ctr + I + G (1 c(1 t)) Vi kunne have udvidet modellen og inddraget eksport og import. Eksporten vil være givet udefra af den udenlandske efterspørgsel efter danske varer mens importen antages at være afhængig af indkomstniveauet. Jo større indkomst jo højere import. Vi siger M(importen) my. I konkrete tilfælde gælder det om at bestemme tallene c: forbrugskvoten, t:skatteprocenten og m:importkvoten. Hvis disse tal kendes er det ganske simpelt at udregne effekterne af et politisk indgreb på f forbruget, investeringerne, de offentlige finanser og den økonomiske vækst. Eb indkomstdannelsesmodellen et taleksempel Lad os kigge på et taleksempel på den udvidede model med offentlig sektor men uden udland. Relationerne er som følger:

Indkomsten: Y C + ctr + I + G (1 c(1 t)) Indkomstskatten TA t Y C + ctr + I + G t (1 c(1 t)) Forbruget: C C + cy C + ctr + I + G C + c (1 c(1 t)) Budgettet: t(c + I) (1 c)tr + (c 1)(1 t)g B 1 c(1 t) Vi antager nu at c 0,90, t 0,48. Vi vil nu se på effekten af en fremrykning af offentlige investeringer på 10 milliarder. Indkomsten: Y ' dy dg 1 1 1,88 (1 c(1 t)) (1 0,9(1 0,5)) Dette betyder at for hver milliard vi øger de offentlige udgifter vil det give en økonomisk vækst på 1,88 milliarder. Så en forøgelse på 10 milliarder vil give en økonomisk vækst på 18,8 milliarder. Hvad sker der med de forskellige størrelser: 1) Indkomstskatten: dta t 0,48 TA ' 0,90 dg (1 c(1 t)) 0,53 Så indkomstskatten stiger med 9,0 milliarder ) Det private forbrug: C ' dc dg c (1 c(1 t) 0,9 0,53 1,69 Så det private forbrug vil stige med 16,9 milliarder 3) Budgettet: B' db dg (c 1)(1 t) 0,1 0,5 (1 c(1 t)) 0,53 0,098

Dette betyder, at de offentlige finanser samlet forringes med knap en milliard (980.000.000 kr.) Dette tal kunne vi selvfølgelig også have fundet ved at trække forøgelse i de offentlige udgifter (10 milliarder) fra de øgede indkomstskatteindtægter (9,0 milliarder). Så effekterne er meget simple at finde ud fra modellen. Igen skal vi huske, at modellen i dette tilfælde er en meget forsimplet udgave af virkeligheden, og at den bygger på nogle antagelser der kan være beskrevet for simpelt, være forkerte eller blive forkerte som tiden går. F vil lille c, forbrugstilbøjeligheden, ændre sig hvis der er krise i samfundet. Men dette får ikke anvendelsen af matematikken til at blive mindre betydningsfuld. Konklusionen synes nemlig at være forsøg på at beskrive økonomien grundigere og grundigere. F så vi, at der i DREAM modellen var mere end.000 ligninger, mens vi i vores model nærmede os ti ligninger. Afsnit 10.5 Matematik og SRP flere eksempler E1a optimering af funktioner i flere variable Vi ønsker at optimere ikke-lineære funktioner i flere variable. Metoden eller algoritmen vi vil bruge er minder om den vi gennemgik i kapitel 4. Dvs. vi vil bruge differentialregning. Når denne metoden skal bruges for funktioner i flere variable er vi nødt til at ændre lidt i algoritmen. Det er nemlig ikke muligt at bruge en fortegnsvariation af f ' for funktioner i flere variable. Derfor udvikler vi her en nu metode og vi betragter først et eksempel med en funktion i en variabel. Vi kan kort resumere metoden til at bestemme maksimum og/eller minimum for en given funktion. OPTIMERINGS ALGORITME hvordan finder vi eventuelle maksimum og minimumspunkterne for en funktion f. 1. Bestem den afledte funktion f ved at differentiere f. Løs ligningen f ()0 dvs. bestem nulpunkterne for f 3. Lav en fortegnsvariation af f omkring nulpunkterne for f 4. 3 tilfælde: 1. fortegnene skifter + 0 og der er fundet et maksimumspunkt. fortegnene skifter 0 + og der er fundet et minimumspunkt 3. fortegnene skifter 0 eller + 0 + og der et hverken maksimum eller minimum Man kalder punkt. f '() 0, for en nødvendig betingelse for et ekstrema. Hvis der skal være et maksimum eller et minimum, skal der være en vandret tangent, f '() skal være lig med nul ved et eventuelt ekstrema. Men det er ikke en tilstrækkelig betingelse. Det er nemlig ikke nok, at der er en vandret tangent. Vi ser i nedenstående eksempel, at der i punktet (-1, 1) er en vandret vendetangent. Idet tangenten er vandret er f '() 0, men som vi tydeligt ser af tegningen, er punktet (-1, 1) hverken et minimums- eller maksimumspunkt.

y f()3^4+8^3+6^ y0+1 Serie 1 (-1, 1) er hverken et maks eller et min punkt 1. (-1,1) 1 0.8 1.6 1.4 Det er derfor vi altid er nødt til at lave fortegnsvariation (punkt 3. og 4.) Fortegnsskiftene + 0 og 0 + kaldes også for tilstrækkelig betingelser for maksimum og minimum 0.6 0.4 0. -1.5-1.4-1.3-1. -1.1-1 -0.9-0.8-0.7-0.6-0.5-0.4-0.3-0. -0.1 0.1 0. 0.3 0.4 0.5-0. -0.4 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for maksimum og minimum(1.ordens- og.ordensbetingelser). A. Nødvendig betingelse 1.ordens betingelsen: f () 0 B. Tilstrækkelig betingelse.ordens betingelsen: Maksimum: Minimum: fortegnsskift + 0 for f fortegnsskift 0 + for f Med kendskabet til begreberne konveks og konkav også fra kapitel 4, kan vi bestemme.ordens betingelserne på en anden måde der også virker i flere dimensioner. Hvis en funktion er konveks i det område hvor f '() 0 har vi fundet et minimumspunkt, og hvis f er konkav i det område hvor f '() 0, er det et maksimumspunkt. Hvis funktionen har vendetangent der hvor f '() 0 er der hverken maksimum eller minimum. Sammenhængen fremgår tydeligt af følgende tegninger:

Minimum fordi f er konveks omkring f '()0 f'()0 1.ordens betingelsen maksimumspunkt f()^ y0+0 Serie 1 konveks.ordens betingelsen f()-^+8 y0+8 Serie 1.ordens betingelsen konkav 1.ordens betingelsen f'()0 minimumspunkt Maksimum fordi f er konkav omkring f '()0 Her er der hverken maksimum eller minimum da funktionen f skifter fra at være konveks til at blive konkav der hvor f '() 0 konveks f'()0 vandret vendetangent dette punkt er hverken et maksimumspunkt eller et minimumspunkt konkav.ordensbetingelsen er IKKE opfyldt

Dette betyder, at vi blot skal konstatere om f er konkav, konveks eller skifter fra konkav til konveks eller omvendt, for at bestemme om et givet punkt er et maksimum, et minimum eller intet ekstrema. Husk, hvis f () < 0 er f konkav og hvis f > 0 er f konveks Vi samler de nye 1.ordens og.ordens betingelser op i følgende skema. 1.ordensbetingelsen f () 0.ordensbetingelserne Minimum: f () 0 Maksimum: f () 0 Intet ekstrema: f skifter fortegn Lad os se metoden i følgende eksempel. Lad f () 1 3 3 3 Vi ønsker, at bestemme maksimum og minimumspunkterne. 1.ordensbetingelsen f '() 0: f '() 0 4 3 0 3 1 Der er to kandidater til maksimum og minimum for f nemlig (3, f(3)) og (1, f(1)) Vi kontrollerer.ordensbetingelserne f ''() 4 Først punktet (3,f(3)): Vi indsætter 3 i Punktet (1, f(1)): Indsætter 1 i f ''(): 3-4 > 0 så f er konveks og punktet (3, f(3)) er et minimums punkt f ''(): 1-4 - < 0 så f er konkav og punktet (1, f(1)) er et maksimumspunkt.

Metoden kan direkte overføres til eksempler med flere variable. E1b optimering af funktioner i flere variable ved hjælp af partielle afledede En virksomhed producerer og sælger to produkter. VUELTA og GIRO. Prisen pr stk. VUELTA kan bestemmes ved p 1 () -0,05 + 40 0 < < 700, hvor er afsætningen i stk. VUELTA Prisen pr stk. GIRO kan bestemmes ved p () -0,05y + 30 0 < < 500, hvor y er afsætningen i stk. GIRO De variable enhedsomkostninger ved produktionen er 15 kr. pr. stk. VUELTA og 10 kr. pr. stk. GIRO Det samlede dækningsbidrag kan beskrives med en funktion f(,y). Regneforskriften bliver: f(, y) -0,05 +5 0,05y + 0y Vi husker, at dækningsbidraget er omsætningen minus de variable omkostninger. Omsætningen er pris gange afsætning så for VUELTA bliver det p 1 () 15 og tilsvarende for GIRO. Nu vil vi gerne finde den kombination af VUELTA og GIRO der giver det største samlede dækningsbidrag. Dette svarer til at finde (, y) der optimerer f(, y). Så vi skal i gang med at differentiere: 1.ordens betingelserne: f f 0,05 + 5 0 0,05y + 0 0 y Dette giver et simpelt ligningssystem som vi løser 0,05 + 5 0 0,05y + 0 0 5 0,05 500 y 0 0,05 400 1.ordens betingelserne giver os altså en mulig kandidat til et maksimum eller minimum og det er punktet (500, 400) Vi kontrollerer.ordens betingelserne: f f f f 0,05 0,05 0 y y y Vi samler i matricen f 0,05 A f 0 y f 0 y f 0,05 y

f f f f f Da 0, 05<0 og ( DeterminantA) (-0,05) (-0,05) - 0 0 0,05>0 er y y y punktet (500, 400) et maksimumspunkt. Undervejs benyttede vi os af metoden til at differentiere funktioner i flere variable det hedder at finde de partielle afledede. Den måde man gør det på er at først differentiere med hensyn til den ene variabel f. Dernæst med hensyn til den anden variabel. Når man differentiere med hensyn til lader man som om alle y leddene er konstanter og tilsvarende når man differentierer med hensyn til y så er blot en konstant. Det bløde d er et lille delta og viser at det er en partiel afledet og ikke en rigtig afledet. De dobbelt afledede findes på tilsvarende vis og fordi der er to variable giver det 4 dobbelt afledede. Eksemplet kan sagtens udvides så virksomheden f.eks. står overfor et begrænset kapacitets problem. Dvs. der skal maksimeres over et begrænsningsområde som i lineær programmering. I sådanne tilfælde kan der opstilles en såkaldt Lagrange funktion, der så maksimeres som i ovennævnte tilfælde. Ea Portefølje management, Stokastiske variable og Lagrange funktionen. I eksempel E i afsnit 10.5 skrev vi Porteføljemanagement er en disciplin inden for investering i værdipapirer. Investering handler i bund og grund om at opnå det højeste afkast med den lavest mulige risiko. Man deler risikoen op i systematisk og usystematisk risiko. Den usystematiske risiko kan reduceres(bortdiversificeres) ved at investere i mange forskellige værdipapirer. Men da en stor samling (stor portefølje) af f aktier vil give store handelsomkostninger og derved sluge gevinsten(afkastet) handler porteføljemanagement primært om at vælge de rigtige aktier. De rigtige aktier er aktier der varierer godt sammen de skal variere modsat således at den usystematiske risiko minimeres. Det er her vi kan udnytte teorien om stokastiske variable. Vi kan nemlig beskrive afkastet ved at investere i en aktie ved hjælp af en stokastisk variabel. Hvis vi så laver en portefølje af forskellige aktier bliver dette til summe af stokastiske variable. De forventede værdier af disse summe af stokastiske variable kan fortolkes som det forventede afkast af en given portefølje. Variansen kan fortolkes som risikoen ved porteføljen. Så i princippet gælder det om at sammensætte sine aktier således, at det forventede afkast(den forventede værdi af summen) er størst mulig, og risikoen(variansen) mindst mulig. Lad os samle lidt op på matematikken i dette. Vi lader afkastet af en portefølje med n aktier være beskrevet ved den stokastiske variabel!. Hver aktie beskrives!!, hvor! er den! te aktie. Desuden tilføjer vi en konstant!!, som betegner den!'te akties vægt i forhold til den samlede portefølje. Her skal det nævnes at der gælder følgende sammenhæng for en konstant og den forventede værdi:!!!!!"

!!"!!!!!!(!! ) Dette er udtrykket for det forventede afkast. Risikoen eller variansen ved den enkelte aktie ser således ud For hele porteføljen:!!"#!!!!!"#(!)!"#(!)!!!!"#!! +!!!!"# (!!,! )!!!!!!!!!!! Det sidste led i summen cov(x i, X j ) er covariansen mellem den i te aktie og den j te aktie. Det er et udtryk for hvordan de to aktier spiller sammen. Dette udtryk kan være negativt og dette vil sige at de to aktier i gennemsnit varierer modsat de er med andre ord gode at sætte sammen i en portefølje. I praksis kan covarianserne regnes ud f i Ecel. Så ved at indlæse en række afkast tal for to aktier i Ecel kan vi få covarianserne udregnet. Det samme gælder selvfølgelig for varianserne. Hele problemstillingen kan nu reduceres til et simpelt optimeringsproblem. Vi kan nemlig opstille følgende problem: Minimer: Givet følgende betingelser Var (X) n i 1 w n n 1 var(xi ) + wi w j cov(xi,x j) i 1 j 1!!!!!!!!!! 1!!!!!!"!! 0 Og det forventede afkast skal være et givet fast niveau f 5% Vi kræver, at alle vægtene summerer til 1, at porteføljens afkast er summen af de enkelte aktiers vægtede afkast og at vi ikke kan have en negativ andel af en aktie samt at vi ønsker et forventet afkast på 5 % Problemet kan løse ved at opstille en Lagrange funktion og optimerer denne. Hvis vi har en portefølje med 3 aktier vil dette give et ligningssystem med 3 ligninger med 3 ubekendte.

Løsningen til et konkret problem vil ikke være statisk. Dette skyldes at afkastene på de enkelte aktier kan ændre sig over tid de er dynamiske størrelser. Dette betyder i praksis at portefølje sammensætningen skal justeres løbende. Eb beregning af forventet afkast og varians for en portefølje med 3 aktier. Vi vil nu prøve at sammensætte en portefølje af tre aktier fra det danske C0 indeks. Vi vil vælge to defensive aktier og en cyklisk aktie for at skabe noget variation i henhold til porteføljestrategien. Vi vil i dette eksempel bruge Nordea, Novo Nordisk og William Demant Holding som er opstillede med forventede afkast og risiko i følgende skema: Forventet afkast pr. måned Risiko Nordea (N) 1,11 60,7 Novo Nordisk (O) 5,19 16,9 William Demant Holding (L) 0,33 30,53 Tallene i tabellen er beregnet ud fra fortidige kurser taget fra Nasdaqomnordic.com. Risikoen er beregnet som variansen af den stokastiske variabel X Fra overstående skema ses det, at Novo Nordisk har et højt afkast og en lav risiko, en meget atypisk situation, men derudover ser vi en sammenhæng mellem risiko og afkast. Lad os nu se, på afkast og risiko af den samlede portefølje. Vi vil lave en portefølje med en vægt på 33 % af hver aktie. Herudfra vil vi udregne det forventede afkast af porteføljen med formlen 3 EX w i EX i : 0,33 1,11 + 0,33 5,19 + 0,33 0,33,19 Det forventede afkast på porteføljen er altså højere end Nordea og William Demant Holding men en del mindre end Novo Nordisk. At udregne covariansen kræver mange data, derfor nøjes vi med en udregning fra Ecel, der giver os følgende covarianser:!"#!!,!! 0,89!"#!!,!!,69!"#!!,!! 4,47 i 1

Vi er altså i den gunstige situation, at alle aktierne i en eller anden grad varierer modsat hinanden. Med de angivne vægte fra før vil vi nu udregne variansen med 3 3 3 wi var(xi ) + wi w j cov(xi,x j) i 1 i 1 j 1 var( X) : Var(X) 0,33 60,7 + 0,33 16,9 + 0,33 30,5 + (0,33 0,33 (-0,89) + 0,33 0,33 (-,69) + 0,33 0,33 (-4,47) 11,4. Vi ser, at det forventede afkast er,19% (pr måned) og variansen (risikoen) er 11,4. Dette er dermed ikke umiddelbart en optimal portefølje da den vil blive slået af en portefølje kun med Novo Nordisk aktier. Ec den kritiske rand minimumsvarians porteføljer Lagrange funktion Så det må kunne gøres bedre. Vi så, at de tre covarianser alle var negative dette skal udnyttes. Første trin i at vælge den optimale portefølje er at bestemme det man kalder den kritiske rand. Den svarer til de kombinationer af de pågældende aktier der til et givet forventet afkast har den laveste risiko. Vi skal finde den bedste kombination i en portefølje, hvor der i princippet er uendeligt mange kombinationer. Det lyder tidskrævende! Imidlertid kan den optimale porteføljesammensætning udregnes med stokastiske variabler som en optimering af den kritiske rand. Den kritiske rand kan udregnes ud fra Lagrange-optimering i form af en minimering af den samlede porteføljes varians under visse forudsætninger. Optimeringsproblemet kan vi beskrive ud fra det tidligere eksempel: 3 3 3 i wi w j cov(xi,x j) i 1 i 1 j 1 Minimer: var( X) w var(xi ) + Med følgende betingelser:! (i)!!!!! 1! (ii)!!!!!!!!!" iii)!! 0 Vi kræver altså, at den samlede vægt af porteføljen er 100 %, at det forventede afkast på alle aktier gange deres vægt er lig med det forventede afkast på porteføljen, og at vægten på en aktie ikke må være negativ. For at udregne den kritiske rand i det konkrete eksempel skal vi benytte den på følgende beskrevne fremgangsmåde. Vi tager udgangspunkt i eksemplet fra før, dog uden tal, og bruger betegnelserne

Nordea (N), Novo Nordisk (O) og William Demant Holding (L) for at holde dem adskilt. Vi opstiller Lagrange-funktionen således:!!!!"#!! +!!!!"#!! + 1!!!!!!"#!! +!!!!!"#!!,!! +!! 1!!!!!"#!!,!! +!! 1!!!!!"#!!,!!! (!!!!! +!!!!! +!!! 1!!!!!") Vi udnytter (i) til at skrive!! som den restvægt af porteføljen, der er tilbage, når de to andre aktiers vægte er trukket fra. Vi ser også, at vi som det sidste trækker den forventede værdi af den samlede portefølje fra, det er den værdi som vi vil minimere risikoen ud fra. Sidst med ikke mindst er! Lagrangemultiplikatoren. Derudover er det hele blot variansen af summen og den forventede værdi af porteføljen. Efter at have opstillet Lagrange-funktionen simplificerer vi den, ved at trække de ubekendte led sammen. Så laver vi en differentiering af funktionen ud fra de to porteføljevægte!! og!! samt Lagrangemultiplikatoren λ. Derefter kan de fremkommende 3 ligninger løses som 3 ligninger med 3 ubekendte. Så skulle vi gerne kunne udregne!! og!!, som vi trækker fra 1, og derved har vi også!!. Til sidst kan vi udregne variansen af porteføljen. E3a Teknisk analyse et konkret eksempel Teknisk analyse er nogle relativt simple matematiske modeller der bruges til at forudsige mønstre i aktiekursudviklingen og dermed bedre være i stand til at købe når aktierne er billige og sælge når de er dyre. Der findes mange forskellige modeller såkaldte indikatorer, men vi vil nøjes med at kigge på den mest simple af alle modellerne, nemlig et såkaldt glidende gennemsnit. I praksis bør man bruge flere modeller på samme tid og bruge modellernes fælles købs og salgssignaler. Et glidende gennemsnit er rent matematisk et gennemsnit der løbende ændrer sig ved, at man udskifter det ældste tal i gennemsnittet med et nyt. Hvis man f laver et 30 dages løbende gennemsnit vil man hver dag udskifte den 30 dage gamle kurs med dagens kurs. Nedenstående figur viser kursudviklingen af Novozymes fra den 9-10-011 til 17-10-011