Matematik Vi har fået til opgave at bygge en ballon hvis volume mindst må være 1,2 Kubikmeter og max 1,5 kubikmeter. Så for at løse dette problem valgte vi at finde formlerne for en kugle, kugleafsnit og en keglestub, det vi så gjorde var at lave en fælles formel med alle de individuelle formler som vi indsatte i excel for at finde det passende rumfang for vores luftballon. Formlen for en Kugle: 3 V = 4/3»r *n Formlen for et Kugleafsnit: 2 2 V =n/6»h»(3»a + h ) Formlen for en Keglestub: 2 2 V =n/3»h»(r + r + R*r) Nu hvor vi så kendte alle formlerne lavede vi en fælles for dem, og da vores ballon består af en kugle med en keglestub, bliver vi nødt til at trække kugle afsnittet fra kuglen for at få det passende rumfang. 3 2 2 2 2 ( 4/3»rc*r )-(rc/6»h»(3»a + h )) + (rc/3»h»(r + r + R*r)) Nu hvor vi har en formel for rumfanget af vores ballon, kan vi indsætte formlen i excel hvor vi ændrer på radiuserne indtil vi får et passende resultat. Vi skal finde rumfanget på kuglen og keglestubben, men vi skal huske at fjerne det kugleafsnit, keglestubben dækker over. Kuglens volume: (4/3*tt*0,65 3 )=1, 15m 3 Kugle Afsnittets volume: (n/6*0,4*(3*0,6 2 +0,4 2 ))=0,26m 3 Keglestubbens volume: (n/3*0,85*(0,6 2 +0,25 2 +0,6*0,25))=0,51m) (4/3*n*0,65 3 Mn/6*0,4*(3*0,6 2 +0,4 2 ))+(n/3*0,85*(0,6 2 +0,25 2 +0,6*0,25))=1,4m 3 Overfladeareal på ballonen: Overflade areal af kuglen: 4 i 0,6 S p 8/16 814 lm 2 Overflad areal af kugleafsnit: TT 1,3 0,4 k
1,633623m 2 Areal af kuglen uden kugle afsnittet: 8,17-1,63 = 6,54m 2 Krumme overfladeareal af keglestubr TT 0,92 (0,6 + 0,25) $ 2,4S6725?n 2 Samlet overfladeareal: 6,54 + 2,46 = 9m z
Nu hvor vi så havde fundet de passende Radiuser for vores ballon, kan vi optegne vores ballon i geogebra. Da vi havde tegnet vores ballon i geogebra kan vi begynde at lave beregninger på
vores blad (skabelon) vi valgte at dele vores luftballon op i 16 blade da vi mente det ville give den bedste runde form.
Det første vi gjorde for at lave vores skabelon var at finde den højde vores skabelon skulle bruge, og for at gøre det brugte vi buelængden på kuglen og lige den værdi sammen med sidelængden på vores keglestub. Så det vi gør er at bruge pythagoras til at finde c på den markeret trekant. Men først Minuser vi den totalte højde med radius for at få værdien for a l,75m-0,65m = 1, lm og b værdien kender vi da det er halvdelen af bund åbningen 0,5m/2 = 0,25m nu hvor vi har de 2 værdier kan vi bruge pythagoras 2 2 ^1,1 m +0,25m =1,12m nu hvor vi har den værdi kan vi bruge sinusrelationen til at beregne vinklen A
s i n ( 9 0 ) _ s i n ( A ) TJ2 025 0,25/1,12 _ sin(a) sin _1 (0,22) _ 12,8 Nu hvor vi ved at skæringspunktet er tangent med center punktet kan vi optegne en ny trekant og igen kan vi bruge pythagoras til at beregne trapezetens sidelængde og da vi kender radius har vi a værdien og b værdien har vi lige beregnet før. ^1,12 m -0,65m 2 _0,91m Og igen beregner vi vinklen A med hjælp af sinus sin(90) _ s i n ( A ) 1,12 _ 0,91 0,91/1,12 _ sin(a)
-1 o sin (0,8125) = 54 Nu kender vi sidelængden på trapezen, kan vi gå videre til cirkelbuen og da vi kender de 2 grader kan vi beregne buelængden ved at finde omkredsen og dividere den med 360 for at gange den med cirkelbuens grader. Men først skal vi beregne cirkelbuens grader og for at gøre det skal vi bruge de grader vi beregnede før for at minus dem med 180 for at få længden. o o o o 180-54 -12,8 = 113,2 2*0,65m*n = 4,08m oo 4,08m/360 *113,2 = 1,28m Nu hvor vi har beregnet sidelængden på trapezen og cirkelbuen kan vi lægge dem sammen for at få skabelonens højde 1,28m + 0,91m = 2,19m Nu hvor vi har højden kan vi gå videre til at lave bunden på vores skabelon og for at gøre det skal vi bruge omkredsen på bunden af vores keglestub og dividere det med 16 da vi har 16 blade. 2*0,25m*n = 1,57m 1,57m/16 = 0,098m Derefter bruger vi sidelængden på vores keglestub, til at beregne hvor vores næste punkt skal starte på skabelonen, og da keglestubben er en lige vinkel. kan vi finde radiusen på det punkt hvor keglestubben skær kuglen, og på det punkt beregner vi omkredsen hvor vi igen dividere resultatet med 16 som giver det resultat vi skal bruge på de individuelle blade. 2*0,6m*n = 3,76m 3,76m/16 = 0,23m Derefter kan vi begynde på den øvre del af skabelonen og det vi gjorde der var at sætte en masse punkter hvor vi derfra fandt dens radius og fandt omkredsen for det valgte punkt hvor vi derefter divideret det med 16.
Men først skal vi lave centrum på vores skabelon og for at gøre det skal vi bruge radiusen på vores kugle som vi allerede kender nemlig 0,65 derefter kan vi beregne omkredsen som før og dividere med 16 for at få det enkelte skabelons brede, dette punkt bliver så det bredeste punkt på skabelonen da kuglens omkreds er størst i centrum. 2*0,65*n/16 = 0,25m Nu hvor vi så kender centrum kan vi udarbejde der fra med at finde en passende højde så snart vi fundet en passende højde til det første punkt kan vi optegne et slags trekants system i kuglen og bruge sinus relationer til at finde de individuelle baners radius og grader, det er vigtigt vi får deres grader også da vi skal bruge buelængden til at beregne afstanden mellem banerne på vores skabelon. Det første punkt vi lave vælge vi skal have en højde på 0,17m og nu hvor det første trekant er placeret ved centrum er a og c = radius kan vi bruge sinusrelationer til at finde vinklen A som vi skal bruge til skabelonen som afstand mellem vores punkter. s \ Bl... y *2=0.17 h m A ÉL sin(90) _ sin(x) 0,65 0j7-1 o Sin (0,17m/0,65m)= 15,16 Nu hvor vi kender vinklen kan vi beregn afstanden mellem punkterne på skabelonen ved at dividere kugle omkredsen med 360 og gange med 15 2*0,65m*n = 4,08m
4,08/360*15,16 = 0,1718m Denne proces kører vi bare over igen og igen gennem ballonen indtil vi får passende nok punkter.