MATEMATIK Eksamensopgaver Juni 995 Juni 200, 3. fjerdedel August 998 Opgave. Lad f : R \ {0} R betegne funktionen givet ved f(x) = ex x for x 0. (a) Find eventuelle lokale maksimums- og minimumspunkter for f. (b) Undersøg i hvilke intervaller f er konveks eller konkav. (c) Skitser grafen for f og angiv værdimængden for f. (d) Find et punkt P = (a, f(a)) på grafen for f, således at tangenten i P går gennem (0, 0). (e) Lad A betegne den (ubegrænsede) delmængde af første kvadrant som begrænses af koordinatakserne, grafen for f, og linien x =. Vis at det omdrejningslegeme der fremkommer når A roteres om Y -aksen har endeligt volumen, og beregn dette volumen. Opgave 2. Betragt mængden D = {(x, y) R 2 x, 0 y 2 2x 2 } og funktionen f : R 2 R givet ved f(x, y) = 4x 2 3(y ) 2. (a) Gør rede for at planintegralet D det. f(x, y) da eksisterer og beregn (b) Find f s kritiske punkt og afgør om det er et lokalt extremum.
(c) Gør rede for at billedmængden f(d) er et lukket og begrænset interval, og bestem dette interval. (d) Lad γ : [, 2] R 2 være kurven γ(t) = { (t, 2 2t 2 ), t [, ] (3 2t, 0), t [, 2]. Gør rede for at længden af denne kurve er 2 + 2 0 + 6t2 dt. (e) Udregn kurveintegralet langs γ af vektorfeltet ( ) f f(x, y) = x (x, y), f (x, y). y Med andre ord, find γ f. Opgave 3. (a) Bestem konvergensradius for potensrækken (b) Gør rede for at n= n= ( ) n (2n )! xn. () ( ) n (2n )! ( x) 2n = sin x for x 0. (c) Find et udtryk for summen af rækken () for x 0. (d) Find et udtryk for summen af rækken n= ( ) n n (2n )! xn for x > 0. (e) Find et udtryk for summen af rækken n= ( ) n (2n )!(n + ) xn+ for x > 0. 2
Opgave 4. (a) Bestem den funktion g i C st der opfylder at g(t) = t for t ] π, π[. (b) Konvergerer Fourierrækken for g punktvist mod g? Fourierrækken for g uniformt mod g? Begrund svarene. Konvergerer (c) Vis at Fourierrækken for g er (d) Udled identiteten π 2 + n Z\{0} ved brug af Fourierrækken for g. ( ) n πn 2 e inx. = π2 (2n + ) 2 8 (e) Vis at (2n + ) 4 = π4 96. Juni 999 Opgave. Lad funktionerne f n være defineret ved f n (x) = (a) Vis at rækken x, x 0, n = 0,, 2,... ( + x 2 ) n f n (x) (2) er konvergent for ethvert x 0 og bestem sumfunktionen f(x) = f n (x). 3
(b) Er rækken (2) uniformt konvergent på {x x 0}? (Begrund dit svar.) (c) For hvilke n eksisterer det uegentlige integral f n (x) dx? Bestem integralets værdi, når det eksisterer. Opgave 2. (a) Angiv den fuldstændige løsning til differentialligningen y + 2y + 2y = 0. (3) (b) Angiv derefter den fuldstændige løsning til differentialligningen idet a er et reelt tal. (c) Gør rede for at differentialligningen y + 2y + 2y = 2 2e ax, (4) y + 2y + 2y = 2 2e 2x (5) har netop én løsning y 0, der opfylder betingelserne y 0 (0) = 0, y 0(0) = 0, og bestem y 0. Opgave 3. (a) Lad ϕ : R 2 R være en differentiabel funktion og sæt f(x, y) = ϕ(x, y)e ϕ(x,y), (x, y) R 2. Vis at et punkt (x, y) R 2 er et kritisk punkt for f hvis og kun hvis ϕ(x, y) = eller (x, y) er et kritisk punkt for ϕ. Definer G : R 2 R ved at G(x, y) = (x 4 + x 2 y 2 )e x4 +x 2 y 2, (x, y) R 2. (b) Find de kritiske punkter for G og angiv G s funktionsværdi i hvert af dem. 4
(c) Lad R > 0. Find største og mindste værdien af G på cirkelskiven D R = {(x, y) R 2 x 2 + y 2 R 2 }. Angiv de punkter i D R hvori G antager sit maximum og sit minimum på D R. (d) Bestem billedmængderne G(D R ) og G(R 2 ). Begrund i begge tilfælde dit svar. (e) Gør rede for at der findes et ɛ > 0 og en kontinuert differentiabel funktion h : ] ɛ, ɛ[ R således at h(0) = 0 og Bestem desuden h (0). Opgave 4. h(x) = (x 4 + x 2 h(x) 2 )e x4 +x 2 h(x) 2, x ] ɛ, ɛ[. (a) Find konvergensradius for potensrækken ( 2 + ) n z n. n n= (b) Gør rede for at funktionen ( g(t) = 2 + ) n t n, t ] 2, 2[ n n= er differentiabel i ethvert punkt i ] 2, 2[ og Riemann integrabel på [0, ]. Bestem g (0) og g(t) dt (gerne udtrykt ved en uendelig række). 0 (c) Definer h : R C ved at ( h(t) = 2 + ) n e int, t R. n n= Gør rede for at h C st og angiv samtlige Fourierkoefficienter for h. Begrund dit svar. (d) Vis at 2 eit = 2 n e int, t R, 5
og bestem integralet π π dt. eit 2 (e) Vis at 2 eit 2 = 5 cos t for alle t R, og udnyt dette til at 4 vise, at π 5 π cos t dt = 8π 3. 4 August 999 Opgave. Lad funktionen f : R + R være givet ved x 2 f(x) = 3 + 8 x. (a) Vis at f har præcis et kritisk punkt, gør rede for f s monotoniforhold, og skitser grafen for f. (b) Angiv mængden {x R + f(x) < x} (begrund dit svar). Lad nu x 0 være et givet positivt tal og lad {x n } der er bestemt ved fastsættelsen være den talfølge, x n = f(x n ) for n. (c) Vis at x n 3 for n. (d) Vis at talfølgen {x n } n= (e) Vis at talfølgen {x n } n= er aftagende. er konvergent og bestem dens grænseværdi. Opgave 2. Definer f : R 2 R ved at f(x, y) = ye x+ y. 6
(a) Vis at der kun findes et kritisk punkt x 0 for f og find det. (b) Afgør om x 0 er et lokalt maximum, et lokalt minimum eller et saddelpunkt for f. (c) Tegn mængden K = {(x, y) R 2 0 x, y 2 4}. Find største og mindste værdien af f på K. (d) Angiv billedmængderne f(k) og f(r 2 ). Begrund i begge tilfælde dit svar. (e) Gør rede for at f er Riemannintegrabel over kvadratet L = {(x, y) 0 x, 0 y } og bestem integralet f(x, y) da af f over L. L Opgave 3. Lad U = {(x, y) R 2 x > 0, y > 0} og definer et vektorfelt g : U R 2 ved at ( ) g(x, y) = x 2 + 3x 2 log(xy 2 2x 3 ),. y (a) Vis at g er rotationsfrit. (b) Gør rede for at g er et konservativt vektorfelt. (c) Lad γ : [0, ] U være en stykvist kontinuert differentiabel kurve som opfylder at γ(0) = (, ) og γ() = (, 2). Bestem kurveintegralet g af g langs γ. γ Lad µ : [0, ] U være kurven µ(t) = (e t, e t ). (c) Bestem længden af µ. (d) Bestem kurveintegralet g af g langs µ. µ 7
Opgave 4. (a) Bestem den fuldstændige løsning til differentialligningen dy dx = ey + x 2. (6) (b) Vis at for enhver løsning y til (6) eksisterer grænseværdien lim x y(x). (c) Vis at der findes præcis én løsning y 0 til (6) der opfylder lim x y(x) = 0, og bestem y 0. 8