M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T

M A T E M A T I K G R U N D F O R L Ø B E T M I K E A U E R B A C H WWW.MATHEMATICUS.DK (2) y 2 Q 1 a y 1 P b x 1 x 2 (1)

Matematik: Grundforløbet 3. udgave, 2016 Disse noter er skrevet til matematikundervisning på stx og kan frit anvendes til ikke-kommercielle formål. Noterne er skrevet vha. tekstformateringsprogrammet LATEX, se www.tug.org og www.miktex.org. Figurer og diagrammer er fremstillet i pgf/tikz, se www.ctan.org/pkg/pgf. Disse og andre noter kan downloades fra www.mathematicus.dk. cbna

Forord Disse matematiknoter matematikundervisningen i grundforløbet på stx. Noterne er skrevet med det formål at have en grundbog, som kun indeholder den grundliggende matematiske teori. I forbindelse med samarbejde i studieretningen eller med andre fag er det derfor nødvendigt at supplere med eksempler og andet materiale, der dækker konkrete anvendelser. Til gengæld dækker noterne den rent matematiske fremstilling af kernestoffet på stx, hvilket ifølge min opfattelse gør dem velegnede til en første behandling af stoffet samt i forbindelse med eksamenslæsningen. Til slut en stor tak til de mange matematikkolleger, der er kommet med rettelser og gode ændringsforslag. De fejl og mangler, der stadig måtte findes, er naturligvis udelukkende mit ansvar. Mike Auerbach Tornbjerg Gymnasium 3

Indhold 1 Grafer og funktioner 7 1.1 Variable og sammenhænge.... 7 1.2 Proportionalitet........... 8 1.3 Grafisk afbildning.......... 9 1.4 Funktioner.............. 10 1.5 Skæringspunkter........... 11 1.6 Grafisk løsning af ligninger..... 12 2 Lineære funktioner 13 2.1 Hældning og skæring med akserne 13 2.2 Beregning af forskriften....... 15 2.3 Lineær vækst............. 16 2.4 Lineær regression.......... 18 3 Rentesregning 19 3.1 Indledende procentregning.... 19 3.2 Procentvis vækst........... 20 3.3 Forskellige tidsperioder....... 24 3.4 Gennemsnitlig rente........ 25 4 Eksponentielle funktioner 29 4.1 Eksponentiel vækst......... 29 4.2 Beregning af forskriften....... 31 4.3 Fordoblings- og halveringskonstant 32 4.4 Eksponentiel regression...... 33 A Tal og regningsarter 35 A.1 Addition................ 35 A.2 Subtraktion og negative tal..... 35 A.3 Multiplikation............ 36 A.4 Division................ 37 A.5 Potenser og rødder......... 39 A.6 Regningsarternes hierarki..... 39 B Brøkregning 43 B.1 At forkorte og forlænge....... 43 B.2 Addition og subtraktion....... 44 B.3 Multiplikation og division..... 45 B.4 Hele tal og brøker.......... 47 B.5 Lidt om fortegn........... 47 C Potenser og rødder 49 C.1 Heltallige eksponenter....... 49 C.2 Det udvidede potensbegreb.... 50 D Algebra 53 D.1 Ensbenævnte størrelser....... 54 D.2 Parenteser............... 54 D.3 Toleddede størrelser......... 56 E Ligninger 59 E.1 Ligningsløsning........... 59 E.2 Nulreglen............... 62 E.3 Eksponentielle ligninger...... 63 E.4 To ligninger med to ubekendte.. 63 Bibliografi 67 Indeks 68 Formeloversigt 70 5

Grafer og funktioner 1 1.1 Variable og sammenhænge En variabel er som navnet måske antyder en størrelse, der varierer. 1 Det er altså en størrelse, som ikke har en fast værdi. En variabel i matematik betegnes altid med ét bogstav, 2 f.eks. x. Et af de steder, hvor man ofte støder på variable, er i formler. En formel er et regneudtryk til at bestemme en given størrelse, når man kender én eller flere andre størrelser. Arealet af et rektangel kan f.eks. bestemmes ved formlen 1 En størrelse, der ikke varierer, men har én fast værdi, kaldes en konstant. 2 I denne sammenhæng er det vigtigt at pointere, at der i matematik er forskel på store og små bogstaver x og X er altså to forskellige variable. A = l b, (1.1) hvor A betegner arealet, l længden og b bredden af rektanglet. I dette eksempel er både A, l og b variable. Dvs. A, l og b har ikke nogen fast værdi. Men der er dog en sammenhæng mellem værdierne af de tre variable det er denne sammenhæng man udtrykker vha. formlen. En af de ting, som matematik er særlig anvendeligt til, er netop at beskrive sammenhænge. Det kan som ovenfor være sammenhængen mellem arealer og bestemte længder. Det kan også i økonomi være sammenhængen mellem en vares pris og efterspørgslen på varen eller i fysik sammenhængen mellem tid og tilbagelagt strækning. Eksempel 1.1 Hvis man er tilsluttet bygas-forsyningen koster det 937,50 kr. om året i abonnement og 7,26 kr. pr. m 3 gas, der bliver brugt. Denne sammenhæng kan beskrives matematisk som P = 7,26 V + 937,50, hvor P er den pris, man skal betale om året, og V er det forbrugte antal m 3 gas. Eksempel 1.2 Hvis man lader en genstand falde, vil sammenhængen mellem den tid, der går, og den strækning, genstanden er faldet, være givet ved s = 4,91 t 2, hvor t er den forbrugte tid, og s er den tilbagelagte strækning. 3 7 3 Denne sammenhæng blev fundet eksperimentelt af Galileo Galilei i slutningen af 1500-tallet.[5]

8 1 Grafer og funktioner 4 I matematiske sammenhænge, vil man ofte betragte den variabel, der står isoleret på den ene side af lighedstegnet som den afhængige variable, mens de andre er uafhængige. Den måde, man normalt vil læse formel (1.1) på, er, at arealet af et rektangel afhænger af dets længde og bredde. l og b kaldes derfor for uafhængige variable, idet deres værdier kan variere frit, mens A kaldes for den afhængige variabel, idet dens værdi afhænger af de to andre variables værdier. Vil man i stedet betragte l som afhængig variabel, kan formlen (1.1) omskrives til 4 1.2 Proportionalitet l = A b. En af de typer af sammenhænge, der kan være mellem variable, er proportionalitet. Det defineres på følgende måde. Definition 1.3 (Proportionalitet) Hvis man lader k være en konstant (k 0) har man: 1. y er ligefrem proportional med x betyder, at y = k x. 2. y er omvendt proportional med x betyder, at y = k x. Konstanten k kaldes proportionalitetskonstanten. 5 Af og til kalder man også ligefrem proportionalitet for direkte proportionalitet. Når man taler om ligefrem proportionalitet, udelader man ofte ordet»ligefrem«. Hvis der i en tekst står»y er proportional med x«, menes der altså»... ligefrem proportional med... «. 5 Hvis man bytter lidt rundt på formlerne i definition 1.3 kan de to proportionalitetsformer også udtrykkes på denne måde: 1. y er ligefrem proportional med x, hvis y x = k. 2. y er omvendt proportional med x, hvis y x = k. Desuden kan man se, at hvis y = k x, er x = 1 k y. Dvs. at hvis y er ligefrem proportional med x (med proportionalitetskonstant k) er x også ligefrem proportional med y (med proportionalitetskonstant 1 k ). For omvendt proportionalitet har man, at hvis y = k x gælder også x = k y. Dvs. hvis y er omvendt proportional med x, er x også omvendt proportional med y (med den samme proportionalitetskonstant). Eksempel 1.4 Har man et mobiltelefonabonnement med fri SMS, hvor man kun betaler for opkald, og minutprisen er 0,70 kr., vil den samlede udgift være ligefrem proportional med antallet af talte minutter. Kalder man udgiften for U og antallet af talte minutter for M har man nemlig: U = 0,70 M. Her er proportionalitetskonstanten 0,70. Eksempel 1.5 Hvis man kører fra Odense til København (en strækning på ca. 160 km), vil rejsetiden være omvendt proportional med hastigheden, man kører med.

1.3 Grafisk afbildning 9 Hvis tiden t måles i timer og hastigheden v måles i kilometer pr. time, vil proportionalitetskonstanten være 160, og man får t = 160 v. Af denne sammenhæng ses det (som man skulle forvente), at hvis man kører 80 km/h tager det 2 timer at køre fra Odense til København, og hvis man kører 160 km/h, tager det kun 1 time. Eksempel 1.6»T er proportional med kvadratet på p og omvendt proportional med s.«denne sammenhæng kan under ét udtrykkes som T = k p2 s, hvor k er proportionalitetskonstanten. 6 6 Bemærk her, at»kvadratet på p«altså betyder p 2. 1.3 Grafisk afbildning Hvis man har to variable, der afhænger af hinanden, er det muligt at tegne et billede, der illustrerer sammenhængen. Et sådant billede kaldes en graf, og den tegnes i et koordinatsystem. Koordinatsystemer Et koordinatsystem kan forstås som en slags net, der lægges ud over planen, og som man bruger til at beskrive, hvor punkter befinder sig. Man starter med at tegne to akser, første- og andenaksen (ofte kaldet x- og y-aksen), der står vinkelret på hinanden. De to akser er tallinjer, der skærer hinanden i deres nulpunkter, jf. figur 1.1. Skæringspunktet mellem (2) de to akser kaldes origo. A(2; 4) Ethvert punkt kan nu beskrives ud fra, hvilken værdi på førsteaksen 4 og hvilken værdi på andenaksen, punktet befinder sig ud for. Disse to B( 3; 2) 2 værdier kaldes punktets første- og andenkoordinat. Et punkt består altså 1 af et såkaldt koordinatsæt (x; y), der fortæller, hvor punktet befinder sig i koordinatsystemet (jf. figur 1.1). Origo har f.eks. koordinaterne (0;0). 3 1 2 4 Grafer 2 C (4; 2) (1) Har man en sammenhæng mellem to variable (f.eks. x og y) kan man tegne en graf over sammenhængen ved at markere de punkter, hvor første- og andenkoordinaten passer ind i sammenhængen. Figur 1.1: De tre punkter A(2;4), B( 3;2) og C (4; 2) indtegnet i et koordinatsystem. Taleksempel Her ses på variabelsammenhængen y = 5 x 2. Man kan nu lave en tabel over værdier af x og de tilhørende værdier af y. Hvis man f.eks. vælger x = 3 får man: x = 3 y = 5 3 2 = 4.

10 1 Grafer og funktioner Tabel 1.1: En tabel for sammenhængen y = 5 x 2. ( 1; 4) x y 2 1 1 4 0 5 1 4 2 1 3 4 (2) (0;5) (1;4) En tabel kan derfor se ud som tabel 1.1. Denne tabel viser, at de punkter, der ligger på grafen, vil være ( 2;1), ( 1;4), (0;5), osv. Disse punkter kan nu sættes ind i et koordinatsystem, og grafen for sammenhængen fås ved at tegne en blød kurve gennem punkterne (se figur 1.2). På grafen vil man nu kunne aflæse, hvilke x- og y-værdier, der»hører sammen«. Dette kan man selvfølgelig også finde ud af, ved at regne på sammenhængen y = 5 x 2. 1.4 Funktioner I en variabelsammenhæng som f.eks. y = 5 x 2, er den højre side af formlen et regneudtryk, hvis værdi kun afhænger af værdien af x. Man siger derfor, at højre side er en funktion af x. Funktioner navngiver man vha. et bogstav, her kan man f.eks. vælge f. For at vise, at f er en funktion af x kan man skrive sammenhængen på denne måde: f (x) = 5 x 2. ( 2; 1) 1 1 (3; 4) Figur 1.2: Grafen for y = 5 x 2. (2) (1) Dette betyder, at f er et symbol for regneoperationen»sæt tallet i anden og træk det fra fem«. f (x) læses»f af x«, og parentesen skal ikke forstås som en regneparentes, men en angivelse af, at det er variablen x som funktionsværdien afhænger af. Sammenhængen f (x) = 5 x 2 kaldes funktionens forskrift. Forskriften for en funktion er altså en formel, der angiver, hvordan man beregner funktionsværdien, når man har valgt en værdi for den uafhængige variabel. 6 (2;6) Taleksempel Her ses på en funktion f (x) = 3 x + 2. 1 (1) 1 2 Figur 1.3: Grafen for f (x) = 3 x + 2. Grafen for funktionen kan ses på figur 1.3. Som det kan ses på figuren går funktionens graf igennem punktet (2;6). Dette kan man udtrykke på følgende måde: f (2) = 6. Det skal forstås sådan, at hvis man sætter x = 2 vil funktionens værdi blive 6. Dette kan man regne ud ved at erstatte x i funktionen forskrift med 2: f (2) = 3 2 + 2 = 3 4 = 3 2 = 6. Funktionsværdien kan selvfølgelig også aflæses på grafen, som det er gjort på figur 1.3. Eksempel 1.7 Her ses på funktionen h(t) = t 2 3. Funktionsværdierne h( 1) og h(4) beregnes således: h( 1) = ( 1) 2 3 = 1 3 = 2

1.5 Skæringspunkter 11 h(4) = 4 2 3 = 16 3 = 13. Dette betyder så, at grafen for funktionen h går gennem de to punkter ( 1; 2) og (4;13). Hvis man kender funktionsværdien, kan man også finde ud af, hvilken værdi af den uafhængige variabel, der giver denne funktionsværdi. Dette kan gøres ved aflæsning, men problemet kan også løses ved udregning, som i følgende eksempel. Eksempel 1.8 Hvornår antager funktionen g (x) = 2x + 1 værdien 17? Svaret på dette spørgsmål finder man frem til ved at løse ligningen g (x) = 17. Det gøres på følgende måde: g (x) = 17 2x + 1 = 17 2x = 16 x = 8. Svaret på spørgsmålet er altså, at g (x) = 17, når x = 8. 1.5 Skæringspunkter Hvis to grafer skærer hinanden, kan man finde deres skæringspunkt ved at løse den ligning, der fremkommer ved at sætte de to funktionsudtryk lig hinanden. Dette skyldes, at der hvor graferne skærer hinanden, må både funktionsværdien og den uafhængige variabel have samme værdi for begge funktioner. Fremgangsmåden illustreres nemmest ved et eksempel. Eksempel 1.9 De to funktioner f (x) = x 5 og g (x) = 2x + 1 har grafer, der skærer hinanden (se figur 1.4). Koordinaterne til skæringspunktet bestemmer man ved at løse ligningen f (x) = g (x), hvorved man får (2) x 5 = 2x + 1 3x = 6 x = 2. Nu er førstekoordinaten x bestemt. For at finde punktet, skal man også kende andenkoordinaten y. Den bestemmes ved at sætte den fundne førstekoordinat ind i ét af funktionsudtrykkene 1 1 f (2; 3) (1) y = f (5) = 2 5 = 3. g De to grafer skærer altså hinanden i (2; 3), som det også fremgår af figur 1.4. Figur 1.4: Skæringspunktet for graferne for de to funktioner f (x) = x 5 og g (x) = 2x + 1.

12 1 Grafer og funktioner 1.6 Grafisk løsning af ligninger Man kan finde skæringspunkter mellem grafer ved at løse en ligning. Omvendt kan man også løse en ligning ved at aflæse skæringspunkter. Har man en ligning, kan man nemlig opfatte venstre og højre side som to funktionsudtryk. Der hvor de to er lig hinanden (dvs. der hvor graferne skærer hinanden), finder man ligningens løsning(er). Eksempel 1.10 Ligningen x 2 3 = 2x ( 3; 6) (2) kan løses ved at tegne graferne for f (x) = x 2 3 og g (x) = 2x. På figur 1.5 kan man se, at de to grafer skærer hinanden i ( 3;6) og (1; 2). Ligningen har derfor de to løsninger 1 1 (1) x = 3 x = 1. (1; 2) Figur 1.5: Løsningen til x 2 3 = 2x kan aflæses som førstekoordinaten til skæringspunkterne.

Lineære funktioner 2 Funktioner kan grupperes efter, hvordan deres forskrifter ser ud. 1 F.eks. har funktionerne f (x) = 3x + 2, g (x) = 7x 5 og h(x) = 4x + 3 1 De kan også grupperes efter, hvordan deres grafer ser ud, men det er to sider af samme sag. forskrifter, som følger samme mønster. Funktioner, der ser ud som f, g og h ovenfor, kalder man lineære funktioner. Definition 2.1 En lineær funktion er en funktion af typen hvor a og b er to tal. f (x) = ax + b, h (2) Det viser sig, at når man tegner grafen for en lineær funktion i et koordinatsystem, får man en ret linje; det er derfor funktionerne kaldes lineære (se figur 2.1). f 5 1 (1) 2.1 Hældning og skæring med akserne Ud fra figur 2.1 er det i princippet muligt at aflæse værdierne af tallene a og b i funktionernes forskrifter. Der gælder nemlig følgende sætning. g Figur 2.1: Graferne for de tre lineære funktioner f, g og h. Sætning 2.2 For en lineær funktion f (x) = ax + b gælder: 1. Hvis den uafhængige variabel x stiger med 1, vil funktionsværdien f (x) stige med a. 2. Funktionens graf skærer andenaksen i b. Bevis Når x stiger med 1 stiger funktionsværdien fra f (x) til f (x + 1). Funktionsværdien stiger derfor med f (x + 1) f (x) = (a(x + 1) + b) (ax + b) 13

14 2 Lineære funktioner = ax + a + b ax b = a. På andenaksen er x = 0, dvs. skæringen med andenaksen er f (0) = a 0 + b = b. 2 Husk, at en koefficient er en konstant, som er ganget på en variabel. For lineære funktioner gælder altså, at funktionsværdien stiger med et fast tal (a), hver gang x stiger med 1. Dette er årsagen til, at grafen bliver en ret linje. Jo større a er, jo hurtigere vokser f (x), og linjen bliver så mere stejl. Tallet a kalder man derfor for linjens hældning eller hældningskoefficient. 2 Hvis a er et negativt tal, falder f (x), når x stiger, og linjen vil derfor hælde den anden vej; funktionen er aftagende. (2) Sætning 2.3 For en lineær funktion f (x) = ax + b fortæller hældningskoefficienten a følgende: 1. Hvis a > 0 er funktionen voksende. 1 g 1 a = 1 (1) 2. Hvis a < 0 er funktionen aftagende. 2 f a = 3 Figur 2.2: Aflæsning af tallene a og b. Eksempel 2.4 På figur 2.2 ses graferne for to lineære funktioner f og g. Grafen for f skærer andenaksen i 2, og når man går 1 til højre, skal man gå 1 op for at finde grafen igen, dvs. hældningskoefficienten er a = 1. f har derfor forskriften f (x) = 1 x + ( 2), hvilket reduceres til f (x) = x 2. Grafen for g skærer andenaksen i 1, og går man 1 ud langs førsteaksen, skal man gå 3 ned ad andenaksen, dvs. hældningen er 3. Forskriften er så g (x) = 3x + 1. 3 Med mindre linjen falder sammen med førsteaksen, så har den uendeligt mange punkter fælles med denne. I det specielle tilfælde, hvor hældningskoefficienten for en lineær funktion er 0, er funktionen konstant; dvs. grafen er en linje parallel med førsteaksen. En sådan linje har af gode grunde ingen skæringspunkter med førsteaksen. 3 En lineær funktion med en hældningskoefficient, der ikke er 0, har til gengæld en graf, der skærer førsteaksen. Dette skæringspunkt kan man regne sig frem til ud fra forskriften. Sætning 2.5 Grafen for ) den lineære funktion f (x) = ax + b skærer førsteaksen i punktet ( ba ;0.

2.2 Beregning af forskriften 15 Bevis På førsteaksen er andenkoordinaten 0. 4 Grafen for f skærer derfor førsteaksen, hvor f (x) = 0, dvs. ax + b = 0 ax = b x = b a. ) Grafen skærer altså førsteaksen ( ba ;0. 4 Husk, at alle punkter på førsteaksen har formen (x;0), og alle punkter på andenaksen har formen (0; y). Eksempel 2.6 Den lineære funktion f (x) = 4x 12 skærer andenaksen i b = 12 og har hældningen a = 4. Den skærer derfor førsteaksen i x = b a = 12 4 = 3. Funktionens graf skærer altså førsteaksen i punktet (3;0) og andenaksen i punktet (0; 12). 2.2 Beregning af forskriften Hvis man har to punkter på grafen for en lineær funktion, er funktionen entydigt bestemt. 5 Der er altså en sammenhæng mellem de to punkters koordinater og de to a og b. Det viser sig, at denne sammenhæng er givet ved to simple formler. 5 Der går nemlig kun én bestemt ret linje gennem to givne punkter. Sætning 2.7 Hvis grafen for f (x) = ax + b går gennem de to punkter P(x 1 ; y 1 ) og Q(x 2 ; y 2 ), er (2) a = y 2 y 1 x 2 x 1 og b = y 1 ax 1. y 2 Q 1 a Bevis På figur 2.3 ses grafen for funktionen f (x) = ax + b og de to punkter P(x 1 ; y 1 ) og Q(x 2 ; y 2 ). Da punktet P ligger på linjen, er f (x 1 ) = y 1, og da Q ligger på linjen, er f (x 2 ) = y 2. Dette giver de to ligninger y 2 = ax 2 + b, y 1 = ax 1 + b. (2.1) y 1 b P x 1 x 2 (1) Figur 2.3: De to punkter P og Q på grafen for f (x) = ax + b. Trækker man den nederste ligning fra den øverste, får man y 2 y 1 = (ax 2 + b) (ax 1 + b), som kan reduceres til y 2 y 1 = ax 2 ax 1. Nu sættes a uden for parentes, og man får y 2 y 1 = a(x 2 x 1 ) y 2 y 1 x 2 x 1 = a,

16 2 Lineære funktioner og formlen for a er så bevist. For at komme frem til formlen for b, ser man igen på ligningen (2.1): Isolerer man b i denne ligning fås y 1 = ax 1 + b. y 1 ax 1 = b, og formlen for b er dermed også vist. Eksempel 2.8 En lineær funktion f har en graf, der går gennem punkterne P(3;5) og Q(6; 7). Hvad er funktionens forskrift? For at svare på dette spørgsmål, ser man på de to punkter. Heraf fremgår det, at x 1 = 3, y 1 = 5, x 2 = 6 og y 2 = 7. Nu kan man bruge formlerne i sætning 2.7, og man får og a = y 2 y 1 x 2 x 1 = 7 5 6 3 = 12 3 = 4, b = y 1 ax 1 = 5 ( 4) 3 = 5 + 12 = 17. Funktionens forskrift er altså f (x) = 4x + 17. 2.3 Lineær vækst 6 Denne sætning kan man også argumentere for ud fra sætning 2.2. Lineære funktioner vokser på følgende måde 6 Sætning 2.9 For en lineær funktion f (x) = ax + b gælder, at når x vokser med x, så vokser funktionsværdien med a x. Bevis Hvis x vokser fra x 1 til x 2, hvor x 2 = x 1 + x, så vil funktionsværdien vokse fra y 1 = f (x 1 ) = ax 1 + b til y 2 = f (x 2 ) = f (x 1 + x) = a(x 1 + x) + b = ax 1 + a x + b. Funktionsværdien er så vokset med y 2 y 1 = (ax 1 + a x + b) (ax 1 + b) = a x. Hermed er sætningen bevist. Eksempel 2.10 I tabel 2.1 ses et eksempel på væksten af en lineær funktion. Funktionen f (x) = 3x + 7 vokser således, at hver gang x vokser med 2, vokser funktionsværdien med 3 2.

2.3 Lineær vækst 17 Eksempel 2.11 Her ses på funktionen f (x) = 3x 4, som har hældningskoefficienten a = 3. Hvis x vokser med x = 5, vil funktionsværdien vokse med a x = 3 5 = 15. Hver gang, x stiger med 3, stiger funktionsværdien altså med 15. Omvendt kan man spørge, hvor meget x skal stige, for at funktionsværdien stiger med 60? I dette tilfælde er a x = 60, dvs. Tabel 2.1: Vækst af f (x) = 3x + 7. +2 +2 +2 x y 2 1 0 7 2 13 4 19 +3 2 +3 2 +3 2 3 x = 60 x = 20. x skal altså stige med 20, for at funktionsværdien stiger med 60. Eksempel 2.12 For funktionen f (x) = 2x + 7 gælder, at når x stiger med x = 3, stiger funktionsværdien med a x = 2 3 = 6. At funktionsværdien stiger med 6 betyder, at funktionsværdien falder med 6, hver gang x stiger med 3. 7 Her følger et par eksempler på, hvordan en matematisk beskrivelse af lineær vækst kan give svar på forskellige spørgsmål. Eksempel 2.13 I en bestemt by er antallet af indbyggere givet ved 7 En negativ stigning svarer altid til et fald. I mange matematiske modeller, hvor man regner på vækst, kan det betale sig at regne med fortegn hele vejen igennem og først til sidst angive, om der er tale om stigning eller fald, afhængig af om resultatet er positivt eller negativt. N (x) = 213x + 14752, hvor N (x) er antallet af indbyggere x år efter år 2000. I forskriften er der to konstanter, 8 213 og 14752. Funktionen N (x) er en 8 Husk, at en konstant er et fast tal. lineær funktion, dvs. tallet 213 kan betragtes som en hældningskoefficient: Hver gang x stiger med 1, stiger funktionsværdien med 213. Da x måles i år, og funktionsværdien beskriver antallet af indbyggere, kan man altså sige, at antallet af indbyggere stiger med 213, hver gang x stiger med 1 år. Væksten i indbyggertallet er altså på 213 indbyggere om året. 14 752 er skæringen med andenaksen. Den opnås, når x = 0. Dette sker i år 2000, 9 og man kan derfor udlede, at indbyggertallet i byen var på 9 Idet år 2000 er 0 år efter år 2000. 14 752 i år 2000. Eksempel 2.14 Her ses på samme udvikling som i eksempel 2.13, N (x) = 213x + 14.752. Hvor meget vokser byens indbyggertal over en 10-års periode? Ud fra forskriften kan man se, at indbyggertallet vokser med 213 om året. Over en 10-års periode kommer der derfor nye indbyggere. 10 213 = 2130

18 2 Lineære funktioner Eksempel 2.15 Et firma producerer et antal varer. Omkostningerne ved produktionen er 2000 kr. i startomkostninger og 17 kr. pr. produceret vare. Omkostningerne er altså en funktion af antallet af producerede varer. Denne funktion har forskriften o(x) = 17x + 2000, hvor x er antallet af varer, og o(x) er de samlede omkostninger. Eksempel 2.16 Det viser sig, at middeltemperaturen i Vestgrønland er afhængig af breddegraden,[3] sådan at T (x) = 0,732x + 46,1, 100 (2) 1 y = 39,8x + 266,4 (1) Figur 2.4: En række målepunkter samt den bedste rette linje gennem punkterne. (2) d 1 d 2 d 3 d 4 (1) Figur 2.5: Man minimerer kvadratsummen D = d 2 1 + d 2 2 + d 2 3 + d 2 4. hvor T er middeltemperaturen (i C) og x er breddegraden. Dvs. at middeltemperaturen i Vestgrønland falder med 0,732 C, hver gang breddegraden stiger med 1 grad. Den umiddelbare fortolkning af tallet 46,1 er, at det er temperaturen ved breddegraden 0, dvs. ækvator. Denne fortolkning giver dog ikke mening, idet modellen kun gælder for Vestgrønland. Det er således ikke muligt at give en fysisk fortolkning af tallet 46,1. 2.4 Lineær regression Når man beskriver vækst ud fra målte data, kan man komme ud for, at man har en række målepunkter, som ikke ligger præcist på en ret linje, men dog gør det med god tilnærmelse. Et eksempel kan ses på figur 2.4. Da punkterne ikke ligger præcist på en linje, vil det være forkert at bruge sætning 2.7 til at beregne en forskrift. Afhængig af, hvilke to punkter, man sætter ind i formlerne, vil man nemlig få vidt forskellige resultater for forskriften. I stedet bruger man en metode, der kaldes lineær regression til at bestemme den rette linje, der ligger tættest muligt på alle punkterne. Denne metode er indbygget i de fleste regneark og matematikprogrammer, således at man blot skal indskrive punkterne i programmet, så får man at vide hvilken ligning, linjen har. Ligningen på figur 2.4 er fundet på denne måde. Metoden fungerer i praksis på den måde, at man finder den linje, der har den mindste afstand til alle punkterne. Afstanden defineres her som kvadratsummen D af den lodrette afstand fra linjen til punkterne. På figur 2.5 er afstanden f.eks. givet ved D = d 2 1 + d 2 2 + d 2 3 + d 2 4. Denne sum indeholder flere led, jo flere målepunkter der er. Den søgte linje er så den, der gør D mindst mulig. Man kan udlede nogle formler til at beregne denne forskrift, men da disse formler er besværlige at regne på, overlades arbejdet til computeren.

Rentesregning 3 3.1 Indledende procentregning Procent kommer af det latinske pro centum, der betyder»pr. hundrede«. F.eks. betyder 3% tre pr. hundrede, dvs. tre hundrededele, eller sagt på en anden måde 3% = 3 100 = 0,03. I udregninger kan man altså altid erstatte tegnet % med en division med hundrede. 1 Vil man regne et givent tal om til procent, regner man den anden vej. F.eks. er 0,72 = 0,72 100 0,72 100 = = 72 100 100 100 = 72%. 1 Dette er som regel smart at gøre, idet man så slipper for evt. forvirring omkring, hvad % betyder i den givne situation. I denne udregning ganger man tallet 0,72 med 100 100, som er lig 1.2 Udreg- 2 Man ændrer ikke et tal ved at gange med ningen er dog en smule besværlig, og man kan spare lidt på dette besvær 1, heller ikke selv om 1-tallet er skrevet som 100 ved at bemærke, at 100 100. 100 også kan skrives som 100%: 0,72 = 0,72 100% = 72%. Her ganger man tallet 0,72 med 100%, som er en anden måde at skrive tallet 1 på. Ofte drejer procentregning sig om at finde ud af, hvor meget en procentdel af en given størrelse er, dette gøres som i følgende sætning. Sætning 3.1 p% af en given størrelse K 0 udregnes som p% K 0 = p 100 K 0. Eksempel 3.2 Hvor meget sparer man, hvis en jakke til 800 kr. bliver sat 30% ned? Besparelsen svarer til 30% af 800 kr., dvs. 30% 800 kr. = 30 800 kr. = 0,3 800 kr. = 240 kr. 100 19

20 3 Rentesregning Man kan også være interesseret i at finde ud af, hvor mange procent en given størrelse udgør af en anden. Dette gøres således: Sætning 3.3 For at finde ud af, hvor mange procent K 1 udgør af K 0 beregnes K 1 K 0 100%. Eksempel 3.4 Hvor stor en procentdel udgør 23 mennesker af 362 mennesker? Svaret fås vha. følgende udregning: 3 Det er vigtigt at huske på, at det altså ikke er tallenes størrelse, der bestemmer, hvilket tal, der skal divideres med; men at man altid dividerer med det tal, der sammenlignes med. 23 = 0,0635 = 0,0635 100% = 6,35%. 362 Eksempel 3.5 Hvor mange procent er 465 af 276? Svaret er: 465 = 1,6848 = 1,6848 100% = 168,48%. 276 Her giver udregningen et resultat, der ligger over 100%, men det skal det også, idet 465 er større end 276, så det må derfor udgøre mere end 100%. 3 3.2 Procentvis vækst I foregående afsnit så man på, hvordan man finder en bestemt procentdel af en størrelse, og hvordan man beregner, hvor mange procent en størrelse udgør af en anden. Det sker dog ofte, at man har brug for at beregne, hvad en størrelse vokser til, når man lægger en procentdel til, eller hvor mange procent en størrelse er større (eller mindre) end en anden. Taleksempel måde: Skal man lægge 12% til 140 kan man gøre det på følgende 1. Først finder man 12% af 140: 12% 140 = 0,12 140 = 16,8. 2. Dernæst lægger man den fundne værdi til de oprindelige 140, og man får resultatet: 140 + 16,8 = 156,8. I praksis viser det sig, at denne fremgangsmåde er noget besværlig. Især hvis man skal lægge en procentdel til flere gange det kunne f.eks. være, hvis man skulle finde ud af, hvor mange penge, der står på en konto efter 1, 2, 3 eller flere år. Heldigvis kan den ovenstående udregning forsimples en del. Skriver man de to trin sammen, kan man se, at for at lægge 12% til 140 skal man udregne: 140 + 12% 140 = 140 + 0,12 140.

3.2 Procentvis vækst 21 Her kan man sætte 140 uden for parentes, og man får 140 + 0,12 140 = 140 (1 + 0,12). Herudfra ses, at man altså skal gange de 140 med 1 + 0,12 = 1,12 for at lægge 12% til. Dette giver anledning til følgende definition: Definition 3.6 1. vækstraten er tallet r, som angiver den brøkdel, en størrelse vokser med (regnet med fortegn). 2. fremskrivningsfaktoren er tallet a givet ved a = 1 + r. Her følger to eksempler på, hvordan man beregner vækstraten og fremskrivningsfaktoren. Eksempel 3.7 Hvis en størrelse vokser med 7,5% er vækstraten og fremskrivningsfaktoren r = 7,5% = 0,075, a = 1 + r = 1 + 0,075 = 1,075. Eksempel 3.8 Hvis en størrelse aftager med 11% er vækstraten og fremskrivningsfaktoren r = 11% = 0,11, a = 1 + ( 0,11) = 0,89. Hvis man nu skal lægge 12% til 140, ses som før, at man skal udregne 140 + 12% 140 = 140 1,12. Men det vil sige, at 140 i virkeligheden ganges med fremskrivningsfaktoren som i dette tilfælde er a = 1,12. Heraf følger Sætning 3.9 Skal man lægge en procentdel til en størrelse K 0 får man den nye værdi K 1 = K 0 a, hvor a = 1 + r er fremskrivningsfaktoren.

22 3 Rentesregning r +1 1 Figur 3.1: Omregning mellem vækstrate og fremskrivningsfaktor. a I udregninger, hvor man taler om vækst i procent eller skal se hvor mange procent større/mindre en given størrelse er i forhold til en anden regner man altså ikke direkte med vækstraten r, men med fremskrivningsfaktoren a. Man vil normalt i en given sammenhæng få opgivet vækstraten r. Ud fra denne skal man beregne fremskrivningsfaktoren a, før man regner videre. Hvis det resultat, man leder efter, er den procentvise vækst, får man også en fremskrivningsfaktor som resultat, så denne skal igen regnes om til en vækstrate (se figur 3.1). Her følger et eksempel på, hvorledes man vha. formlen ovenfor lægger en procentdel til en størrelse: Eksempel 3.10 Der skal lægges 25% moms på en vare til 399,96 kr. Hvor meget kommer varen til at koste? Her er vækstraten r = 25% = 0,25. Fremskrivningsfaktoren beregnes: a = 1 + r = 1 + 0,25 = 1,25. Varens pris er derfor 399,96 kr. 1,25 = 499,95 kr. Nu ses på, hvordan man udregner, hvor mange procent en størrelse afviger fra en anden: Eksempel 3.11 En vares pris falder fra 179,95 kr. til 139,95 kr. Hvor mange procent er prisen faldet? Det ses, at formlen K 1 = K 0 a kan omskrives til a = K 1 K 0. Herefter beregnes a = K 1 139,95 kr. = K 0 179,95 kr. = 0,7777. Da dette er en fremskrivningsfaktor beregner vi vækstraten således r = a 1 = 0,7777 1 = 0,2223 = 22,23%. 4 I dette eksempel ser man igen, at det er vækstraten man taler om, men fremskrivningsfaktoren man regner med. Varens pris er altså faldet 22,23%. 4 Renteformlen I foregående afsnit er beskrevet, hvordan man lægger en procentdel til en given størrelse. Men det kan ske, at man skal lægge en procentdel til flere gange. Hvis man f.eks. sætter penge ind på en konto, der giver renter, kan det være interessant at vide, hvor mange penge der står efter 2, 3 eller flere år. 5 pro anno, dvs. pr. år Taleksempel Hvis man sætter 10 000 kr. ind på en konto, der giver 2,5% i rente p.a., 5 hvor mange penge står der så efter 5 år? Bruger man sætning 3.9, ser man, at man skal gange de 10 000 kr. med fremskrivningsfaktoren a = 1 + 2,5% = 1,025 for at finde beløbet efter 1 år. Det beløb man udregner skal man så igen gange med 1,025 for at finde

3.2 Procentvis vækst 23 beløbet efter 2 år osv. I alt skal man altså gange 10 000 kr. med 1,025 fem gange: 10000 kr. 1,025 1,025 1,025 1,025 1,025. Som man ser, skal man altså udregne 10 000 kr. 1,025 5 = 11.314,08 kr., så efter 5 år står der 11 314,08 kr. på kontoen. Dette kan generaliseres til en formel, som kaldes renteformlen. Sætning 3.12 (Renteformlen) En størrelse K 0, der vokser med vækstraten r pr. termin, er efter n terminer vokset til K n = K 0 a n, hvor a = 1 + r er fremskrivningsfaktoren. Formlen kan også skrives som K n = K 0 (1 + r ) n. Der findes flere forskellige spørgsmål, man kan få svar på ved at bruge renteformlen. Et par af dem gennemgås i følgende eksempler Eksempel 3.13 Hvis man sætter 10 000 kr. ind på en bankkonto, hvor stor skal renten så være p.a. for at beløbet er steget til 12 000 kr. på 10 år? I dette tilfælde kender man K 0 = 10000 kr., K 10 = 12000 kr. og n = 10. Indsættes disse tal i renteformlen fås K n = K 0 a n 12000 = 10000 a 10. Regner man videre på denne ligning, får man 12000 = 10000 a 10 12000 12000 10000 = a10 10 10000 = a. a kan altså nu beregnes: a = 10 12000 10000 = 1,0184. Da dette er en fremskrivningsfaktor, findes den tilsvarende vækstrate ved r = 1,0184 1 = 0,0184 = 1,84%. For at beløbet vokser til det ønskede, skal renten altså være 1,84% p.a. Eksempel 3.14 I en bestemt by har der gennem de sidste 20 år været en konstant vækst i indbyggertallet på 3% om året. Hvis der på nuværende tidspunkt bor 27 541 mennesker i byen, hvor mange indbyggere var der så for 12 år siden?

24 3 Rentesregning For at løse dette problem, kan man anvende renteformlen, hvor man sætter n = 12, idet man jo skal gå 12 år tilbage. Man har, at K 0 = 27541, r = 3%, dvs. a = 1,03, samt at n = 12. Renteformlen giver da svaret K 12 = 27541 1,03 12 = 19317. For 12 år siden havde byen altså 19.317 indbyggere. Eksempel 3.15 I Danmark er der 5,6 mio. indbyggere. Vækstraten er på nuværende tidspunkt ca. 0,4% om året.[2] Hvis denne vækst holder sig konstant, hvor mange år går der så, før der er 6 mio. danskere? Regner man i mio. er K 0 = 5,6. Fremskrivningsfaktoren er a = 1 + 0,4% = 1,004 og K n = 6. n er derimod ukendt. De kendte størrelser indsættes i renteformlen, og man får K n = K 0 a n 6 = 5,6 1,004 n. 6 Her udnyttes, at ligningen a x = b har løsningen x = log(b) log(a). 6 = 5,6 1,004 n Denne ligning løses: 6 6 5,6 = 1,004n ( ) log 6 5,6 log(1,004) = n 17,3 = n. Der går altså 17,3 år, før Danmarks befolkningstal overstiger 6 mio., hvis væksten holder sig konstant på 0,4%. 3.3 Forskellige tidsperioder I dette afsnit gennemgås, hvordan man omregner mellem fremskrivningsfaktorer (dvs. i princippet også vækstrater) for forskellige perioder. Taleksempel Hvis man starter med at se på en størrelse, der vokser med 0,5% pr. måned, hvordan finder man så ud af, hvor meget det svarer til om året? Renteformlen giver, at man for at fremskrive størrelsen K 0 én måned skal gange med fremskrivningsfaktoren a måned = 1 + 0,5% = 1,005. Går man nu et år frem i tiden, svarer det til 12 måneder. Ifølge renteformlen skal man altså nu gange K 0 med a 12 måned = 1,00512. Den årlige fremskrivningsfaktor er derfor givet ved a år = 1,005 12 = 1,0617.

3.4 Gennemsnitlig rente 25 Dette svarer til vækstraten r år = 1,0617 1 = 6,17%. En månedlig rente på 0,5% svarer således til en årlig rente på 6,17%. Generaliserer man ovenstående udregning, får man følgende Sætning 3.16 Hvis den årlige fremskrivningsfaktor betegnes med a år og den månedlige med a måned gælder a år = a 12 måned. Denne sætning kan sagtens udvides til også at gælde for omregninger mellem andre tidsperioder end måned og år, hvilket illustreres i eksemplerne nedenfor. Eksempel 3.17 Hvis en størrelse K 0 vokser med 4% om året, hvor mange procent vokser størrelsen så på 10 år? Den årlige fremskrivningsfaktor er a 1 år = 1 + 4% = 1,04. Herudfra beregnes fremskrivningsfaktoren for 10 år som a 10 år = a 10 1 år = 1,0410 = 1,4802. Denne fremskrivningsfaktor svarer til en vækstrate på r 10 år = 1,4802 1 = 0,4802 = 48,02%. Hvis en størrelse vokser med 4% om året, vokser den altså med 48,02% på 10 år. Man kan også anvende sætning 3.16 til at omregne fra år til måned dvs. den modsatte vej: Eksempel 3.18 Hvis en bank giver 2,1% i rente p.a., hvor mange procent svarer det så til i månedlig rente? Først bemærkes, at der jo går 12 måneder på et år, så omvendt må 1 måned svare til 1 12 af et år. Herefter anvendes sætning 3.16 således: a måned = a 1 12 år. Indsætter man nu den årlige fremskrivningsfaktor a år = 1 + 2,1% = 1,021, får man a måned = 1,021 1 12 = 1,00173. En årlig rente på 2,1% svarer således til en månedlig rente på 0,173%. 3.4 Gennemsnitlig rente I alle de foregående afsnit ses på en fremskrivning med en fast vækstrate. Hvis vækstraten forandrer sig undervejs, hvad kan man så sige om udviklingen?

26 3 Rentesregning Tabel 3.1: Renten r i og fremskrivningsfaktoren a i på en konto over 3 år. År r i a i 1 2,7% 1,027 2 3,0% 1,030 3 1,5 % 1,015 Taleksempel Man sætter 1000 kr. ind på en konto. Pengene får lov at stå i 3 år, og undervejs ændrer renten sig som vist i tabel 3.1. For at kunne bestemme, hvor mange penge, der står, efter de 3 år er gået, skal man kende de tilhørende fremskrivningsfaktorer. Disse er beregnet i sidste kolonne i tabel 3.1. Nu kan det indestående beløb beregnes som K 3 = K 0 a 1 a 2 a 3 = 1000 kr. 1,027 1,030 1,015 = 1073,68 kr. (3.1) Hvis man i stedet havde fået en fast rente, hvilken størrelse skulle denne så have, for at der står det samme beløb på kontoen efter 3 år? Her er man altså ude efter at finde en gennemsnitlig vækstrate. For at svare på dette spørgsmål, kan man igen se på renteformlen. Hvis man kalder den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor for a, har man nemlig K 3 = K 0 a 3. Da dette skal give det samme resultat som ovenfor, at K 3 = 1073,68 kr., kan man ved at sammenligne med (3.1) konstatere, at der må gælde a 3 = a 1 a 2 a 3. Herudfra ses, at a = 3 a 1 a 2 a 3. Den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor bliver altså i dette tilfælde a = 3 1,027 1,030 1,015 = 1,02398. Den tilsvarende gennemsnitlige vækstrate bliver så r = a 1 = 1,02398 1 = 2,398%. Mere generelt kan man sige, at der gælder følgende Sætning 3.19 (Gennemsnitlig rente) Hvis en størrelse vokser gennem n terminer med fremskrivningsfaktorerne a 1, a 2,..., a n, er den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor pr. termin givet ved a = n a 1 a 2 a n. Tabel 3.2: Vækstrate r i og fremskrivningsfaktor a i for indbyggertallet i en by i år i. Den gennemsnitlige vækstrate er derfor givet ved r = n (1 + r 1 ) (1 + r 2 ) (1 + r n ) 1. i r i a i 1 2,2% 1,022 2 3,1% 1,031 3 1,2% 0,988 4 4,2% 1,042 5 6,0% 1,060 Eksempel 3.20 Indbyggertallet i en by vokser med en varierende procentdel over en 5-års periode. Væksten ses i tabel 3.2. At r 3 er negativ, betyder blot, at indbyggertallet falder i det pågældende år.

3.4 Gennemsnitlig rente 27 For at finde frem til den gennemsnitlige vækst i procent i løbet af de 5 år, beregnes de 5 fremskrivningsfaktorer (se tabel 3.2). Nu kan den gennemsnitlige fremskrivningsfaktor findes: a = 5 1,022 1,031 0,988 1,042 1,060 = 1,02832. Den gennemsnitlige vækstrate i løbet af de 5 år er derfor r = 1,02832 1 = 0,02832 = 2,832%.

Eksponentielle funktioner 4 En eksponentiel funktion eller eksponentialfunktion defineres på følgende måde 1 Definition 4.1 En eksponentiel funktion er en funktion af typen f (x) = b a x, 1 I nogle beskrivelser er det kun funktioner af typen f (x) = a x, der kaldes eksponentielle funktioner, mens f (x) = b a x kaldes en eksponentiel udvikling. Her bruges»eksponentiel funktion«dog i begge tilfælde. hvor a og b er to positive tal. Tallet a i definition 4.1 kaldes fremskrivningsfaktoren 2 og b kaldes begyndelsesværdien. At b kaldes begyndelsesværdien skyldes, at grafen for funktionen skærer andenaksen i punktet (0,b). Dette følger af, at f (0) = b a 0 = b 1 = b. Et eksempel på grafer for eksponentielle funktioner kan ses på figur 4.1. For eksponentielle funktioner gælder der specielt, at deres grafer ikke skærer førsteaksen. Det skyldes, at funktionsværdierne ikke kan blive negative (eller 0), idet a x altid er positivt, så længe a er et positivt tal uanset værdien af x. 4.1 Eksponentiel vækst Hvis man sammenligner forskriften for en eksponentiel funktion f (x) = b a x med renteformlen K n = K 0 a n, kan man se, at der er tale om samme type vækst. Man kan derfor forvente, at eksponentielle funktioner vokser på den måde, at man ganger med fremskrivningsfaktoren a, for hver gang x stiger med 1. Dette er illustreret på figur 4.2. Generelt gælder følgende sætning 2 Dette svarer fuldstændigt til fremskrivningsfaktoren i renteformlen K n = K 0 a n. g 1 (2) 1 f (1) Figur 4.1: Graferne for de to eksponentielle funktioner f (x) = 2 1,4 x og g (x) = 4 0,8 x. y 0 a 3 y 0 a 2 y 0 a (2) Sætning 4.2 For en eksponentiel funktion gælder, at hver gang x vokser med x, ganges funktionsværdien med a x. Når x vokser med en fast værdi, vokser funktionsværdien altså med en fast procentdel. y 0 1 2 3 4 (1) 29 Figur 4.2: Vækst af en eksponentiel funktion.

30 4 Eksponentielle funktioner Bevis Hvis x vokser fra x 1 til x 2, så vokser funktionsværdien fra y 1 = f (x 1 ) = b a x 1 til y 2 = f (x 2 ) = f (x 1 + x) = b a x 1+ x = b a x1 a x = y 1 a x. Tabel 4.1: Vækst af f (x) = 4 2 x. +3 +3 +3 x y 3 0,5 0 4 3 32 6 256 2 3 Den nye funktionsværdi y 2 er altså netop y 1 a x, og sætningen er hermed bevist. Eksempel 4.3 I tabel 4.1 ses, hvordan en eksponentiel funktion vokser. Her ses, at for funktionen f (x) = 4 2 x gælder der, at hver gang, x vokser med 3, ganges funktionsværdien med 2 3 = 8. 2 3 Hver gang x stiger med 1, vil funktionsværdien blive ganget med a1 = 2 3 a. Størrelsen af a afgør derfor, om en eksponentiel funktion er voksende eller aftagende, og man kan argumentere for følgende 3 3 Argumentet er, at ganger man et hvilket som helst tal med et andet tal, som er større end 1, så vil resultatet blive større end det oprindelige tal. Hvis man omvendt ganger med et tal, som ligger mellem 0 og 1, får man et resultat, som er mindre end det oprindelige. Sætning 4.4 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x gælder: 1. Hvis a > 1 er funktionen voksende. 2. Hvis 0 < a < 1 er funktionen aftagende. Da en eksponentiel funktion er udtryk for procentvis vækst, giver det mening at definere vækstraten, som er r = a 1. Dette tal angives ofte i procent. For vækstraten gælder følgende, som følger af sætning 4.4. Sætning 4.5 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x defineres vækstraten r = a 1. Der gælder så, at 1. Hvis r > 0 er funktionen voksende. 2. Hvis r < 0 er funktionen aftagende. Når man ved, at procentvis vækst beskrives vha. eksponentielle funktioner, kan man udnytte dette til at opstille matematiske modeller for procentvis vækst. Eksempel 4.6 I Honduras bor der 8,6 mio. mennesker i 2014, og befolkningsvæksten er på 1,7%.[6] Honduras befolkning kan altså beskrives ved en eksponentiel udvikling med begyndelsesværdi 8,6 og vækstrate 1,7%.

4.2 Beregning af forskriften 31 Da vækstraten er 1,7% er fremskrivningsfaktoren a = 1 + 1,7% = 1 + 0,017 = 1,017. Befolkningstallet er altså givet ved funktionen f (x) = 8,6 1,017 x, hvor x er antal år efter 2014, og f (x) er befolkningstallet i mio. Eksempel 4.7 En bakteriekultur vokser eksponentielt, sådan at antallet af bakterier kan beskrives ved funktionen B(t) = 364 1,72 t, hvor t er tiden i timer, og B(t) er antallet af bakterier. Ud fra forskriften kan man udlede følgende: Til tiden t = 0 er der 364 bakterier. Fremskrivningsfaktoren er 1,72, hvilket vil sige at vækstraten er r = 1,72 1 = 0,72 = 72%. Antallet af bakterier vokser altså med 72% i timen. (2) 4.2 Beregning af forskriften Q(x 2, y 2 ) Hvis man har to punkter på grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x, kan man bestemme konstanterne a og b i forskriften (se figur 4.3). P(x 1, y 1 ) Sætning 4.8 Hvis grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x går gennem de to punkter P(x 1 ; y 1 ) og Q(x 2 ; y 2 ) er a = x 2 x 1 y2 og b = y 1 y 1 a x. 1 (1) Figur 4.3: Grafen for en eksponentiel funktion går gennem P og Q. Bevis Hvis P(x 1 ; y 1 ) ligger på grafen for f (x) = b a x, gælder der, at Da Q(x 2 ; y 2 ) også ligger på grafen for f, er y 1 = b a x 1. (4.1) y 2 = b a x 2. (4.2) Dividerer man nu ligning (4.2) med ligning (4.1) får man y 2 = b ax2 y 1 b a x 1 y 2 = ax2 y 1 a x 1 y 2 = a x 2 x 1 y 1

32 4 Eksponentielle funktioner x 2 x 1 y2 y 1 = a, og formlen for a er så bevist. For at bevise formlen for b isolerer man b i ligning (4.1) og får y 1 = b a x 1 y 1 a x 1 = b. Formlen for b er dermed også bevist. Eksempel 4.9 Hvis grafen for en eksponentiel funktion f (x) = b a x går gennem de to punkter P(2; 12) og Q(5; 96) er x 1 = 2, y 1 = 12, x 2 = 5 og y 2 = 96. Benytter man nu formlerne fra sætning 4.8 fås a = x 2 x 1 y2 96 = 5 2 y 1 12 = 3 8 = 2, b = y 1 a x = 12 1 2 2 = 12 4 = 3. Funktionens forskrift er så f (x) = 3 2 x. 4.3 Fordoblings- og halveringskonstant 4 Idet en fordobling (som er det samme som at lægge 100% til) svarer til at gange med 2. 5 Husk, at ligningen a x = c har løsningen x = log(c) log(a). (2) Funktionsværdien af en eksponentiel funktion vokser ifølge sætning 4.2 med en fast procentdel, når x vokser med et fast tal. Hvis en eksponentiel funktion er voksende, giver det derfor mening at undersøge, hvor meget x skal vokse, for at funktionsværdien vokser med 100% dvs. fordobles. Dette tal kalder man fordoblingskonstanten T 2. Ifølge sætning 4.2 ganges funktionsværdien med a x, når x stiger med x. For at bestemme T 2 skal man derfor finde ud af, hvornår a x = 2. 4 T 2 er altså løsningen til ligningen Løsningen til denne ligning er 5 a T 2 = 2. T 2 = log(2) log(a). 2 y 0 y 0 T 2 (1) x 0 x 0 + T 2 På figur 4.4 er fordoblingskonstanten illustreret. En vigtig pointe er her, at funktionsværdien fordobles hver gang man lægger T 2 til x. At funktionsværdien fordobles, hver gang man går et bestemt stykke ud ad førsteaksen, gælder kun for eksponentielle funktioner. For aftagende eksponentielle funktioner giver det i øvrigt ikke så meget mening at tale om en fordobling; her bestemmer man i stedet en halveringskonstant. Halveringskonstanten T 1 defineres helt analogt til 2 fordoblingskonstanten, sådan at der gælder følgende. Figur 4.4: Når man lægger T 2 til x 0, fordobles funktionsværdien.

4.4 Eksponentiel regression 33 Sætning 4.10 For en eksponentiel funktion f (x) = b a x gælder 1. Hvis f er voksende er fordoblingskonstanten T 2 = log(2) 2. Hvis f er aftagende er halveringskonstanten T 1 2 log(a). = log( ) 1 2 log(a). Eksempel 4.11 Den eksponentielle funktion f (x) = 3 1,7 x har fremskrivningsfaktoren a = 1,7. Fordoblingskonstanten er derfor T 2 = log(2) log(a) = log(2) log(1,7) = 1,31. Dvs. at hver gang x stiger med 1,31 fordobles funktionsværdien. En stigning fra x = 5 til x = 6,31 vil således give en fordobling af funktionsværdien, og det vil en stigning fra x = 100 til x = 101,31 også. 4.4 Eksponentiel regression Hvis man har en række målepunkter, der tilnærmelsesvist følger en eksponentiel udvikling, er det muligt at bestemme den eksponentielle funktion, hvis graf ligger tættest muligt på alle punkterne, vha. en metode, der kaldes eksponentiel regression. Metoden er ligesom lineær regression indbygget i de fleste regneark og matematikprogrammer. Man indtaster her sine målepunkter, og får programmet til at beregne forskriften for den eksponentielle funktion, hvis graf ligger tættest på alle målepunkterne. Ligningen på figur 4.5 er fundet på denne måde. 10 (2) y = 5,37 1,68 x 1 (1) Figur 4.5: En eksponentiel udvikling fundet vha. eksponentiel regression.

Tal og regningsarter A En af grundstenene i matematikken er tallene. Tal bruges til mange forskellige formål: til at tælle med, til at måle størrelser, til at opregne overskud og gæld. I de næste par afsnit ses på forskellige typer af tal samt de fire regningsarter: addition (at lægge sammen), subtraktion (at trække fra), multiplikation (at gange) og division (at dele/dividere). De første tal, man lærer at kende, er de tal, man kalder de naturlige tal. Det er de tal man bruger til at tælle med, dvs. 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,.... Hvis man vha. et tal skal udtrykke, at der intet er, bruger man tallet 0, som dog ikke regnes med til de naturlige tal. A.1 Addition Den simpleste af de fire regningsarter er addition, at lægge sammen. Denne regneoperation udtrykker på sin vis det samme, som man kan sige med ordet»og«. 1 Har man f.eks. en bunke med 7 stk. og en bunke med 11 stk. har man i alt»7 stk. og 11 stk.«, dvs. 18 stk. I matematikken skrives dette 1 Selve symbolet + kommer med al sandsynlighed fra ordet et, som betyder»og«på latin.[1] 7 + 11 = 18. De to tal 7 og 11 kaldes led og resultatet 18 kaldes en sum. Da tegnet + udtrykker, at man lægger to værdier oven i hinanden, må det forventes, at rækkefølgen er ligegyldig, altså at Dette er også tilfældet. 7 + 11 = 11 + 7. A.2 Subtraktion og negative tal Én ting, man ikke kan udtrykke vha. af de naturlige tal, er ideen om mangel eller gæld. Hertil kan man bruge de negative tal. 2 I første omgang kan 35 2 De negative tal er en forholdsvis ny opfindelse inden for matematikken. Helt op i det 18. århundrede, var der matematikere, der mente, at de negative tal ikke eksisterede.[4]

36 A Tal og regningsarter man nøjes med at se på de negative hele tal: 1, 2, 3, 4, 5, 6,.... 3 I regnestykket er der sat parentes om 3. Det gør man for at vise, at er et fortegn, dvs. det hører til tallet 3; en anden god grund er, at når man sætter parentesen, er det nemmere at se, at der både står et + og et. Helt generelt må man ikke skrive et fortegn lige efter et regnetegn uden at sætte en parentes. Man kan på sin vis sige, at ethvert negativt tal er et»modsat tal«til et positivt tal. Lægger man sammen får man f.eks. 3 3 + ( 3) = 0 og ( 3) + 3 = 0. Man kan argumentere for, at ( 3) er det modsatte tal til 3, og at der derfor må gælde, at ( 3) + ( 3) = 0. Men fordi 3 + ( 3) = 0, må man have, at ( 3) = 3. Dette må gælde for alle tal (og ikke kun tallet 3). Vha. de negative tal kan man definere subtraktion som addition med det modsatte tal. Et eksempel kunne være 8 2 = 8 + ( 2). Dette kan også forklare hvorfor man ikke bare kan bytte rundt på tallene. 2 8 er ikke det samme som 8 2, da tegnet faktisk hører til 2-tallet. Når man lægger sammen er rækkefølgen til gengæld ligegyldig, så man kan gøre følgende 8 2 = 8 + ( 2) = 2 + 8. Som man kan se, bliver tegnet ved med at stå foran 2-tallet. De to tal 8 og 2 i regnestykket kaldes ligesom ved addition for led, mens resultatet (6) kaldes en differens. A.3 Multiplikation At gange to tal (multiplicere dem) er faktisk en udvidelse af at lægge sammen, idet f.eks. 7 gange {}}{ 7 4 = 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 = 28. 7 4 Figur A.1: Man kan ud fra billedet argumentere for, at 7 4 = 4 7. 7 4 Heraf ser man også, hvorfor tegnet» «kaldes»gange«. Hvor man ved addition nemt kan argumentere for, at rækkefølgen er ligegyldig, er det måske lidt sværere umiddelbart at se, hvorfor 7 4 = 4 7, men det skyldes at tallet 4 7 kan betragtes som arealet af et rektangel, der er 4 på den ene led og 7 på den anden. Figur A.1 giver et billede af denne ide. Tallene, der ganges sammen (her 7 og 4) kaldes faktorer, og resultatet (28) kaldes produktet af de to tal.