Potensfunktioner, Eksponentialfunktioner og Logaritmer Frank Villa 25. februar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Potensfunktioner 2 2.1 Godt at vide om dem................. 5 2.2 Potensudviklinger................... 13 2.3 Hvor forekommer de?................. 15 3 Eksponentialfunktioner 16 3.1 Godt at vide om dem................. 17 3.2 Hvor forekommer de?................. 21 3.3 Den naturlige eksponentialfunktion......... 21 3.4 Eksponentielle udviklinger.............. 21 4 Logaritmer 21 4.1 Godt at vide om dem................. 21 4.2 Den naturlige logaritme............... 21 4.3 Hvor forekommer de?................. 21 4.4 Logaritmeregnereglerne................ 21 4.5 En smart anvendelse af logaritmer.......... 21
Resumé I dette dokument ser vi på hele tre funktionsfamilier, nemlig potensfunktioner, eksponentialfunktioner og logaritmer. Vi ser på den naturlige eksponentialfunktion og logaritme, på sammenhænge mellem de tre funktionstyper og på et par nært beslægtede funktionstyper. 1 Introduktion Vi skal nu se på tre forskellige funktionsfamilier. De bliver gennemgået i en meget velovervejet rækkefølge Forudsætninger For at læse dette dokument bør du være ret fortrolig med funktionsbegrebet, og du skal vide hvordan man tegner grafer for funktioner. Desuden skal vi bruge potensregnereglerne hele tiden, så dem må du også hellere have i nærheden 1 mens du læser. 1 Du kan finde en oversigt over potensregnereglerne her side 1
2 Potensfunktioner Den første funktionstype kan man næsten gætte hvad er ud fra navnet. Det er en type funktioner som du sikkert allerede kender en masse af. Definition 1. En potensfunktion er en funktion, f, som er givet ved en forskrift af typen: f(x) = x a hvor a kan være et hvilket som helst reelt tal. Eksempel 2. De nemmeste potensfunktioner at forstå er dem hvor a er et naturligt tal. Du kender sikkert allerede følgende potensfunktioner meget godt: f(x) = x 2 og g(x) = x 3 h(x) = x 1 = x En potensfunktion er altså en funktion som opløfter i en (fast) potens. Bemærk at de fleste polynomier ikke er potensfunktioner, men at de består af flere forskellige potensfunktioner som er ganget med hver sin konstant og lagt sammen. Potensfunktioner kan dog noget som polynomier ikke kan, fordi vi kan opløfte i potenser som ikke er naturlige tal. Nogle af de allervigtigste potensfunktioner fremkommer på denne måde: Eksempel 3. Reciprokfunktionen er også en potensfunktion. Den er nemlig givet ved: f(x) = x 1 = 1 x side 2
Kvadratrodsfunktionen er også en potensfunktion. Den er nemlig givet ved: g(x) = x 1 2 = x Faktisk er alle rødder potensfunktioner. Kubikroden, f.eks: h(x) = x 1 3 = 3 x Bemærk at dette er et godt sted tidspunkt til at holde op med at tænke på potenser som at ting er ganget med sig selv. Det giver jo ingen mening at tage enten 1 eller 1 kopier af x og gange dem med 2 hinanden. Husk at de facts som står i sidste eksempel ganske enkelt er definitioner af hvad potenser betyder når de ikke er naturlige tal. Og det kan skam blive endnu værre: Eksempel 4. Man kan også lave helt tossede potensfunktioner. F.eks kan vi sagtens vælge a = 22 og definere potensfunktionen f ved: 7 f(x) = x 22 7 Hvis man så lige husker sine definitioner, så ved man at dette er den samme funktion som: f(x) = x 22 7 = 7 x 22 Det bliver helt vildt hvis vi vælger a til at være et irrationelt tal, f.eks. g(x) = x π Faktisk er der stor sandsynlighed for at du ikke aner hvad dette betyder. Det er nemlig meget svært at definere hvad potensopløftning i en irrationel potens skal betyde. Men for nu at gøre dette eksempel under 50 sider langt, håber jeg at du er tilfreds med følgende forklaring. side 3
Men kan ikke umiddelbart definere hvad x π skal betyde. Men vi kan hurtigt lave funktionen: Og vi kan også lave funktionen: og funktionen: g 1 (x) = x 3,14 = x 314 100 = 100 x 314 g 2 (x) = x 3,141 = x 3141 1000 = 1000 x 3141 g 3 (x) = x 3,1415 = x 3145 10000 = 10000 x 31415 Hvis du forestiller dig alle disse (uendeligt mange) funktioner stillet op ved siden af hinanden, så er g(x) = x π på en måde den funktion som er ude for enden af den uendeligt lange kø. Dette er mere korrekt end man skulle tro, men samtidigt er det meget sværere at gøre præcist end man tror. Jeg håber at du bare kan trække på skuldrene og sige ok, så kan man åbenbart også opløfte ting i π te potens. For det kan man. Til sidst skal vi lige se på en helt speciel potensfunktion, som du nok vil få en slags had kærlighedsforhold til i løbet af dette dokument: Eksempel 5. Her er verdens dummeste potensfunktion: f(x) = x 0 = 1 Den er bare konstant lig med 1, uanset hvilket x der sættes ind i den. Fordi vi simpelt hen har defineret at opløftning i nul te potens altid giver 1. Bemærk at vi sågar (af tekniske grunde) har defineret at 0 0 = 1 side 4
så det er endda rigtigt hvis man sætter nul ind i den! Hvis du kigger lidt på grafen for f, så kan du få en ide om hvorfor dette valg er fornuftigt. På mange måder er det irriterende at denne potensfunktion findes. Den er nemlig så forskellig fra alle de andre potensfunktioner at vi hele tiden kommer til at skulle lave den til en undtagelse når vi taler generelt om potensfunktioner. Det ville dog være endnu mere irriterende ikke at kalde den en potensfunktion, så den er altså med uanset om vi kan lide den eller ej. 2.1 Godt at vide om dem Her er de vigtigste ting at huske på når man arbejder med potensfunktioner. Definitionsmængde og værdimængde Det er ikke helt nemt at se hvilke reelle tal, x som kan sættes ind i en potensfunktion, og hvilke funktionsværdier der kan komme ud af det. Det afhænger nemlig meget af hvilken potens, a man har med at gøre. Hele den indviklede historie står i følgende afskyelige sætning. Bare rolig: Du skal ikke lære denne sætning uden ad! Du skal bare se hvor grim den er, sådan at du kan blive glad for den definition som kommer lige bagefter. Sætning 6 (Definitions- og værdimængde). Hvis f er en potensfunktion givet ved: så gælder: f(x) = x a Hvis a = 0 så er Dm(f) = R og Vm(f) = {1} side 5
Hvis a {2, 4, 6,...} så er Dm(f) = R og Vm(f) = [0; [ Hvis a {1, 3, 5,...} så er Dm(f) = R og Vm(f) = R Hvis a { 2, 4, 6, } så er Dm(f) = R \ {0} og Vm(f) = ]0; [ Hvis a { 1, 3, 5,...} så erdm(f) = R \ {0} og Vm(f) = R \ {0} Hvis a er en positiv brøk hvor nævneren er lige, så er Dm(f) = [0; [ og Vm(f) = [0; [ Hvis a er en negativ brøk hvor nævneren er lige, så er Dm(f) = ]0; [ og Vm(f) =]0; [ Hvis a er en positiv brøk hvor nævneren er ulige, så er Dm(f) = R og Vm(f) = R Hvis a er en negativ brøk hvor nævneren er ulige, så er Dm(f) = R \ {0} og Vm(f) = R \ {0} Hvis a er irrationelt og positivt, så er Dm(f) = [0; [ og Vm(f) = [0; [ Hvis a er irrationelt og negativt, så er Dm(f) =]0; [ og Vm(f) = ]0; [ Øvelse 7. Glem alt om at lære ovenstående facts udenad! Prøv i stedet om du kan regne ud hvorfor hver af de forskellige værdier af a giver den den definitionsmængde og den værdimængde som sætningen påstår. F.eks. skulle du gerne kunne se hvorfor potensfunktionen med a = 1 ikke så godt kan lide at man sætter nul ind i den. Vær også helt sikker på at du indser at sætningen behandler alle muligheder for hvad a kan være, og at den samme mulighed ikke er nævnt flere gange. For at gøre alting meget nemmere, vælger man dog meget ofte en nemmere udvej: Nemlig at vedtage følgende dejlige definition: side 6
Definition 8. Når man taler om potensfunktioner, så går man ud fra at definitionenmængden er de positive reelle tal. Også selvom den eventuelt kunne være større. Altså: Hvis f(x) = x a hvor a R, så er: Dm(f) = R + Dette betyder desværre lidt forvirring, fordi selv de velkendte funktioner: f(x) = x 1 (reciprokfunktionen), f(x) = x 1 2 (kvadratroden) og selv f(x) = x 1 (identitetsfunktionen) pludselig kun bliver defineret i positive reelle tal når man tænker på dem som potensfunktioner. Det er lidt dumt, men fordelene er meget større end ulemperne. Det vil du se mere til i de næste afsnit. I første omgang bliver det meget nemmere at tale om deres værdimængder. Der er nemlig kun en enkelt dum undtagelse som man ikke må glemme: Sætning 9. Hvis f er en potensfunktion givet ved: så er værdimængden givet ved: f(x) = x a, x > 0 Vm(f) = R + Hvis vel at mærke a 0. Hvis a skulle være lig med nul, så er værdimængden i stedet: Vm(f) = {1} side 7
Grafer Graferne for vores potensfunktioner kan se ud på lidt forskellige måder, alt efter hvilken potens a man har med at gøre. I første omgang ved du sikkert allerede hvad der sker når a er et natuligt tal. 3 2 1 1 2 3 4 5 Figur 1: Grafer for nogle forskellige potensfunktioner hvor potensen er et naturligt tal. Hvis vi i stedet lader a være et negativt tal eller en brøk, så kommer der (som vi allerede har set) nogle andre spændende funktioner frem. På figur 2 nedenfor er et par af deres grafer:. Til sidst er det en god ide at forstå hvordan a faktisk kan være et hvilket som helst reelt tal. Øvelse 10. Hvis vi gradvist ændrer a, så ændrer vi selvfølgelig også funktionen og dens graf. Men de ændrer sig på en naturlig måde. Prøv at starte dit grafprogram og tegn grafer for følgende funkside 8
3 2 1 1 2 3 4 5 Figur 2: Grafer for nogle potensfunktioner hvor potensen er negativ eller en brøk. tioner (vælg et grafudsnit som går fra cirka 0 til 3 på x-aksen): g 1 (x) = x 2 g 2 (x) = x 3 g 3 (x) = x 3,1 g 4 (x) = x 3,14159 g 5 (x) = x π 2.1.1 Sammensætninger En sjov ting ved potensfunktioner er at man kan gøre flere forskellige ting ved dem, og så bliver de til nye potensfunktioner. Sagt lidt mere teknisk, så er de stabile under flere forskellige operationer. side 9
Eksempel 11 (Multiplikation og division). Lad os starte med to forskellige potensfunktioner, f og g, givet ved: og f(x) = x 4 g(x) = x 3 Hvis vi ganger dem med hinanden, så får vi en ny funktion, h = f g givet ved: h(x) = f(x) g(x) = x 4 x 3 Men takket være vores potensregneregler, kan dette omskrives til: h(x) = x 3+4 = x 7 Vi kan også dividere de to funktioner med hinanden. Det giver en funktion k f, givet ved: g k(x) = f(x) g(x) = x4 x 3 Og igen kan vores potensregneregler hjælpe os med at skrive resultatet som: k(x) = x 4 3 = x 1 Bemærk forresten at vi ikke skal være bekymrede over at dividere med g(x), fordi vi har været smarte nok til at begrænse definitionsmængden og dermed sørge for at g(x) aldrig giver nul! Generelt giver multiplikationer og divisioner af potensfunktioner bare nogle andre potensfunktioner. Nu til et meget vigtigt eksempel som vi skal se mere på i næste afsnit: side 10
Eksempel 12 (Sammensætning). Lad os igen starte med to potensfunktioner, f og g, givet ved: og f(x) = x 7 g(x) = x 1 2 Lad os nu prøve at sammensætte de to funktioner. Husk, at det kan man gøre på to forskellige måder: Enten til h 1 = f g eller til h 2 = g f. De er givet ved: og h 1 (x) = f(g(x)) = ( x 7) 1 2 h 2 (x) = g(f(x)) = ( x 1 2 Men takket være potensregnereglerne, kan vi indse noget meget pænt om sammensætning af potensfunktioner. Vi kan nemlig omskrive: h 1 (x) = ( x 7) 1 2 = x 7 1 7 2 = x 2 og ) 7 h 2 (x) = ( x 7) 1 2 = x 1 2 7 = x 7 2 Heraf kan vi se to generelle facts som bliver meget gode at have i næste afsnit: Når man sammensætter to potensfunktioner, så får man en ny potensfunktion, hvis potens a bare er de to oprindelige funktioners potenser ganget med hinanden. Det giver den samme funktion uanset hvilken rækkefølge vi sammensætter to potensfunktioner i. side 11
Monotoni, injektivitet og inverse Fordi vi har begrænset definitionsmængden, så bliver alle 2 potensfuntioner injektive! Hvis du kigger på deres grafer, kan du se at de faktisk bliver monotone, hvilket jo garanterer at de bliver injektive. Det skriver vi lige op i en sætning: Sætning 13. Hvis f er en potensfunktion, givet ved f(x) = x a, så gælder følgende: Hvis a = 0 så er f konstant. Hvis a > 0 så er f voksende. Derfor er den også injektiv. Hvis a < 0 så er f aftagende. Derfor er den også injektiv. Eftersom (næsten) alle potensfunktioner er injektive, har de også inverse funktioner. Her er potensfunktionerne meget hyggelige. De er nemlig hinandens inverse funktioner på følgende måde: Sætning 14 (Inverse til potensfunktioner). Hvis f er en potensfunktion, givet ved forskriften: f(x) = x a, x R + hvor a er et reelt tal, som ikke er nul, så er f injektiv, og dens inverse funktion er givet ved: f 1 (x) = x 1 a Bevis. Husk hvad vi opdagede i sidste afsnit: Når man sammensætter to potensfunktioner, så ender man bare med at gange de to potenser med hinanden. Så hvis f(x) = x a og g(x) = x b, så er (g f)(x) = (x a ) b = x a b 2 Undtagen en eneste af dem... Gæt engang hvilken! side 12
og (f g)(x) = ( x b) a = x a b Så hvis b = 1, giver sammensætningen a x1, som bare er identitetsfunktionen. Og det er jo præcis hvad det betyder at være den inverse funktion: At man får identitetsfunktionen når man sammensætter de to. Eller sagt med andre ord: Hvis man først bruger den ene funktion på et tal, x, og bagefter bruger den anden funktion på resultatet, så ender man med det x som man startede med. 2.2 Potensudviklinger Der findes en slags mutationer af potensfunktioner som optræder så ofte at de har fået deres eget navn: Definition 15. En potensudvikling er en funktion, f, som er givet ved en forskrift af typen: f(x) = b x a hvor a og b er to reelle konstanter som kan have en hvilken som helst værdi. Man tillader altså bare et en potensfunktion er ganget med en ekstra konstant. Det er ikke særligt mystisk hvad dette gør ved funktionen. Især ikke hvis man har læse dokumentet om grafmanipulation 3. Det strækker jo bare grafen langs y-aksen (hvis b > 1 blive grafen strakt, og hvis b < 1 bliver den trukket sammen.) Ligninger med potensfunktioner Potensfunktioner er nemme at håndtere i forbindelse med at løse ligninger. Husk at når man løser ligninger, så svarer det næsten altid 3 Læs om grafmanipulation her side 13
footnotemere præcist: Når man løser ligninger med en enkelt ukendt størrelse. til at man står med en funktion, f, og et tal, y, og man ved at f(x) = y men man vil gerne kende værdien af x. Altså: Man vil så gerne finde en (eller flere!) værdier af tallet x, sådan at f(x) giver tallet y. Husk også at når f er en injektiv funktion, så er dette dejligt nemt. I så fald er der nemlig højst en enkelt løsning, x, og den kan findes ved at udregne: x = f 1 (y) Eftersom vi kender de inverse til alle potensfunktioner, så er det altså dejligt nemt at håndtere ligninger hvor de optræder i. Eksempel 16. Betragt ligningen: x π = 17 Den kan løses i et snuptag ved at vi bruger den inverse potensfunktion: x = 17 1 π Advarsel: Dette lyder næsten for nemt, gør det ikke? Grunden til at det er så nemt er at vi har smidt alle de negative tal ud af vores definitionsmængder til potensfunktionerne. Derfor er det meget behageligt at arbejde med ligninger som kommer fra potensfunktioner, fordi vi er fuldkommen ligeglade med eventuelle negative løsninger. Men pas nu på: Det er ikke alle potens agtige ligninger som kommer fra en potensfunktion. Eksempel 17. Hvad nu med ligningen: x 2 = 16 Hvad hvis vi faktisk var interesserede i at finde alle reelle tal som opfylder denne ligning? side 14
Så er vi nødt at huske at f(x) = x 2 sagtens kan defineres i alle reelle tal. Dermed er den bare ikke det som vi kalder en potensfunktion længere! Og den er ikke længere injektiv, og den har ikke en invers funktion. Og så har vi alt besværet med at bruge kvadratroden (en såkaldt sektion) til at finde en løsning, og derefter bruge ekstra viden om funktionen til at finde den anden (negative) løsning. 2.3 Hvor forekommer de? Lad os se på nogle eksempler på anvendelser af potensfunktioner til at beskrive virkelige sammenhænge: Eksempel 18. Rittersport er som bekendt kvadratiske, og de forekommer i forskellige størrelser. Hvis x angiver sidelængden (f.eks. målt som hvor mange stykker cholokade der er i en række), og f(x) angiver antallet af chokoladestykker i hele Rittersportpakken, så er: f(x) = x 2 Hvis f.eks. x = 2 (de små pakker), så er antallet af chokoladestykker: f(2) = 2 2 = 4 Mens de store pakker indeholder noget i stil med: stykker. f(5) = 2 5 = 32 Potensfunktioner i sig selv er ikke særligt nyttige. Til gengæld er potensudviklinger ret almindelige i alle mulige videnskaber. Her er et par eksempler: side 15
Eksempel 19 (Zipfs lov). Nok den underligste potsensudvikling jeg nogensinde har set optræder i studier af hvordan sprog er struktureret. Tro det eller lad være, man kan bruge matematik til at måle hvornår noget er et rigtigt sprog. Det viser sig nemlig at hvis man optæller hvor ofte forskellige ord bliver brugt, så er nogle ord selvfølgelig mere hyppige end andre. Hvis man ordner ordene efter hyppighed, altså sådan at nummer nummer 1 er det mest hyppige, nummer 2 er det næsthyppigste, o.s.v. 3 Eksponentialfunktioner Nu til en anden slags funktioner: Eksponentialfunktioner. Grunden til at jeg tager dem i samme dokument som potensfunktionerne (se sidste afsnit) er at de to typer kan være svære at se forkel på. Her er hvad en eksponentialfunktion er: Definition 20. En eksponentialfunktion er en funktion, defineret ved en forskrift af typen: hvor a er et positivt reelt tal. f(x) = a x, x R Kig lige på definition 1 igen. Og kig så på definition 20. Kan du se hvorfor mange kommer til at forveksle dem? Forskellen er at de to bogstaver i definitionen har byttet plads! Men eftersom de spiller meget forskellige roller (x er den variabel som er sat ind i funktionen, mens a er en konstant som hører med til funktionen), giver det to meget forskellige slags funktioner. Vi skal se lidt på forskellene i det næste afsnit. Her er en god huskeregel hvis du vil undgå at bytte om på dem. side 16
For at undgå at bytte om på potensfunktioner og eksponentialfunktioner, så tænk på de potensfunktioner som du har kendt superlænge, f.eks. f(x) = x 2 og g(x) = x 3 De hedder potensfunktioner, fordi det er præcis hvad de gør ved x: Opløfter det i en (fast) potens. Og tænk derefter på at eksponentialfunktioner er dem hvor potensen er vendt på hovedet, altså f.eks. h(x) = 2 x og k(x) = 3 x 3.1 Godt at vide om dem Lad os se på nogle egenskaber ved eksponentialfunktionerne. 3.1.1 Hvorfor skal a være positiv? Konstanten a kaldes nogle gange for grundtallet, og i andre sammenhænge (se næste afsnit) for fremskrivningsfaktoren. Den skal være positiv af omtrent samme grund som problemerne med definitionsmængden for potensfunktioner: Vi har ikke lyst til at risikere at a skulle være f.eks. 1, og at nogen så satte x til at være f.eks. 1 2. Så ville der nemlig stå noget som svarer til kvadratroden af 1, og den findes jo ikke. side 17
3.1.2 Grafer for eksponentialfunktioner Lad os tegne grafen for en konkret eksponentialfunktion. Vi sætter a = 2. Dermed er vores funktion givet ved: f 1 (x) = 2 x Vi kan udregne nogle hurtige funktionsværdier (idet vi husker hvad det betyder at opløfte i nogle vigtige potenser): f 1 (0) = 2 0 = 1 f 1 (1) = 2 1 = 2 f 1 (3) = 2 3 = 8 ( ) 1 f 1 = 2 1 2 = 2 1,4142 2 f 1 ( 1) = 2 1 = 1 2 = 0,5 f 1 ( 3) = 2 3 = 1 2 3 = 1 8 = 0,125 Hver af disse udregninger giver et punkt på grafen, og når man tegner dem, kan man tydeligt se en tendens (se figur 3). Vi kunne selvfølgelig også have valgt en anden værdi af grundtallet a. Hvis vi f.eks. sætter a = 1, så har vi en anden eksponentialfunktion, nemlig: 2 ( 1 x f 2 (x) = 2) Her er det lidt vildere at udregne funktionsværdier, fordi vi skal bruge lidt flere potensregneregler. 3.1.3 De vokser vildt hurtigt! Eksponentialfunktioner er monotone, undtagen hvis a = 1. Hvis a > 1, så er de voksende, og hvis a ]0; 1[, så er de aftagende. Det betyder at grafen går opad, enten når man går til højre eller til venstre i side 18
10 8 6 4 2 4-3 -2-1 1 2 3 4 Figur 3: Grafen for eksponentialfunktionen f 1 defineret ovenfor. Punkterne svarende til de udregnede funktionsværdier er indtegnet (og et par ekstra). koordinatsystemet. En sjov ting ved eksponentialfunktioner er at den gør det helt vildt hurtigt. Så hurtigt at en hvilken som helst ekponentialfunktion vil overhale en hvilken som helst potensfunktion på et eller andet tidspunkt. Det viser jeg lige et eksempel på: Eksempel 21. Betragt potensfunktionen f, givet ved: f(x) = x 100 Det er en meget vild funktion som ret hurtigt laver vildt store funktionsværdier. Prøv at tegne dens graf og se efter. Du skal nok vælge et grafudsnit hvor x-aksen går fra 2 til 2, og hvor y-aksen går meget højt op. Betragt nu den ganske uskyldige eksponentialfunktion g, givet side 19
ved: g(x) = 2 x Den er også voksende, men ser ud til at gå meget langsommere. Du kan uden problemer tegne dens graf med x-koordinater mellem 10 og 10. Umiddelbart ser det ud til at f vokser meget hurtigere end g. Men hvad sker der lidt længere ude af x-aksen? Det er lidt svært at zoom e så langt ud i et grafprogram, men inde i vores hoveder er det faktisk ret nemt. Lad os forestille os at vi går ud til x = 10 000. Hvor højt oppe er de to grafer så? Jo, grafen for f er oppe i højden: f(10 000) = 100 0 100 = ( (10) 4) 100 = 10 400 (Vi brugte lige en potensregneregel, så du det?). Det er sindssygt højt oppe. Men hvor højt oppe er grafen for g mon? Jo, den er i højden: g(10 000) = 2 10 000 = 2 4 2500 = ( 2 4) 2500 = 16 2500 For det første er grundtallet i denne beregning 16, hvor det før var 10. Men antallet af gange som det bliver ganget med sig selv er over 6 gange så stort. Grafen for g er vildt meget højere oppe end grafen for f. Det er åbenbart fordi eksponentialfunktionen på et tidspunkt (lige omkring x = 1000, faktisk) har overhalet potensfunktionen. Grunden til den vilde vækst hænger sammen med en egenskab som vi skal se nærmere på i næste afsnit. side 20
3.1.4 Fordoblingskonstant og halveringskonstant 3.2 Hvor forekommer de? 3.3 Den naturlige eksponentialfunktion 3.4 Eksponentielle udviklinger 4 Logaritmer 4.1 Godt at vide om dem 4.2 Den naturlige logaritme 4.3 Hvor forekommer de? 4.4 Logaritmeregnereglerne 4.5 En smart anvendelse af logaritmer side 21