Løsning MatB - januar 2013 Opgave 1 (5%) a) Løs uligheden: 2 x > 5x 6. a) 2 x > 5x 6 2 + 6 > 5x + x 8 > 4x Divideres begge sider med 4 og uligheden vendes. Dvs. 8 4 < x x > 2 Løsningsmængden bliver L =] 2; [ 1
Opgave 2 (5%) En funktion f er givet ved: f (x) = 2x 2 x. a) Bestem en ligning for tangenten til grafen for f i punktet P(1, f (1)). a) Tangentligningen har følgende forskrift: y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) Vi bestemmer først f (1) og f (x 0 ) f (1) = 2 1 = 1 f (x 0 ) = 4x 1 Vi indsætter x 0 = 1 for at finde hældningen i punktet x 0 = 1. f (1) = 4 1 1 = 3 Indsættes disse i forskriften fas; y 1 = 3(x 1) y = 3x 3 + 1 y = 3x 2 2
Opgave 3 (5%) Grafen for den lineære funktion f (x) = 3x + k, hvor k er et reelt tal, indeholder punktet P( 2, 4). a) Bestem tallet k. a) Indsættes punktet P( 2, 4) i funktionen 4 = 3 ( 2) + k k = 2 Opgave 4 (5%) En funktion f er givet ved: f (x) = e 2x 4x. a) Løs ligningen f (x) = 2. a) Vi differentierer funktionen f (x) = e 2x 4x f (x) = 2 e 2x 4 Denne sidste sættes til at være 2 2 e 2x 4 = 2 e 2x = 1 3
Vi tager logaritmen på begge sider af ligningen: Løsningsmængden bliver: ln(e 2x ) = ln(1) 2x ln(e) = ln(1) 2x = ln(1) 2 ln(e) = 0 L = {0} Opgave 5 (5%) I en trekant ABC er følgende størrelser givet: C = 90 0, A = 30 0 og a = 6. a) Beregn længden af siden c. a) Vi starter med at skitsere treekanten vha. GeoGebra. sin(30 0 ) = a c a c = sin(30 0 ) = 6 0.5 = 12 4
Opgave 6 (25%) En funktion f er givet ved : f (x) = x 1 + x 2. a) Bestem definitionsmængden for funktionen f og skitsér dens graf. b) Bestem monotoniforholdene for funktionen. c) Bestem koordinaterne til de punkter på funktionens graf, hvor der er lokale ekstremumspunkter. Grafen for funktionen har en tangent, der er parallel med linjen med ligningen: y = x 1. d) bestem en ligning for denne tangent. Bestem værdimængden for funktionen f. a) Da nævneren ikke må være nul kan vi jo bare skrive: 1 + x 2 0 Og denne sætning kan aldrig bliver falsk, dvs. den er altid sand altså forskellig fra nul for alle x-værdier. Det betyder at definitionsmængden bliver: Dm f = R Vi kan skitsere funktionen vha. GeoGebra. 5
b) Monotoniforholdene bestemmes Vi starter med at differentiere funktionen og sætter den differentierede til nul. f (x) = x 1 + x 2 f (x) = 1 (1 + x2 ) 2x x (1 + x 2 ) 2 = 1 + x2 2x 2 (1 + x x ) 2 = 1 x2 (1 + x 2 ) 2 f (x) = 0 1 x 2 (1 + x 2 ) 2 = 0 1 x 2 = 0 x = ±1 6
Vi kan konkludere følgende: f (x) aftager i intervallet ] ; 1] og [1; [ f (x) vokser i intervallet [ 1;1] Lokale extremum har koordinaterne: lok. min. ( 1, 1 2 ) og lok. max. (1, 1 2 ). De lokale extremum er samtidig globale da de opfylder følgende betingelser: Globalt minimum hvis f (x 0 ) f (x) for alle x Dm f Globalt maximum hvis f (x 0 ) f (x) for alle x Dm f Vi kan lige prøve at indsætte x = 2 og x = 2 se om det passer på følgende måde, da f (x 0 ) = 1 for min. og f (x 0 ) = 1 for max. f ( 2) = 2 1 + ( 2) 2 = 2 5 Dvs. f ( 2) = 2 5 f ( 1) = 1 2 f (2) = 2 1 + 2 2 = 2 3 Dvs. f (2) = 5 25 f (1) = 1 2 c) Lokale extremumspunkter er beregnet som Lokale extremum har koordinaterne: lok. min. ( 1, 1 2 ) og lok. max. (1, 1 2 ). d) Bestem en ligning for en tangent til funktionen der parallel med ligningen y = x 1 Det betyder jo at tangententens hældning bliver f (x 0 ) = 1 1 x 2 (1 + x 2 ) 2 = 1 (1 x 2 ) = 81 + x 2 ) 2 1 x 2 = 1 + x 4 + 2x 2 7
3x 2 + x 4 = 0 x 2 (3 + x 2 ) = 0 Nulreglen bruges x 2 = 0 (3 + x 2 ) = 0 x 2 = 0 x = 0 Ø bliver Dvs. x 0 = 0 der hvor tangentligningen har hældningen 1. Tangentligningen y f (x 0 ) = f (x 0 )(x x 0 ) f (x 0 ) = f (0) = 0 f (x 0 ) = f (0) = 0 y 0 = 1(x 0) y = x e) Værdimængden aflæses til V m f = [ 1 2, 1 2 ] 8
Opgave 7 (15%) I en trekant ABC, hvor A er spids, er følgende størrelser givet: b = 9,5 og højden fra C på siden c er h c = 4. a) Skitsér trekanten, og beregn vinkel A. I en anden trekant DEF er D = 25 0, f = 7 og e = 9,5. b) Beregn længden af siden d. c) Beregn vinklerne E og F. Vi startere med at skitsere trekanten vha. GeoGebra. a) Beregning af vinkel A kan gøres på forskellige måder. Vi kan f.eks. længden AD ud fra trekanten ABD vha. pythagoras og dernæst bruge cosinusrelation. AD 2 + 4 2 = 9.5 2 AD = 8.62 9
cosa = AD 2 + b 2 4 2 = 8.622 + 9.5 2 16 2 AD 9,5 2 8.62 9.5 A = 24.9 0 25 0 Trekanten DEF skitseres som følger. b) Længden af siden d bestemmes vha. cosisusrelation på følgende måde: d 2 = e 2 + f 2 2 e f cos(d) d 2 = 9.5 2 + 7 2 2 9.5 7 cos(25 0 ) d = 4.3 c) Beregning af vinklerne E og F beregnes vha. cosinusrelationerne E = cos 1 ( d2 + f 2 e 2 2 d f ) = cos 1 ( 4.32 + 7 2 9.5 2 ) 112 0 2 4.3 7 F = 180 0 (112 0 + 25 0 ) 43 0 10
Opgave 8 (5%) En eksponentiel udvikling f (x) = b a x har fordoblingskonstanten T 2 = 3. Det oplyses, at f (2) = 16. a) Bestem f (5) a) Da vi kender fordoblingskonstanten kan vi hurtigt opstille følgende ligning: T 2 = ln(2) ln(a) = 3 Vi kender også funktionsværdien når vi indsætter x = 2 i den originale eksponentiel udvikling. Vi kan derefter opstille følgende ligning: f (2) = b a 2 = 16 giver Nu har vi altså to ligninger og vi kan hurtigt konstatere at den første ligning ln(a) = ln(2) 3 = 0.23 Vi tager logaritmen på begge sider af lighedstegnet e ln(a) = e 0.23 a = 1.26 Denne indsættes b a 2 = 16 11
b (1.26) 2 = 16 b = 16 (1.26) 2 = 10.08 Indsættes disse værdier i den originale funktionsforskrift fås: f (x) = b a x f (x) = 10.08 1.26 x For at finde f (5) skal vi blot indsætte x = 5 i den opstillede eksponentielfunktion. f (5) = 10.08 1.26 5 = 32 Opgave 9 (10 %) En funktion f er givet ved: f (x) = x, en funktion g er givet ved: g(x) = x 2 +x 2 og en funktion h er givet ved: h(x) = ln(2x + 1). a) Bestem definitionsmængden for den sammensatte funktion f (g(x)) = ( f g)(x). b) Bestem regneforskriften for den omvendte (inverse) funktion til funktionen h. a) Inden definitionsmængden skal vi bestemme den sammensatte funktion på følgende måde: f (g(x)) = ( f g)(x) 12
f (g(x)) = ( f g)(x) = x 2 + x 2 Vi må kræve at indmaden af kvadratroden ikke bliver negativ for at finde definitionsmængden af den sammensatte funktion. x 2 + x 2 0 Faktoriseres denne fås: (x + 2)(x 1) 0 Regel 6 på side 91 i Bog1 anvendes: a b > 0 (a > 0 b > 0) (a < 0 b < 0) (x + 2) 0 (x 1) 0 (x + 2) 0 (x 1) 0 (x 2 x 1) (x 2 x 1) x 1 x 2 Definitionsmængden af den sammensatte funktion bliver løsningsmængden. Dm( f g)(x) =] ; 2] [1; [ Og kan også ses af GeoGebraløsningen nedenunder: 13
b) Regneforskriften for den omvendte (inverse) funktion h. h(x) = ln(2x + 1) y = ln(2x + 1) Vi bytter xog y x = ln(2y + 1) Logaritmen tages på begge sider: e x = e ln(2y+1) e x = 2y + 1 y = ex 1 2 Som ses så gælder da følgende for den omvendte funktion: Dmh = V mh 1 =] 1 2 ; [ V mh = Dmh 1 = R Opgave 10 (15 %) Der er registreret følgende pointfordeling ved en prøve på en skole: Point 0-20 20-40 40-60 60-80 80-100 sum Hyppighed 4 6 14 20 6 50 Frekvens 0.08 0.12 0.28 0.40 0.12 1.00 Kumuleret frekvens 0.08 0.20 0.48 0.88 1.00-14
a) Tegn en sumkurve for pointfordelingen. b) Bestem kvartilsøttet og middelværdien. c) Bestem hvor mange procent af eleverne, der har opnået mindst 90 point i pråven. a) Sumkurven tegnes først efter følgende tabel er lavet Interval endepunkter Kumuleret frekvens 0 0 20 0.08 40 0.20 60 0.48 80 0.88 100 1.00 GeoGebra bruges til at skitsere sumkurven på ffølgende måde: 15
b) Middelværdien beregnes: µ = 4 10 + 6 30 + 14 50 + 20 70 + 6 90 50 = 286 5 57.2 Opgave 11 (5 %) På nedenstående figur er vist de grafiske billeder for en funktion f og dens afledede f. a) Angiv med begrundelse, hvilken graf der afbilder grafen for f og hvilken der afbilder grafen for f. a) Man kan se af figuren at funktionens afledede f (A) har nulpunkter der hvor funktionen f (B) har ekstema. Funktionen B beskriver således f 16