EE Basis 200 KRT3 - Løsningsforslag 2/9/0/JHM Opgave : Figur : Inverterende forstærker. Figur 2: Ikke-inverterende. Starter vi med den inverterende kobling så identificeres der et knudepunkt ved OPAMP ens (-) terminal. Kaldes denne Va finder vi følgende vha. Knudepunktsmetoden: V a + v R R in 2 R v out Da vi ydermere antager at OPAMP en er ideel, så gælder Virtuel jord princippet, hvilket vil sige, at V (+) = V (-). Da V (+) er sat til stel gælder altså at V (-) er 0 V, og da V (-) = V a fåes v in R v out v out = v in R For den ikke-inverterende kobling er det samme øvelse. Igen finder vi et knudepunkt ved OPAMP ens (-) terminal, som samtidig er potentialet netop mellem de to modstande: V a + v R R out 2
SIDE 2/5 Også her er OPAMP en jo ideel, hvilket vil sige, at V (+) = V (-). Da V (+) er sat til v in gælder altså at V (-) (og dermed V a ) er lig v in Dermed er begge forstærkningsudtrykkene blevet eftervist. Opgave 2: Vi ser naturligvis straks at der her er tale om en ikke-inverterende forstærkerkobling. Når dette er på plads, så ved vi også, at forstærkningen er givet ved følgende udtryk (under antagelse af ideel OPAMP): ß () Figur 3: OPAMP-baseret forstærkerkobling. Når vi nu kender forstærkningen så kan vi beregne Vo så let som ingen ting. Vi ved at V o =G*V i så derfor får vi altså at V o er lig 4V. Da vi jo har antaget at OPAMP en er ideel, så ved vi at der ikke løber strøm ind i input terminalerne. Strømmen I o må derfor løbe ned gennem modstandene og R. Den kan simpelthen ikke løbe andre steder hen. Da vi ved at spændingen er 4V kan vi altså bestemme strømmen som: Når vi skal opstille et udtryk for forstærkningen for koblingen hvori vi tager en endelig OPAMP forstærkning med ind i billedet, så er det vigtigt at vi husker på en væsentlig ting. Det er nemlig KUN når vi har en ideel OPAMP, at spændingsforskellen mellem (+) og (-) terminalerne på OPAMPen kan antages at være lig med nul volt. Vi er derfor nødt til at indføre en ekstra variabel, V d, som så er spændingsforskellen mellem (+) og (-) terminalerne på OPAMPen. Med den variabel indført kan vi opskrive en KVL for indgangen som følger: (2)
SIDE 3/5 Her står vi så med et udtryk hvori den ubekendte størrelse V d indgår. Det er vi jo nødt til at få gjort noget ved. Her kan vi så vende tilbage til selve OPAMPens grundlæggende egenskab. Det den gør, er jo at måle spændingsforskellen mellen (+) og (-) terminalerne og så levere dette signal i en forstærket udgave på udgangen, her med reference til stel. Med andre ord så gælder relationen V o = A*V d. Omskrevet lidt kan dette udtryk sættes ind i formel (2) således at vi når frem til følgende: (3) Ved at lade A -> kan vi overbevise os selv om, at formel (3) faktisk er korrekt. Bliver A uendelig stor får vi nemlig at forstærkningen er givet som + /R som vi jo ved den skal være, for en ideel OPAMP. Når vi skal finde den forstærkning, A, for OPAMPen der giver anledning til 0% afvigelse, så skal vi blot tage udgangspunkt i formel (3) og sætte forstærkningen, G v, lig 7-0% = 6.3 hvorved vi får følgende: (4) Antager vi i vores beregninger at OPAMPen har et uendeligt stort gain så vil vi faktisk kun opleve en afvigelse på 0% hvis OPAMPen så faktisk har en forstærkning på cirka 60 gange. Fra uendelig til 60 er der altså faktisk en jævn okay forskel, så koblingen på Figuren er altså meget, meget robust over for ændringer i OPAMP forstærkning. En del af forklaringen ligger i den lave forstærkning på kun 7 gange. Hvis vi designer den ikke-inverterende kobling til at levere f.eks. 200 ganges forstærkning, så vil vi ikke kunne nøjes med en OPAMP forstærkning på kun 60 gange. Ændre vi f.eks. til 660kΩ (medfører ca. 200 ganges forstærkning) så må A ikke blive mindre end 723 hvis vi igen skal kunne nøjes med 0% ændring i forstærkningen.. dvs. til 80 gange. Opgave 3:
SIDE 4/5 Her er vi tilbage ved den helt og aldeles almindelige inverterende forstærker. For at kunne opstille et udtryk for forstærkningen hvori et endeligt gain og en endelig input modstand indgår, så skal vi have opstillet en model. Figur 4: Inverterende forstærker. Modellen for den ideelle OPAMP skal udvides en lille smule således at vi ender op med Figure 5. Denne model indsætter vi så simpelthen bare i vores inverter-forstærker og resultatet bliver som vist på Figure 6. Figure 5: OPAMP model. Figure 6: Inverter med model. Baseret på kredsløbet på Figure 6 kan vi nu udlede det efterlyste udtryk. (5) Med de definerede strømretninger ved vi ydermere, at i = i 2 + i 3. Nu er det så bare et spørgsmål om lidt(?) matematik og vi når frem til følgende løsning for forstærkningen. (6) For at sikre os at dette udtryk er korrekt, så kan vi altid verificere dette ved at lade R in og A gå mod uendelig. (7)
SIDE 5/5 Som i kan se af formel (7) så passer udtrykket fra formel (6) med teorien når vi antage ideal OPAMP performance. Indsætter vi A 00 og R in = kω i formel (6) kan vi bestemme gainet for den inverterende OPAMP kobling til -,9550. Sammenlignet med den idelle situation svarer dette til en afvigelse på 2.25%. Atter ser vi et eksempel på hvor robust sådanne tilbagekoblings-kredsløb er. En kontrolsimulering som den vist på Figure 7 viser nøjagtig det samme som vores beregning siger, nemlig G = -.95503. Figure 7: LTspice simulering. Om i er masochister skal jeg naturligvis ikke kunne udtale mig om, men jeg melder i hvert fald pas til det sidste bonus(?) spørgsmål.