TAL OG BOGSTAVREGNING De elementære regnerter I mtemtik kn vi regne med tl, men vi kn også regne med bogstver, som gør det hele en smugle mere bstrkt. Først skl vi se lidt på de fire elementære regnerter, som vi kender fr tidligere, nu bre med betegnelser. Regnetegn Nvn på opertion Resultt f beregning + Plus Addition Sum Minus Subtrktion Differens Gnge Multipliktion Produkt : Divideret med Division Kvotient Når vi nu skl til t regne med disse forskellige regnerter, bliver vi nødt til t hve et system så vi ved hvilken rækkefølge de forskellige tegn skl virke, derfor inddeler vi regnerterne i et hierki. Led og fktorer ( ) 1: Først udregnes prenteser n 2: Så udregnes potenser og rødder : 3: Så udregnes multipliktion og division + 4: Sidst udregnes ddition og subtrktion Når vi kigger på tl- og bogstvudtryk kn vi beskrive indholdet med to begreber, led og fktor. Det er vigtigt t forstå forskellen på de to begreber. Led er dskilt f regnetegnene plus (+) og minus ( ), mens fktorer er dskilt f regnetegnet gnge ( ). Nå der i et led både optræder bogstver og tl, så skrives tllet ltid forrest, ltså vi skriver 2b og ikke b2. Begreb Tegn Eksempel 2 4x + 3b Led + eller 2-4x+3b Her er tre led: 2 4x 3b Fkor 2 Første led består d to fktorer, 2 og, 4x ndet led består f fktorerene 4, og x, 3b mens tredje led består f fktorerene 3 og b.
Prenteser I tl- og bogstvudtryk hr mn også brug for prenteser, disse indgår på forskellig vis. æsd D gngetegn og minus tegn ikke må stå lige efter hinnden er det nødvendigt t indføre en prentes ( b) = b ( b) = b I forbindelse med potenser er prenteser også vigtige, idet de skl bruges ved potenser f negtive tl. Ld os se på et eksempel. 2 4 = (2 2 2 2) = 16 ( 2) 4 = ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) = 16 Potenser og prenteser spiller også smmen på en nden måde, som bruges meget. Vi kn se på følgende eksempler. 3x 2 = 3 x x (3x) 2 = 3x 3x = 9x 2 4b 3 = 4 b b b 4(b) 3 = 4 b b b = 2 3 b 3 (4b) 3 = 4b 4b 4b = 64 3 b 3 Der er også regneregler for prenteser, de første to er plus- og minus prenteser. 3+(5 3+9) = 3+5 3+9 = 14 6+( 2+3 4) = 6 2+3 4 = 3 Plusprenteser kn mn ltså uden videre ophæve. 5 (2+6 4) = 5 2 6+4 = 1 9 ( 3+2 4) = 9+3 2+4 = 14 Minusprenteser kn hæves ved t ændre fortegn på lle led i prentesen. Gnge ind i prentes En nden regneregel er t gnge ind i prentes, dette foregår ved t mn gnger tllet på lle led i prentesen. 5 (+3) = 5 +5 3 = 5+15 Sætte uden for prentes 2 (2 b) = 2 2 ( 2) b = 4+2b Vi set på hvordn mn gnger ind i en prentes, og så nu se på den modstte regneregel, nemlig t sætte uden for prentes. Hvis to eller flere led hr en fælles fktor kn mn sætte denne uden for en prentes. Mn dividere således de involverede led med den fktor der sættes udenfor. 6+8b 12c = 2( 6 2 + 8b 2 12c 2 ) = 2(3+4b 6c) 6x+9y = 3( 6x 3 + 9y 3 ) = 3(2x+3y)
Gnge prenteser smmen Vi hr hidtil regnet på udtryk med en prentes, to prenteser med flere led i hver kn også gnges smmen. Dette foregår ved t gnge hvert led i den første prentes med hvert led i den nden prentes. (+b) (c+d+e) = c+d+e+bc+bd+be } {{ } } {{ } (+b) (c+d+e) = c+d+e+bc+bd+be (+b) (c+d+e) = c+d+e+bc+bd+be (+b) (c+d+e) = c+d+e+bc+bd+be (+b) (c+d+e) = c+d+e+bc+bd+be (+b) (c+d+e) = c+d+e+bc+bd+be (+b) (c+d+e) = c+d+e+bc+bd+be Brøker P1 P2 Første led i P1 gnges med første led i P2 Første led i P1 gnges med ndet led i P2 Første led i P1 gnges med tredje led i P2 Andet led i P1 gnges med første led i P2 Andet led i P1 gnges med ndet led i P2 Andet led i P1 gnges med tredje led i P2 Der kn opstå situtioner i regneudtryk, hvor brøker kommer til t indgå, vi skl nu ridse op hvilke regler der er for regning med brøker. En brøk kn forkortes og forlænges. En brøk forkortes ved t dividere med smme tl i både tæller og nævner, mens en brøk forlænges ved t gnge med smme tl i både tæller og nævner. 24 32 = 8 3 8 4 = 3 4 Vi hr dermed forkortet brøken ved t dividere med 8 i både tæller og nævner. 2 7 = 3 2 3 7 = 6 21 Her hr vi forlænget brøken ved t gnge med 3 i både tæller og nævner. Vi kn i nogle tilfælde også komme ud for t der i en brøk optræder en brøk i enten tæller, nævner eller begge dele. For t kunne regne videre vil vi gerne f med disse brøker, dette gør vi ved t finde en fællesnævner for de brøker der indgår. Denne fællesnævner forlænger vi så brøken med. Ld os se på et eksempel. 3 1 3 5 +2 = 12 (3 1 1 12 3 12 3 36 4 12 ( 5 = +2) 12 5 = +12 2 15+24 = 32 39 4 4 4 3 ) Vi hr i ovenstående fundet fællesnævneren for de to brøker til 12 og derefter forlænget brøken med 12. Dermed ender vi op med en brøk der ikke indeholder nogle brøker.
Regneregler for brøker Ligesom ved lmindelige tl kn mn også lægge ddere(lægge smmen), subtrhere(trække fr hinnden), multiplicere(gnge smmen) og dividere brøker, og nedenstående skem viser en oversigt over disse brøkregneregler. Regel i tekst Regel med symboler Eksempel At lægge to brøker smmen gøres ved t + c = d + bc = d+bc 2 + 1 = 8 + 3 = 11 b d bd bd bd 3 4 12 12 12 finde en fællesnævner. At trække to brøker fr hinnden gøres ved t finde en fællesnævner. At gnge to brøker med hinnden gøres ved t gnge tæller med tæller og nævner med nævner At dividere en brøk med en brøk, gøres ved t gnge brøken med den omvendte brøk At gnge en brøk og et tl, gøres ved t gnge tllet med tælleren At dividere en brøk med et tl, gøres ved t gnge tllet med nævneren At dividere et tl med en brøk, gøres ved t gnge tllet med den omvendte brøk b c d = d bc = d bc bd bd bd c = c b d b d : c = d b d b c b 3 5 1 2 = 6 11 5 = 1 10 10 10 9 4 = 9 4 = 36 5 7 5 7 35 6 : 4 5 = 11 6 5 = 55 4 24 = b 3 2 = 3 2 = 6 c c 5 5 5 : c = b b c 2 : 7 = 2 3 : b = c 9 : 4 = 9 7 c b 7 3 7 = 2 21 = 63 4 4
Reduktion Nu hr vi set på en msse regler der gælder når vi ser på regneudtryk, ld os nu prøve t se på bogstvudtryk og hvordn vi reducerer så udtrykket bliver simplere. Det første vi ser på er, t led f smme type kn trækkes smmen. Et led f smme type er et led der indeholder smme bogstver. Ld os skitsere med et pr eksempler. 3 5b +2b = 2 3b Her er 1. led(3) og 3. led() f smme type, bogstverne de rindgår er ens, så 3 = 2, det smme med 5b+2b = 3b. 2(b 6)+b = 2b 12+b = 3b 12 I nden udregning hr vi igen to led f smme type 2b og b, som giver os 2b + b = 3b. Et sidste eksempel f de mere komplicerede. (b+)+b(c )+2 2 = b+ 2 +bc b+2 2 = 3 2 +bc Her får vi to led f typen 2 og når de trækkes smmen får vi 2 +2 2 = 3 2. Når vi hr udtryk med brøker der skl reduceres, skl vi finde fælles nævner og sætte på fælles brøkstreg. Ld og se på to eksempler. 2 3b + 5 9b = 6 9b + 5 9b = 11 9b 3x y 6y +4x + = 9x 3y + 12y+8x 9x 3y +12y +8x = = 17x+9y 2 3 6 6 6 6 Vi skl dog psse på når der er flere led i tælleren, d en brøk virker som en prentes i tælleren. Så derfor HUSK prentes når der sættes på fællesbrøkstreg, d det er hele tælleren der skl lægges til eller trækkes fr. 2x 5y x 3y 4x+y = 8x 20y 3x 9y 8x+2y 3 4 6 12 12 12 = (8x 20y) (3x 9y) (8x+2y) 12 8x 20y 3x+9y 8x 2y = 12 = 3x 13y 12 NB: Husk forskellen på følgende x+x+x+x+x = 5x x x x x x = x 5 5x x = 5 x 5 x = x4
Kvdrtsætningerne Når vi skl reducere bogstvudtryk får vi tit brug for kvdrtsætningerne, disse tre sætninger vil blive forklret herunder. 1. kvdrtsætning: (+b) 2 = 2 +b 2 +2b Vi kn med simpel prentes multipliktion vise t denne sætning psser: (+b) 2 = (+b)(+b) = + b+b +b b = 2 +b+b+b 2 = 2 +b 2 +2b Det første led i prentesen (+b) 2 er, mens det ndet led er b, derfor benævner vi de tre led til højre for lighedstegnet i vores sætning 2 b 2 2b kvdrtet på første led kvdrtet på ndet led det dobbelte produkt, d b er produktet f og b På helt smme måde kommer vi frem til 2. kvdrtsætning 2. kvdrtsætning: ( b) 2 = 2 +b 2 2b I den 3. og sidste kvdrtsætning skl vi finde produktet f en prentes med en sum, og en prentes der er en differens f de to smme tl. 3. kvdrtsætning: (+b)( b) = 2 b 2 Denne kn vi vise ved følgende prentes multipliktion (+b)( b) == b+b b b = 2 b+b b 2 = 2 b 2 Vi kn nu derfor opskrive de tre sætninger i både ord og symboler: Sætning i tekst Kvdrtet på en toleddet størrelse er kvdrtet på første led plus kvdrtet på ndet led plus det dobbelteprodukt Kvdrtet på en toleddet størrelse er kvdrtet på første led plus kvdrtet på ndet led minus det dobbelteprodukt To tls sum gnge to tls differens er kvdrtet på første led minus kvdrtet på ndet led Sætning med symboler (+b) 2 = 2 +b 2 +2b (+b) 2 = 2 +b 2 2b (+b)( b) = 2 b 2
Eksempler på brugen f kvdrtsætningerne (2x+3) 2 = (2x) 2 +3 2 +2 2x 3 = 4x 2 +9+12x (4 y) 2 = 4 2 +y 2 2 4 y = 16+y 2 8y (x+2)(x 2) = x 2 2 2 = x 2 4 Vi kn også rgumentere for t 1. kvdrtsætning psser, ved t se på en illustrtion. I nedenstående tegning hr vi tegnet et kvdrt med sidelængden +b b 2 b b b 2 b