Cowtrap - indfangning af ladede partikler i en elektrodynamisk fælde

Cowtrap - indfangning af ladede partikler i en elektrodynamisk fælde Sebastian Lavallée Anders Ossowicki 30. marts 2008

Resumé Denne rapport beskriver et forsøg på at anvende en Paul-fælde til indfangning og analyse af ladede partikler i et tidsvarierende elektrisk felt og herigennem foretage målinger med henblik på at bestemme ladnings/masseforholdet for de aktuelle partikler. Derudover har vi foretaget nærmere undersøgelser af de mikrobevægelser der opstår som følge af brugen af vekselspænding i forsøget.

Indhold 1 Formål 3 2 Teori 3 2.1 Bevægelsesligninger........................ 3 2.2 Tyngdefeltskompensation.................... 6 2.3 Dæmpning............................. 7 2.4 Mikrobevægelse.......................... 7 3 Forsøg 10 3.1 Forsøgsopstilling......................... 10 3.2 Fremgangsmåde.......................... 11 3.2.1 Mikrobevægelse...................... 11 3.2.2 Ladnings-masse forhold................. 11 4 Resultater 11 4.1 Mikrobevægelse.......................... 11 4.2 Ladnings-masse forhold..................... 13 5 Konklusion 14 A Simuleringer 16 B Måledata 17 B.1 Målinger af mikrobevægelse over faseforskydning på 20ms (en periode).............................. 17 B.2 Målinger af DC-spænding ved minimal mikrobevægelse.... 20 C Fitlogs 22 C.1 Figur 8............................... 22 C.2 Figur 9............................... 23 C.3 Figur 5............................... 23 C.4 Figur 6............................... 24 D Misc. 25 Figurer 1 Den teoretiske udformning af Paulfælden............ 4 2 Simulering uden tyngdefeltskompensation (a = 1) og gnidning (b = 0). q z = 0.8. Bemærk at z-aksen er inverteret....... 5 3 Simulering med tyngdefeltskompensation (a = 0) uden gnidning (b = 0). q z = 0.8....................... 6 1

4 Simulering med tyngdefeltskompensation (a = 0), med gnidning (b = 1.8). q z = 0.8...................... 8 5 Simulering med gnidning (b = 0.5). q z = 0.8.......... 8 6 Simulering med gnidning (b = 2.5). q z = 0.8.......... 9 7 Closeup af de tre elektroder................... 10 8 Partikel fanget ved 150V ac, 70V dc over en periode og med overkompensering for tyngdefeltet.................. 12 9 Partikel fanget ved 200V ac, 20V dc over en periode og med underkompensering for tyngdefeltet................ 12 Q 10 M -histogram........................... 14 11 Tre partikler der danner en Coulumb-krystal.......... 15 2

1 Formål Formålet med projektet har været at bygge videre på en eksisterende opstilling af en Paul-fælde, og forsøge at forbedre denne, så vi kan foretage præcise målinger af et partikels bevægelse heri, og deraf udlede værdier for partiklens ladnings/masse-forhold med en god sikkerhed. I den indledende fase arbejdede vi med idéen om at bruge en indfanget ko til observationer, men dels viste det sig umuligt at overtale KVL til at passe den, dels ville det kræve en større fælde, så i stedet valgte vi kanel som vores primære mål. Derudover har ønsket være at sammenligne de teoretiske overvejelser om partiklernes såkaldte mikrobevægelser med det vi faktisk kan observere. 2 Teori For at beskrive et indfanget partikels bevægelse, er det nødvendigt at se nærmere på vores Paulfældes opbygning og det elektriske felt, der bliver skabt. Herfra kan vi udlede de nødvendige bevægelsesligninger, og efterfølgende manipulere disse, så vi også kan gøre rede for tyngdekraften, og den dæmpning vi forventer vores partikler bliver udsat for i fælden. Den grundlæggende idé bag vores opstilling af Paul-fælden, er at anvende tre elektroder - en ringelektrode samt to kugleelektroder - til at skabe et elektrodynamisk felt, hvor ringelektroden er det centrale element. Geometrien bag fælden er central for udledningen af bevægelsesligningerne og vi forudsætter at følgende krav er opfyldt af fælden: For kugleelektroderne skal z 2 = z 2 0 + r2 2 For ringelektroden skal z 2 = r2 r 2 0 2 Følgende sammenhæng skal være tilstede: r 2 0 = 2z2 0 Det sidste krav er ikke en nødvendighed, men det vil lette matematikken bag fælden betragteligt. 2.1 Bevægelsesligninger Vi indfører V dc som betegnelse for jævnspændingen mellem ring- og kugleelektroderne, V ac som betegnelse for vekselspændingen mellem ring- og kugleelektrode, samt Ω som betegning for frekvensen af vekselspændingen fra vægstikket. Da ved vi fra [1] at det elektriske potentiale er givet ved. V (r, z) = [V dc V ac cos(ωt)] 1 4z 0 2 [2z2 + (r 0 2 r 2 )] (1) 3

Figur 1: Den teoretiske udformning af Paulfælden z- og r-komponenten af potentialet vil så være de partielt aedte af (1): E z = V z = V dc V ac cos(ωt) z (2) z 2 0 E r = V r = V dc V ac cos(ωt) r 0 2 r (3) Her har vi i (3) anvendt vores tredje krav til opstillingen så vi kan eliminere z 0 fra udtrykket. Da vi fra elektrodynamikken ved at kraften F på et partikel er givet som F = Q E kan vi opskrive vores to bevægelsesligninger, idet vi sætter V dc = 0 (udeladt fra opstillingen) og benævner massen M. d 2 z dt 2 Q M [ V ac cos(ωt)] z = 0 (4) z 2 0 d 2 r dt 2 + Q M [ V ac cos(ωt)] r = 0 (5) 2r 2 0 I z-aksen virker desuden tyngdekraften så for at inkludere denne kan vi tilføje et konstant led, g til (4) som vi antager har værdien 9, 82 m. Herudover s 2 vil vi også sætte vores udtryk på en dimensionsløs form. For at gøre dette introducerer vi variablen x, der er givet ved x = Ωt 2. Ved at gøre dette ændrer vi dog også den grundlæggende tidsenhed som vi benytter, til 2 Ω = 2 50 2πs 1 6ms. Vores udtryk vil da tage følgende form. ( Ω 2 d 2 z dt 2 + Q M Vac cos(ωt) z g = 0 z 2 0 ) 2 d 2 z dx 2 + Q M Vac cos Ωt z g = 0 z 2 0 d 2 z dx 2 + 4QV ac 4g MΩ 2 cos(2x)z z 2 0 Ω 2 = 0 (6) 4

Næste skridt er at få bragt tyngdefeltets bidrag på dimensionsløs form. For at gøre dette vælger vi at introducere variablen z = 4g samt denere u = Ω 2 z z. Bemærk at vi herved ændrer længdeskalaen til 4 9.82m/s 2 (2π) 2 25 10 400µm. 2 s 2 d 2 z z dx 2 + 4QV ac MΩ 2 z 2 0 d 2 u dx 2 + 4QV ac MΩ 2 z 0 2 } {{ } 2q z cos(2x)z z 4g Ω 2 z = 0 cos(2x)u 1 = 0 (7) 14 12 Simulering uden gnidning og tyngdefeltskompensation 'pt1.sim' 10 8 0.4 mm 6 4 2 0-2 -4 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Figur 2: Simulering uden tyngdefeltskompensation (a = 1) og gnidning (b = 0). q z = 0.8. Bemærk at z-aksen er inverteret Figur 2 viser en simulering uden kompensation for tyngdekraft og uden gnidning. Vi ser at bevægelsen består af to dele, en hurtigt svingende bevægelse, samt en med langsommere periode. Fra skalaen kan vi også se den manglende tyngdekompensering (omend med modsat fortegn), da bevægelsen ikke går omkring 0. 5

2.2 Tyngdefeltskompensation For at kompensere for tyngdekraften vil vi tilføre en jævnspænding mellem de to kugleelektroder, Ṽdc. Det vil medføre følgende. F = Q E dc Q Ṽdc 2z 0 a E Q Ṽ dc M 2z 0 4a E Ω 2 z = 4 Q Ṽ dc Ω 2 Ω 2 M 2z 0 4g = Q Ṽ dc M 2z 0 g (8) Dette led kan redegøre for vores kompensation og den resulterende bevægelseslidning vil tage denne form. d 2 u dx 2 + 2q z cos(2x)u 1 + Q Ṽ dc z 0 Ω 2 4V ac M 2z 2 0 g Ω 2 = 0 4V ac d 2 u dx 2 + 2q z cos(2x)u 1 + 2q z Ṽ dc V ac Ω 2 z 0 8g = 0 d 2 u dx 2 + 2q z cos(2x)u 1 + 2q z Ṽ dc V ac z 0 2 z = 0 (9) Indtil videre har vi redegjort for bevægelsen langs z-aksen, da der er denne der vil være relevant i vores målinger. Men den anvendte logik kan naturligvis også bruges på bevægelsen langs r-aksen, for at udlede et tilsvarende resultat. 8 6 Simulering uden gnidning med tyngdefeltskompensation 'pt4.sim' 4 2 0.4 mm 0-2 -4-6 -8 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Figur 3: Simulering med tyngdefeltskompensation (a = 0) uden gnidning (b = 0). q z = 0.8 6

Af gur 3, der viser bevægelsen med tyngdefeltskompensation, ser vi en svingning omkring 0 som forventet. Gennemsnittet af alle punkter er 0.0017. 2.3 Dæmpning En sidste betragtning er nødvendig, før vores beskrivelse af partiklens bevægelse er komplet. Vi er nød til at tage højde for den friktion, vi formoder opstår når et partikel gnider imod luftmassen i fælden. Da vi antager at partiklerne i fælden bevæger sig med relativt små hastigheder, vil denne friktion være linæert afhængig af hastigheden. Ergo må vi tilføje leddet b d z dx til (9). For at bestemme et acceptabelt, dimensionsløst udtryk for koeecienten b antager vi en laminær luftstrøm samt kugleformede partikler. Herved kan vi anvende Stokes ligning 1 samt det faktum at massen af et kuglelegeme må være ρ 4πR3 3 til at nde en størrelse for b. F stokes M = 3 9η ρr 3 ( 6πηRv) = 4π 2ρR 2 v b du dx = 9ηΩ 4gρR 2 (10) Hvor vi i (10) har foretaget substitution af dt til dx samt dz til du 2. Vi kan anvende dette led i vores simuleringer, men vi vil ikke være i stand til at bestemme en autoritativ værdi for koecienten inden for projektets omfang. Den endelige bevægelsesligning med dæmpning vil tage denne form. d 2 u dx 2 bdu dx + 2q z cos(2x)u 1 + q z Ṽ dc V ac z 0 z = 0 (11) Til bestemmelse af Q M anvender vi dog (9) som beskrevet. I gur 4, hvor der både er kompenseret for tyngdekraften, samt indregnet en gnidningskoecient, ser vi som ønsket en svingning omkring x-aksen. Ved en lavere dæmpning ville svingningen også nå under y-aksens nulpunkt. Det er værd at gøre en note om at forskelle i dæmpningskoecienten også har indydelse på mikrobevægelsens fase. Det vil potentielt være muligt at foretage en vurdering af b, baseret på målinger af fasen samt simuleringer. Af gur 5 kan fasen aæses (tjek t-loggen) og det ses at den er forskellig fra fasen i gur 6. 2.4 Mikrobevægelse Mikrobevægelsen er den bevægelse en partikel fanget i vores paulfælde vil foretage spontant - uden at vi justerer forsøgets parametre. I en fælde h- vor partiklen kun påvirkes af et perfekt elektrisk felt, vil en skitse over den 1 Fstokes = 6πηR v 2 du = d z z 7

0.9 0.8 Simulering med gnidning og tyngdefeltskompensation 'pt3.sim' 0.7 0.6 0.4 mm 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Figur 4: Simulering med tyngdefeltskompensation (a = 0), med gnidning (b = 1.8). q z = 0.8 7 6 Simulering med gnidning, samt fittet sinus-kurve. 'pt5.sim' f(x) 5 0.4 mm 4 3 2 1 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Figur 5: Simulering med gnidning (b = 0.5). q z = 0.8 potentielle energi som funktion af afstanden, give en parabel, der vil skifte fortegn i løbet af en halv periode. Partiklen vil i dette tilfælde holde sig i samme punkt. Tilføjer vi nu tyngdekraftens potentielle energi, der jo afhænger lineært af højden, vil toppunktet forskydes fra afstanden 0. Når det elektriske felt veksler, vil partiklen derfor undergå en bevægelse fra toppunkt til toppunkt, og der opstår mikrobevægelse. For at minimere denne bevægelse kan vi tilføre et elektrisk felt, til at kompensere for tyngdefeltet. Når dette perfekt udligner tyngdekraften, vil 8

12 Simulering med gnidning, samt fittet sinus-kurve. 'pt6.sim' f(x) 10 8 0.4 mm 6 4 2 0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 Figur 6: Simulering med gnidning (b = 2.5). q z = 0.8 det svare til situationen hvor der ingen forskydning i parablerne er og derfor ingen mikrobevægelse. Dette kan vi vende om og benytte til at nde den rette kompensation hvor der ingen mikrobevægelse er. I (9) vil det svare til at det tredje led er lig 1. Med denne viden, kan vi så måle spændingen af det kompenserende felt, derigennem nde q z og slutteligt fra vores denition af q z nde en værdi for Q M. For at kunne måle dette med en tilfredsstillende præcision kan man benytte et stroboskoblys, der veksler med samme frekvens som det elektriske felt i fælden. Vi kan herved sørge for, at der kun er lys på partiklen i et specikt punkt af dens bevægelse, og dette tillader os blot at regulere fasen af belysningen når vi skal vurdere om den lodrette bevægelse er elimineret. Rent matematisk, vil vi, når en Ṽdc-værdi er kendt, for hvilken der er kompenseret perfekt for tyngdefeltet, og mikrobevægelsen således er elimineret kunne nde Q M fra følgende resultat, der opstår fra vores bevægelsesligninger. Q M = 2g z 0 Ṽ dc (12) Det er meget interessant at den ac-spænding hvorved vi holder partiklerne fanget, ikke indgår i dette udtryk. Undervejs i projektet observerede vi gentagne gange at en øgning i transformator-spændingen krævede justering af tyngdefeltskompensationen, da de indfangne partikler blev påvirket kraftigere. Situationen var især tydelig med et mindre sæt elektroder, og med ere partikler indfanget (i såkaldte Coulomb-krystaller). Det kunne tyde på at vores forudsætninger og indledende model ikke er helt optimal. 9

3 Forsøg Forsøget vil konkret bestå af to dele. Først undersøger vi om vores forudsætninger for mikrobevægelsen stemmer overens med praksis og dernæst foretager vi konkrete målinger m.h.p. bestemmelse af ladnings-masse-forholdet for en række partikler. Til begge dele kan vi anvende vores opstilling. 3.1 Forsøgsopstilling Til at udføre forsøget, vil vi anvende en paulfælde som beskrevet. Fælden består af to kugleelektroder samt en ringelektrode. Vi har valgt at splitte ringelektroden, så det er muligt for vores kamera at se igennem den. Herved bør det blive lettere at vurdere præcist hvornår vi har elimineret mikrobevægelsen, da vi ikke kigger skråt ned på partiklen, men kan observere ortogonalt på z-aksen. Vi har vurderet at splitelektroden af symmetriårsager, ikke bør forstyrre det fremkomne elektriske felt nævneværdigt. Figur 7: Closeup af de tre elektroder Bortset fra de tre elektroder bruger vi en række eksterne værktøjer til at lette observationen. Et kamera er monteret plant med ringelektroden, og forbundet til en computer, en lysdiode er v.h.a. en transistor, forbundet med et print der synkroniserer impulserne med frekvensen på lysnettet, således at vi kan belyse enkeltdele af mikrobevægelsen. Diodens lys bliver fokuseret gennem en linse, så lysspredningen forstyrrer kameraet så lidt som muligt. Til setuppet er monteret en variable jævnspændingstransformator, samt en variabel vekselspændings-forsyning. Den første tjener som den primære strømkilde, mens den anden genererer vores tyngdefeltskompensation. Fælden er omgivet af et glasbur, for at sikre mod vindstød og andre uregelmæssigheder, da de lette kanelpartikler er meget letpåvirkelige. Opstillingen har vist sig at være ganske stabil og vi har holdt enkelte partikler fangede i fælden i adskillige timer, uden nogle afvigelser i partiklernes bevægelser. 10

3.2 Fremgangsmåde Til forsøget anvender vi kanelpartikler, opladt i en plastiksprøjte og efterfølgende sprøjtet ind i fælden. Denne metode betyder at det stort set altid er mere end en partikel fanget af gangen. For at komme af med overødige partikler kan fælden 'rystes', ved at justere tyngdefeltskompensationen så højt op, at partiklerne ryger ud af fælden igen. Processen er besværlig da der hurtigt skal nedjusteres igen, for at forhindre den sidste partikel i at ryge med ud (når partikler forsvinder, skal der mindre til at bringe resten ud af banen, så der vil starte en kædereaktion). Et andet problem ved denne fremgangsmåde, samt vores observationsmetoder, er at det undertiden kan lykkes at skulle partikler i opstillingen - enten fordi de er uden for stroboskoblysets fokusområde eller fordi to eller ere partikler ligger i kameraets observationsplan. Begge hændelser vil typisk føre til at partiklernes bevægelser er mere ustabile samt at der vil være positioner, hvori partiklernes oscillationsfrekvens ændres (p.g.a. partiklernes frastødning fra hinanden). Dette gør det muligt at fange situationer, hvor det ikke er lykkedes at ryste alle undtagen en partikel ud af fælden, men metoden er ikke fejlfri. 3.2.1 Mikrobevægelse Til analyse af mikrobevægelsen, kan vi holde en enkelt partikel fanget ved en kendt AC- og DC-spænding, justere fasen (denne kan observeres v.h.a. et oscilloskop) og over en hel periode måle partiklens position i fælden (relativt til et kunstigt nulpunkt). Vi må forvente at oscillationen vil være en sinuskurve. Samtidig må vi også forvente, at hvis vi går fra en overkompensering til en underkompensering af tyngdefeltet, vil fasen forskydes med en halv periode. 3.2.2 Ladnings-masse forhold For at foretage en kvalitativ vurdering af Q M, kan vi isolere en enkel partikel, v.h.a. stroboskob-lyset vurdere ved hvilken tyngdefeltskompensation mikrobevægelsen er elimineret, og derfra regne tilbage til Q M. Det kræver desuden kendskab til fældens geometri (z 0 ), vekselspændingen (V ac ) samt oscillationsfrekvensen (50Hz). Ved at indsamle en tilpas mængde statistisk måledata, må vi forvente at se en tendens mod et gennemsnitsligt ladnings-masse forhold. 4 Resultater 4.1 Mikrobevægelse Den første måling af mikrobevægelsen blev foretaget med en kanelpartikel holdt fanget ved 150V ac og med en tyngdefeltskompensation på 70V dc. Resul- 11

tatet kan ses i gur 8, hvor vores måledata er ttet op mod en sinusfunktion (tlog fra gnuplot kan ses i appendix). 34 32 Mikrobevaegelse for kanelpartikel over en periode f(x) maalepunkter 30 hoejde (1/18 mm) 28 26 24 22 20 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 faseforskydning (ms) Figur 8: Partikel fanget ved 150V ac, 70V dc over en periode og med overkompensering for tyngdefeltet 45 44 Mikrobevaegelse for en kanelpartikel over en periode f(x) 'data4' 43 Hoejde (1/18 mm) 42 41 40 39 38 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Faseforskydning (ms) Figur 9: Partikel fanget ved 200V ac, 20V dc over en periode og med underkompensering for tyngdefeltet Tilsvarende har vi foretaget en måling hvor der er underkompenseret for 12

tyngdefeltet, og bevægelsen derfor må forventes at være forskudt en halv periode. Figur 9 viser igen en ganske fornuftig graf, hvor en sinusfunktion er ttet pænt til. Dog er det her værd at bemærke at det ud fra måledata ser ud til at vi har observeret mere end en periode, da vi ikke er startet helt i toppunktet yderst til venstre på grafen 4.2 Ladnings-masse forhold Vi foretog i alt 69 3 målinger af forskellige partikler. Undervejs konstaterede vi at tunge partikler havde en tendens til at placere sig nederst i de fremkomne Coulomb-krystaller. Da vi benyttede os af en overkompensering af tyngdekraften, for at smide overskydende partikler væk, giver dette en mulig skævvridning af måleresultaterne, da lettere partikler havde tendens til at forsvinde først. At løse dette problem ville enten kræve en større fælde (og derved større partikler) så overskydende partikler ville kunne "plukkes"ud af fælden, eller en nere injektionsmetode, så der ikke bliver sendt en sky af partikler ind hver gang. Som det ses af måledata, har vi fundet perfekte tyngdekompenseringer ved vidt forskellige spændinger. Dette skyldes højst sandsynligt en tilsvarende variation i de enkelte partiklers masse. Fra vores teori kan vi udlede følgende sammenhæng Q M = 2gz 0 Ṽ dc (13) Fordelingen af de 69 målte partikler kan ses af gur 10 4. De målte punkter fordeler sig pænt på histogrammet i noget der ligner en reel fordeling. Hovedvægten af målingerne ligger i den lave ende af det samlede spektre, hvilket kan understøtte vores formodning om primært at have fanget tungere partikler (lavere Q M ). Vi forventer at hverken g eller z 0 er varieret i løbet af måleperioden, så enhver usikkerhed på disse må være af systematisk natur. Vi vurderede i løbet af måleperioden, at vi kunne variere Ṽdc i størrelsesordenen ±2V uden at kunne registrere nogen forskel i det målte resultat. Af det kan vi antage en usikkerhed på vores målinger (som beskrevet i [4]) på δ Q M = Q M δṽdc = 2gz 0 Ṽdc Ṽdc 2 δṽdc (14) Med disse usikkerheder får vi et gennemsnitsligt resultat på 0.353 10 3 C/kg± 0.007 10 3 med en spredning på 0.137 10 3 ± 0.007 10 3. Den relativt 3 vi kunne ikke tælle til 70 4 Større version af grafen kan ndes som 'qmhist.pdf' på http://gitweb. frokostgruppen.dk/?p=pt.git/.git;a=tree 13

16 14 Histogram af ladnings/masse-forhold for 69 kanelpartikler frekvens 12 10 Frekvens 8 6 4 2 0 0.000050.00010.000150.00020.000250.00030.000350.00040.000450.00050.000550.00060.000650.00070.000750.00080 Ladnings/masse-forhold [C/kg] (interval: 0.00005) Figur 10: Q M -histogram store statistiske spredning skal formentlig forklares i valget af kanel (hvor enkelte partikler er højst irregulære) og det dertil hørende lave antal målepunkter. Det er vores formodning at man ved valg af et "simplere"materiale vil komme frem til et mere præcist resultat. 5 Konklusion Overordnet set er det lykkedes at give et bud på ladnings/masse-forholdet af den konkrete kaneltype vi har arbejdet med (et mere generelt billede ville kræve indsamling af kanel fra forskellige producenter, geograske lokationer mv. for at tage højde for forskelle i fremstillingsmetoder og andet). Vores endelige resultat bar dog præg af den forholdsvis lille mængde data vi har indsamlet. Det kunne være interessant at se om vi ville opnå et mere præcist bud med ere data, eller om det fremkomne billede blot vil blive yderligere konsolideret. Ydermere har vi også gennem teoretiske overvejelser samt lettere eksperimenteren med mikrobevægelserne belyst andre muligheder for anvendelse af Paul-fælden, herunder til nærmere studie af relationen mellem partiklernes friktion med luften og fasen af deres mikrobevægelse. Vi har også pointeret en potentiel svaghed i vores model (fraværet af indydelse fra V ac i vores endelige resultat) som kunne give stof til nærmere undersøgelser. Endeligt har vi også let berørt eksistensen af de såkaldte Coulomb-krystaller. Med basis i Paul-fælden kunne man studere disse krystaller nærmere og undersøge de gængse teorier for dem. Figur 11 viser en sådan krystal, hvor tre partikler er 14

fanget. Figur 11: Tre partikler der danner en Coulumb-krystal Næste gang vil det dog nok gavne at sætte næsen op efter noget mindre end svævende køer, til at starte med. 15

A Simuleringer Undervejs har vi anvendt numeriske simuleringer af vores bevægelsesligninger, v.h.a. Runge-Kutta-metoden. Hertil har vi brugt en implementation i sproget perl for at holde programmeringsdelen så simpel som muligt. Programmet som er anvendt er inkluderet her for komplethedens skyld. Det kan også ndes på samme webside som rapporten. #!/usr/bin/perl -w # Formulae: \frac{d^2 u}{dx^2} + 2q_z cos(2x)u - 1 + a = 0 # # a = gravity compensation # a is the result of 1 - the gravity compensation. When a is small, we # have a good compensation, whereas a = 1 signifies lack of # compensation # # q_z = free parameter # # x = time parameter # # b = damping (due to friction) # # without damping: # du/dx = v = DE2 # dv/dx = a - 2q_z cos(2x)u = DE1 # # with damping: # du/dx = v # dv/dx = bv + a - 2q_z cos(2x)u our $i = shift; $i = ""; our $qz = shift; # free (stable in [0;1]\.5) our $a = shift; # gravity (1 = no compensation, 0 = fully compensated) our $b = shift; # friction use Math::ODE; my $o = new Math::ODE ( file => "pt".$i.".sim", step => 0.05, initial => [0,1], # du/dx dv/dx 16

ODE => [ \&DE2, \&DE1 ], t0 => 0, tf => 100); $o->evolve; sub DE1 { my ($x, $y) = @_; return -$b*$y->[1] + $a - 2*$qz*cos(2*$x)*$y->[0]; } sub DE2 { return $_[1]->[1]; } B Måledata B.1 Målinger af mikrobevægelse over faseforskydning på 20ms (en periode) scale 2: 18mm (målt) => 1mm (reel) mb1: ---- AC: 150V DC: 70V Fase (ms) Pos (mm) (scale 2) 0 20.5 1 21.0 2 22.0 3 24.5 4 25.0 5 27.5 6 29.0 7 31.0 8 32.0 9 32.5 10 32.5 11 32.0 12 31.5 13 30.5 14 29.0 15 28.0 17

16 26.5 17 25.5 18 23.0 19 21.5 Ikke anvendt i rapport: ----------------------- AC: 150V DC: 55V Fase (ms) Pos (mm) (scale 2) 0 29.0 1 29.5 2 30.0 3 31.0 4 32.0 5 33.0 6 34.0 7 34.5 8 35.0 9 35.5 10 35.5 11 35.0 12 34.5 13 34.0 14 33.5 15 33.0 16 32.0 17 31.0 18 30.5 19 29.5 AC: 150V DC: 90V Fase (ms) Pos (mm) (scale 2) 0 05.0 4 19.0 9 27.5 AC: 200V DC: 90V Fase (ms) Pos (mm) (scale 2) 0 20.0 4 29.0 9 34.5 18

14 29.0 19 20.0 AC: 200V DC: 70V Fase (ms) Pos (mm) (scale 2) 0 28.0 4 33.0 9 36.0 14 32.5 19 28.0 AC: 200V DC: 55V Fase (ms) Pos (mm) (scale 2) 0 33.5 4 35.5 9 37.0 14 35.5 19 33.0 mb2: ---- AC: 200V DC: 20V Fase (ms) Pos (mm) (scale 2) 0 44.0 1 43.5 2 43.5 3 43.0 4 41.5 5 40.5 6 40.0 7 39.5 8 39.0 9 39.0 10 39.0 11 39.5 12 39.5 13 40.0 14 40.5 15 41.5 16 42.0 17 42.5 19

18 43.5 19 44.0 Nulpunkt (200V AC) 44V DC Pos: 35.5mm Relation mellem tyngdekompensering og position: ----------------------------------------------- Fase (ms): 3 (=4ms) AC: 200V DC (V) Pos (mm) (scale 2) 30 39.5 35 38.5 40 37.5 45 36.5 50 35.5 55 34.5 60 33.5 65 32.5 70 31.5 75 30.0 80 29.5 85 28.0 90 27.0 95 25.5 100 24.5 105 23.5 >105V => vibrationer, upræcist B.2 Målinger af DC-spænding ved minimal mikrobevægelse 080319NBI AC: 200V z0: 2 mm ~z: (4g)/(omega^2) omega: 50 Hz g: 9.82 m/s^2 # DC (V) ---------- 1 205 2 155 3 135 20

4 111 5 134 6 109 7 122 8 168 9 144 10 200 11 115 12 83 13 133 14 70 15 120 16 121 17 208 18 109 19 106 20 161 21 141 22 60 23 164 24 123 25 153 26 64 27 103 28 104 29 177 30 48 31 118 32 108 33 96 34 124 35 89 36 80 37 67 38 114 39 117 40 118 41 95 42 158 43 186 44 156 45 97 46 116 47 195 21

48 55 49 171 50 125 51 105 52 152 53 144 54 160 55 149 56 141 57 200 58 146 59 181 60 92 61 129 62 98 63 147 64 140 65 111 66 53 67 74 68 67 69 98 C Fitlogs C.1 Figur 8 After 6 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : 3.21645 rel. change during last iteration : -3.12331e-07 degrees of freedom (FIT_NDF) : 16 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(wssr/ndf) : 0.448361 variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : 0.201028 Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== A = 6.52823 +/- 0.3713 (5.688%) omega = 0.260572 +/- 0.01403 (5.383%) phi = 5.2037 +/- 0.1463 (2.811%) theta = 25.9867 +/- 0.4456 (1.715%) 22

correlation matrix of the fit parameters: A omega phi theta A 1.000 omega -0.899 1.000 phi 0.895-0.990 1.000 theta -0.905 0.972-0.964 1.000 C.2 Figur 9 After 5 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : 1.20566 rel. change during last iteration : -3.37227e-06 degrees of freedom (FIT_NDF) : 16 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(wssr/ndf) : 0.274507 variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : 0.0753538 Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== A = 2.7639 +/- 0.2002 (7.243%) omega = 0.273653 +/- 0.0198 (7.237%) phi = 8.34273 +/- 0.1951 (2.338%) theta = 41.6737 +/- 0.2462 (0.5907%) correlation matrix of the fit parameters: A omega phi theta A 1.000 omega -0.879 1.000 phi 0.870-0.988 1.000 theta 0.876-0.967 0.956 1.000 C.3 Figur 5 After 1 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : 0.818782 rel. change during last iteration : 0 degrees of freedom (FIT_NDF) : 397 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(wssr/ndf) : 0.0454139 variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : 0.00206242 23

Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== A = 1.28791 +/- 0.003236 (0.2512%) theta = 0.246631 +/- 0.00248 (1.006%) phi = 3.29266 +/- 0.002275 (0.0691%) correlation matrix of the fit parameters: A theta phi A 1.000 theta 0.011 1.000 phi 0.021-0.060 1.000 C.4 Figur 6 After 3 iterations the fit converged. final sum of squares of residuals : 1.58657 rel. change during last iteration : -2.73553e-06 degrees of freedom (FIT_NDF) : 397 rms of residuals (FIT_STDFIT) = sqrt(wssr/ndf) : 0.0632171 variance of residuals (reduced chisquare) = WSSR/ndf : 0.0039964 Final set of parameters Asymptotic Standard Error ======================= ========================== A = 1.99708 +/- 0.004506 (0.2256%) theta = 0.899942 +/- 0.002226 (0.2473%) phi = 7.9912 +/- 0.003167 (0.03964%) correlation matrix of the fit parameters: A theta phi A 1.000 theta -0.009 1.000 phi -0.019-0.061 1.000 24

D Misc. Rapporten, samt TEX-kildeler, billedmateriale og data kan klones fra gitrepositoriet på http://frokostgruppen.dk/var/git/pt.git og ses på http: //gitweb.frokostgruppen.dk. Her ligger også ubrugte måleresultater, grafer, billeder samt andet. Litteratur [1] H. Winter H. W. Ortjohann: Simple demonstration of storing macroscopic particles in a "paul trap", American Journal Of Physics, Vol. 59, 1991 [2] C. Foot M. Nasse: Inuence of background pressure on the stability region of a Paul trap, Eur. J. Phys. 22, 2001 [3] K. M. Bendtsen, J. J. Jensen, J. Lorenzen S. L. Christensen: Fysik 3 Projekt: Paul Fælde, 2007 [4] J. R. Taylor: An introduction to Error Analysis, 2. ed, University science books, 1997 25