Kapitel 4: Nyttefunktioner Hvad er nytte? - det gamle syn: 1. Nytte betragtet som en indikator for et individs overordnede velfærd. 2. Nytten er kardinal: Størrelsen på nyttedifferencer har betydning. 3. Hvert individ ønsker at maksimere egen nytte 4. Utilitarisme: Maximere summen af nytter. 5. Læs mere...: 6. http://cepa.newschool.edu/het/profiles/bentham.htm 7. http://www.utilitarianism.org/
Jeremy Bentham, 1748-1832. Problemer: 1. Hvordan måler vi nytten? 2. Kan vi sammenligne nytten mellem individider? 3. Hvordan fortolker vi kardinal nytte? 4. Kan vi nøjes med et mindre ambitiøst nyttebegreb?
Hvad er nytte? - det nye syn: 1. Udgangspunktet er en præferencerelation º 2. Nytte er en funktion som repræsenterer præferencer. 3. Nyttefunktionen tildeler et tal til hvert alternativ så at det foretrukne varebundt får højest nytte og vice versa: 4. u repræsenterer º hvis: 5. u(x 1,x 2 ) >u(y 1,y 2 ) (x 1,x 2 ) Â (y 1,y 2 ). 6. Ordinal nytte: Kun rangordning af alternativer har betydning. 7. Operationelt nyttebegreb: Kender vi præferencerelation º kan vi konstruere nytten.
Finder der altid en nyttefunktion? 1. Nej! Modeksempel: 2. Tre alternativer x, y og z. (a) x  y (b) y  z (c) z  x 3. Hvis nytte u eksisterer da giver a) u(x) >u(y), b) giver u(y) >u(z), c) giver u(z) >u(x), dvs: 4. u(x) >u(y) >u(z) >u(x) - modstrid! 1. Hvornår findes en nyttefunktion? 2. Sætning: Hvis der er et endeligt antal alternativer, da er følgende ækvivalent: (a) º er komplet og transitiv. (b) º kan repræsenteres ved en nyttefunktion. 3. Bevis: Mikro 2. år. 4. POINTE: Så længe at vi antager komplethed og transitivitet, da kommer det ud på et om vi starter med præferencerelation º eller nyttefunktion u.
5. NB: Typisk har vi uendeligt mange alternativer (alle mulige tænkelige størrelser varebundter). 6. Her findes eksempler på komplette og transitive præferencer som ikke kan repræsenteres ved en nyttefunktion. 7. Eksempel: Leksikografiske præferencer: 8. To goder. (x 1,x 2 ) º L (y 1,y 2 ) hvis [x 1 >y 1 eller x 1 = y 1 og x 2 y 2 ]. 9. Komplet? -Ja! 10.Transitiv? -Ja! 11.MEN kan ikke repræsenteres ved en nyttefunktion. 12.PROBLEMET: Den leksikografiske præferencerelation º L ikke kontinuert i varerummet R 2. 13.I praksis kan vi roligt antage at præferencer er kontinuerte.
Er nyttefunktion entydig? 1. SPM: Hvis der findes en nyttefunktion u der repræsenter præferencerelation º,eru da entydigt bestemt ud fra º? 2. NEJ: Hvis u repræsenter º og f er en strengt voksende funktion, da repræsenter f(u) også º. 3. HVORFOR? 4. u repræsenterer º hvis: 5. u(x 1,x 2 ) >u(y 1,y 2 ) (x 1,x 2 ) Â (y 1,y 2 ). 6. Hvis f er strengt voksende har vi da også: 7. f(u(x 1,x 2 )) >f(u(y 1,y 2 )) (x 1,x 2 ) Â (y 1,y 2 ). 8. OMVENDT: Hvis u og v begge repræsenterer º så findes der en strengt voksende funktion f så u(x 1,x 2 )=f(v(x 1,x 2 )) for all (x 1,x 2 ). 9. POINTE: Hvis u repræsenterer º da er u entydigt bestemt op til en vilkårlig strengt voksende transformation.
1.
Konstruktion af nyttefunktion 1. Fra indifferenskurver: Se figur! 2. Eller direkte ud fra fortolkning af præferencer: (a) Perfekte substitutter 1:1. Det eneste der betyder noget er det samlede antal goder. Så u(x 1,x 1 )=x 1 + x 2 er en nyttefunktion. (b) Perfekte substitutter generelt. u(x 1,x 1 )= ax 1 + bx 2. (c) Perfekte komplementer 1:1. Det eneste der betyder noget er minimum af de to goder. u(x 1,x 1 )=min{x 1,x 2 }. (d) Perfekte komplementer generelt. u(x 1,x 1 )= min{ax 1,bx 2 }.
2.
3. Konstruktion af indifferenskurver fra nyttefunktion 1. Eksempel: u(x 1,x 2 )=x 1 x 2. 2. x 1 x 2 = k x 2 = k x 2. 3. Plot kurve for k =1, 2, 3,...etc.
To vigtige eksempler på nyttefunktioner 1. Kvasi-lineær nytte: u(x 1,x 2 )=v(x 1 )+x 2. (a) Nytte lineær i x 2. v(x 1 ) kan være x 1, log(x 1 ),... (b) Indifferenskurver vertikalt parallelle. 2. Cobb-Douglas nytte: u(x 1,x 2 )=x c 1x d 2. (a) Kan normalisere koefficienter til at summe til 1: (b) (u(x 1,x 2 )) 1 c+d =(x c 1 x d 2) 1 c c+d = x c+d c+d 1 x d 2 = bu(x 1,x 2 ). (c) a c c+d. bu(x 1,x 2 )=x a 1x 1 a 2. (d) Kan gøres additiv ved en logaritmisk tranformation : (e) log u(x 1,x 2 )=logx a 1x 1 a 2 = a log x 1 +(1 a)logx 2.
4. 5.
Marginalnytte 1. Hvis u(x 1 ) er funktion af én variabel, da er marginalnytte u(x 1 ) x 1 = u 0 (x 1 ) = lim x1 0 u(x 1 + x 1 ) u(x 1 ) x 1. 2. Hvis u(x 1,x 2 ) er funktion af to variable, da kan vi også udregne marginalnytte af x 1 for fastholdt x 2 - den partielle afledede. 3. Definition: x 1 = u 0 x 1 (x 1,x 2 ). = lim x1 0 u(x 1 + x 1,x 2 ) u(x 1,x 2 ) x 1 4. Eksempel 1: u(x 1,x 2 )=ax 1 + bx 2. x 1 = a. 5. Eksempel 2: u(x 1,x 2 )=x a 1x 1 a 2. x 1 = ax a 1 1 x 1 a 2.
Sammenhæng mellem MRS og partielle afledede 1. Husk: MRS i et punkt er hælding på indifferenskurve. 2. I punktet (x 1,x 2 ) lad (dx 1,dx 2 ) være ændring i x 1 hhv x 2 så u(x 1,x 2 )=u(x + dx 1,x 2 + dx 2 ). Altså: 3. du = u(x 1,x 2 ) dx 1 + u(x 1,x 2 ) dx 2 =0. x 1 x 2 Hvilket giver: 4. dx 2 dx 1 = x 1. x 2
Transformationer, partielle afledede, MRS. 1. Hvis u transformeres, da transformeres partiel afledet også! 2. Men MRS ændres ikke: x 3. u(x 1,x 2 ).MRS= 1. x 2 4. v(x 1,x 2 )=f(u(x 1,x 2 )). 5. MRS = v x 1 v x 2 = f u u x 1 f u u x 2 = u x 1 u x 2.
Eksempel: Cobb-Douglas 1. u(x 1,x 2 )=x c 1x d 2 x 2. MRS = 1 x 2 = cxc 1 1 x d 2 x c 1 dxd 1 2 = c d x c 1 1 x d 2 x c 1 xd 1 2 = c x 2 d x 1. 3. v(x 1,x 2 )=log(u(x 1,x 2 )) = c log x 1 + d log x 2 x 4. MRS = 1 x 1 d 1 x 2 x 2 = c 1 = c x 2 d x 1.
Anvendelse: bil eller bus til arbejde? 1. Tage bus og bil til arbejde? 2. Lad x 1 være rejsetid i bil, y 1 rejsetid i bus. 3. Lad x 2 være omkostning ved at køre bil, y 2 være omkostning ved at køre bus. 4.... 5. Antag lineær nytte: u(x 1,..., x n )=β 1 x 1 +... + β n x n. 6. Estimér β i ere ud fra observerede valg. 7. Domenich-McFadden (1975): Nyttefunktion gav korrekt forudsigelse af valg i 93% af tilfælde. 8. Med estimeret nyttefunktion kan vi: (a) Udregne MRS mellem to attributter. F.eks.: Hvad er værdi målt i $ for kortere rejsetid? (b) Lave forudsigelser. F.eks. hvor mange skifter til bus hvis rejsetiden forkortes? (c) Udregne velfærdsgevinster: Hvad er værdien (målt i $) for en rejsetidsforkortelse for dem der allerede allerede tager bussen?