Forslag til hjemmeopgaver, som forbereder arbejdet med de ne emner den pågældende kursusgang, men primært er baseret på gmnasiepensum: Ordinær kursusgang : Introduktion til vektorer og matricer. Regning med vektorer. Udregn 5 + 7, 5 og 5. Bestem længden af vektorerne og. Udregn hvis det er muligt 7, 5 + og Ordinær kursusgang : Matrixvektorprodukt og lineære ligningssstemer. Flere ligninger med flere ubekendte. Find skæringspunktet mellem de to linjer i planen l : =x-5 og l : x-=. Find skæringspunktet mellem de tre planer i rummet α : x-+z=5, α : x++z=7 og α : x+-z=. Find en parameterfremstilling for skæringslinjen mellem de to planer i rummet α og α
Ordinær kursusgang : Gauss-elimination. Span. Retningsvektorer der udspænder en plan eller en linje. Afgør om 6 ligger på linjen gennem punktet 7 med retningsvektor. Afgør om 8 ligger på planen α gennem udspændt af retningsvektorerne og. Afgør om 8 ligger på planen α gennem udspændt af retningsvektorerne 7 og. Afgør om α og α er samme plan. Ordinær kursusgang : Lineær uafhængighed. Mere geometri med vektorer i rummet. Find tal s og t, så 8 = s + t. Er der flere mulige løsninger?. Find tal s og t, så 8 = s 7 + t. Er der flere mulige løsninger?. Find tal s, t og u, så 8 = s + t + u. Er der flere mulige løsninger?. Beskriv geometrisk ovenstående situationer.
Ordinær kursusgang 5: Lineære afbildninger og matrixrepræsentationer. Funktioner på formen f (x) = K x. Vis at funktionen f (x) = x opflder f ( + ) = f () + f () og f (5 ) = 5 f ().. Vis at alle funktioner med en forskrift på formen f (x) = K x opflder f (x + x ) = f (x ) + f (x ) og f (c x) = c f (x).. Vis at alle funktioner med en forskrift på formen f (x) = K x opflder f (c x + c x ) = c f (x ) + c f (x ). Ordinær kursusgang 6: Multiplikation af matricer, sammensætning af lineære afbildninger. Sammensætning af afbildninger. Bestem en forskrift for den sammensatte afbildning ( f g)(x) = f (g(x)) for funktionerne f (x) = x + 7 og g(x) = x 5.. Bestem en forskrift for den sammensatte afbildning ( f g)(x) = f (g(x)) for funktionerne f (x) = 5 x og g(x) =, 5 x.. Bestem en forskrift for den sammensatte afbildning ( f g)(x) = f (g(x)) for funktionerne f (x) = x og g(x) = x,5.. Vil sammensætningen af to funktioner som begge har en forskrift på formen ax + b, b a x eller b x a også altid have en forskrift på samme form?
Ordinær kursusgang 7: Inverterbare matricer og invertible lineære transformationer. Inverse afbildninger Funktionen f (x) = x er ikke injektiv, da f.eks. både f () og f ( ) er 9, så to forskellige x-værdier giver ikke nødvendigvis to forskellige funktionsværdier. Funktionen har derfor ikke en invers funktion, da man fra funktionsværdien 9 ikke kan finde tilbage til en entdig x-værdi. Når man sædvanligvis siger, at f (x) = x er den inverse funktion til f (x) = x er det derfor funktionen f (x) = x, x man mener. Den er nu injektiv og med taleksemplet er - nu ikke med i definitionsmængden, så fra funktionsværdien 9 kan man finde tilbage til x-værdien med den inverse funktion f (x) = x. For x har vi x = ( x ) = x som udtrkker at f ( f (x)) = x og f ( f (x)) = x.. Vis at funktionen f (x) = x + har den inverse funktion f (x) = x 5.. Betragt funktionen f (x) = (x ). Vælg en definitionsmængde for funktionen hvorpå den er injektiv. Angiv den tilhørende værdimængde og bestem en forskrift for dens inverse funktion defineret på denne værdimængde. Ordinær kursusgang 8: Determinanter. Betragt punkterne A(,), B(,7) og C(5,) i planen. Udregn determinanten af vektorparret AB og AC. Bestem herudfra arealet af trekant ABC.. Betragt de linjer i planen givet ved l : 5x + = og l : -x + 9 = 5. Skæringspunktet mellem de to linjer kan findes ved at løse vektorligningen 5 x + 9 = 5. a) Find x ved at tage skalarprodukt med tværvektoren til 9 på begge sider af lighedstegnet og derefter isolere x. b) Find på tilsvarende vis og angiv derefter ligningssstemets løsning (x,). c) Udregn ligningssstemets determinant 5 9.. Betragt de linjer i planen givet ved l : a x + b = c og l : a x + b = c. Vis at de to linjer er parallelle eller sammenfaldende netop når ligningssstemets determinant er.
Ordinær kursusgang 9: Underrum, basis for underrum. Betragt linjen og planen α i rummet givet ved x 8 : = + t 6 og α : 5x + z =. z a) Vis at punktet (,,) ligger både på linjen og i planen α. b) Bestem parameterfremstillinger for linjen og planen α på formen x a x b c : = t a og α : = t b + s c. z a z b c. Betragt mængden i rummet givet ved parameterfremstillingen x 8 9 = t 9 + s + u 5. z a) Vis at de tre retningsvektorer ligger i samme plan gennem (,,). b) Bestem en parameterfremstilling for mængden med kun to retningsvektorer.. Beskriv alle muligheder for hvordan mængder i rummet med parameterfremstillinger på formen x a b c = t a + s b + u c z a b c kan se ud geometrisk. Giv eksempler.
Ordinær kursusgang : Dimension, rang og nullitet. Betragt funktionen f (x,, z) som til hvert punkt (x,, z) giver en funktionsværdi, som også er en vektor: f(x,,z) = x + ( z + x) 5 a) Redegør for at mængden af punkter med funktionsværdi lig nulvektoren udgør en linje gennem (,,) og bestem en parameterfremstilling for linjen. b) Redegør for at værdimængden for f udgør en plan gennem (,,) og bestem en parameterfremstilling for den på formen x a b = t a + s b. z a b Ordinær kursusgang : Koordinatsstemer. Betragt vektorligningen x = s + t 5 a) Opfat vektorligningen som to ligninger med to ubekendte og bestem s udtrkt ved x og og tilsvarende t udtrkt ved x og. b) Opskriv svaret fra a) som en vektorligning s t = x a b +. a b. Hvis de to vektorer og 5 i opgave ændres til andre vektorer vil opgaven ofte men ikke altid kunne løses alligevel. Giv et eksempel, hvor opgaven så ikke kan løses, og forklar, hvordan de to vektorer så skal ligge i forhold til hinanden.