Kapitel 2. Differentialregning A

Kapitel 2. Differentialregning A Indhold 2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer... 2 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner... 7 2.4 Regneregler for differentiation produktregel og brøkregel... 10 2.5 Hovedsætninger om differentiable funktioner. Monotoniforhold... 11 2.6 Grafers krumning og den anden afledede (supplerende stof)... 14 2.7 Supplerende opgaver. Modellering og optimering... 18

2.2 Differentiabilitet og tangenter til grafer Opgave 2.1 Tangent tegnes i t=50. Hældningskoefficienten aflæses til 1. Dvs. væksthastigheden er 1. Opgave 2.2 f'(x)=6x 2-2x+3 Opgave 2.3 f'(x)=g(x) (g(x) er positiv når f(x) er voksende og g(x) er negativ, når f(x) er aftagende) Opgave 2.4 A er f(x) og B er f'(x). A's hældning bliver mindre og mindre hvorfor B (f') nærmer sig førsteaksen. Opgave 2.5 g(x) = f'(x) (samme argument som i opgave 2.3) Opgave 2.6 g(x) = f'(x) (samme argument som i opgave 2.3) Opgave 2.7 f's hældning er mindre en 4, så derfor er f'(x)=h(x) Opgave 2.8 a) f(2)=4 og f'(2)=13. Grafen er voksende i x=2. Tangentens hældning i x=2 er 13 (er tangenten kendt på dette tidspunkt? b) f(2)=-23 og f'(2)=-24. Grafen er aftagende i x=2. Tangentens hældning i x=2 er -24 (er tangenten kendt på dette tidspunkt? Opgave 2.9 INTERN KOMMENTAR! Jeg er med på det er et grimt eksempel som ikke er differentiabel i vendepunkterne. Jeg har imidlertid ikke rigtig nogle gode tegneredskaber, som kan gøre funktionen mere "blød".

Opgave 2.10 Intern kommentar. Skal igen tegnes med bløde kurve Opgave 2.11 Intern kommentar. Skal igen tegnes med bløde kurve

Opgave 2.12 Intern kommentar. Skal igen tegnes med bløde kurve Opgave 2.13 b= -6 og c=3 Opgave 2.14 a = 2, b= -3, c = 1 Opgave 2.15 a = 2, b = -2, c = 1 Opgave 2.16 x=1: y = -x 2 x= : y = -x - Opgave 2.17 x= 2: y = (32 2) (afrundet y = 0.1716x) x= 2: y = (3+2 2) (afrundet y = 5.8284x) Opgave 2.18 m: y = 24x 120 l: = + (afrundet y = -4,125x + 20,625) Opgave 2.1 Linjens hældning, som er -2 skal være identisk med hældningskoefficienten på funktion i x=1. derfor er f'(1) = -2. Da l er tangent til f(x) i (1,f(1)), så skal begge have samme y-værdi, når x=1. y = -2 1+1=-1. Derfor er f(1) = -1. b = -4 og c = 2 Opgave 2.20 15 = 16 + 1 2

Opgave 2.21 = 2 9 2 Opgave 2.22 a=6 Opgave 2.23 b=15 Opgave 2.24 a) h 1 er kontinuert men ikke differentiabel b) h 2 er ikke kontinuert og dermed heller ikke differentiabel c) h 3 er ikke kontinuert og dermed heller ikke differentiabel d) h 4 er kontinuert og differentiabel Opgave 2.25 a) a = 6 og b = -9 b) a = -7 og b = 5 c) a = 3, b = 1 og c = -2 Opgave 2.26 a) b) ikke kontinuert c) kontinuert

kontinuert

d) kontinuert Opgave 2.27 Intern kommentar Der skal vist stå opgave 2.26 i teksten Er ikke helt sikker på at jeg har forstået spørgsmålet a) ikke kontinuert og dermed heller ikke differentiabel b) ikke differentiabel. Sekanthældning vil svige mellem -1 og 1 afhængig af valgte punkter. c) Differentiabel - sekant konvergerer mod 0. d) Differentiabel - sekant konvergerer mod 0. Opgave 2.28 Intern kommentar Det er vist 2.26 og 2.27 opgaveteksten mener? a) = 2 sin cos ikke kontinuert b) = 3 sin cos ikke kontinuert 2.3 Sammensat funktion, eksponential-, logaritme- og potensfunktioner Opgave 2.29 1. Bestem en indre og en ydre funktion for følgende funktioner a) Indre: 3x+2 ydre: x 5 b) Indre: 9x+2 ydre: 4x 7 c) indre: 2x-3 ydre: x 8 d) indre: 3x+7 ydre: e) indre: 3x+7 ydre:

f) indre: 2px+3 ydre: cos(x) = + = 2. Differentier funktionerne a) 15 3 2 b) g'(x)=252(9x+2) 6 c) h'(x)=16(2x-3) 7 d) e) = f) k'(x)= -2psin(2px+3) Opgave 2.30 1. Bestem en indre og en ydre funktion for følgende funktioner a) Indre: cos(x)+sin(x) ydre: x 2 b) Indre: x 4 +9 ydre: 3ln(x) c) Indre: 2 + 1, som igen er en sammensat funktion med indre:2x+1 og ydre: ydre: cos(x) d) Indre: 2 + sin(x) ydre: e) Indre: x 3 +5 ydre: f) Finte! cos 2 (x)+sin 2 (x)=1. Ellers to sammensatte funktioner som lægges sammen med indre på henholdsvis cos(x) og sin(x). Den ydre funktion til begge er x 2 g) Indre: x 2 +2x ydre: x -2 h) Sammensat indsat i sammensat. (0,25x-25) 2 : kan ganges ud eller indre: 0,25x-25 og ydre: x 2. e, : indre: (0,25x-25) 2 og ydre e x 2. Differentier funktionerne a) f'(x)=2(cos(x)+sin(x)) (-sin(x) + cos(x)) b) = c) d) = ( ) e) = f) k'(x) = 0 g) = 22 + 2 + 2 h) 0,5(0.25 25), Opgave 2.31 En funktion f er bestemt ved 2 x-0,8 x f( x) = e. a) y=-0.733x+1,954 b) f(x) er voksende i ]- ;0,625[ og aftagende i ]0,625; [ Opgave 2.32 f'(x)=0 har løsningen x=1. f'(0)=2e og f'(2)=-2e, så der er maksimum i x=1 Opgave 2.33 f'(1)= Opgave 2.34 f'(x)=0 har løsningen x=1. f'(0.5)=1 og f'(2)=-0.5, så der er maksimum i x=1 f(x) er voksende i ]0;1[ og aftagende i ]1; [ Opgave 2.35 Y=10.2x - 24.391 Opgave 2.36 a) f(0)=3600 og T 1/2 =4,40 b) 0,146 svarende til 14,6% c) f (5) =-257,9. I år 2007 falder antallet af tigre med 258 styk. Opgave 2.37

a) Minimale højde 500 meter. Maksimale højde 2500meter b) f'(200)=15,7. Dvs i det 200. minut stiger ballonen med 15,7 meter Opgave 2.38 a) Maksimale deceleration f(92.91)=98,26 m/s 2

2.4 Regneregler for differentiation produktregel og brøkregel Opgave 2.39 a) = 2 + c) = sin 1 cos( ) d) = Opgave 2.40 a) y = 3e 2 x -2e 2 b) = 3 + b) f(x) er aftagende i ] ; [ og voksende i ] ; [ Opgave 2.41 = 3 a) y=-2e x + 2e b) f(x) er aftagende i ] ; 0,414[ og i ]0,414; [ samt voksende i ]-0,414; 0,414[ Opgave 2.42 En funktion f er bestemt ved a) x=1 og x=2 b) y=-7x+7 f x x x x 3 ( ) = ( - 8) ln, > 0. Opgave 2.43 Intern kommentar Figuren ud fra opgave 2.43 passer ikke til funktionen a) y=-2x -2 b) f'(x)=0 har løsningen x= 1,573. f'(1)=-2 dvs. aftagende i ]0; 1,573[. f'(2)=1,77 dvs voksende i ]1,573; [. Opgave 2.44

I en model kan den gennemsnitlige årlige CO2 -udledning pr. person som funktion af tiden beskrives ved 900000 1,031 C( t) =, t + 38 t hvor C( t) måles i kg, og tiden t betegner antal år efter 1950. C (72) =1580,0 kg. Dvs. ifølge modellen vil C0 2 -udledningen pr. person i 2012 stige med 1580,0 kg. 2.5 Hovedsætninger om differentiable funktioner. Monotoniforhold Opgave 2.45 f(x) er aftagende i ]-3;-2[ og ]3;5[. funktionen er voksende i ]-2;3[ og ]5,6[ Opgave 46 k=-22 og k=10 Opgave 2.47 = og = Opgave 2.48 f'(x)=e x +7. e x er altid positiv og derfor er f'(x)>0 for alle x-værdier. Derfor er f(x) voksende. Opgave 2.49 f(x) er aftagende i ]-1;2[ og er voksende i ]- ;-1[ og ]2, [. Opgave 2.50 f(x) er aftagende i ]-1;3[ og er voksende i ]- ;-1[ og ]3, [. Opgave.51 Intern kommentar. Der mangler 2-tal i opgavenummer f(x) er aftagende i ]-1.414;1.414[ og er voksende i ]- ;-1.414[ og ]1.414, [. Lokalt maksimum i (-1.414; 2.886) og lokalt minimum i (1.414 ; -0.886). F(x) er et tredjegradspolynomium, hvor de to vendepunkter ligger på hver sin side af x-aksen. Derfor må f(x) have 3 nulpunkter 1 3 x3-2x + 1 = 0 har løsningerne x=-2.669, x=0.524 og x=2.145 f(x) = x 4 + 2x 3 4: x=1.090 er roden i intervallet [0;2]. Opgave 2.52 a) y= 4x 6 b) f(x) er voksende i ]- ;-3[ og aftagende i ]3, [. Opgave 2.53 a) y = 21x - 22 b) Ja da f'(2)=0 og f'(1)=21 og f'(3)=-19 Opgave 2.54 a) y = 20x - 40 b) f(x) er aftagende i ]- ;-1.225[ og ]0;1.225[ og er voksende ]-1.225;0[ og ]1.225, [.

Opgave 55 Intern kommentar. Der mangler 2-tal i opgavenummer a) x = -2.806, x=-0.356, x=0.356 og x = 2.806 b) y = 60x - 170 c) f(x) er aftagende i ]- ;-2[ og ]0;2[ og er voksende ]-2;0[ og ]2, [. Opgave 2.56 a) Nulpunkter: x=-3 og x=0. b) f(x) er voksende i ]- ;-3[ og ]-1, [ og er aftagende ]-3;-1[. c) y = 24x 8. b=26 og c=-9 Opgave 2.57 a) y = -10.667x 13.930 b) f(x) er aftagende i ]0;5[ og voksende i ]5; [ c) x 0 = 2.4182 Opgave 2.58 En funktion f er givet ved 4 3 2 f ( x) = 3x -8x - 30x + 72x + 27. f'(x)= 12x 3-24x 2-60x+72 Der er lokalt minimum i (-2; -125) og (3;0) samt lokalt maksimum i (1; 64) De resterende opgaver i afsnit 2.5 indgår ikke i kernepensum, men kan anvendes til fordybelse i grundbogens afsnit 2.5 Opgave 2.59 For c= 2 er 2 lig hældningen mellem punkterne

= Opgave 2.60 To mulige c-værdier: = eller = Opgave 2.61 a) De to endepunkter der er i spil må være (a,a 2 ) og (b,b 2 ). Når disse indsættes i middelværdisætning fås påstanden b) Skyldes kvadratsætningen b 2 a 2 = (b - a) (b + a) c) f'(x)=2x så f'(c) = 2c = a + b. Dermed er c = d) Opgave 2.62 Intern kommentar: Jeg er ikke helt sikker på at jeg har forstår spørgsmålet korrekt. Tegn i et koordinatsystem graferne for de to flys hastigheder. Begge starter og slutter med hastigheden 0 km/t. Arealet under hver af de to grafer er ens (afstanden NY-CPH). Dermed er de to grafer nødt til at skære hinanden mindst en gang eller være sammenfaldende. Ellers kan arealerne ikke blive ens. Opgave 2.63 Intern kommentar: skal tallet c ikke ligge mellem 0 og x, når der kigges på [0;x]? Jeg er ikke helt sikker på at jeg har forstået spørgsmål b) korrekt. a) =. Der indsættes nu i middelværdisætningen: med x på begge sider og indsætter i f: b) Omformer a) til Når x 0 bliver 0<. = = 1 + 1 + 0. ( ). Ganger <1, så der gælder at < 1. Når x 0 kan vi uden problemer gange med på begge sider i uligheden og efterfølgende addere med 1. Der- med fås 1 + < 1 + Når - 1 x < 0 vil c ligge i samme interval og dermed er >1, da 0 < 1+c < 1 dvs. >1. Da x er negativ, vendes ulighedstegnet når der som før ganges med : 1 + 1 < Dermed fås atter 1 + < 1 +.

> Opgave 2.64 = x 0 :Da c 0 gælder -2<x<0: >. Middelværdisætningen give = ( ).. Dvs. ( ) Dermed fås samme resultat som før. ( ). Simpel omrokering giver påstanden..når der ganges med x vendes ulighedstegnet, da x<0. Opgave 2.65 Intern kommentar: Bør der ikke byttes rundt på x og y i sætningerne? Giver unødigt arbejde I spørgsmål c skal det vist være i stedet for <. Sin(0)=0! Og hvad med. Eller mangler der forudsætninger. x kan da godt være et stort negativt tal. Mangler antagelsen x>0? a) sin(c) = ( ). Da -1 sin(c) 1 må ( ) værdi omkring tæller og nævner og gange med y-x fås påstanden. b) Bevises efter samme metode som ovenstående. c) Hvis vi benytter y=0 fås sin sin(0) = sin( ) 0 = 1. Ved at sætte numerisk 2.6 Grafers krumning og den anden afledede (supplerende stof) Opgave 2.66 Bestem for hver af følgende funktioner: - den dobbelt afledede - evt. vendepunkter - konveksitetsintervaller (intervaller, hvor grafen er opad hul, henh. nedad hul) Tegn endelig graferne: 3 a) f( x) = ln( x) b) f ( x) = a c) f ( x) = 8x - 6x + 1 c) 4 3 f ( x) = x - 2x + 1 d) 6 4 f ( x) = x - 10x e) f x 2 - ( ) = x e x a) f''(x)= ingen vendepunkter f''(x) er altid negativ dvs nedad hul b) f''(x)=0 INTERN kommentar: er det en fejl at der stå a og ikke x under kvadratroden? Ingen vendepunkter c) f''(x)=48x vendepunkter: (-0.5;3) og ((0.5;-1) nedad hul når x<0 og opad hul, når x>0

d) f''(x)=12x 2-12x vendepunkt (1.5;-0.688) opad hul i ]- ;0[ og ]1; [ og nedad hul i ]0;1[ e) f''(x)=30x 4 2520x 2 vendepunkter (-2.582; -148.148), (0,0) og (2.582; -148.148) opad hul fra ]- ;-2 21[ og }2 21; [ og nedad hul i ]- 2 21; 2 21[

f) f''(x)=2e -x 4xe -x + x 2 e -x vendepunkter (0,0) og (2; 0.541) opad hul i ]- ;0.586[ og ]3.414; [. Nedad hul i ]0.586; 3.414[ Opgave 2.67 Intern kommentar: c) skal tilføjes x 1 a) = vendepunkt i x=e + Nedad hul i ]0;1[ og opad hul i ]1; [ b) = + vendepunkter: x= -1 og x=1 Nedad hul: ] ; 2[ og ]0; 2. Opad hul: ] 2; 0[ og ] 2; [ c) = Nedad hul: [1; [ og opad hul: ] ; [ vendepunkt: ingen i definitionsmængden

d) = Nedad hul i ]- ;1[ og ]1; [ vendepunkter: ingen Opgave 2.68 Intet vendepunkt, f''(x)=0 når x=. Opad hul i ] ; [ og nedad hul i ] ; [ Opgave 2.69 C=f(x), A = f'(x) og B = f''(x) Opgave 2.70 Intern kommentar: Lidt misvisende med tallene på akserne som ikke er ens B = f(x), C = f'(x) og D = f''(x)

2.7 Supplerende opgaver. Modellering og optimering Opgave 2.71 = Areal = + Opgave 2.72 Rumfang = b l h - 9p h Opgave 2.73 k=0 eller k = -32 Opgave.2.74 Intern kommentar: Der skal vist stå " får lokalt ekstremum for x=2") a = -1 og i x=2 er der et lokalt maksimum. Opgave 2.75 63,43 Opgave 2.76 Intern kommentar: Der skal stå "Find x-værdien og " (x,y) = (-0.794; 0.930) y = -1.588 2.519 y = -1.588x 0.630 Opgave 2.77 a) = 8100 Areal af grundflade er 2x h, så figurens rumfang bliver R(x)=x h 200. Når h indsættes fås b) x = 63.640 R( x) = 200 x 90 - x 2 2 Opgave 2.78 Intern kommentar: Figuren ser lidt underlig ud omkring B. a) AP = + 40 og PB = 92 + 3205 b) Vejpris = 50 + 40 + 60 92 + 3205. Billigst når x = 28,03 km Opgave 2.79 a) = + p. Indsætter: O(r)= og forkorter efterfølgende b) 2,416

Opgave 2.80 a) y = -4x + 8 b) y = (2a 6)x + 9 a 2 c) Skæring med x-akse: x = +. Skæring med y-akse: y = 9 a2 d) Areal = + 9. Reducer og det ønskede udtryk fremkommer e) Arealet er maksimalt når a = 1, Opgave 2.81 a) 8.66 b) Areal= 2 + 3, Trekantens højde: h=, y=. Indsæt h og y og reducer c) X = 1.587 + Opgave 2.82 a) h=p 3 Areal=h 2r - p r 2 indsæt det fundne h og reducer b) r = 0,318 Opgave 2.83 a) Omkreds = 2x + 2y - p x b) A(x) = -2x 2 + 100x c) x = 25 Opgave 2.84 a) Volumen = 4 + b) h= p + p Overfladeareal=22 + 4 2 + c) r = 0,896 4 p p. Indsæt h og reducer Opgave 2.85 a) =. Overflade= + 2 + + +. Indsæt h og forkort b) = 5,520 Opgave 2.86 Radius kaldes r: O(r) = + 4 p. Minimum når r = 2.12 Opgave 2.87 x=1,802