Maj 2013 (alle opgaver og alle spørgsmål) Alternativ besvarelse (med brug af Maple til beregninger, incl. pakker til VektorAnalyse2 og Integrator8). Jeg gider ikke håndregne i de simple spørgsmål! Her er selve opgaveteksterne indsat, så det er lettere at følge udregningerne. Opgave 1 (1.1) 1.1) Funktionen : (1.1.1) (1.1.2) (1.1.3) Konklusion: Gradienten i punktet (x,y) er, i punktet (0,0) er gradienten 1.2)
Givet mængden
Stationære punkter i det indre: (1.2.1) Konklusion: Der er ét stationært punkt i det indre af M, nemlig 1.3) er en afsluttet og begrænset mængde. er en kontinuert funktion. Derfor har såvel et maksimum som et minimum på mængden. Da funktionen er differentiabel i M, kan ekstremum bestemmes med standardmetoden: a) stationære punkter i det indre af (er bestemt i spørgsmål 2) b) randundersøgelse Stationære punkt i det indre: 0 (1.3.1)
Randundersøgelse: Randen opdeles i 4 stykker. 1: lodret stykke, hvor, og : (1.3.2) (1.3.3) 1 (1.3.4) 2: vandret stykke, hvor, og : 0 0 (1.3.5) (1.3.6) (1.3.7) 3: lodret stykke, hvor, og : (1.3.8) (1.3.9) 4: vandret stykke, hvor, og : 1 Konklusion: har (globalt) maksimum på og (globalt) minimum på i mængden (1.3.10) (1.3.11) (1.3.12) (1.3.13)
alternativ: Opgaven kan løses MEGET lettere ved at observere 2 ting: a) området er et akseparallelt rektangel b) funktionen kan skrives som et produkt af 2 funktioner, som hver især kun afhænger af én variabel hvor og Maximum: Minimum: Opgave 2
(2.1) 2.1) Det ses straks, at den symmetriske matrix er: alternativ: NB: Kan også beregnes som halvdelen af Hessematricen for : (2.1.1) (2.1.2) NB: Svaret står også i spørgsmål 2! 2.2) (2.2.1) Piller de 3 vektorer ud:
(2.2.2) og er basis for egenrum hørende til egenværdien -1. er basis for egenrummet hørende til egenværdien 1. De 2 egenrum er ortogonale, idet matricen er symmetrisk. Det ses tydeligt, at. Dvs. alle 3 vektorer er ortogonale. Drfor skal vektorerne blot normeres til længde 1: (2.2.3) Mangler så at checke, at, og opfylder konventionen om, at : (2.2.4)
(2.2.4) alternativ: Determinanten skal være +1. Hvis ikke, så ændres blot: 1 (2.2.5) (2.2.6) Konklusion: Den ortonormal basis bestående af egenvektorer er:, og og den tilhørende ortogonale matrix er 2.3) Skift af baser: (2.3.1) Konklusion: Med ovenstående valg af matrix bliver 2. grads polynomiet koordinater: i nye
idet egenværdierne er -1, -1 og 1 (hørende til de 3 søjlevektorer i ). Opgave 3 (3.1) 3.1) Kurven har parameterfremstillingen, hvor : (3.1.1) (3.1.2)
Kurven er givet ved. Kurven har parameterfremstillingen hvor : (3.1.3) (3.1.4)
3.2) Givet vektorfelterne og (der er defineret som ) : (3.2.1) (3.2.2) Det tangentielle kurveintegral af langs : Med Integrator8-pakken: (3.2.3) Med teorien fra Matematik 1:
(3.2.4) (3.2.5) (3.2.6) (3.2.7) Det tangentielle kurveintegral af langs : Med Integrator8-pakken: 2 Med teorien fra Matematik 1: (3.2.8) (3.2.9) (3.2.10) (3.2.11) (3.2.12) Konklusion: Tangentielt kurveintegral af langs =, og langs = 3.3) Fluxen af gennem fladen (afgrænset af kruven ) er i følge Stokes' sætning = det tangentielle kurveintegral af langs randen af fladen = alternativ:
Parameterfremstilling for fladen F: (3.3.1) (3.3.2) Med Integrator8-pakken: Fluxen gennem fladen F: Med teorien fra Matematik 1: 4 3 (3.3.3) Fluxen gennem fladen F beregnet med standardmetoden (sætning 26.2 i enoterne):
(3.3.4) (3.3.5) (3.3.6) NB: har samme retning som den angivne (0,-1,0), da (3.3.7) 4 3 (3.3.8) Konklusion: Fluxen af gennem fladen (afgrænset af kruven ) er Opgave 4
(4.1) 4.1) Givet en parametriseret flade i rummet, hvor og : (4.1.1) (4.1.2) Fladen er et kvadrat, som ligger 1 oppe ad z-aksen. (4.1.3)
(4.1.3) (4.1.4) (4.1.5) Konklusion: dvs. en konstant enhedsvektor i z-aksens positive retning - hvilket IKKE er overraskende, da fladen er et vandret kvadrat. 4.2) Givet vektorfeltet : (4.2.1) Med Integrator8-pakken: Fluxen af gennem fladen Med teorien fra Matematik 1: Sætning 26.2 i enoterne: 8 (4.2.2) (4.2.3) Dvs- integranden er faktisk konstant 2. Da er et kvadrat med siderne 2, så bliver integralet 2 (4.2.4)
Konklusion: Fluxen af gennem fladen er 8 (4.2.5) 4.3) Et rumligt område er givet ved parameterfremstillingen: (4.3.1) Det rumlige område tegnes med Integrator8-pakken ( valgt): (4.3.2) (4.3.3)
Det rumlige område tegnes med Integrator8-pakken ( valgt):
Det rumlige område er for identisk med fladen F! Jacobi-funktionen bestemmes: (4.3.4) NB: Ingen grund til at tage den numeriske værdi, da Konklusion: Jacobi-funktionen for parametriseringen altid. er (4.3.5) Volumenet af beregnes: Med Integrator8-pakken: (4.3.6)
Med teorien fra Matematik 1: (4.3.7) Konklusion: Volumenet af er (4.3.8) NB:, så rumfanget er heldigvis altid positivt! har rumfang 0 (det er fladen F)! 4.4) 8 Konklusion: Volumenet af er givet ved, og det er beregnet, at (4.4.1) (4.4.2) (4.4.3) Sidste spoørgsmål følger af sætning 26.6 i enoterne: Da er defineret som volumenet af, betyder det at dvs.