Stamfunktionsproblemet Frank Villa 19. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 2 Stamfunktioner 2 2.1 Antallet af stamfunktioner til en funktion..... 4 2.2 Det seje ved analysens fundamentalsætning.... 7 2.3 Generelle regler.................... 12 2.4 Huskeregler...................... 13 2.5 Udvalgte beviser................... 13 2.6 Lommeregnere og stamfunktioner.......... 15 2.7 Resumé........................ 16 3 Ubestemt integration 16 3.1 Det ubestemte integraltegn............. 17 3.2 Et dumt tegn..................... 18 3.3 Opsummering..................... 20 4 Bevægelse: En anvendelse 21 5 Differentialligninger 23 5.1 Stamfunktioner og differentialligninger....... 25
Resumé I dette dokument indfører vi begrebet en stamfunktion til en given funktion. Vi gennemgår nogle teknikker til at bestemme stamfunktioner og præsenterer nogle generelle resultater om hvilke funktioner der har stamfunktioner. Til sidst indfører vi det ubestemte integraltegn (og forklarer hvorfor det er et dumt tegn.) 1 Introduktion Måske er det særligt udbredt blandt os matematikere, men det er faktisk en ganske almindelig del af den menneskelige natur: Når vi har lært, opdaget eller opfundet en proces af typen 1 : Udgangspunkt Resultat så føler vi ret hurtigt en trang til at forstå sammenhængen mellem udgangspunkt og resultat baglæns. Mere præcist dukker følgende spørgsmål op: Hvis man ønsker et bestemt resultat, hvordan skal man så vælge sit udgangspunkt for at opnå dette resultat? Eksempel 1. Der findes tonsvis af eksempler på dette fænomen i matematik. Tænk f.eks. på den proces at opløfte et tal i anden potens. På et tidspunkt har man gjort det så mange gange at spørgsmålet melder sig: Hvis jeg har lyst til at opløfte et tal i anden potens, og jeg ønsker at det færdige resultat giver 7, hvilket tal skal jeg så starte med? Dette 1 Forestil dig venligst en sådan proces som har betydning i dit liv. Det kunne f.eks. være at bygge et hus, at bage en kage, at blande to forskellige farver maling eller at spille et spil efter en bestemt strategi eller taktik. Man kan få næsten alting til at være et eksempel, bortset fra at se fjernsyn! side 1
svarer til at man ønsker en løsning til ligningen: x 2 = 7 hvilket leder til opfindelsen af kvadratrodsfunktionen. I det hele taget kan enhver ligning opfattes som at man ønsker at en bestemt udregning (en proces) skal give et bestemt resultat, og man vil gerne vide hvilket tal man skal starte med. Funktioner kan også betragtes som processer der starter med et udgangspunkt (et element i definitionsmængden) og producerer et færdigt resultat (funktionsværdien). Dermed handler hele historien om injektivitet og inverse funktioner om hvorvidt sådan en proces kan vendes om. Den proces som vi nu vil forsøge at forstå baglæns er differentiation. Forudsætninger Det er nødvendigt at du har godt styr på funktionsbegrebet 2 og på hvordan man differentierer funktioner 3 inden du læser dette dokument. Bemærk: Det er ikke tilstrækkeligt at kunne få sin lommeregner (eller en anden maskine) til at differentiere. Hvis ikke man har prøvet at bruge differentiationsreglerne i hånden, så bliver det enormt svært at følge med når vi skal i gang med at bruge dem baglæns. Desuden bruger vi begrebet kontinuitet flere gange, så det kan også være en god ide at repetere hvad en kontinuert funktion er 4. 2 Stamfunktioner Vi starter med at definere begrebet en stamfunktion : 2 Læs om pointen med funktioner her 3 Læs om differentiation her 4 Læs om kontinuitet her side 2
Definition 2. En funktion, F, siges at være en stamfunktion til en anden funktion, f, hvis F er differentiabel og: F = f Med andre ord: En stamfunktion til f er en funktion, F, som differentieret giver f. At finde en stamfunktion til en given funktion går altså ud på at lave differentiation baglæns. Altså at gætte en funktion som giver det rigtige når den differentieres. Bemærkning om bogstaverne: Man kan let komme til at lægge for meget betydning i bogstavbetegnelserne i definition 2. Husk at bogstaverne (lige som i alle andre sætninger og definitioner) bare er navne som gør det nemmere at omtale de to funktioner. Det havde været præcis den samme definition hvis vi havde skrevet Søren i stedet for f og Peter i stedet for F alle steder. Den havde blot været mere irriterende at læse. Det er altså ikke en regel at en stamfunktion altid skal navngives med det tilsvarende store bogstav som den funktion den er stamfunktion til. Det ville være umuligt at overholde en sådan regel hvis man f.eks. besluttede sig for senere at finde en stamfunktion til stamfunktionen. Mange kommer i starten til at skrive formuleringer som: Vi ved at f(x) =..., derfor er F (x) =... Dette er en meningsløs udtalelse hvis ikke man fortæller hvad forholdet mellem de to funktioner er. I stedet vil man ofte bruge formuleringer i stil med: Funktionen, f, givet ved: f(x) =... har en stamfunktion, F, givet ved: F (x) =... side 3
Eksempel 3. Hvis man tager oversigten over differentiation af basale funktionstyper og læser den baglæns, så kan man bruge den som en oversigt over stamfunktioner. F.eks. kan man sige at: Sinus er en stamfunktion til cosinus Øvelse 4. Betragt funktionerne f og g givet ved: og f(x) = x 2 g(x) = 2x Hvilken af disse funktioner er en stamfunktion til den anden? 2.1 Antallet af stamfunktioner til en funktion En given funktion kan godt have mere end én stamfunktion! Derfor skal man passe meget på med at tale om f s stamfunktion eller stamfunktionen til f. I stedet bruger man formuleringer som: En af f s stamfunktioner eller en stamfunktion til f. Følgende to sætninger hjælper med at holde styr på hvilke (og hvor mange) stamfunktioner en enkelt funktion kan have. Sætning 5. Hvis F er en stamfunktion til f og hvis k er et reelt tal, så er funktionen G givet ved: også en stamfunktion til f. G(x) = F (x) + k side 4
Sagt i ord: Hvis man lægger en konstant til en stamfunktion, så får man en stamfunktion mere. Bevis. Vi antager at F er en stamfunktion til f, dvs. F (x) = f(x) For at vise at G er en stamfunktion til f, differentierer vi den. Eftersom G er defineret ved: kan vi differentiere den ledvist: G(x) = F (x) + k G (x) = F (x) + 0 = f(x) Derfor er G en stamfunktion til f. Sætning 6. Hvis f er en funktion som er defineret på et åbent interval, ]a; b[, og F 1 og F 2 er to forskellige stamfunktioner til f, så findes der en reel konstant, k, sådan at: F 1 (x) = F 2 (x) + k, for alle x ]a; b[ Sagt med smarte ord: To forskellige stamfunktioner vil aldrig afvige med mere end en additiv konstant. Bevis. Beviset for sætning 6 er overraskende svært. I første omgang kan vi sige at hvis F 1 og F 2 er to forskellige stamfunktioner til f, så vil funktionen G, defineret ved: opfylde at: G(x) = F 1 (x) F 2 (x) G (x) = F 1(x) F 2(x) = f(x) f(x) = 0 side 5
for alle elementer x i definitionsmængden. Altså: Denne funktion, G, har en grafhældning på nul i alle punkter. Intuitivt er det klart at dette må betyde at G er konstant. Det er dog temmeligt svært at argumentere præcist for. (Blandt andet har man brug for at definitionsmængden er et interval!) Da argumentet handler om differentiation, og ikke integration, vil vi dog gemme det til en andet dokument 5 og bare blive enige om at G selvfølgelig er nødt til at være konstant. Nu er der kun tilbage at give G s konstante funktionsværdi et navn (lad os sige: k) og konkludere at eftersom: F 1 (x) F 2 (x) = G(x) = k så er F 1 (x) = F 2 (x) + k Øvelse 7. Sætning 5 og 6 er nærmest spejlbilleder af hinanden. I sætning 6 har vi dog sneget en ekstra antagelse ind om at funktionerne er defineret på et åbent interval. Prøv at argumentere for hvorfor denne antagelse er nødvendig. Det gør man ved at glemme antagelsen og vise at sætningen derved bliver forkert. Med andre ord: Find et eksempel på en funktion som har to forskellige stamfunktioner, hvor disse to stamfunktioner ikke bare afviger med en konstant. (Det er selvfølgelig en god ide at kigge efter en funktion som ikke er defineret på et åbent interval.) Indtil nu har vi set at hvis en funktion bare har en enkelt stamfunktion, så har den uendeligt mange andre, og de fremkommer alle sammen ved at lægge en konstant til den stamfunktion man allerede har. 5 Du kan finder argumentet her side 6
Vi mangler at holde styr på hvilke funktioner der overhovedet har stamfunktioner. Det handler den næste sætning om: Sætning 8 (Analysens Fundamentalsætning, del 1). Hvis f er en funktion som er defineret på et åbent interval: ]a; b[ og som er kontinuert, så har f en stamfunktion. Vi kommer overhovedet ikke i nærheden af at bevise Analysens Fundamentalsætning i dette dokument. (Som navnet antyder, er det en temmelig tung sætning.) I stedet vil vi lige overveje hvor underlig den egentlig er. 2.2 Det seje ved analysens fundamentalsætning Dette afsnit skal betragtes som underholdning for de mest ambitiøse og interesserede læsere. Du kan uden problemer springe det over og hoppe videre til afsnit 2.3. Sætning 8 er fantastisk. Den siger løst sagt at alle kontinuerte funktioner har stamfunktioner. Det er ikke særligt svært for en funktion at være kontinuert (eftersom enhver differentiabel funktion automatisk er kontinuert, er det f.eks. nemmere at være kontinuert end at være differentiabel), så man kan tænke på at de fleste funktioner er kontinuerte. Dette kan virke mystisk, hvis man tænker over antallet af kontinuerte funktioner i forhold til de differentiable. Hvis hver eneste kontinuert funktion skal have uendeligt mange differentiable funktioner som stamfunktioner (se figur 1), hvordan kan der så være flere kontinuerte funktioner end differentiable? Dette tilsyneladende paradoks skyldes at man skal passe på med at tale om antallet af funktioner. Det viser sig at der godt kan være flere kontinuerte funktioner end differentiable og også være flere differentiable funktioner end kontinuerte, fordi der er uendeligt mange af begge dele 6. 6 Læs mere om kardinalitetsbegrebet og uendelighed her side 7
Figur 1: Hver eneste kontinuert funktion har uendeligt mange stamfunktioner. Mere mystik I betragtning af at alle kontinuerte funktioner har stamfunktioner er det overraskende hvor svært det kan være at finde en stamfunktion i praksis. Allerede en uskyldig produktfunktion, som f.eks. f, givet ved: f(x) = x cos(x) kan være ret svær at finde en stamfunktion til (prøv selv!) Det er endnu værre med sammensatte funktioner, som f.eks. g, givet ved: g(x) = cos(x) 2 Og det bliver hurtigt helt vanvittigt. F.eks. kan jeg roligt udlove øl, chokolade og andre præmier til enhver der finder 7 mig en stam- 7 I forstanden: Opskriver et funktionsudtryk for en stamfunktion, udelukkende ved at bruge almindelige regneoperationer. Altså: Ingen grænseværdier, ingen integraltegn, og ingen navne på funktioner som er defineret seperat (såsom Fresnel funktionerne). side 8
funktion til funktionen h, givet ved: h(x) = cos(x 2 ) Eksempel 9. Nogle funktioner har stamfunktioner som slet ikke kan skrives op med almindelige regneoperationer. Et ekstremt vigtigt eksempel er funktionen f, givet ved a : f(x) = 2 π e x2 Denne funktion er pæn og kontinuert (dens graf er tegnet på figur 2), og derfor har den en stamfunktion ifølge sætning 8. Man kan bevise at det ikke kan lade sig gøre at opskrive et funktionsudtryk for en stamfunktion til f, alene ved at bruge almindelige regneoperationer. Eftersom lige netop denne funktions stamfunktioner er utroligt vigtige b har man i stedet valgt at navngive en af dem, nemlig den som har funktionsværdien nul når man tager den i nul. Denne stamfunktion er kendt under navnet Erf c, og man kan altså definere den ved at kræve at: Erf(0) = 0 og at Erf (x) = f(x) hvor f er funktionen defineret ovenover. a Konstanten, 2 π, som er ganget på funktionen, gør det hverken nemmere eller sværere at finde en stamfunktion. Grunden til at have den med er ret teknisk, men det har noget at gøre med anvendelsen af funktionen i sandsynlighedsteori, statistik, kvantemekanik m.m. hvor man ønsker et bestemt areal mellem grafen og x-aksen. (Kan du gætte hvilket?) b Du kan læse lidt om dem her side 9
c Det er en forkortelse for Error function. Navnet skyldes ikke at den kan få lommeregnere til at gå i sort, men derimod at den optræder i forbindelse med statistiske beskrivelser af måleusikkerheder. 1-3 -2-1 0 1 2 3 Figur 2: Grafen for funktionen f i eksempel 9. Endnu mere mystik: Analysens fundamentalsætning siger at alle kontinuerte funktioner har en stamfunktion. Den siger ikke at det er de eneste funktioner som har stamfunktioner. Der findes masser af funktioner som har stamfunktioner uden at være kontinuerte. Disse gyselige monstre er dog sværere at få øje på end man lige skulle tro. Eksempel 10. Funktionen, F, givet ved gaffelforskriften: F (x) = { x2 sin ( ) 1 x, når x 0 0, når x = 0 side 10
er faktisk differentiabel i alle reelle tal (også i x = 0). Dens afledede funktion er: { ( ( ) 2x sin 1 F (x) = x) cos 1 x, når x 0 0, når x = 0 hvilket ikke er kontinuert i x = 0. (Prøv at tegne grafen!) F er altså en funktion som ikke er kontinuert, men som alligevel har en stamfunktion. side 11
2.3 Generelle regler Enhver regel for differentiation kan vendes om til en regel om stamfunktioner. Vi har samlet de vigtigste regler her. Basale funktionstyper Funktionen, f, givet ved: har en stamfunktion, F, givet ved: f(x) = k (k R) F (x) = k x f(x) = x a (a 1) F (x) = 1 a+1 xa+1 f(x) = cos(x) f(x) = sin(x) f(x) = e x F (x) = sin(x) F (x) = cos(x) F (x) = e x f(x) = x 1 (x > 0) F (x) = ln(x) f(x) = ln(x) (x > 0) F (x) = x ln(x) x Regneregler Funktion Stamfunktion Forklaring f + g F + G F er en stamfunktion til f G er en stamfunktion til g f g F G F er en stamfunktion til f G er en stamfunktion til g k f k F k er en konstant F er en stamfunktion til f side 12
Der findes to regneregler mere, ved navn substitution 8 og den partielle metode 9. Dem gemmer vi dog til et andet dokument. Øvelse 11. Find stamfunktioner til funktionerne f 1, f 2,... f 7 givet ved: f 1 (x) = sin(x) + cos(x) f 2 (x) = sin(x) 2 f 3 (x) = 3 e x 2 x + cos(x) f 4 (x) = 3 x 2 f 5 (x) = 7 x 2 f 6 (x) = 3x 3 + 4x 2 x + 6 f 7 (x) = e x sin(x) + e x cos(x) Husk hver gang at tjekke at du har fundet en rigtig stamfunktion ved at differentiere den og se at det giver det rigtige. 2.4 Huskeregler Som du kan se, er der desværre ikke så mange generelle regler for at finde stamfunktioner. 2.5 Udvalgte beviser Alle reglerne i sidste afsnit kan bevises ved at man differentierer den påståede stamfunktion og viser at det giver det rigtige. Her tager vi kun to af dem. 8 Læs om substitutionsmetoden her 9 Læs om den partielle metode her side 13
Sætning 12. Funktionen f, givet ved: f(x) = ln(x) (x > 0) har en stamfunktion, F, givet ved: F (x) = x ln(x) x (x > 0) Bevis. Vi differentierer F. Der er i første omgang to led (adskilt af et minus) som skal differentieres hver for sig. Det første af disse led består af et produkt, så her skal vi bruge reglen for differentiation af produkter: F (x) = 1 ln(x) + x 1 x 1 = ln(x) + 1 1 = ln(x) Sætning 13. Hvis f er en funktion som har en stamfunktion, F, og k R er en konstant, så har funktionen, g, givet ved: en stamfunktion, G, givet ved: g(x) = k f(x) G(x) = k F (x) Bevis. Vi differentierer G for at vise at den er stamfunktion til g: G (x) = k F (x) = k f(x) = g(x) side 14
2.6 Lommeregnere og stamfunktioner At finde en stamfunktion er ikke en udregning! Man kan udtrykke det som: At differentiere er håndværk. At finde stamfunktioner er kunst. Derfor er lommeregnere og andre maskiner ikke brugbare til at bestemme stamfunktioner! Når nogle lommeregnere alligevel har indbygget stamfunktionsberegning, så siger det mere om hvor naive producenterne er end det siger om lommeregnerens kvalitet. Ofte vil den slags lommeregnere lave nogle helt ubrugelige omskrivninger når man beder den om at beregne stamfunktioner. Hvis f.eks. beder den om at finde sin(x 2 ) dx (altså om en stamfunktion til sin(x 2 ) så kan den finde på at give resultatet: 2 2 sin(x2 ) dx Og selvom dette ganske rigtigt er det samme som det vi bad om, så er det ikke ligefrem nyttigt. Endnu værre, kan man risikere at en beregning 10, som burde kunne udføres af lommeregneren, ikke bliver udført fordi lommeregneren undervejs leder efter en stamfunktion som den ikke kan finde. Hvis du alligevel har lyst til at lege med en maskine i forbindelse med stamfunktioner, så smid lommeregneren langt væk og brug et ordentligt matematikprogram 11. 10 Beregning af såkaldte bestemte integraler er ofte et pinligt eksempel. 11 Der ligger f.eks. et på internettet her side 15
2.7 Resumé Vi slutter dette afsnit med nogle slogans der opsummerer de vigtigste pointer. De er gode at lære udenad. At finde en stamfunktion svarer til at differentiere baglæns. Man bør tænke på det som en guess and check leg, hvor man i første omgang gætter (mere eller mindre velovervejet) på en funktion og bagefter undersøger om denne funktion giver det rigtige når man differentierer den. En given funktion kan godt have mere end én stamfunktion. Hvis F er en stamfunktion til f, så kan man lave en anden stamfunktion ved at lægge en konstant til F. To forskellige stamfunktioner til den samme funktion vil altid afvige med en additiv konstant, hvis de er defineret på åbne intervaller. Alle kontinuerte funktioner har stamfunktioner. Det er meget svært at finde stamfunktioner i praksis. De få regneregler som findes er samlet i afsnit 2.3 Lommeregnere og andre maskiner duer ikke til at finde stamfunktioner, blandt andet fordi der findes funktioner hvis stamfunktioner slet ikke kan skrives op med almindelige regneudtryk. 3 Ubestemt integration At finde en stamfunktion er altså en omvendt proces i forhold til at differentiere. Derfor kalder man det også for at integrere 12 en funktion når man finder en stamfunktion til den. 12 At differentiere betyder noget i retning af at skille ad. Man kan tænke på det som at man går ind i hvert eneste punkt på grafen og splitter funktionen ad for at måle dens grafhældning. Omvendt betyder integrere jo samle eller gøre til en helhed. Altså det omvendte af at differentiere. side 16
Der er dog to forskellige processer som har fået navnet integration. For at kende forskel på dem taler vi om enten bestemt eller ubestemt integration. Og det er altså ubestemt integration vi snakker om lige nu 13. 3.1 Det ubestemte integraltegn Hvis f er en funktion, så har man opfundet et symbol som betyder en stamfunktion til f. Det ser sådan her ud: f(x) dx Som vi skal se nærmere på i næste afsnit, så er det et meget svært tegn at bruge rigtigt. I første omgang skal man lægge mærke til følgende: Det ubestemte integraltegn består af to halvdele: Det aflange s - agtige tegn og dx. De fungerer som en slags parentes rundt om den funktion som man leder efter stamfunktioner til. Det ubestemte integraltegn er ikke en regneoperation lige som plus, gange eller for den sags skyld differentiation. Problemet er at hvis en funktion overhovedet har en stamfunktion, så har den uendeligt mange. Det betyder at det ubestemte integral af en en funktion kan være lig med flere forskellige funktioner på en gang. Og der er ikke en som er mere rigtig en de andre. For at løse dette problem er der mange som bruger det ubestemte integraltegn til at betyde alle stamfunktionerne på en gang! Dette har dog en anden ulempe, nemlig at det ubestemte integraltegn symboliserer et meget kompliceret matematisk objekt, nemlig en mængde af funktioner. 13 Du kan læse om bestemt integration her side 17
3.2 Et dumt tegn Det ubestemte integraltegn er et temmeligt besværligt tegn at have med at gøre, fordi det er meget nemt at komme til at bruge det forkert. Problemet er at selvom f er en given funktion, så er betydningen af f(x) dx temmeligt uklar. Der er hele tre betydninger, som hver har deres svagheder. Næste gang du møder en person som bruger tegnet, så prøv at spørge hvilken af de tre betydninger han eller hun mener det har. 1: Det er en funktion Dette er den betydning som de fleste vil påstå er den rigtige. Desværre vil de fleste som påstår dette på et eller andet tidspunkt lave en fejl i deres notation, hvor de forveksler funktioner med deres funktionsværdier. F.eks. ville det med denne betydning af tegnet være korrekt at skrive: cos(x) dx = sin og endnu værre: Hvis f er en funktion, så vil f(x) dx være en stamfunktion til f, og dermed vil det være korrekt at skrive stamfunktionens værdi i f.eks. 17 som: f(x) dx(17) Et andet problem ved denne betydning er at tegnet er ekstremt farligt at bruge sammen med lighedstegn. Fordi hvis F 1 (x) = x 2 + 3 side 18
og F 2 (x) = x 2 + 80 så er både F 1 og F 2 stamfunktioner til funktionen f givet ved: f(x) = 2x Derfor kan man skrive at: f(x) dx = F1 og f(x) dx = F 2 Men så må der vel gælde at: F 1 = F 2, og derfor at x 2 + 3 = x 2 + 80 Det medfører umiddelbart at 3 og 80 er det samme tal, og det er ikke så heldigt. 2: Det er en funktions værdi i integrationsvariablen De fleste mennesker som påstår at betydning nummer 1 er den rigtige mener i virkeligheden dette. Nemlig at f(x) dx er et udtryk for funktionsværdien af en stamfunktion til f i integrationsvariablen. På den måde er det for eksempel korrekt at skrive: cos(x) dx = sin(x) og 2x dx = x 2 + 17 Udover at dette er en ekstremt snørklet betydning, så lider denne definition af samme problem som den første, nemlig at tegnet kan betyde to forskellige ting på en gang. side 19
3: Det er en mængde af funktioner Dette er en populær måde at lappe problemet med at integraltegnet kan betyde to forskellige ting på en gang på. Man kan vælge at symbolet f(x) dx betyder: mængden af alle stamfunktioner til f. På den måde bliver det forkert kun at skrive x 2 dx = 1 3 x3 I stedet skal man altså skrive: x 2 dx = {f k k R}, hvor f k (x) = 1 3 x3 + k 4: Det er en mængde af funktioner repræsenteret ved deres værdi i integrationsvariablen Dette er faktisk den eneste helt korrekte betydning af tegnet. Til gengæld er den efterhånden blevet så kompliceret at ingen fatter hvad det betyder længere. På denne måde bliver det korrekt at skrive: { } 1 x 2 dx = 3 x3 + k k R Eller som de fleste plejer at skrive det: x 2 = 1 3 x3 + k, k R 3.3 Opsummering Det ubestemte integraltegn betyder altså hverken mere eller mindre end en stamfunktion til eller alle stamfunktionerne til. Faktisk kan man sagtens vælge aldrig at bruge det (det gør jeg selv!) side 20
Men man er nødt til at vide hvad det betyder fordi andre kan finde på at bruge det. Det vigtigste at huske på er følgende: Facts om det ubestemte integral Det ubestemte integral består at to dele: og d, og de optræder altid sammen. Den første halvdel læses som integralet af og den anden halvdel læses som med hensyn til. Den første halvdel skal efterfølges af et funktionsudtryk. Altså ikke bare navnet på en funktion, men dens værdi i det samme symbol som står efter d et. Den sidste halvdel kan også være dy, da eller ligefrem dd hvis man er i et fjollet humør. Bogstavet som står efter d kaldes integrationsvariablen. Selvom man beregner det ubestemte integral af en funktion, så skriver man funktionens værdi i integrationsvariablen. Selvom det ubestemte integral beregner en funktion (eller en mængde af funktioner), så skriver man denne funktions (eller disse funktioners) værdi i integrationsvariablen. 4 Bevægelse: En anvendelse Differentiation og integration er oprindeligt opfundet for at beskrive det fysiske fænomen bevægelse. Vi vil her nøjes med at tale om bevægelsen af en enkelt partikel som bevæger sig langs en ret linje, fordi vi på den måde kan tale om en position der kan angives med et enkelt tal som afhænger af tiden. (Det er dog ikke så svært at forestille sig hvad der skal til hvis der er flere partikler som bevæger sig i flere dimensioner ) side 21
Eksempel 14. En person der hopper ud fra et tårn vil som regel falde ned og slå sig. Dette har været velkendt lige så længe der har eksisteret personer (og tårne). Galileo Galilei (som mange vil påstå er en af den moderne videnskabs absolutte fædre) indså i 1500-tallet noget ret fantastisk: Nemlig at hvis man ignorerede luftmodstanden, så ville to forskellige personer (eller andre ting) falde på samme måde uanset hvor meget de vejede. Men det var først 200 år senere at Isaac Newton formåede at beskrive præcist på hvilken måde de ville falde og hvorfor. Det klarede han præcis fordi han lige havde opfundet differentiation, og dermed også stamfunktionsbegrebet. Det som Newton indså var at hvis h(t) var den funktion som beskrev personernes højde over jorden som funktion af tiden, så var den helt essentielle størrelse at snakke som: h (t) Den anden afledte af h betegner nemlig accelerationen af personerne altså ændringsraten af deres hastighed. Og det som Newton indså at man kunne sige var at: h (t) = g 9,82m/s 2 altså sagt med ord: Alle genstande som falder frit i tyngefeltet (ihvertfald så længe man holder sig i nærheden af jordens overflade) bliver udsat for præcis den samme acceleration! Dette er faktisk et stamfunktionsproblem. Eller mere præcist: To stamfunktionsproblemer lige efter hinanden. side 22
5 Differentialligninger En differentialligning er en ligning, hvor den ukendte størrelse er en funktion. Denne tanke tager ret lang tid at vænne sig til, så vi kan lige så godt nævne det allerede nu. Det viser sig nemlig at når man finder stamfunktioner til en given funktion, så løser man nemlig i virkeligheden et (forholdsvist uskyldigt) eksempel på en differentialligning. Vi begynder med at definere lidt mere præcist hvad vi mener: Definition 15. En differentialligning er en ligning, hvori der indgår en ukendt funktion, og hvor denne funktion optræder differentieret en eller flere gange. Den højeste antal gange den ukendte funktion er differentieret kaldes ordenen af differentialligningen. At løse en differentialligning vil sige at finde alle de funktioner som (sammen med deres afledede funktioner) får ligningen til at gælde. Eksempel 16. Her er en differentialligning: f (x) = f(x) Ligningen har orden 2, fordi den ukendte funktion f maksimalt forekommer differentieret to gange. En løsning til denne ligning består altså i en funktion, f, som giver sig selv når den differentieres to gange. Det er meget let at gætte en enkelt løsning, nemlig funktionen f, defineret ved: f(x) = e x En lidt mere overraskende løsning er måske funktionen g, defineret side 23
ved: g(x) = 1 e x = e x Og vi er bestemt ikke færdige! Hvis man tænker sig om kan man hurtigt finde uendeligt mange funktioner som opfylder ligningen. Nemlig alle funktioner, h, defineret ved: h(x) = a f(x) + b g(x) hvor a og b er vilkårlige reelle tal. Og selv derefter er det meget svært indse om der findes endnu flere. Øvelse 17. Her er en differentialligning af fjerde orden: f (x) = f(x) Hvor mange løsninger kan du finde til denne ligning? Eksempel 18. Der kan sagtens indgå kendte funktionsudtryk i en differentialligning sammen med den ukendte funktion. Det åbner muligheder for endnu mere komplicerede ligninger. Her er et eksempel på en ret ond ligning af anden orden: f (x) + f(x) cos(x) = x 2 + e x En løsning til denne ligning består af en funktion, f, hvor f (x)+ f(x) cos(x) giver det samme som x 2 +e x uanset hvilket x man sætter ind. Kan du finde en løsning? (Jeg aner ikke om der er nogen!) side 24
5.1 Stamfunktioner og differentialligninger Nu kan vi så sige hvorfor stamfunktionsproblemet i virkeligheden er en light udgave af en differentialligning. Når man finder stamfunktioner til en given funktion, f, f.eks. f(x) = x 4 + x 2 så leder man efter funktioner, g, som opfylder at: g (x) = x 4 + x 2 Dette er i virkeligheden en differentialligning, eller helt præcist: En simpel 14 differentialligning af første orden. 14 Ordet simpel bruges fordi den ukendte funktion, g, kun optræder et enkelt sted i ligningen. side 25