Stokastiske processer og køteori 2. kursusgang Anders Gorst-Rasmussen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1
STOKASTISK MODEL FOR KØSYSTEM Population Ankomst Kø Ekspedition Output Ankomstproces T 1, T 2,... (ankomsttid per kunde). Kødisciplin (rækkefølge for service). Ekspeditionstidsproces S 1, S 2,... (servicetid per kunde). Dagens emne: ankomstprocesser. STOKASTISK MODEL FOR KØSYSTEM 2
ANKOMSTPROCESSER Bank. Kunder til pengeautomat. Hospital. Patienter på venteliste. Produktionssystem. Ordretilgang, råvaretilgang. Arrest-til-grundlovsforhør. Anholdte. Vi skal se på ankomstprocesser, som er fornyelsesprocesser: T n = n U i, U i uafhængige og identisk fordelte, n = 1, 2,... i=1 Yderpunkter i denne klasse: Fuldstændig tilfældige ankomster (Poissonproces). Deterministiske ankomster. ANKOMSTPROCESSER 3
TÆLLEPROCESSER Fremfor er at se på ankomsttidspunkter alene, er det praktisk at se på kumuleret antal ankomster op til tid t. Denne størrelse er en tælleproces dvs. 1. N(0) = 0 og N(t) 0; 2. N(t) {0, 1,...}; 3. N(s) N(t) for s < t; 4. N er højrekontinuert (med grænseværdier fra venstre). Hvis N beskriver antal ankomne kunder N(t) N(s) = antal ankomster i intervallet [s, t). Hvis T 1, T 2,... betegner ankomsttider, så gælder N(t) = max{n : T 1 + T 2 + + T n t} TÆLLEPROCESSER 4
EKSEMPEL ANKOMSTER TIL CALLCENTER Antal kunder 0 10 20 30 40 8 10 12 14 16 18 20 22 Timer EKSEMPEL ANKOMSTER TIL CALLCENTER 5
POISSONPROCESSEN Definition 1 (Andersen (2001), p. 8) En tælleproces N er en Poissonproces m. intensitet λ > 0 hvis 1. Antal ankomster i disjunkte tidsintervaller er uafhængige. 2. P(N(t + h) N(t) = n) = 1 λh o(h) n = 0; λh + o(h) n = 1; o(h) n > 1, hvor o(h) betegner en størrelse, så lim h 0 o(h)/h = 0. Betingelse 2 er den præcise måde at skrive følgende på: 1 λ t n = 0; P(N(t + t) N(t) = n) = λ t n = 1;, t lille. 0 n > 1, POISSONPROCESSEN 6
Definition 2 (Andersen (2001), p. 9-10). N er en Poissonproces med intensitet λ hvis og kun hvis 1. Antal ankomster i disjunkte tidsintervaller er uafhængige. 2. N(t) Poisson(λt), t 0. Definition 3 (Andersen (2001), p. 11). N er en Poissonproces med intensitet λ hvis og kun hvis T 1 Exp(λ), T n T n 1 Exp(λ), n > 1 hvor Exp(λ) betegner eksponentialfordelingen m. parameter λ, dvs. sandsynlighedsfordelingen med tæthedsfunktion f(x) = λe λx, x 0. POISSONPROCESSEN 7
HVAD BETYDER DEFINITIONERNE? Definition 1 (den smarte). Højest én ankomst i et lille tidsinterval. Sandsynlighed for én ankomst proportional m. intervallængde: dvs. på små intervaller ligner Poissonprocessen en ligefordeling (alle punkter er lige sandsynlige ankomsttidspunkter). Definition 2 (den intuitive). Antal ankomster i et fast tidsinterval er Poissonfordelt med parameter proportional med længden af tidsintervallet (den præcise udgave af Def. 1). Definition 3 (den praktiske). Vi kan konstruere en Poissonproces med parameter λ ved følgende algoritme: 1. Simulér uafhængige eksponentialfordelte variable U n Exp(λ) (interankomsttider). 2. Sæt N(t) = max{n : U 1 + U 2 + + U n t}. HVAD BETYDER DEFINITIONERNE? 8
Poissonproces med parameter 1 Ankomsttider 0 2 4 6 8 10 14 0 5 10 15 Tid 0 5 10 15 Tid Poissonproces med parameter 3 Ankomsttider 0 10 20 30 40 0 5 10 15 Tid 0 5 10 15 Tid HVAD BETYDER DEFINITIONERNE? 9
VENTETIDEN PÅ EN ANKOMST Husk fra opgaveregningen: eksponentialfordelingen er hukommelsesløs. Dvs. hvis X Exp(λ) P(X > s + t X > s) = P(X > t); Med ord den viden, at vi har ventet s tidsenheder på en ankomst, fortæller os intet om, hvor længe vi skal vente endnu. Hvis derfor A(t) = ventetid på næste ankomst til et vilkårligt tidspunkt t i Poissonproces med intensitet λ gælder A(t) Exp(λ). A kaldes den forlæns rekurrenstid. VENTETIDEN PÅ EN ANKOMST 10
FULDSTÆNDIGT TILFÆLDIGE ANKOMSTER N Poissonproces med intensitet λ. Beting med hændelsen N(t) = 1 (én ankomst i [0, t)). Hvordan er ankomsttidspunktet T fordelt på [0, t)? P(T s N(t) = 1) = P(T s N(t) = 1) P(N(t) = 1). Af uafhængighed af ankomster i disjunkte intervaller Heraf P(T s N(t) = 1) = P(N(s) = 1 N(t) N(s) = 0) P(T u N(t) N(s) = 1) = λs λt = s t. Med ord betinget fordeling af T er en ligefordeling på [0, t). Tilsvarende for det generelle tilfælde N(t) = n. FULDSTÆNDIGT TILFÆLDIGE ANKOMSTER 11
EGENSKABER VED POISSONPROCESSEN 1. E(N(t)) = λt (middelværdi i Poissonfordeling). 2. Var(N(t)) = λt (varians i Poissonfordeling). 3. N er en Markovproces m. diskret tilstandsrum N 0 (definition 3). 4. N er en stationær Markovproces (definition 1). Bevaringsegenskaber: Sum. Hvis N i uafhængige Poissonprocesser med int. λ i, i = 1, 2 N 1 (t) + N 2 (t) Poisson(λ 1 + λ 2 ) Udtynding. Lad N være en Poissonproces med int. λ. Hvis Ñ er tælleprocessen, som fremkommer ved uafhængigt at hver ankomst i N med sandsynlighed p, så er Ñ en Poissonproces med int. pλ. EGENSKABER VED POISSONPROCESSEN 12
POISSON ARRIVALS SEE TIME AVERAGES (PASTA) Køsystem med tilstande 1, 2,...,n (antal kunder) og P i (t) sandsynlighed for tilstand i til tid t (sandsynlighedsfordeling for ekstern observatør). Π i (t) sandsynlighed for tilstand i lige før en ankomst til tid t (sandsynlighedsfordeling for intern observatør). Poisson ankomstproces P i (t) = Π i (t). Dvs. sandsynligheden for i kunder i systemet til tid t afhænger ikke af, om t er et ankomsttidspunkt. Egenskaben gælder kun generelt for Poisson ankomster. Modeksempel: 1 server, 1 mulig kunde, tilstande ledig (0) og optaget (1). Hvis kunde anmoder om service til tid t, Π 0 (t) = 1, Π 1 (t) = 0. Men P 0 (t) < 1, hvis ekspedition til tid t. POISSON ARRIVALS SEE TIME AVERAGES (PASTA) 13
ET ARGUMENT FOR PASTA Lad C(t, h) = en kunde ankommer i intervallet (t, t + h). Så gælder P(C(t, h)) = λh + o(h) uafhængigt af N(t). Dvs. Π i (t) = lim h 0 P(N(t) = i C(t, h)) = P(N(t) = i)p(c(t, h)) P(C(t, h)) = P(N(t) = i) = P i (t). Hvad kan vi bruge PASTA til?: Andel af kunder, som finder systemet i en bestemt tilstand i det lange løb er lig andel af tid, systemet befinder sig i denne tilstand. Vi behøver altså kun at se på systemet til ankomsttidspunkterne. ET ARGUMENT FOR PASTA 14
ERLANGPROCESSER Ankomstprocesser ofte mere regulære end Poissonprocessen. Brug da Erlangprocesser. En tælleproces N er en Erlangproces r med intensitet λ hvis den fremkommer ved at udvælge hver r te ankomst i en Poissonproces m. intensitet rλ > 0. Erlangprocessen arver flg. egenskaber fra Poissonprocessen: 1. Markovproces med diskret tilstandsrum N 0. 2. Stationær. Husk! Interankomsttider i Poissonprocessen m. intensitet λ er uafhængigt Exp(λ)-fordelt (definition 3). Dvs. for T en (vilkårlig) interankomsttid i Erlangprocessen og U 1,...,U r iid Exp(λ) gælder T U 1 + + U r. ERLANGPROCESSER 15
FORDELINGEN AF T T er ventetiden på, at der er indtruffet r ankomster i Poissonproces med intensitet λ. Dvs. P(T t) = P(N(t) r) = 1 P(N(t) < r) = 1 r 1 n=0 (λt) n n! e λt Fordelingsfkt. for en gammafordeling m. formparameter r og skalaparameter 1/λ T Gamma(r, 1/λ). Gammafordeling med heltallig formparameter kaldes en Erlangfordeling. FORDELINGEN AF T 16
EGENSKABER VED ERLANGFORDELINGEN Tæthedsfunktion (differentiér fordelingsfkt.) f T (t) = λ r (n 1)! tr 1 e λt, t 0. Middelværdi E(T) = r i=1 EU i = 1/λ (brug uafh. af U i er). Varians Var(T) = r i=1 Var U i = 1/(rλ 2 ) (brug uafh. af U i er). Var(T) 0 når r. Dvs. jo større formparameter, jo mere regulær ankomstproces. I grænsen: konstante ankomstintervaller af længde 1/λ. EGENSKABER VED ERLANGFORDELINGEN 17
FLERE EGENSKABER VED ERLANGPROCESSEN Lad N r (t) være antallet af ankomster i et interval af længde t, startet et tilfældigt sted, for en Erlangproces af orden r med intensitet λ. Middelværdi E(N r (t)) = λt. Varians Var(N r (t)) λt/r, t r/λ. Lad s være et vilkårligt tidspunkt og Y r ventetid på første ankomst efter s. Middelværdi: E(Y r ) = (r + 1)/(2λ 2 ) E(Y ) = 1/(2λ) < E(Y r ) < E(Y 1 ) < 1/λ (middelværdier monotone i r). FLERE EGENSKABER VED ERLANGPROCESSEN 18
ANKOMSTPROCESSER I ENTERPRISE DYNAMICS Stort udvalg i klassen af fornyelsesprocesser, dvs. T n = n U i, i=1 U i uafhængige og identisk fordelte Eksempelvis NegExp(a) Eksp. fordelte (Poisson ankomstproces). Erlang(r, a) Erlangfordelte (Erlang ankomstproces). Gamma(r, a) Gammafordelte. Max(0,Normal(µ, σ 2 )) Normalfordelte. Uniform(a, b) Ligefordelte. Triangular(a, b, c) Trekantsfordelte. ED kan tilsyneladende kun håndtere fornyelsesprocesser. ANKOMSTPROCESSER I ENTERPRISE DYNAMICS 19
HVAD HVIS TINGENE IKKE ER STATIONÆRE? Vi har set på ankomstprocesser, som er fornyelsesprocesser T n = n U i, i=1 U i uafhængige og identisk fordelte Ankomstrate λ(t) = EN(t)/t generelt konstant for disse. Hvad hvis λ varierer i tid (ikke-stationaritet)? Modellér fx ankomstproces som inhomogen Poissonproces: 1. Antal hændelser i disjunkte intervaller uafhængige. 2. 1 λ(t)h o(h) n = 0; P(N(t + h) N(t) = n) = λ(t)h + o(h) n = 1; o(h) n > 1, HVAD HVIS TINGENE IKKE ER STATIONÆRE? 20
SIMULATION AF INHOMOGENE POISSONPROCESSER Antag intensitetsfunktion λ så λ(t) a for en konstant a. 1. Simulér en stationær Poissonproces Ñ med intensitet a. 2. Udtynd blandt ankomster T 1, T 2,... sådan at P(behold ankomst T i ) = λ( T i )/a. 3. Konstruér N fra de tilbageværende ankomster. SIMULATION AF INHOMOGENE POISSONPROCESSER 21
Intensitetsfunktion Poissonproces med intensitet 2 0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 0 10 20 30 40 50 0 5 10 15 20 25 Tid 0 5 10 15 20 25 Tid SSH for at beholde ankomst Inhomogen Poissonproces 0.00 0.05 0.10 0.15 0.20 0 5 10 15 20 25 0 5 10 15 20 25 Tid 0 5 10 15 20 Tid SIMULATION AF INHOMOGENE POISSONPROCESSER 22