Dagens program Afsnit 1.4-1.6 Kombinatorik - Permutationer - Kombinationer Udtagelse af stikprøver - Population - Med og uden tilbagelægning Eksempler 1
Sandsynligheder Udfaldsrum Ω = {ω 1,..., ω N } hvor alle udfald er lige sandsynlige, dvs. P (ω i )=1/N for alle i =1,..., N. En hændelse E Ω, derbestårafk udfald Sandsynligheden for E er givet ved P (E) = Antal udfald i E Antal udfald i Ω = k N 2
Kombinatorik I eksperimenter, hvor alle udfald er lige sandsynlige, er det nødvendigt at kunne tælle antallet af udfald. Definition: Multiplikationsprincippet For et eksperiment E sammensat af k eksperimenter E 1,..., E k, hvor antallet af udfald i E i er n i,erantalletafudfaldie lig med n 1 n 2... n k. Eksempel 2, (fra sidst): Rækkefølgen af piger og drenge i familier med 3 børn: 1. Eksperiment: n 1 =2 2. Eksperiment: n 2 =2 3. Eksperiment: n 3 =2 Antal mulige udfald: 2 2 2=8 3
Bemærk: Hvis antallet af udfald i et eksperiment afhænger af det foregående eksperiment, så gælder multiplikationsprincippet ikke. Eksempel 2, (fortsat): Familien får børn, indtil der bliver født en dreng. Dog højst 3 børn. Udfaldsrummet: Ω = {D,PD,PPD,PPP} 1. Eksperiment: n 1 =2 2. Eksperiment: Der er 0 udfald hvis udfaldet i Eksperiment 1 er en dreng og 2 udfald hvis udfaldet i Eksperiment 1 er en pige. 4
Problemstilling: Udvælgelse af n elementer ud af gruppe med N elementer. Hvor mange måder kan dette gøres på? Rækkefølgen betyder noget: Permutationer Rækkefølgen betyder ikke noget: Kombinationer Eksempel 3: Udvælge 10 tilfældige personer ud af gruppe på 150 personer A. Rækkefølgen betyder noget B. Rækkefølgen betyder ikke noget 5
A: (ordnet) 1. Eksperiment: Udvælge 1 person ud af 150: n 1 =150 2. Eksperiment: Udvælge 1 person ud af 149: n 2 =149... 10.Eksperiment:Udvælge1personudaf141:n 10 =141 Antal mulige udfald: n 1 n 2... n 10 =150 149... 141 = (150) 10 =4.2440786 10 21 6
B: (ikke ordnet) I forhold til A er antallet af udfald mindre - hvor meget mindre? Rækkefølgen af de 10 udvalgte personer: Person nummer 1 kunne være udvalgt som nummer 1,2,...,10, altså på 10 måder Person nummer 2 kunne være udvalgt som nummer 1,2,...,9, altså på 9 måder... Person nummer 10 kunne være udvalgt på 1 måde Der er 10 9... 1 = 10! = 3628800 forskellige rækkefølger af de 10 personer Antal mulige udfald uden ordning: (150 149... 141) / (10 9... 1) = (150) 10 /10! = 1.1695543 10 15 Der er 10! = 3628800 gange så mange udfald i A som i B. 7
Resultat: Antal permutationer : (N) n = N (N 1)... (N n +1) Antal kombinationer : µ N n = N (N 1)... (N n +1) n (n 1)... 3 2 1 Definition: Binomialkoefficient µ N n = N! n!(n n)! = N (N 1)... (N n +1) n (n 1)... 3 2 1 Bemærk: Vi har N objekter af to typer. Der er n af type 1 og (N n) af type 2. Binomialkoefficienten angiver antallet af forskellige sekvenser af type 1 og type 2 objekter. 8
Eksempel 3, (fortsat): Du er blandt en gruppe bestående af 150 personer. 10 personer udvælges tilfældigt. Hvad er sandsynligheden for, at du er blandt de 10 udvalgte? Betyder rækkefølgen noget? Udfaldsrummet Ω: E : Du er blandt de 10 udvalgte Antal udfald i udfaldsrummet: Antal udfald i hændelsen E : P (E) = Antal udfald i E Antal udfald i Ω = 9
Eksempel 5, (fra sidst): En prøve i matematik består af 4 spørgsmål med hver 2 svarmuligheder - et forkert svar og et rigtigt svar. Hvis man gætter: 1. spørgsmål: 2 mulige svar 2. spørgsmål: 2 mulige svar 3. spørgsmål: 2 mulige svar 4. spørgsmål: 2 mulige svar Ialt2 2 2 2=16mulige udfald, som alle er lige sandsynlige Hvor mange udfald har 2 rigtige svar: 4 2 =6 Hvor mange udfald har 3 rigtige svar: 4 3 =4 10
Eksempel 6: En gruppe med 23 personer. Hvad er sandsynligheden for, at mindst 2 personer har fødselsdag på samme dag? Udfaldsrummet Ω : A : Mindst 2 personer har fødselsdag samme dag 11
Udtagelse af tilfældig stikprøve Hvorfor udtage stikprøver? Eksempler på spørgsmål man kunne være interesseret i: Hvad ville udfaldet blive, hvis der var Folketingsvalg? Hvor mange tror huspriserne falder de næste 6 måneder? Hvad er den gennemsnitlige indkomst for kvinder over 50 år? Hvor mange har læst afsnit 1.4-1.6 inden denne forelæsning? 12
Man udtager en tilfældig stikprøve fra en population Eksempler på en population: Den danske befolkning De stemmeberettigede Kvinderover50åriDK Fremmødte studerende til denne forelæsning 13
Population: N Stikprøvestørrelse: n Med tilbagelægning: Antal mulige stikprøver: N n Alle er lige sandsynlige Uden tilbagelægning: Antal mulige stikprøver: N n Alle er lige sandsynlige Der er ikke stor forskel på at udtage en stikprøve med eller uden tilbagelægning, når n er lille i forhold til populationen N. 14
Opsummering Udtagning af stikprøver fra en population Kombinatorik: Udvælgelse af n elementer fra gruppe bestående af N elementer Antallet af måder dette kan gøres på - Ordnet: Antal permutationer - Ikke ordnet: Antal kombinationer Anvendelser af kombinatorik ved beregning af sandsynligheder - Alle udfald er lige sandsynlige 15
Næste gang Torsdag gennemgåes: Afsnit 1.7-1.8 - Sandsynligheder i det generelle tilfælde - Hvad er sandsynligheder? Husk: - At lave opgaver til øvelserne 16