Chapter : Simplex metoden til løsning af LP Formål: Udvikling af generel metode til løsning af enhver type LP. Metoden udvikles først for LP i standard form -> max problem alle uligheder af typen Ÿ alle højresider ikke-negative alle variable ikke-negative a) algebraisk introduktion b) tableau form c) opstilling af initialt tableau d) opdatering af tableauer e) identifikation af optimal løsning Derefter: uligheder af typen eller œ -> Big-M metoden negative højresider minimeringsproblemer identifikation af infeasibility unboundedness alternative optimalløsninger degenererede løsninger Endelig tilfældet med frie variable (ej i lærebog) Eksempel: max x 4x s.t. x x Ÿ x Ÿ x x Ÿ x, x Ì
max x 4x s.t. x x s œ () x s œ () x x s œ () x, x ß s, s, s Tegn mulighedsområdet og løs grafisk! Ligningssystemet ()-() består af ligninger i ubekendte. Et ligningssystem med flere ubekendte end antallet af ligninger har sædvanligvis uendeligt mange løsninger. Men vi ved fra den grafiske metode, at optimum til LP findes i et hjørnepunkt. Og hjørnepunktsløsninger svarer til såkaldte basisløsninger. H/>9À En basisløsning til et ligningssystem bestående af 7ligninger i ubekendte med 7findes ved at fixere ( 7) ubekendte til og løse det resulterende ligningssystem bestående af 7 ligninger i 7 ubekendte. De ( 7) fixerede variable betegnes ikke-basisvariable og de resterende 7 variable basis-variable. I det foreliggende problem findes således potentielt ˆ x 4 7 Ð 7Ñx 7x œ œ ( ) ( ) œ basisløsninger. x, " x, s " (og s œs œ) x, " x, s (og s œs œ) x, " x, s (og s œs œ) x, " s, s (og x œs œ) x, " s, s (og x œs œ) x, " s, s (og x œs œ) x, s, s (og x œs œ) x, s, s (og x œs œ) x, s, s (og x œs œ) s, s, s (og x œx œ) " Find disse grafisk! Identificer nogle af basisløsningerne! Bemærk: Kun af de ialt potentielle basisløsninger er brugbare.
Betragt igen problemet i standard form: max x 4x s.t. x x s œ () x s œ () x x s œ () x, x ß s, s, s Bemærk: I enhver række findes netop 'en variabel med koefficient '' i pågældende række og koefficient '' i alle øvrige rækker - nemlig slackvariablen i rækken. Det er derfor meget let at finde en initial basisløsning ved at sætte (x, x ) (, ) og løse det resulterende ligningssystem œ -> (s, s, s ) œ (,, ) Denne løsning kan findes ved opstilling af første del af det initiale simplex tableau: x x s s s Basis cb 4 s s s Er den aktuelle basisløsning bestående af (s, s, s ) optimal? Observation: En basisløsning er optimal, hvis der ikke findes en nabobasis, der kunne give en bedre objektivfunktionsværdi. En nabobasis findes ved at fixere en aktuel basisvariabel til værdi og frigøre en aktuel ikke-basisvariabel fra dens p.t. fixerede værdi. Vi skal altså undersøge, om en tilvækst i enten x eller x (de aktuelle ikke- basisvariable) kan indebære en stigning i z. Lad os først se på ligningssystemet for x : s œ x () s œ () s œ x ()
Heraf følger at hvis x øges med enhed så ) falder s med enheder, ) s er uændret, og ) s falder med enheder. Hvordan påvirker dette objektivfunktionen? s Ê fald i z på s uændret Ê fald i z på s Ê fald i z på hvilket indebærer at nettoændringen i z fremkaldt af ændringen i de aktuelle basisvariable som følge af en tilvækst på en enhed i x er. Denne ændring betegnes z. Men en tilvækst på en enhed i x indebærer også en tilvækst i z på enheder, fordi x har en kriteriekoefficient c på. " Den samlede ændring i objektivværdien er derfor c z œ œ Lad os dernæst se på ligningssystemet for x : s œ x () s œ x () s œ x () Heraf følger at hvis x øges med enhed så ) falder s med enheder, ) s falder med enhed, og ) s falder med enheder. Hvordan påvirker dette objektivfunktionen? s Ê fald i z på s Ê fald i z på s Ê fald i z på hvilket indebærer at nettoændringen i z fremkaldt af ændringen i de aktuelle basisvariable som følge af en tilvækst på en enhed i x er. Denne ændring betegnes z. Men en tilvækst på en enhed i x indebærer også en tilvækst i z på 4 enheder, fordi x har en kriteriekoefficient c på 4. Den samlede ændring i objektivværdien er derfor c z œ4 œ 4
Vi kan i princippet gøre det samme for sættet af basis-variable. Her vil z 4 selvfølgelig altid være lig med den pågældende variabels egen kriteriekoefficient og c4 z 4 derfor altid lig. Disse informationer kan nu gengives i simplextableauet: x x s s s Basis cb 4 s s s z 4 c z 4 Det stærkt optrukne angiver objektivfunktionens aktuelle værdi og findes ved $! cb bi œ œ i œ" Tallene i c z rækken viser, at objektivværdien vil vokse med enheder hver gang x øges med enhed, og at objektivværdien vil vokse med 4 enheder hver gang x øges med enhed. Den aktuelle basis er derfor ikke optimal, fordi en nabobasis omfattende enten x eller x forventes at give en bedre objektivfunktionsværdi. Observation: Vi vælger at introducere den p.t.ikke-basisvariabel i basen, der giver den størst mulige tilvækst pr. enhed. Derfor introduceres x i basen. Hvis x skal ind i basen, d.v.s. frigøres fra den p.t.fixerede værdi, skal en af de aktuelle basisvariable ud, d.v.s. fixeres til værdi. En tilvækst på en enhed i x øger z med enheder. Vi ønsker derfor at lade x vokse så meget som overhovedet muligt. Men x kan kun vokse, indtil den første aktuelle basisvariabel når sit lower bound på - en yderligere tilvækst i x vil indebære at denne basisvariabel bliver negativ og dermed infeasibility. Observation: Den udgående basisvariabel er den, der først falder til værdi, når den indgående variabels værdi øges. Den maximale tilvækst i x er derfor defineret ved det minimal ratio mellem de
aktuelle højresider og de positive elementer i x søjlen. Husk at et element betyder, at den modsvarende basisvariabel ikke ændres, og at et negativt element vil betyde, at den stiger! Det mindste ratie er derfor minimum( œ, œ7.) s vil derfor først antage værdien, når x vokser, og det vil ske når x antager værdien 7.. Vi betegner x søjlen som pivotsøjlen, fordi x er indgående p.t. ikke-basisvariabel, og s rækken som pivotrækken, fordi s er udgående variabel. Og elementet i snittet mellem pivotsøjle og pivotrække betegnes pivotelementet. Problemet består nu i at finde den nye basisløsning svarende til sættet af basisvariable (s, s, x ). Dette gøres ved at lade x overtage s 's rolle. Betragt det nye ligningssystem: x s œ x () s œ x () x œ x s () der skal løses med x og s fixeret til. Dette kan ske v.h.a.elementære rækkeoperationer med udgangspunkt i simplex tableauets pivot række. Elementære rækkeoperationer består af: ) Multiplikation af en række med et tal Á. ) Addition eller subtraktion af (evt. multiplicerede) rækker. Bemærk, at elementære rækkeoperationer ikke påvirker ligningssystemets løsning, fordi der hele tiden skaleres, adderes eller subtraheres det samme på højre- og venstre-sider. Î Ñ At lade x overtage s 's rolle betyder, at den aktuelle x søjleskal transformeres fra til Ï Ò ÎÑ ÎÑ, idet er s søjlens aktuelle værdi. Dette sker ved elementære rækkeoperationer, ÏÒ ÏÒ der altid startes med at transformere pivotelementet til værdi, d.v.s. division med i pivotligningen: xî œ ( x s) Î (C) Ì x œ 7. x s (C)
x's koefficient på i ligning () skal nu konverteres til et med udgangspunkt i ( sker ved at multiplicere (C) med og trække dette fra (): C ( ) œ() ( ) C C ). Det Ì x s œ x () x œ. x s ( C ) s œ 7. x s (C) x skal også have koefficienten i ligning (). Men det har x allerede, så en elementær rækkeoperation er ej nødvendig. Vi har dermed fundet den nye basisløsning: s œ 7. x s (C) s œ x (C) x œ 7. x s (C) d.v.s. basisvariable (s, s, x ) œ(7.,, 7.) og ikke-basisvariable (x, s ) œ. _ De ligninger i det opdaterede system betegnes (), (), (). Den modsvarende objektivfunktionsværdi beregnes let til 7. 7. œ7. Disse beregninger kunne lige så let være foretaget med udgangspunkt i simplextableauet: x x s s s Basis cb 4 s s s z 4 c z 4
x x s s s Basis c 4 B s s x z 4 c z 7 7 7 7 Dette er det opdaterede simplex tableau. Her er også beregnet z 4 og c4 z. 4 z 4 findes som ovenfor ved at tage summen af elementerne i cb-søjlen ganget med de modsvarende elementer i hhv. x-, x, s-, s- og s-søjlen. z 4 for x-søjlen beregnes således som ( ) œ. Det betyder, at ændringen i de aktuelle basisvariable fremkaldt af en tilvækst på enhed i x vil indebære et fald i objektivfunktionsværdien på enheder. Men en tilvækst i x på en enhed vil samtidig give en tilvækst i objeltivfunktionsværdien svarende til x 's egen kriteriekoefficient på 4. Nettoeffekten ved at løfte x fra aktuel værdi til er derfor 4 7 œ som anført i c z i x-søjlen. Øvrige elementer i c z-rækken fortolkes tilsvarende. Er tableauet optimalt, d.v.s. er den aktuelle basisløsning optimal? Vi checker, om der i c4 z4 rækken er strengt positive elementer. x har som den eneste p.t. ikke-basisvariabel et positivt element i denne række og skal derfor bringes til basis. Vi ønsker selvsagt at øge x så meget som muligt, fordi enhver tilvækst på en enhed giver en tilvækst i objektivfunktionsværdien på 7 enheder. x kan kun øges, indtil den første p.t. basisvariabel antager værdien. Denne identificeres ved rækken, hvor ratiet mellem en aktuel højreside og et positivt element i x- søjlen er minimalt. Husk at tallene (,, ) i x-søjlen angiver den negative ændring i basisvariablene s, s og x ved en tilvækst på en enhed i x. 7 7 min( Î, Î, Î ) œmin(,, 6) œ Vi finder altså mindste ratiet i s-rækken. x-søjlen er derfor pivotsøjle, s-rækken er pivotrække, og elementet pivotelement. x skal således introduceres i basis og s gøres til ikke-basisvariabel. Det betyder, at x-søjlen skal konverteres til den aktuelle s-søjle v.h.a. elementære rækkeoperationer med udgangspunkt i pivotrækken. _ (C) œ() _ Î (C) œð_ ) ( C) (C) œ() (C) Disse rækkeoprationer fører til følgende opdaterede simplex-tableau:
x x s s s Basis c 4 B x 4 4 6 4 6 s x z 4 4 c z 9 Dette tableau er optimalt, fordi alle elementer i c4 z 4 rækken er mindre end eller lig med. Algoritme: En algoritme er en systematisk procedure, der med udgangspunkt i en initial situation i et antal såkaldte iterationer terminerer i en optimal situation. Simplex algoritmen for LP i standard form, d.v.s. et maximeringsproblem, alle uligheder af typen Ÿ, alle højre-sider ikke-negative, og alle variable ikke-negative: ) Formuler LP. ) Introducer slack variable -> slacks identificerer initial basisløsning. ) Konstruer initialt simplex tableau. 4) Vælg p.t. ikke basis-variabel med maximal ikke-negativ værdi i c4 z-rækken. 4 Hvis intet element i denne række er strengt positivt, STOP; aktuel basis er optimal. ELLERS introducer pågældende variabel i basis; den hertil svarende søjle betegnes pivot søjlen. ) Identificer udgående p.t. basisvariabel ved mindste ratiet mellem de aktuelle højresider og de ikke negative elementer i pivotsøjlen. Rækken hvori dette mindste ratio findes betegnes pivotrækken. Den aktuelle basis variabel i denne række er den første basis variabel, der antager værdi, når værdien af den indgående p.t. ikke-basis variabel øges. Denne basis variabel betegnes udgående. 6) Opdater basisløsningen ved elementære rækkeoperationer. Den indgående variabels søjle skal transformeres til en enhedssøjle med''-tallet i pivotrækken. Gå til 4). 4)-6) udgør en simplexiteration. 4) definerer et optimalitetstest. Observation:
7 4œ" œ"! 4œ" max! cx!! s s.t. a x s œ b ß œ"ß ÞÞÞÞß 7 x ß s!ß4œ"ßþþþþßßœ"ßþþþþß7 4 Initialt simplextableau i generel form: x. x4 Þ xn x n+. x n+. xn+m Basis cb c. c4 Þ c n.. s a. a 4 Þ a.. b..... Þ....... s a. a Þ a n.. b Þ Þ Þ Þ. Þ Þ Þ Þ.. Þ Þ s a. a Þ a.. b n 4 m m m4 mn m 7 7 7 7 z4! cb a.! cb a 4.! cb an..! cb œ" œ" œ" œ" 7 7 7 4 4! B 4! B 4 n! B n œ" œ" œ" c z c- c a. c- c a. c- c a.. Her svarer x n+ til s, x n+ til s, og x n+mtil s m. Bemærk at alle elementer i z 4 rækken i det initiale tableau er, fordi c B œ!ßœ"ßþþþþß7, idet enhver basisvariabel er en slack med kriteriekoefficient. Alle elementer i c4 zrækken 4 er derfor lig med c 4.Lad os nu se på det opdaterede tableau i en vilkårlig iteration:. x Þ x. Bi Basis c B. cb Þ c. i Nj x c. Þ a. b.... Þ... x c. Þ a. b Þ Þ Þ. Þ Þ Þ Þ xbm c Bm. Þ a mn. b j m 7 _ 7 z. c.! c a.!c _ b Nj B B Nj B B Nj 4 B B Nj B œ" œ" 7 _ 4 4 N! j B Nj œ" c z.. c - c a. Her svarer x -søjlen til den opdaterede søjle for den variabel, derer i basis i den 'te række; B
det kan enten være en af de oprindeligex-variable eller en slack. Søjlen er i princippet en enhedssøjle med''-tallet i 'te række. xn 4 -søjlen svarer til den opdaterede søjle for den 4'te ikke-basis variabel; det kan enten være en af de oprindelige x-variable eller en slack. z4-indgangen i denne søjle måler her effekten på objektivfunktionen fremkaldt af den nødvendige ændring i sættet af basis variable ved en tilvækst fra til i den pågældende ikke-basis variabel. Tilsvarende måler indgangen i c4 z 4 rækken nettoændringen i objektivfunktionsværdien ved en tilvækst fra til i den pågældende ikke-basis variabel. - Endeligangiver b-søjlen de opdaterede højresider, d.v.s. ligningssystemets basisløsning givet sættet af aktuelle basis-variable. x x s s s Basis cb 4 s s s z 4 c z 4 x x s s s Basis c 4 B s s x z 4 c z 7 7 7 7 x x s s s Basis c 4 B x 4 4 6 4 6 s x z 4 4 c z 9
Håndtering af LP i ikke-standard form: max x 4x s.t. x x Ÿ x Ÿ x x Ÿ x x x, x Ì max x 4x s.t. x x s œ () x s œ () x x s œ () x x s 4 œ (4) x, x ß s, s, s, s4 Bemærk: Nu er en initial basis bestående af slack- og surplusvariable ikke længere brugbar, fordi (x, x ) œ(, ) Ê (s, sßs, s 4) œ(,,, ) hvilket betyder, at s er negativ. Problemet undgås ved en kunstig udvidelse af 4 mulighedsområdet. max x 4x Ma 4 s.t. x x s œ () x s œ () x x s œ () x x s4 a 4 œ (4) x, x ß s, s, s, s 4, a4 En initial basis bestående af (s, s, s, a ) er brugbar i ovenstående model, idet 4 (x, x, s 4) œ(, ) Ê (s, sßs, a 4) œ(,,, ) Men en løsning til modellen er kun brugbar i den oprindelige model, hvis kunstvariablen a 4 antager værdien. Dette opnås ved at sætte M lig med et meget stort positivt tal, idet a 4 dermed aldrig kan indgå i en optimal basis (hvis det
oprindelige problem har brugbare løsninger). Lad os herefter bruge simplex algoritmen på vanlig vis: x x s s s s4 a4 Basis cb 4 M s s s a4 M z4 M M M M M c z M 4 M M x x s s s s4 a4 Basis cb 4 M s 7 s s x z4 c z M x x s s s s Basis c 4 B 4 s s s 4 7 7 7 x z 4 c z 7
x x s s s s Basis c 4 B x 4 s s 4 4 4 6 4 6 7 x z 4 4 c z 9 Bemærk: Tableau no. definerer en brugbar løsning til det oprindelige problem, fordi kunstvariablen antager værdien. a 4 vil aldrig indgå i basis igen, fordi værdien i c4 z 4 rækken altid vil nære negativ. Vi kan derfor i de følgende tableauer ignorere a4-søjlen. Sammenlign bevægelserne fra basis til nabobasis grafisk! Håndtering af negative højre-sider: -> multiplicer med på begge sider. Håndtering af ligheder: ->! a x œb 4œ" Ú Ý! a x 4œ" ÊÛ Ý! a x Ü 4œ" Ÿ b b Sammenfatning af procedurer til etablering af LP i tableau form: ) Hvis problem indeholder ligninger eller uligheder med negative højresider multipliceres på både venstre- og højreside med (husk at vende uligheder!). Alle højresider er nu ikke-negative. ) Ÿ uligheder: Transformer til lighed ved addition af ikke-negativ slack på venstresiden med kriteriekoefficient. ) uligheder: Transformer til lighed ved subtraktion af ikke-negativ surplus på venstre-siden med kriterie koefficient. Introducer artificial variabel med koefficient '' i begræsningen selv og '' i alle andre begræsninger. Eliminer denne fra enhver optimal løsning ved at give den kriteriekoefficient M, hvor M i princippet er et meget stort tal.
4) œ relationer: Introducer artificial variabel med koefficient '' i begræsningen selv og '' i alle andre begræsninger. Eliminer denne fra enhver optimal løsning ved at give den kriteriekoefficient M, hvor M i princippet er et meget stort tal. Håndtering af lighedsbetingelser og negative højresider: max 6x x 4x x4 s.t. x.x x 6x 4 œ 6 x x x 4 Ÿ x x Ÿ x, x,x, x4 Negative højresider konverteres til positive højresider ved multiplikation med på begge sider af relationen: Ì max 6x x 4x x4 s.t. x.x x 6x 4 œ 6 x x x 4 Ÿ x x x, x,x, x 4 I ligning ) introduceres en kunst-variabel, i ulighed ) en slack-variabel og i ulighed ) en surplus- og en kunst-variabel: max 6x x 4x x 4 Ma Ma s.t. x.x x 6x 4 a œ 6 x x x 4 s œ x x s a œ x, x,x, x 4, s, s, a, a Bemærk: Nu er en initial basis bestående af slack- og surplusvariable ikke brugbar, fordi surplusvariable antager negativ værdi. Vi starter derfor med en kunstig basis bestående af slack- og kunstvariable. Men kunstvariable drives ud af basen qua deres kriteriekoefficient. Løsning af minimeringsproblemer:
Betragt følgende LP: min! cx 4œ" s.t.! a x Ÿb, œ,..., 7 4œ" x 4! Lad (x ) betegne en optimal basisløsning til dette LP. Så er (x ) også en optimal basisløsning til følgende LP: max! 4œ" cx s.t.! a x Ÿb, œ,..., 7 4œ" x 4! Et minimeringsproblem kan derfor løses ved transformation til maximering af den negative objektivfunktion. Alternativt: Vi kunne have ændret reglen for identifikation af indgående variabel til mængden af p.t. ikke-basisvariable med en negativ indgang i c z-rækken. Eksempel p. 44-4. Specialtilfælde: ) Infeasibility ) Unboundedness ) Alternative løsninger 4) Degenererede basis løsninger ) Håndtering af frie variable Infeasible solutions: max x x
s.t. x x x x Ÿ 4 x, x x x s s a Basis c B M a M s 4 z 4 M M M M M c z M M M x x s s a Basis c B M a M x 4 z4 M M M M 4 M c z M M M Dette tableau er optimalt, men indeholder en kunstvariabel på niveau større end nul. Det betyder, at det underliggende problem ikke besidder brugbare løsninger, fordi kunstvariablen aldrig vil kunne antage en værdi lig nul. Et infeasible LP kendes derfor ved, at det indeholder mindst en kunstvariabel på niveau større end nul i en optimal basis. Unbounded solutions: max x x s.t. x x Ÿ x, x x x s Basis c B s z 4 c z
x x s Basis c B x z 4 c z Heraf ses, at en tilvækst i p.t. ikke-basis variabel x indebærer en tilvækst i objektivfunktionsværdien på enheder. Men x kan bringes til at vokse uendelig meget, fordi en tilvækst i x indebærer en tilvækst i samtlige aktuelle basisvariable (her altså i x ). Dette følger af, at alle elementer i pivotsøjlen i xb -rækkerne (her altså x-rækken) er mindre end eller lig med nul. Det betyder, at det underliggende problem ikke besidder en endelig optimal løsning, men karakteriseres som unbounded. Et unbounded LP kendes derfor ved, at det indeholder en opdateret søjle for en p.t. ikke basisvariabel med positiv indgang i c4 z 4 rækken og ikke-positive indgange i samtlige xb -rækker, så ingen aktuel basis variabel aftager i værdi, når pågældende ikke-basis variabel bringes til at antage en større værdi. Alternative optimalløsninger: max x x s.t. x x Ÿ 4 x, x x x s Basis c B s 4 z 4 c z x x s Basis c B x z 4 c z
Tableauet er optimalt, fordi ingen indgang i c4 z-rækken 4 er positiv. Men aktuel ikke-basis variabel x har værdien i c4 z 4 rækken. Heraf følger, at x kan introduceres i basis uden at den optimale objektivfunktionsværdi ændres. En basis med x œ er derfor også optimal. Problemet har altså flere optimale basisløsninger. Et LP med alternative løsninger kendes ved, at et optimalt tableau indeholder en opdateret søjle for en p.t. ikke basisvariabel med -indgang i c z-rækken. Degenererede basisløsninger: max x 4x s.t. x x Ÿ 7 x Ÿ x x Ÿ x, x x x s s s Basis cb 4 s 7 s s z 4 c z 4 x x s s s Basis c 4 B s s x z4 c z 7 7 7
x x s s s Basis c 4 B x 4 4 6 4 6 s x z 4 4 c z Den optimale basis løsning er degenereret, fordi en basis variabel antager værdien. Det betyder, at vi ikke kan se forskel på denne basis variabel og sættet af ikke-basis variable, der også har værdi. Degenererede løsninger etableret i løbet af simplex algoritmen er problematiske, fordi de kan betyde, at algoritmen cykler. Et basis skift indebærer ikke en forbedring af objektivfunktionsværdien, hvis udgående basis variabel har værdi og indgående variabel bringes i basis med værdi. Degenererede løsninger opstår, hvis et hjørnepunkt er overdetermineret. I eksempler som ovenfor med beslutningsvariable x og x er et hjørnepunkt defineret ved skæringen mellem begrænsninger. Men i det aktuelle eksempel skærer alle begrænsninger hinanden i det samme punkt, som derfor er overdetermineret. Beslutningsvariable, som kan være negative: max x 4x s.t. x x Ÿ x Ÿ x x Ÿ x x Introducer komplementær variabel til x : w w x Ê x x œ, x Heraf følger w x œx
LP kan derfor omskrives: w max (x ) 4x w s.t. (x ) x Ÿ x Ÿ w (x ) x Ÿ w x, x eller w max x 4x ( ) w s.t. x x Ÿ x Ÿ w x x Ÿ 7 w x, x Dette LP er i standardform og løses på sædvanlig måde. max x 4x s.t. x x Ÿ x Ÿ x x Ÿ x Omskriv den frie variabel x til differensen mellem to ikke negative variable: x œ x x ß x, x Reformuler herefter modellen max x x 4x s.t. x x x Ÿ x Ÿ x x x Ÿ x, x x
Dette problem er i standardformat og ækvivalent til det oprindelige problem.