Komplekse Tal Frank Villa 15. februar 2013 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her.
Indhold 1 Introduktion 1 1.1 Lidt pseudohistorie om talbegrebet......... 2 2 Den hurtige og upræcise definition. 5 2.1 Hvad så med division?................ 8 2.2 Geometrisk Tolkning................. 9 2.3 Om aksiomer og konstruktioner........... 9 3 Den præcise og langsomme definition 9 3.1 De komplekse tal................... 9 3.2 Geometrisk tolkning................. 13 3.3 Egenskaber ved de komplekse tal.......... 16 3.4 Fortegnsskift og differens............... 19 3.5 Lidt snik snak om aksiomer............. 20 3.6 Norm og konjugering................. 21 3.7 Division........................ 23 4 Polarform af komplekse tal 26 4.1 Polære koordinater i planen............. 26 4.2 Komplekse tal på polarform............. 28 4.3 Geometrisk tolkning af produkt og potensopløftning 29 4.4 Enhedsrødderne.................... 30 4.5 Rødder........................ 30 5 Intermezzo om Taylorrækker 31 5.1 Eksponentialfunktionen og de trigonometriske funktioner......................... 31 5.2 Taylorrækker..................... 33 2
6 Funktioner på de komplekse tal 33 6.1 Eulers Identitet.................... 34 6.2 De hyperbolske trigonometriske funktioner..... 36 7 Er vi færdige nu? 36 7.1 Men så alligevel ikke................ 37 7.2 Meningsløse udvidelser................ 37 7.3 Riemannflader..................... 37 7.4 Divisionsringe..................... 37
Resumé I dette dokument introduceres de komplekse tal. Vi starter med at definere dem på to forskellige måder. Derefter bevæger vi os frem imod at opdage Eulers identitet på den samme måde som Euler formodentlig opdagede den. Vi når også lige at gå i selvsving med nogle meget avancerede emner til allersidst. Dette er selvfølgelig mest medtaget som underholdning. 1 Introduktion De komplekse tal er en udvidelse af talbegrebet fra de reelle tal. Det vil sige at de komplekse tal består af de reelle tal som vi allerede kender samt en hel masse nye tal. Som man kan høre på navnet nogle af de komplekse tal kaldes endda for imaginære 1 har folk haft meget svært ved at vænne sig til disse tal. Det skyldes måske at de fleste målbare størrelser kan angives med et reelt tal. Der findes f.eks. ikke pinde hvis længde er et imaginært tal, og man kan ikke sætte et imaginært pengebeløb ind på sin bankkonto. Ikke desto mindre findes der fysiske størrelser som på en meget naturlig måde kan angives med komplekse tal. Hele kvantemekanikken er f.eks. født til at handle om komplekse tal, og den kan slet ikke formuleres uden dem. Vi laver to forskellige definitioner af de komplekse tal: En hurtig og upræcis og en langsom men præcis. Du kan faktisk vælge frit mellem disse to definitioner. Resten af dokumentet kan forstås uanset hvad du vælger. Men den bedste forståelse får du nok af at læse dem begge. 1 Hvis man har læst Steen og Stoffer skal man være opmærksom på at deres definition af imaginære tal se her ikke er helt den samme som vi skal lave her. side 1
Forudsætninger Du skal være gode venner med de reelle tal inden du læser dette dokument. Desuden vil vi bruge de todimensionelle vektorer i definitionen af komplekse tal, så dem bør du også kende til. For at opdage Eulers identitet vil vi arbejde med Taylorrækker. Du behøver ikke at kende til Taylorrækker i forvejen, men du skal være rimeligt god til differentiation for at forstå det. Hvis du har travlt og kun skal lære at regne med de komplekse tal, så kan du nøjes med at læse kapitel 2 og derefter kapitel 4. 1.1 Lidt pseudohistorie om talbegrebet Hvis man tænker lidt tegneserieagtigt 2 over hvordan talbegrebet har udviklet sig, så har alle opfindelser af nye tal været motiveret af en naturligt forekommende ligning uden løsninger: Opfindelsen af de hele tal I starten brugte man tallene til at tælle med. Eftersom de ting man talte dengang var heste, geder og den slags, havde man kun brug for naturlige tal. Men en eller anden dag har en gedehyrde måske stået helt uden geder og haft brug for at betale en ged til sin nabo. De er så blevet enige om at den første bonde skulle skylde den anden en ged. Dermed var den første hyrdes beholdning af geder nu sådan at hvis han nogensinde fik en ged mere, så ville han have nul geder i alt. Med andre ord kunne hans beholdning af geder beskrives med et tal, x, som opfyldte ligningen: x + 1 = 0 Denne ligning havde dog ingen løsninger i de naturlige tal, så derfor opfandt man nogle nye tal, nemlig de negative. Den nye talmængde 2 Jeg er ikke historiker, men jeg er helt sikker på at den rigtige historiske udvikling er meget mere kompliceret end der gives indtryk af her. side 2
som bestod af de gamle, naturlige tal, og de nye, negative tal kaldte man for de hele tal, Z. Opfindelsen af de rationelle tal Senere stod en gammel hyrde måske med en enkelt ged og skulle dele den mellem to sønner. De skulle altså hver have et antal geder, x, hvor: 2 x = 1 Men denne ligning havde ingen løsninger i de hele tal, så man måtte tilføje nogle flere tal: brøkerne. Den nye talmængde kaldte man for de rationelle tal, Q. Opfindelsen af de reelle tal Mange år senere stod en fyr ved navn Pythagoras med en retvinklet trekant, hvor de to kateter havde en længde på præcis 1. Se figur 1. Figur 1: En retvinklet trekant, hvor begge kateter har længde 1. 1 x 1 Han spurgte nu hvor lang hypotenusen var, og det viste sig at den havde en længde, x, som måtte opfylde ligningen: x 2 = 1 2 + 1 2 = 2 side 3
Det er lidt sværere at indse end i de tidligere eksempler 3, men det viser det sig at intet rationelt tal nogensinde vil kunne opfylde denne ligning. Man kan finde rationelle tal y hvor y 2 er lige så tæt på 2 som man har lyst til. Men man kan aldrig ramme 2 præcist. Det føles næsten som om der er et hul i tallinjen lige præcis der hvor kvadratroden af 2 burde være. Altså måtte man på den igen og opfinde nogle nye tal for at fylde hullerne på tallinjen, sådan at alle længder kunne måles. Den nye talmængde kaldte man for de reelle tal, R. Og nu: De komplekse tal Men der er stadig ligninger som ikke har nogen løsninger. F.eks. har ligningen: x 2 + 1 = 0 ikke nogen løsninger i de reelle tal. Der findes nemlig ikke noget reelt tal som giver 1 når det opløftes i anden potens. Det har ikke ret meget med geder at gøre, men det er da alligevel meget naturligt at drømme om et sådant tal. Og drømmen bliver meget mere naturlig når man beskæftiger sig med avancerede fysiske fænomener. Så dukker der nemlig en masse størrelser op, hvor der er meget naturligt at de skal kunne have værdier der opfylder ligningen oven over. Det er præcis denne drøm som går i opfyldelse når man opfinder de komplekse tal: Vi kan allerede afsløre nu at et af de komplekse tal hedder i, og det opfylder at i 2 = 1. Desværre er det ikke godt nok bare at proppe sådan et tal ind i vores talmængde. Man er nødt til at definere hvordan dette tal opfører sig når man f.eks. lægger det sammen eller ganger det med et af de andre tal. Dette problem har vi lige så stille glemt at fortælle om i forbindelse med de tidligere udvidelser, men det har faktisk været aktuelt hver gang. F.eks. kan man ikke bare opfinde de 3 Du kan finde et bevis for at kvadratroden af 2 er irrationel her side 4
negative tal uden også at definere hvordan man lægger dem sammen og ganger dem, både med hinanden og med de tal vi havde i forvejen. Derfor bliver der brug for mange flere nye tal. Og samtidigt vil vi gerne sørge for at de regneregler som vi kender fra de reelle tal stadig gælder, så man kan ikke bare lave definitionerne helt uden at tænke sig om. 2 Den hurtige og upræcise definition. Læs dette afsnit hvis du er ligeglad med om tingene bliver gjort ordenligt, men gerne vil hurtigt i gang med at regne med de komplekse tal. Der er i virkeligheden kun tre ting som man behøver at vide for at begynde at bruge de komplekse tal: De reelle tal som vi allerede kender ligger inde i de komplekse tal. Altså: R C Ethvert reelt tal er således også et komplekst tal. Et af de komplekse tal hedder i, og det opfører sig sådan at i 2 = 1 Alle de regneregler for plus, minus, gange og division som du kender fra de reelle tal gælder også i de komplekse tal. Prøv at lade disse tre ting være det eneste du ved om komplekse tal, og begynd at lege med dem. Det eneste sjove man kan finde på er selvfølgelig at bruge det nye tal, i sammen med de tal vi kender i forvejen. I første omgang må i + 8 og 3 i 4 side 5
give nogle andre komplekse tal. Eksempel 1. Hvordan kan vi være sikre på at i + 8 ikke giver et reelt tal? Jo, hvis det gjorde lad os sige at det gav et reelt tal som vi kunne kalde for x, så ville i være lig med x 8. Men hvis x var et reelt tal, så ville x 8 jo også være et reelt tal, og i er ihvertfald ikke reelt reelle tal bliver aldrig negative når de opløftes i anden potens. Af samme grund giver i + 8 ikke det samme komplekse tal som Fordi hvis det gjorde, så var: i + 8 = 3 i 4 3 i 4 Men det kunne i så fald omskrives til: 1 + 3 i = 8 4 dvs. i = Og så ville i igen være et reelt tal. 8 1 + 3 4 Faktisk, hver gang man finder på to reelle tal, a og b, så må a + b i nødvendigvis være et nyt komplekst tal. Men det viser sig ret hurtigt at der ikke behøver være andre komplekse tal end dem man kan lave på den måde. side 6
Eksempel 2. Lad os tage en ret vild udregning: 1 + i 2 3i Er det så også et helt nyt tal? Nej, det viser sig at hvis vi omskriver det ved at bruge de regneregler som vi er vant til såsom at man må gange ind i parenteser, så kan det skrives som: 1 + i 2 3i = 1 + i 2 1 + i 3i = 1 2 + i 2 1 3i + i 3i = 2 + 2i 3i 3 i i = 2 + 2 3 i 3 i 2 = 2 + 1 i 3 1 = 5 + 1 i = 5 i Altså bare noget som kan skrives på formen a + b i Øvelse 3. Omskriv følgende komplekse tal, så de er på formen a + i b Husk at avancerede regneregler, såsom de tre kvadratsætninger stadig gælder. 2 3i 2 1 + i 2 2 + i 2 i side 7
2.1 Hvad så med division? Hvad så med division, siger du? Jo, der skal vi lige være en hel del mere smarte: Eksempel 4. Umiddelbart ser udregningen 6 + i 2 3i ud til at give være et komplekst tal som ikke lige kan omskrives til formen a + i b uden at begynde at opfinde forkerte brøkregneregler. Men hvis vi lige får en fremragende ide, så kan vi prøve at forlænge brøken ved at gange både tæller og nævner med det komplekse tal 2 + 3i Dermed kan vi omskrive: 6 + i 2 3i 6 + i 2 + 3i = 2 3i 2 + 3i 12 + 18i + 2i + 3i 3i = 4 + 6i 6i + 3i 3i 12 + 20i + 9 1 = 4 + 9 1 21 + 20i = 13 = 21 13 + 20 13 i Hele tricket var at forlængelsen af brøken gjorde at nævneren blev et reelt tal, som vi derefter kunne dividere op i hvert af tællerens led. side 8
Øvelse 5. Udregn divisionen 2 3i 7 + 2i 2.2 Geometrisk Tolkning 2.3 Om aksiomer og konstruktioner Så er du i gang med at regne med komplekse tal! Denne måde at gøre tingene på svarer sikkert til den måde du i sin tid lærte at regne med reelle tal på: Man får nogle regneregler smidt i hovedet med forklaringen sådan er det bare, og så går man ellers i gang med at bruge dem. Men hvem siger at de komplekse tal overhovedet findes? Når man tænker over det: Hvem siger at de reelle tal overhovedet findes? 3 Den præcise og langsomme definition 3.1 De komplekse tal Vi vil nu definere vi de komplekse tal. Det kan godt virke lidt mystisk især fordi du sikkert aldrig har set en rigtig definition af nogen af de andre talmængder. Hvis du bliver forvirret, så kan du godt springe direkte frem til afsnit 3.2. Det er nemlig den geometriske tolkning sammen med de algebraiske egenskaber ved de komplekse tal som er vigtige at huske, og egentlig ikke definitionen. Hvis du alligevel vælger at hænge på, skal du lige forberede dig lidt. Vi har nemlig ikke tænkt os at lave de komplekse tal ved at proppe nye tal ind i de reelle tal, sådan som man måske ville gætte på var det mest naturlige. side 9
I stedet viser det sig at være nemmere at starte med en helt anden mængde, som allerede har en fornuftig måde at lægge elementerne sammen på. I denne mængde opfinder vi så en måde at gange elementer sammen på, og til sidst opdager vi at nogle af elementerne derinde opfører sig præcis lige som de reelle tal, hvorfor vi lige så godt kan sige at det er vores gode gamle reelle tal. Den mængde som vi starter med er mængden af todimensionelle vektorer. Et komplekst tal er med andre ord præcis det samme som en todimensionel vektor. Det nye ligger i at vi definerer en anden struktur 4 på mængden, nemlig en måde at gange elementerne med hinanden på 5. Definition 6. De komplekse tal, C er pr. definition bare mængden af todimensionelle vektorer: { } x C = x R og y R y Udstyret med den sædvanlige addition plus. Desuden udstyres den med det specielle produkt gange defineret ved: x1 y 1 x2 y 2 = x1 x 2 y 1 y 2 x 1 y 2 + x 2 y 1 Det er faktisk ikke nødvendigt at huske denne definition, for det bliver snart meget nemmere at gange komplekse tal med hinanden. 4 Ordet struktur er meget dybt i matematik og temmelig syret. Jeg vil ikke forsøge at forklare hvad det dækker over, men blot reklamere for at hvis du kan lide abstrakt tænkning, så kan du få rigtig meget ud af at tænke over hvordan ordet bruges lige her. 5 Den vakse læser bemærker her at mængden af todimensionelle vektorer allerede har et produkt, nemlig prikproduktet. Dette er dog ikke særlig brugbart, fordi prikproduktet af to vektorer ikke giver en ny vektor, men derimod et reelt tal. side 10
Hvis man alligevel har lyst til at huske den, så kan man bruge følgende huskeregel: Huskeregel Hvis du kan huske at vi allerede har to regneoperationer som man kan udføre med todimensionelle vektorer, nemlig prikproduktet og determinanten, så vil du opdage at det næsten er disse to operationer som er brugt til at lave henholdsvist førstekoordinaten og andenkoordinaten af produktet. Dog med en fortegnsfejl i dem begge: Prikproduktet kommer jo normalt med et plus, og determinanten med et minus. Her er det lige omvendt. Bliv ikke frustreret hvis denne definition virker totalt tilfældig ved første øjekast. Det vil snart vise sig at den er meget omhyggeligt valgt, sådan at vores nye talmængde får en hel masse behagelige egenskaber. Eksempel 7. Vi kan udregne produktet: 2 3 4 1 = 2 4 3 1 2 1 + 4 3 = 5 10 Øvelse 8. Prøv at regne lidt med de specielle komplekse tal af typen: x 0 hvor x er et reelt tal. Prøv at gange to af dem med hinanden. Prøv at lægge to af dem sammen og gange to af dem med hinanden. Prøv side 11
især at lege med det helt specielle tal: 0 0 Kan du mærke at det føles præcis lige som at regne med gammeldags reelle tal? Der står bare et nul for neden hele tiden. Når du har lavet den foregående opgave, så giver den følgende definition god mening: Definition 9. Tallene af typen: x 0 kaldes de reelle tal og skrives som regel bare som: x 0 Det specielle element: 0 0 kaldes bare for nul. = x = 0 Den definition skal man lige vende et par gange i hovedet: Når vi arbejder med de komplekse tal og skriver det reelle tal så mener vi altså rent faktisk vektoren: 7 0 7 side 12
Øvelse 10. Prøv nu at bruge de andre komplekse tal lidt også. Læg mærke til hvad der sker når et af de reelle tal ganges med et komplekst tal. Læg især mærke til hvad der sker når det reelle tal: 1 = 1 0 ganges med et andet komplekst tal. Prøv til sidst også at gange det komplekse tal: 0 1 med sig selv og se hvad det giver. Igen: Når du har lavet den foregående opgave, så giver følgende definition god mening. Definition 11. Det specielle element: 0 1 kaldes for den imaginære enhed, og skrives som regel bare som 0 1 = i 3.2 Geometrisk tolkning Hvis man husker at vektorer også kan betragtes som punkter i koordinatsystemet, kan vi altså tænke på de komplekse tal som punkter. Når man gør det, taler man om den komplekse plan se figur 2. side 13
Figur 2: Den komplekse plan -4-3 -2-1 1 2 3 4 De tal som vi kalder de reelle tal består af punkterne på x- aksen. Derfor omtales x-aksen også som den reelle akse. Det specielle tal i ligger i punktet 0; 1. Man kalder derfor også y-aksen for den imaginære akse, og de andre komplekse tal som ligger på denne akse kaldes de imaginære tal. Det er en rigtig god ide at have et billede af den komplekse plan i hovedet mens man regner med komplekse tal. Kunsten er at få en god geometrisk fornemmelse af hvad der sker når to komplekse tal f.eks. lægges sammen eller ganges med hinanden. I første omgang er det vigtigt at indse følgende geometriske tolkninger. Skalering med reelle tal: Når det reelle tal 7 altså i virkeligheden vektoren på et komplekst tal x y 7 0 ganges side 14
så giver det: 7 0 x y = 7x 0y 7y + 0x = 7x 7y Det er præcis det samme som vi plejer at kalde skaleringen af vektoren. Når et reelt tal ganges på et komplekst tal, så svarer det altså til at skalere den vektor som er det komplekse tal. Hvis man tænker på det komplekse tal som et punkt, betyder det at punktet flytter sig væk fra nul hvis det reelle tal er større end 1 eller tættere på nul hvis det reelle tal er mindre end 1, men stadig positivt langs en ret linje. Hvis det reelle tal er negativt svarer det til at punktet først bliver spejlet i origo og derefter rykket tættere på eller væk fra nul. Se figur 3. Figur 3: Skalering med reelle tal i den komplekse plan -4-3 -2-1 1 2 3 4 Den vigtigste konsekvens af dette er følgende: Sætning 12. Ethvert imaginært tal altså dem på y-aksen kan skrives som et reelt tal ganget med den imaginære enhed, i. side 15
Addition af komplekse tal: Når to komplekse tal lægges sammen, så svarer det til at man lægger punkternes førstekoordinater sammen og punkternes andenkoordinater sammen. Specielt kan ethvert komplekst tal fremkomme på præcis en måde ved at man lægger et reelt tal et punkt med nul som andenkoordinat sammen med et imaginært tal et punkt med nul som førstekoordinat se figur 4. Figur 4: Ethvert komplekst tal kan fremkomme som summen af et reelt tal og et imaginært tal. 3.3 Egenskaber ved de komplekse tal Dette afsnit opsummerer nogle meget simple egenskaber ved de komplekse tal. Det fantastiske er, at hvis man lærer disse egenskaber de fleste er så naturlige at det ville være svært ikke at lære dem, så kan man tillade sig helt at glemme hvordan de komplekse tal er defineret. Sætning 13 Struktur og specielle elementer. side 16
De komplekse tal er en mængde med to regneoperationer: Addition plus og multiplikation gange. De reelle tal er en delmængde af de komplekse: Det reelle tal, 0, opfylder at: for alle komplekse tal, z. Det reelle tal, 1, opfylder at for alle komplekse tal, z. R ăc 0 + z = z 1 z = z De komplekse tal indeholder desuden et element, i, som opfylder at i i = 1 Sætning 14 Notation. Ethvert komplekst tal, z, kan på præcis en måde skrives på formen: z = a + b i hvor a og b er to reelle tal. I den geometriske tolkning er a og b simpelt hen koordinaterne til det punkt som z svarer til. Tallet a kaldes for realdelen af z, og tallet b kaldes for imaginærdelen af z. Man skriver dette som: Rez = a og Imz = b side 17
Derudover gælder følgende regneregler. Du kan selv bevise dem allesammen hvis du har læst afsnit 3.1. Du skal bare skrive de omtalte komplekse tal som vektorerer idet du navngiver deres koordinater og udregne begge sider af lighedstegnet. For at indse at det giver det samme skal du i de fleste tilfælde benytte dig af at reelle tal opfylder den tilsvarende regneregel. Sætning 15 Regneregler. For alle komplekse tal, z, w og u gælder: z + w = w + z den kommutative lov for plus z + w + u = z + w + u den associative lov for plus z w = w z den kommutative lov for gange z w u = z w u den associative lov for gange z w + u = z w + z u den distributive lov Med disse regneregler følger en masse andre regler som vi allerede kender fra de reelle tal. F.eks. er de tre kvadratsætninger bare en konsekvens af den distributive lov og de kommutative love, så dem kan vi tillade os at bruge i de komplekse tal også. Eksempel 16. Hvis man husker regnereglerne ovenover, og samtidigt husker at i 2 = 1 bliver det hurtigt meget nemt at regne med komplekse tal. Lad os f.eks. se på de tre komplekse tal: z = 3 + 2i w = 4 + 12i side 18
og u = 3 9i og udregne: z w + u = 3 + 2i 4 + 12i + 3 9i = 3 4 + 3 12i + 2i 4 + 2i 12i + 3 9i = 12 + 36i 8i 24 3 9i = 39 + 19i Så du hvor de 24 kom fra i tredie linje? 3.4 Fortegnsskift og differens Man skifter fortegn på et komplekst tal ved at skifte fortegn på begge koordinaterne. Det svarer til at gange med det reelle tal 1, hvilket igen i den geometriske tolkning svarer til at spejle punktet i origo. Fortegnsskift har følgende fundamentale egenskab: Sætning 17 Additiv invers. Til ethvert komplekst tal z, findes der et komplekst tal som vi skriver som z. Det har den egenskab at: z + z = 0 I praksis kan z beregnes ved at gange z med 1. Denne egenskab sikrer at vi kan definere en omvendt regneoperation til addition, nemlig differens af komplekse tal: Definition 18 Differens. Hvis z og w er to komplekse tal, så defineres differensen, z w som: z w = z + w side 19
Igen betyder disse egenskaber at alle de regler som vi kender om fortegnsskift fra de reelle tal kan tages med ud i de komplekse. F.eks. er reglen om at hæve en minus parentes blot et specialtilfælde af den distributive lov, idet vi ganger 1 ind i parentesen. 3.5 Lidt snik snak om aksiomer Dette afsnit kan uden problemer springes over hvis du har travlt. Men måske har du undret dig over hvorfor sætning 13 ikke nævnte den vigtige egenskab at når man ganger et komplekst tal med nul, så giver det altid nul. Det er fordi denne egenskab faktisk er en direkte konsekvens af de andre, sammen med den distributive lov og sætning 17. Se selv: Sætning 19. For alle komplekse tal, z, er: 0 z = 0 Bevis. Den egenskab ved nul som er nævnt i sætning 13 betyder specielt at: 0 = 0 + 0 Det betyder at hvis z er et andet komplekst tal, så er: 0 z = 0 + 0 z Men den distributive lov siger at dette kan omskrives videre: 0 z = 0 + 0 z = 0 z + 0 z Hvis man nu bruger at 0 z hvad end det nu måtte være kan trækkes fra på begge sider, giver det at: 0 = 0 z side 20
Læg mærke til at dette bevis overhovedet ikke benytter sig af hvordan de komplekse tal er lavet, men udelukkende af de egenskaber som vi har nævnt indtil nu. Derfor har man ikke lyst til at kalde denne egenskab ved nul for fundamental på samme måde som de andre. En samling af fundamentale egenskaber, hvorfra alle andre egenskaber kan bevises kaldes et aksiomsystem. Vi er faktisk meget tæt på at have et aksiomsystem for de komplekse tal. Vi mangler kun en enkelt fundamental egenskab, nemlig at man kan dividere med komplekse tal. Dertil har vi brug for nogle hjælpedefinitioner: 3.6 Norm og konjugering Nu skal vi indføre to nye regneoperationer. Den første er bare et nyt navn til noget vi kender i forvejen: Definition 20 Norm. Hvis z = a + b i er et komplekst tal, så defineres normen af z kaldes nogle gange også for længden af z eller med et rigtig fint ord: modulus af z ved: z = a 2 + b 2 Hvis z opfattes som et punkt i den komplekse plan, så er z simpelt hen afstanden fra dette punkt til nul. Den anden definition er til gengæld ny. Men heldigvis er den meget nem at vænne sig til: Definition 21 Konjugering. Hvis z = a + i b er et komplekst tal, så defineres den konjugerede af z ved: z = a i b side 21
I det geometriske billede af de komplekse tal svarer konjugering bare til at vi spejler punktet i den reelle akse. Eksempel 22. Hvis f.eks. z = 2 + 4 i, så er: z = 2 + 4 i = 2 4 i Bemærk at hvis vi konjugerer z, så får vi z tilbage. Altså: z = 2 4 i = 2 + 4 i Man siger at 2 + 4i og 2 4i er hinandens konjugerede. Eksempel 23. Når matematiklærere skal være rigtigt sjove, så bruger de det store græske bogstav Ξ ksi til at betegne et komplekst tal. Så ser det nemlig rigtig godt ud når man skal skrive den konjugerede af dette tal på en tavle. Man kan endda skrive et meningsfyldt og korrekt udsagn udelukkende ved hjælp af vandrette streger: Ξ = Ξ Norm og konjugering hænger meget pænt sammen. Det viser følgende sætning: Sætning 24. Hvis z er et komplekst tal, så er: z z = z 2 Sagt i ord: Hvis man ganger et komplekst tal med dets konjugerede, så får man det samme som normen af det komplekse tal i anden potens. side 22
Bevis. Vi regner simpelt hen de to ting ud. Hvis z = a + i b så er: og: z z = a + ib a ib = a 2 ib 2 = a 2 + b 2 z 2 = a2 + b 2 2 = a 2 + b 2 3.7 Division Ved hjælp af det foregående afsnit kan vi opdage en sidste egenskab ved de komplekse tal som er meget, meget vigtig Nemlig at vi kan dividere med dem. Først opdager vi at alle komplekse tal undtagen nul har en reciprokværdi. Sætning 25 Reciprokværdi. Til ethvert komplekst tal, z, undtagen nul, findes der et andet komplekst tal som vi vil betegne med z 1 med den egenskab at: I praksis kan z 1 beregnes som: z z 1 = 1 z 1 = 1 z 2 z Bemærk at brøken består af reelle tal, og at nævneren er forskellig fra nul hvis bare z er forskellig fra nul. side 23
Bevis. Denne sætning er ganske nem at bevise. Man skal bare tjekke at det tal der foreslås virker som reciprokværdi. z 1 z z = 1 z z 2 z 2 = 1 z 2 z 2 = 1 Øvelse 26. I beviset ovenover brugte vi både den kommutative lov og den associative lov for multiplikation se sætning 15 samt sætning 24. Kan du se hvorhenne? Eksempel 27. Lad os udregne den reciprokke værdi af: Først udregner vi normen: z = 3 + 4 i z = 3 2 + 4 2 = 5 Og lad os også udregne den konjugerede for sig selv: z = 3 4 i Dermed er den reciprokke nem at udregne: z 1 = 1 5 2 3 4 i = 3 25 4 25 i side 24
Vi kan tjekke at den opfører sig som den skal: 3 z 1 z = 25 4 25 i 3 + 4i = 9 25 + 12 25 i 12 25 i 16 25 i2 = 9 25 16 25 1 = 9 25 + 16 25 = 1 Ligesom sætning 17 gjorde det muligt at definere en minus operation, kan vi nu definere en omvendt regneoperation til multiplikation, nemlig division: Definition 28. Hvis z og w er to komplekse tal, hvor w 0, så defineres z divideret med w som: z w = z w 1 Bemærkning Hvis vi indsætter udtrykket for hvordan den reciprokke værdi af w udregnes i denne definition, så får vi: z w = z 1 z w w 1 = z w = w 2 w 2 = z w w w Dermed kan vi tænke på definitionen som at vi bare forlænger med w i tæller og nævner. Det er meget rart når man skal dividere to komplekse tal i praksis: Eksempel 29. Begtragt de to komplekse tal: z = 4 + 3i side 25
og w = 2 + 6i Vi kan nu dividere z med w ved at udregne: z w = z w w w 4 + 3i 2 6i = 2 + 6i 2 6i 8 + 18 24i 6i = 4 + 36 + 12i 12i 10 30i = 40 = 1 4 3 4 i Øvelse 30. Udfør divisionen: 6 3i 2 + 9i 4 Polarform af komplekse tal Nu skal vi indføre en ny måde at beskrive placeringen af et punkt i planen og dermed en ny måde at beskrive et komplekst tal på. 4.1 Polære koordinater i planen Som regel, når man skal angive et punkt i det todimensionelle koordinatsystem, så angiver man punktet x-koordinat og dets y-koordinat. Disse to koordinater kaldes nogle gange for punktet kartesiske koordinater opkaldt efter Descartes som jo opfandt koordinatsystemet. Men der er andre måder at angive placeringen af et punkt på. Det er sådan en vi skal se på nu: side 26
Definition 31. Hvis P er et punkt i det todimensionelle koordinatsystem, så definerer vi P s polære koordinater til at være følgende to tal: Afstanden fra P til origo. Denne afstand benævnes ofte med bogstavet r og kaldes enten P s polarradius, radius, radialkoordinat, norm, eller når det skal være rigtig fint: modulus. Vinklen mellem x-aksen og linjestykket fra origo til P. Målt fra x-aksen til linjestykket. Se figur 5. Denne vinkel benævnes ofte med bogstavet θ og kaldes enten P s polarvinkel, vinkelkoordinat eller når det skal være rigtig fint: argument eller ligefrem azimut sidstnævnte bruges især i astronomi. Argumentet polarvinklen angives som regel i radianer. Kun i meget sjælde tilfælde såsom allerførste gang man regner med polære koordinater vil man angive den i grader. Figur 5: Et punkt i planen med markering af både kartesiske og polære koordinater. 1 1 2 Ovenstående definition er et ekstremt tilfælde af kært barn har mange navne. Vær forberedt på at møde alle de forskellige navne. side 27
I dette dokument vil vi primært bruge norm og argument fordi disse navne har tradition for at blive brugt når punkterne er komplekse tal. Det er vigtigt at vide hvordan man omskriver mellem kartesiske almindelige koordinater og polære koordinater. Øvelse 32. Find både normen polarradius og argumentet polarvinklen af punktet: P = 5; 7 Prøv at tegne punktet ind i et koordinatsystem, og indse at dette i virkeligheden er en opgave om en retvinklet trekant. Øvelse 33. Find koordinaterne til det punkt, P som har norm polarradius 7 og argument polarvinkel 36. Eller mere korrekt angivet: Argument π 5 4.2 Komplekse tal på polarform Hvis man starter med at indse at ethvert komplekst tal, z med længde 1 altså et tal som ligger på enhedscirklen i den komplekse plan kan skrives som: z = e it hvor t er et reelt tal. Man lader simpelt hen bare t være den vinkel som dannes med x-aksen når man tegner en linje fra 0 til z i den komplekse plan se figur 6. Dermed kan z jo skrives som: z = x + i y = cost + i sint = e it Endvidere, kan alle andre komplekse tal jo skrives som et positivt, reelt tal ganget med et tal på enhedscirklen. Dermed har vi en ny måde at skrive ethvert komplekst tal på: side 28
1-1 1 2 3-1 Figur 6: Et komplekst tal på enhedscirklen, skrevet på polarform. Sætning 34 Polarform af et komplekst tal. Ethvert komplekst tal, z kan skrives på formen: z = r e it hvor r er et positivt, reelt tal, og t er et reelt tal mellem 0 og 2π. Det positive tal, r, er det samme som normen se definition 20 af z. I denne sammenhæng kalder man det også for modulus af z, bare for at have endnu et navn til den samme ting. Endvidere er t lig med vinklen mellem x-aksen og linjestykket fra origo til z. Man kalder dette tal for polarvinklen for z eller med endnu et fint navn argumentet af z. 4.3 Geometrisk tolkning af produkt og potensopløftning Sjovt nok skal vi hele denne omvej for at forstå hvordan produktet af to komplekse tal se definition 6 skal forstås i den geometrisk side 29
tolkning af de komplekse tal. Hvis vi har to komplekse tal på polarform: og z = r e it w = q e is Så kan vi bruge regnereglen for eksponentialfunktionen til at udregne produktet: z w = r e it q e is = r q e it+is = r q e is+t Og nu er det ganske nemt at sige hvad der sker, når man ganger to komplekse tal med hinanden: Når man ganger to komplekse tal med hinanden, så ganger man deres normer sammen, og man lægger deres polarvinkler sammen. 4.4 Enhedsrødderne Definition 35. For hvert naturligt tal, n n 1 definerer vi mængden af n te enhedsrødder som mængden: µ n = {z C z n = 1} Altså som de komplekse tal der giver 1 når de opløftes i n te potens. 4.5 Rødder Sætning 36. Hvis z C, z 0 og n N, så har z præcis n n terødder. Sagt med andre ord: Der findes præcis n komplekse tal, w 1, w 2,... w n side 30
sådan at 5 Intermezzo om Taylorrækker Dette er et lynkursus i Taylorrækker. Alle detaljer er gemt til en anden lejlighed. Vi starter med at definere de såkaldte Taylorpolynomier: Definition 37. Hvis n er et naturligt tal, større end 1, f er en funktion som er differentiabel n gange, og x 0 er et punkt i definitionsmængden, så defineres det approksimerende n tegradspolynomium til f omkring x 0 som funktionen p n givet ved: p n x = fx 0 + f x 0 x x 0 + 1 2! f x 0 x x 0 2 + 1 3! f x 0 x x 0 3... + 1 n! f n x 0 x x 0 n Eller skrevet ved hjælp af summationstegnet: p n x = n k=0 f k x 0 k! x x 0 k 5.1 Eksponentialfunktionen og de trigonometriske funktioner Hvis en funktion er nem at differentiere mange gange, så er det ret let at udregne dens taylorpolynomier. Lad os starte med den nemmeste og på en måde den vigtigste af dem alle: side 31
Eksempel 38. Betragt funktionen f givet ved: fx = e x Eftersom f forbliver uændret når man differentierer den, er det nemt at opskrive dens taylorpolynomier omkring punktet Vi har nemlig at: x 0 = 0 f k x 0 = e x 0 = e 0 = 1 for alle værdier af k. Derfor bliver Taylorpolynomiet af orden n til: p n x = 1 + 1 1 x + 1 2 x2 + 1 3! x3 +... + 1 n! xn For at vise hvor fint Taylorpolynomierne tilnærmer den funktion vi startede med, har jeg nedenfor tegnet grafen for den naturlige eksponentialfunktion med rødt og grafen for det approksimerende 7.gradspolynomium med blåt. I det viste grafudsnit er det meget svært at se forskel på de to grafer. Men selvfølgelig er det ikke den samme funktion. Hvis du prøver at tegne et større udsnit vil du opdage at tilnærmelsen kun virker når man er nogenlunde tæt på udgangspunktet i dette tilfælde x 0 = 0. Går man f.eks. imod minus uendelig, så vil eksponentialfunktionen nærme sig nul, mens polynomiet vil drøne nedad imod. Det er heller ikke så svært at differentiere de trigonometriske funktioner, cosinus og sinus mange gange. Man skal bare lige huske at få fortegnet rigtigt. side 32
Figur 7: Grafer for den naturlige eksponentialfunktion og for dens approksimerende 7.gradspolynomium omkring x 0 = 0. 30 30 20 20 10 10-2 -1 1 2 3 4 5 6 7-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 Eksempel 39. Betragt funktionen f, givet ved: fx = cosx 5.2 Taylorrækker 6 Funktioner på de komplekse tal Udover at taylorrækkerne giver en måde at approksimere komplicerede funktioner med polynomier, så åbner de en helt ny mulighed: Eftersom en taylorrække kun indeholder regneoperationerne plus, minus, gange, division og potensopløftninger i naturlige potenser, så er der ikke noget i vejen for at vi kan indsætte komplekse tal i dem. Med andre ord: Vi kan pludselig give mening til hvordan funktioner som cosinus, sinus og eksponentialfunktionen kan taget på komplekse tal! side 33
Definition 40. For ethvert komplekst tal, z, definerer vi: e z = k=0 1 k! zk sinz = 1 k 1 k=0 2k + 1! z2k+1 cosz = 1 k 1 k=0 2k! z2k Når z er et reelt tal, stemmer denne definition overens med den sædvanlige betydning af de tre funktioner. 6.1 Eulers Identitet Vi skal nu prøve at genopleve hvad Leonhard Euler formodentlig sad på sit arbejdsværelse og opdagede for cirka 300 år siden. Hvis man kigger godt på potensrækken for eksponentialfunktionen: e x = 1 + x + 1 2 x2 + 1 3! x3 + 1 4! x4 + 1 5! x5 + 1 6! x6 +... og sammenligner med rækkerne for cosinus og sinus: cosx = 1 1 2 x2 + 1 4! x4 1 6! x6 +... sinx = x 1 3! x3 + 1 5! x5... så begynder man at fornemme en sammenhæng. Leddene fra de to nederste rækker udgør tilsammen leddene i den første, bortset fra fortegnene. side 34
Hvis man nu får den vilde ide at tage eksponentialfunktionen på et imaginært tal, altså et komplekst tal af typen: i x hvor x er et reelt tal, så begynder det at lysne: e ix = 1 + i x + 1 2 i x2 + 1 3! i x3 + 1 4! i x4 + 1 5! i x5 + 1 6! i x6 +... = 1 + i x + 1 2 i2 x 2 + 1 3! i3 x 3 + 1 4! i4 x 4 + 1 5! i5 x 5 + 1 6! i6 x 6 +... = 1 + i x 1 2 x2 i 1 3! x3 + 1 4! x4 + i 1 5! x5 1 6! x6 +... Hvert andet led her er præcis leddene fra rækken for cosx. Og de øvrige led er præcis rækken for sinx, blot ganget med i. Den opdagelse vil vi lige gøre lidt ekstra ud af: Sætning 41. For ethvert reelt tal, x, er: e ix = cosx + i sinx Specielt, hvis man finder på at sætte x til at være π, så opdager man en meget smuk sammenhæng: e iπ = cosπ + i sinπ = 1 + i 0 = 1 Eller som man plejer at omskrive den: Sætning 42. e i π + 1 = 0 side 35
Det her er altså smukt: Prøv at se denne sætning i lyset af vores pseudohistorie om talbegrebets udvikling fra begyndelsen af dette dokument. Her står de to mest fundamentale naturlige tal, 0 det additive neutralelement og 1 det multiplikative neutralelement sammen med de to vigtigste irrationelle tal, e og π, og så det mest fundamentale af de komplekse tal, i. Desuden optræder der én addition, én multiplikation og én potensopløftning. Og så et lighedstegn. 6.2 De hyperbolske trigonometriske funktioner Eulers identitet kan vendes om, sådan at den giver en alternativ måde at udregne cosinus og sinus på. Dette afsnit er på vej. Sætning 43. For ethvert reelt tal, x, er: og cosx = eix + e ix 2 sinx = eix e ix 2i 7 Er vi færdige nu? Nu har vi indført de komplekse tal. Et meget naturligt spørgsmål er så: Kommer der flere udvidelser af talbegrebet, eller er vi færdige? Og her er svaret for en gangs skyld ret beroligende: Ja! På mange måder er de komplekse tal den sidste udvidelse af talbegrebet som er interessant. Det viser sig nemlig at enhver såkaldt side 36
algebraisk 6 ligning har løsninger når vi leder i de komplekse tal. Derfor siger man at de komplekse tal er en algebraisk afslutning. 7.1 Men så alligevel ikke Men selvfølgelig er der nogen som ikke har været tilfredse med det. Resten af dette afsnit handler om andre udvidelser af talbegrebet. Det er meget avanceret, så læs kun videre hvis du vil udfordres. 7.2 Meningsløse udvidelser 7.3 Riemannflader 7.4 Divisionsringe 6 Det vil sige enhver ligning som kan skrives på formen: a 0 + a 1 x + a 2 x 2 +... + a n x n = 0 side 37