LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf y 0,5x 2,5 200 Karsten Juul
I dette häfte har jeg gjort meget for at teksten er skrevet sçdan at du nemmere kan fç overblik over reglerne og den sammenhäng der er mellem dem forklaringerne ikke indeholder ting der gér det unédvendig svärt for dig at forstç reglerne. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Ñ 200 Karsten Juul 8/8-203 Dette häfte kan downloades fra www.mat.dk HÄftet mç benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en e-mail til kj@mat.dk som dels oplyser at dette häfte benyttes, dels oplyser om hold, lärer og skole.
Oversigt over indholdet : Hvad gär lineåre sammenhånge ud pä? OplÅg : LineÄre sammenhänge: Egenskaber, ligning og graf.... 2: Vi har en ligning. Er det en lineår sammenhång? Definition 2a: Hvad er en lineär sammenhäng? (Ligning for lineär sammenhäng)....2 Eksempel 2b: Er ligningen af typen y = ax + b? Hvilke tal stçr pç a's og b's pladser?...2 3: Tegn graf. SÅtning 3a: Graf for en lineär sammenhäng....3 Opgavetype 3b: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi skal tegne grafen....3 4: Voksende eller aftagende. SÅtning 4a: Hvordan ser vi pç en ligning af typen y = ax + b. om sammenhängen er voksende eller aftagende?...4 Opgavetype 4b: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi skal begrunde om denne sammenhäng er voksende eller aftagende...4 5: Vi har x. Udregn y. Opgavetype 5a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal x er lig. Vi skal finde det tal som y er lig....5 Opgavetype 5b: Opgavetype 5c: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal x er lig. Vi skal finde det tal som y er lig....5 Vi har grafpunktets x-koordinat. Vi skal udregne y-koordinaten....5
6: Vi har y. Udregn x. Opgavetype 6a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal y er lig. Vi skal finde det tal som x er lig.... 6 Opgavetype 6b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal y er lig. Vi skal finde det tal som x er lig.... 6 Opgavetype 6c: y = ax + b og x er tiden mçlt i Çr... 7 Opgavetype 6d: Vi har grafpunktets y-koordinat. Vi skal udregne x-koordinaten.... 7 7: Udregn hvor meget stçrre/mindre y bliver. Opgavetype 7a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvor mange enheder x bliver stérre/mindre. Vi skal finde ud af hvor mange enheder y bliver stérre/mindre... 8 Opgavetype 7b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvor mange enheder x bliver stérre/mindre. Vi skal finde ud af hvor mange enheder y bliver stérre/mindre.... 8 8: Vi ved hvordan y vokser/aftager. Skriv ligning. SÅtning 8a: SÇdan kan vi finde ligningen nçr vi ved hvordan y vokser/aftager.... 9 Opgavetype 8b: Opgavetype 8c: Eksempel 8d: Vi har det tal vi skal lägge til y-tallet hver gang vi lägger til x-tallet. Vi ved hvad y-tallet er nçr x-tallet er 0. Vi skal skrive en formel til at udregne y nçr vi kender x... 9 Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har det tal vi skal lägge til y-tallet hver gang vi lägger til x-tallet. Vi ved hvad y-tallet er nçr x-tallet er 0. Vi skal skrive en formel til at udregne y nçr vi kender x... 9 SÇdan kan vi finde ligningen nçr vi har en lineär graf (i de tilfälde hvor grafen er meget nem at afläse)... 0
9: Vi har ligning. Hvordan vokser/aftager y. Bevis 9a: Bevis for sätning 9b... SÅtning 9b: Regel om hvad tallene pç a's og b's pladser i y = ax + b fortäller.... Opgavetype 9c: Vi har tallene pç a's og b's pladser i y = ax + b. Vi skal skrive hvad disse tal fortäller... 2 Opgavetype 9d: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har tallene pç a's og b's pladser i y = ax + b. Vi skal skrive hvad disse tal fortäller... 2 Eksempel 9e: y = ax + b og x bliver flere enheder stérre.... 2 Eksempel 9f: Eksempel 9g: SÇdan kan vi tegne grafen nçr vi har en ligning af typen y = ax + b (i nogle tilfälde hvor tallene er simple)... 3 SÇdan kan vi tegne grafen nçr vi har en ligning af typen y = ax + b (i nogle tilfälde hvor tallene er simple)... 4 Opgavetype 0a: Opgavetype 0b: 0: Udregn a og/eller b i y = ax+b. Vi har et punkt pç grafen. Vi har tallet pç a's plads. Vi skal udregne b i y = ax + b... 4 Vi har et punkt pç grafen. Vi har tallet pç b's plads. Vi skal udregne a i y = ax + b.... 4 SÅtning 0c: Formler for a og b i y = ax + b... 5 Opgavetype 0d: Opgavetype 0e: Opgavetype 0f: Vi har to punkter pç grafen. Vi skal udregne tallene a og b i y = ax + b... 6 Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har to punkter pç grafen. Vi skal udregne tallene a og b i y = ax + b.... 7 Vi har en lineär graf. Vi skal finde tallene a og b i y = ax + b.... 8 Eksempel 0g: LineÄr regression... 9 Eksempel 0h FortsÄttelse af Eksempel 0g... 9 Opgavetype 0i: LineÄr regression... 20 Opgavetype 0j: Regression, Çrstal.... 20
: To sammenhånge. Eksempel a: Vi sammenligner to lineäre sammenhänge.... 2 Opgavetype b: Vi har to ligninger af typen y = ax + b. Vi skal finde det tal x som giver samme y-värdi i de to ligninger... 22 Opgavetype c: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har to ligninger af typen y = ax + b. Vi skal finde det tal x som giver samme y-värdi i de to ligninger.... 22 Opgavetype d: Vi har to ligninger af typen y = ax + b. Vi skal finde koordinatsättet til grafernes skäringspunkt... 23 Opgavetype e: Vi skal finde ud af hvornçr en variabel er stérre end en anden... 23 2: SkrivemÄden f (x). Eksempel 2a: SkrivemÇden h (t), f (x), pris(m) osv... 24 Opgavetyper 2b: Eksempler pç opgaver hvor vi har forskriften for en funktion f (x)... 25 Opgavetyper 2c: Eksempler pç opgaver om virkeligheden hvor vi har forskriften for en funktion f (x).... 26 Opgavetype 2d: Eksempler pç opgaver hvor vi har grafen for en funktion f (x).... 27 Eksempel 2e: Eksempler pç opgaver om en figur med grafen for en funktion f (x).... 28
: Hvad gär lineåre sammenhånge ud pä? OplÅg : LineÄre sammenhänge: Egenskaber, ligning og graf. Vi kéber en 2 mm héj plante som vokser 4 mm hver dag. Vi kan tänke os til fégende: Efter dag er héjden 2 4 mm Efter 2 dage er héjden 2 42 Efter 0 dage er héjden 2 40 Efter x dage er héjden mm mm 2 4 x mm Der gälder altsç at nçr y er héjden (i mm), er y 4 x 2 Ligningen for denne sammenhäng er altsç af typen y a x b I koordinatsystemet har vi tegnet en prik der viser at 0 dage efter kébet er héjden 2 mm, en prik der viser at dag senere er planten 4 mm héjere, en prik der viser at efter endnu en dag er planten igen blevet 4 mm héjere, osv. Da stigningen er den samme hver dag, kommer punkterne til at ligge pç en ret linje. Derfor kalder man en sammenhäng lineär nçr stigningen hele tiden er den samme. NÇr stigningen hele tiden er den samme, mç ligningen for sammenhängen väre af typen y a x b hvor a er det vi skal lägge til värdien af y hver gang vi gér värdien af x Ön enhed stérre. For sammenhängen y 3x 5 skal vi lägge 3 til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. AltsÇ bliver y-värdierne stérre og stérre, sç sammenhängen er voksende. For sammenhängen y 2x 8 skal vi lägge 2 til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. AltsÇ bliver y-värdierne mindre og mindre, sç sammenhängen er aftagende. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 200 Karsten Juul
2: Vi har en ligning. Er det en lineår sammenhång? Definition 2a: Hvad er en lineär sammenhäng? (Ligning for lineär sammenhäng). En sammenhäng mellem to variable x og y er lineär hvis den har en ligning af typen y ax b En oplysning om hvad et bestemt ord skal betyde, kalder man en DEFINITION. Eksempel 2b: Er ligningen er af typen Hvilke tal stçr pç a's og y ax b? b' s pladser? Ligningen y 6 2x viser sammenhängen mellem to variable x og y. Ligningen kan omskrives til y 2x 6 sç ligningen er af typen y ax b med a 2 og b 6. Der er altsç tale om en lineär sammenhäng. Ligningen y 3x 8 kan omskrives til y 3x ( 8) y ax b med a 3 og b 8. og er derfor af typen Ligningen y 0 x kan omskrives til y ( ) x 0 y ax b med a og b 0. og er derfor af typen Ligningen y 5x 2 3 indeholder x2 og er derfor ikke af typen y ax b. Denne sammenhäng mellem x og y er altsç ikke lineär. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 2 200 Karsten Juul
3: Tegn graf. SÅtning 3a: Graf for en lineär sammenhäng. De lineäre sammenhänge er de sammenhänge hvor grafen er en ret linje (eller en del af en ret linje). Hvis en oplysning om noget der gälder, er särlig vigtig, så kalder man denne oplysning for en SÇTNING. Opgavetype 3b: Vi har en ligning af typen Vi skal tegne grafen. y ax b. Opgave: Tegn grafen for sammenhängen y 0,5x 0, 7 Besvarelse : Da grafen er en ret linje (ifélge SÄtning 3a), behéver vi kun udregne to punkter for at kunne tegne den. De to punkter skal ligge langt fra hinanden for at fç stor néjagtighed. NÇr x 3 er y 0,5( 3) 0,7 0, 8 NÇr x 4 er y 0,5 4 0,7 2, 7 Grafen er den rette linje gennem punkterne ( 3, 0,8) og ( 4, 2,7). Besvarelse 2: Vi taster forskriften f ( x) 0,5x 0, 7 pç Nspire pç en grafside og fçr grafen til héjre. Vi kan afläse denne graf néjagtigt ved at afsätte et punkt pç grafen og Ändre en af punktets koordinater. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 3 200 Karsten Juul
4: Voksende eller aftagende. SÅtning 4a: Hvordan ser vi pç en ligning af typen y ax b om sammenhängen er voksende eller aftagende? En lineär sammenhäng y ax b aftagende hvis a er negativ og voksende hvis a er positiv. er Opgavetype 4b: Vi har en ligning af typen y ax b. Vi skal begrunde om denne sammenhäng er voksende eller aftagende. Opgave: Begrund i hvert af félgende tre tilfälde om sammenhängen er voksende eller aftagende:. y 0,5x 4 2. y 3x 2 3. y 6 x Svar:. Da og y 0,5x 4 er af typen y ax b a er positiv ( a 0, 5 ) er sammenhängen voksende. 2. Da y 3x 2 er af typen y ax b og a er negativ ( a 3 ) er sammenhängen aftagende. 3. Da y 6 x er af typen y ax b og a er negativ ( a ) er sammenhängen aftagende. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 4 200 Karsten Juul
5: Vi har x. Udregn y. Opgavetype 5a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal x er lig. Vi skal finde det tal som y er lig. Opgave: y 4,6x 7, 2 og x er 6, 5. Hvad er y? Metode: Vi indsätter 6, 5 for x i y 4,6x 7, 2 y 4,6 6,5 7,2 Vi udregner héjresiden og fçr y 37, Konklusion: NÇr x er 6, 5 er y lig 37, og fçr Da der i opgaven stçr at x er 6,5 Opgavetype 5b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal x er lig. Vi skal finde det tal som y er lig. Opgave: Metode: Nogle skiver findes i forskellige stérrelser. NÇr y er tykkelsen, mçlt i mm, og x er diameteren, mçlt i mm, er y 0,2x 0, Hvad er tykkelsen nçr diameteren er 4 mm? SpÉrgsmÇlet kan oversättes til Hvad er y nçr x er 4? Vi indsätter 4 for x i y 0,2x 0, y 0,24 0, Vi udregner héjresiden og fçr y 2,9 og fçr Konklusion: Tykkelsen af en skive er 2,9 mm nçr dens diameter er 4 mm Da der i opgaven stçr at y er tykkelsen og x er diameteren. I opgaven stçr at y er tykkelsen. Opgavetype 5c: Vi har grafpunktets x-koordinat. Vi skal udregne y-koordinaten. Opgave: Billedet viser grafen for sammenhängen y,4 x 0,3 Udregn y-koordinaten til det grafpunkt som har x-koordinat, 5. (,5,? )? Metode: NÇr x, 5 er y,4 (,5) 0,3 2, 4 Konklusion: Grafpunkt med x-koordinat, 5 har y-koordinat 2, 4.,5 LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 5 200 Karsten Juul
6: Vi har y. Udregn x. Opgavetype 6a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal y er lig. Vi skal finde det tal som x er lig. Opgave: y 4x 32 og y er 73. Hvad er x? Metode : Vi indsätter 73 for y i y 4x 32 73 4x 32 Vi léser denne ligning mht. x : 05 4x 05 4x 4 4 7,5 x og fçr Da der i opgaven stçr at y er 73 Metode 2: Vi indsätter 73 for y i y 4x 32 og fçr 73 4x 32 Nspire léser denne ligning mht. x og fçr: x 7,5 Konklusion: NÇr y er 73 er x lig 7, 5 SÅdan tastede vi på Nspire: Opgavetype 6b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvilket tal y er lig. Vi skal finde det tal som x er lig. Opgave: Metode: Nogle skiver findes i forskellige stérrelser. NÇr y er tykkelsen, mçlt i mm, og x er diameteren, mçlt i mm, er y 0,2x 0, Hvad er diameteren nçr tykkelsen er 4,5 mm? SpÉrgsmÇlet kan oversättes til Hvad er x nçr y er 4, 5? Vi indsätter 4, 5 for y i y 0,2x 0, 4,5 0,2x 0, Vi léser denne ligning mht. x og fçr x 22 og fçr Konklusion: Diameteren af en skive er 22 mm nçr dens tykkelse er 4,5 mm Da der i opgaven stçr at y er tykkelsen og x er diameteren. I opgaven stçr at x er diameteren. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 6 200 Karsten Juul
Opgavetype 6c: y = ax + b og x er tiden mçlt i Çr. Opgave 6c : For en fugleart er antallet af individer stérst midt pç Çret. Der gälder y 20 x 3250 hvor y er antal individer midt pç Çret x Çr efter 2003. SpÉrgsmÇl : Hvilket Çr vil antallet af fugle midt pç Çret väre 4000? Metode: Ligningen 4000 20 x 3250 léser vi mht. x og fçr x 6, 25 Konklusion: I 2009 er antallet af fugle midt pç Çret ca. 4000. SpÉrgsmÇl 2: Hvilket Çr vil antallet af fugle midt pç Çret overstige 4000? Konklusion: I 200 vil antallet af fugle overstige 4000. Opgave 6c 2 : For nogle fugle i et stort bur gälder at antallet af individer vokser lige hurtigt hele Çret. Der gälder y 20 x 3250 hvor y er antal individer x Çr efter begyndelsen af 2003. SpÉrgsmÇl: HvornÇr vil antallet af fugle väre 4000? Konklusion: Omkring. april 2009 er antallet af fugle 4000. Opgavetype 6d: Vi har grafpunktets y-koordinat. Vi skal udregne x-koordinaten. Opgave: Billedet viser grafen for sammenhängen y 0,75x,5 Udregn x-koordinaten til det grafpunkt som har y-koordinat 2, 7. 2,7 (?, 2, 7) Metode: Vi skal finde et tal x sç 2,7 0,75x,5 Vi léser denne ligning mht. x og fçr x, 6. Konklusion: Grafpunkt med y-koordinat 2, 7 har x-koordinat, 6.? LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 7 200 Karsten Juul
7: Udregn hvor meget stçrre/mindre y bliver. Opgavetype 7a: Vi har en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvor mange enheder x bliver stérre/mindre. Vi skal finde ud af hvor mange enheder y bliver stérre/mindre. Opgave: y 4,6x 7, 2. x er 6, 5. x bliver 3, 5 enheder stérre. Hvor mange enheder bliver y stérre? Metode: NÇr x er blevet 3, 5 enheder stérre, er x 6,5 3,5 0 NÇr x 6, 5 er y 4,6 6,5 7,2 37, NÇr x 0 er y 4,6 0 7,2 53, 2 Vi udregner "sidste y minus férste y ": 53,2 37, 6, Konklusion: y bliver 6, enheder stérre nçr x bliver 3, 5 enheder stérre. Opgavetype 7b: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi kender en ligning af typen y = ax + b. Vi ved hvor mange enheder x bliver stérre/mindre. Vi skal finde ud af hvor mange enheder y bliver stérre/mindre. Opgave: For en plante er y,5 x 3, 7 Metode: nçr y er vägt (i gram), og x er längde (i cm). Nu er plantens längde 5,2 cm. Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet 2,6 cm längere? SpÉrgsmÇlet kan oversättes til Hvor mange enheder bliver y stérre hvis x er 5, 2 og bliver 2, 6 enheder stérre? NÇr x er blevet 2,6 enheder stérre, er x 5,2 2,6 7, 8 NÇr x 5, 2 er y,5 5,2 3,7, 5. NÇr x 7, 8 er y,5 7,8 3,7 5, 4. Vi udregner "sidste y minus férste": 5,4,5 3, 9 Konklusion: Planten vil väre 3,9 gram tungere nçr den er blevet 2,6 cm längere. BemÄrkning: Trinene i udregningerne er vist nedenfor. 2, 6 2, 6 x 5,2? x 5,2 7,8 y y?? Trin Trin 2 2, 6 2, 6 x 5,2 7,8 x 5,2 7,8 y,5 5,4 Trin 3? y,5 5,4 Trin 4 3, 9 LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 8 200 Karsten Juul
8: Vi ved hvordan y vokser/aftager. Skriv ligning. SÅtning 8a: SÇdan kan vi finde ligningen nçr vi ved hvordan y vokser/aftager. Hvis vi fçr at vide at der er et bestemt tal vi skal lägge til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre, sç ved vi: Ligningen er af typen y ax b PÇ a's plads skal vi skrive det tal som vi skal lägge til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. PÇ b's plads skal vi skrive det tal som y er lig nçr x er lig 0. Opgavetype 8b: Vi har det tal vi skal lägge til y-tallet hver gang vi lägger til x-tallet. Vi ved hvad y-tallet er nçr x-tallet er 0. Vi skal skrive en formel til at udregne y nçr vi kender x. Opgave: Hver gang x bliver enhed stérre, vil y blive 3 enheder mindre. NÇr x 0 er y 5. Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne y nçr vi kender x. Metode: Ligningen er af typen y ax b da vi skal lägge det samme til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. a 3 da vi skal lägge 3 til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. b 5 da y 5 nçr x 0. Konklusion: y 3x 5 Opgavetype 8c: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har det tal vi skal lägge til y-tallet hver gang vi lägger til x-tallet. Vi ved hvad y-tallet er nçr x-tallet er 0. Vi skal skrive en formel til at udregne y nçr vi kender x. Opgave: Metode: Man skal betale 0 kr. for at starte pç et computerspil, og herefter skal man betale 0,50 kr. pr. minut man spiller. Skriv en ligning vi kan bruge til at udregne prisen for at spille nçr vi kender antal minutter vi spiller. Vi bruger x og y til at betegne félgende talstérrelser: x = antal minutter y = prisen i kr. SÇ kan vi oversätte oplysningerne til félgende: NÇr x 0 er y 0 Hver gang vi gér x Ön enhed stérre, skal vi lägge 0,50 til y. Konklusion: y 0,50x 0 nçr x = antal minutter og y = prisen i kr. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 9 200 Karsten Juul
Eksempel 8d: SÇdan kan vi finde ligningen nçr vi har en lineär graf (i de tilfälde hvor grafen er meget nem at afläse) 2 2 2 2,5 Grafen til venstre viser sammenhängen mellem to variable x og y. Vi ser: NÇr x 0 er y, 5. Vi ser: Hver gang vi gér x enhed stérre, sç bliver y 2 enheder stérre. 0 PÇ billedet til héjre har vi vist hvor vi har afläst, 5 PÇ billedet til héjre har vi vist hvordan vi ser dette. Grafen er en linje: y ax b I SÄtning 8a stçr: I sätning 8a stçr: PÇ a's plads skal vi skrive det tal som vi skal lägge til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. AltsÇ er a 2. PÇ b's plads skal vi skrive det tal som y er lig nçr x er lig 0. AltsÇ er b, 5. AltsÇ er ligningen: y 2x, 5 Figuren i dette eksempel er sç simpel at vi kan overse at vi afläser med stor néjagtighed. Hvis vi ikke kan det, sç skal vi bruge en af metoderne fra rammen "Opgavetype 0d". LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 0 200 Karsten Juul
9: Vi har ligning. Hvordan vokser/aftager y. Bevis 9a: Bevis for sätning 9b. I dette eksempel stär bäde a, b og t for tal som ikke er oplyst. Ligningen y ax b viser sammenhängen mellem to variable y og x. SpÉrgsmÇl: Hvilken Ändring sker i värdien af y, nçr x Ändrer värdi fra t til t? Svar: Vi regner ud hvad y er nçr x er t og t : NÇr x t er y at b NÇr x t er y a( t) b at a b Vi udregner nu Ändringen i värdien af y : ( at a b) ( at b) at a b at b Dvs. nçr x Ändres fra t til t, sç lägges a til värdien af y. BemÄrkninger: Udregningen i svaret kan vi anskueliggére sçdan: x t t+ y at+b at+a+b a Udregningen viser at uanset hvilken startvärdi x har, sç lägges der a til värdien af y nçr der lägges til värdien af x. BemÄrk at a kan väre negativ. Hvis a er 2, sç bliver y altsç 2 enheder mindre hver gang x bliver enhed stérre. Afsnittet "Svar" ovenfor er et BEVIS for 9b nedenfor. Hvad er et BEVIS? Et bevis for en pçstand er nogle logiske slutninger der gér det fuldständig sikkert at pçstanden gälder. Her er et bevis for 9b 2 : NÇr x 0, er y a 0 b, dvs. y b. a SÅtning 9b: Regel om hvad tallene pç a 's og b's pladser i y ax b fortäller. NÇr ligningen er af typen y ax b, hvad fortäller tallene pç a's og b's pladser sç om sammenhängen mellem x og y? 9b : Tallet pç a's plads er det tal vi skal lägge til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre. Hvis a 3: Hver gang vi gér x Ön enhed stérre, vil y blive 3 enheder stérre. Hvis a 4 : Hver gang vi gér x Ön enhed stérre, vil y blive 4 enheder mindre. 9b 2 : Tallet pç b's plads er det tal som y er lig nçr x er 0. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 200 Karsten Juul
Opgavetype 9c: Vi har tallene pç a's og b's pladser i y ax b Vi skal skrive hvad disse tal fortäller.. Opgave: Hvad fortäller tallene, 2 og 9, 7 om sammenhängen y,2 x 9, 7? Metode: Af SÄtning 9b fçr vi:,2 er det tal vi skal lägge til y hver gang vi gér x en enhed stérre 9,7 er värdien af y nçr x er 0 Konklusion: NÇr x 0 er y 9, 7 og hver gang vi gér x Ön enhed stérre, vil y blive, 2 enheder mindre. Vi siger ikke, 2 enheder stérre. Vi siger, 2 enheder mindre. Opgavetype 9d: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har tallene pç a's og b's pladser i y ax b. Vi skal skrive hvad disse tal fortäller. Opgave: Metode: For en cirkel pç et elektronisk billede kan radius udregnes ved hjälp af formlen y 2x 8 hvor x er temperaturen i C og y er radius i mm. Hvad fortäller tallene 2 og 8 om radius? Af SÄtning 9b fçr vi: dvs. 2 er det tal vi skal lägge til y hver gang vi gér x en enhed stérre. 8 er värdien af y nçr x er 0. 2 er det tal vi skal lägge til radius hver gang vi gér temperaturen en grad stérre. 8 er radius nçr temperaturen er 0 grader. Konklusion: Radius er 8 mm ved 0 C og vokser 2 mm pr. grad temperaturen stiger. Eksempel 9e: y ax b og x bliver flere enheder stérre. Ligningen y 20x 374 viser sammenhängen mellem to variable x og y. Ligningen er af typen y ax b og a 20 sç vi skal lägge 20 til y hver gang x bliver Ön enhed stérre (ifélge 9b ). Hvis x bliver 5 enheder stérre, skal vi 5 gange lägge 20 til y, sç y bliver 20 5 300 stérre. enheder Hvis x bliver 2,5 enheder mindre, sç vil y blive 20 2,5 50 enheder mindre. Hvis x bliver h enheder stérre, og vi ser at y bliver 284 enheder stérre, sç er 20 h 284 284 h dvs. x er blevet 4,2 enheder stérre. 20 og sç er LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 2 200 Karsten Juul
Eksempel 9f: SÇdan kan vi tegne grafen nçr vi har en ligning af typen y ax b (i nogle tilfälde hvor tallene er simple) Ligningen y 0,5 x 2 viser sammenhängen mellem to variable x og y. Figur Ligningen er af typen y ax b. Tallet pç b ' s plads er 2 sç ifélge 9b 2 gälder y 2 nçr x 0. PÇ figur har vi brugt dette til at tegne et punkt pç grafen. Figur 2 Tallet pç a ' s plads er 0,5 sç ifélge 9b gälder Vi skal lägge 0,5 til y hver gang vi gér x en enhed stérre. 0,5 0,5 PÇ figur 2 har vi brugt dette til at tegne endnu et grafpunkt. PÇ figur 3 har vi gentaget dette sç der nu er tre grafpunkter. Ved at gére det to gange mere fçr vi figur 4. 0,5 Figur 3 0,5 Figur 4 Hvis tallene ikke er simple, sç kan vi tegne grafen ved at bruge en af metoderne fra rammen "Opgavetype 3b". LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 3 200 Karsten Juul
Eksempel 9g: SÇdan kan vi tegne grafen nçr vi har en ligning af typen y ax b Ligningen (i nogle tilfälde hvor tallene er simple) y 0,6x 5 viser sammenhängen mellem to variable x og y. Ligningen er af typen y ax b og a 0, 6 sç vi skal lägge 0,6 til y hver gang vi gér x Ön enhed stérre (ifélge 9b ). AltsÇ gälder Vi skal lägge 6 til y hver gang vi gér x 0 enheder stérre. Dette har vi nedenfor brugt til at tegne punkter pç grafen. 0 6 0: Udregn a og/eller b i y = ax+b. Opgavetype 0a: Vi har et punkt pç grafen. Vi har tallet pç a's plads. Vi skal udregne b i y ax b. Opgave: Punktet ( 4, 35) ligger pç grafen for sammenhängen y 8 x b. Find tallet b. Metode: Vi indsätter 4 og 35 for x og y i ligningen og fçr 35 8 4 b Vi léser denne ligning mht. b og fçr b 3 Konklusion: b 3 Opgavetype 0b: Vi har et punkt pç grafen. Vi har tallet pç b's plads. Vi skal udregne a i y ax b. Opgave: Punktet ( 5, 8) ligger pç grafen for sammenhängen y ax 8. Find tallet a. Metode: Vi indsätter 5 og 8 for x og y i ligningen og fçr 8 a 5 8 Vi léser denne ligning mht. a og fçr a 2 Konklusion: a 2 LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 4 200 Karsten Juul
SÅtning 0c: Formler for a og b i y = ax+b. Hvis vi kender to punkter x, ) og x, ) y ax b ( y sç kan vi udregne a og b sçdan: 2 ( 2 y2 y2 y a og b y ax x x pç grafen for en lineär sammenhäng Bevis for sätningen Da x, ) og x, ) ligger pç grafen for y ax b ( y ( 2 y2 () y ax b (2) y ax b 2 Af () fçr vi 2 (3) y ax b Vi indsätter dette i (2) og fçr hvoraf y y y 2 ax2 x ( y a ) 2 y ax2 ax 2 y 2 x y x a ( x ) 2 y a ( x2 x) 2 x x 2 x er Dette er formlen for b y x 2 2 y x a Dette er formlen for a LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 5 200 Karsten Juul
Opgavetype 0d: Vi har to punkter pç grafen. Vi skal udregne tallene a og b i y ax b. Opgave : Punkterne ( x, y) ( 7, ) og ( x, y) (8, 4) ligger pç grafen for sammenhängen y ax b. Find tallene a og b. Metode. Vi léser ligningssystem uden hjälpemidler: Da ( x, y) ( 7, ) og ( x, y) (8, 4) ligger pç grafen, er () a ( 7) b (2) 4 a 8 b Af () fçr vi (3) 7a b Vi indsätter dette i (2) og fçr 4 8a ( 7a) hvoraf 3 5a 3 5a 5 5 0,2 a Dette indsätter vi i (3) og fçr 7 0, 2 b hvoraf 2,4 b Metode 2: Nspire léser ligningssystem: Da ( x, y) ( 7, ) og ( x, y) (8, 4) ligger pç grafen, er a ( 7) b 4 a 8 b Nspire léser dette ligningssystem mht. a og b og fçr a 0,2 og b 2, 4 Metode 3. Vi indsätter i formler for a og b : Af ( x, y) ( 7, ) og ( x2, y2 ) (8, 4) fçr vi y2 y 4 3 a 0,2 x x 8 ( 7) 5 b 2 y ax 0,2 ( 7) Metode 4. Nspire laver lineär regression: Vi indtaster de to punkter, välger lineär regression og fçr y 0,2x 2, 4 Konklusion: a 0, 2 og b 2, 4 Opgave 2: Punkterne ( x, y) ( 7, ) og ( x, y) (8, 4) ligger pç grafen for en lineär sammenhäng. Find en ligning for denne sammenhäng. Metoder er ens for Konklusion: y 0,2x 2, 4 er ligningen for den lineäre sammenhäng. opgave og 2. 2,4 SÅdan tastede vi på Nspire: Dette er konklusionen i Opgave uanset om vi bruger Metode, 2, 3 eller 4. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 6 200 Karsten Juul
Opgavetype 0e: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har to punkter pç grafen. Vi skal udregne tallene a og b i y ax b. Opgave: Metode: Der er en lineär sammenhäng mellem temperatur og overskud. NÇr temperaturen er 3 C, er overskuddet 2 mio. kr. NÇr temperaturen er 5 C, er overskuddet 28 mio. kr. Skriv en ligning der viser sammenhängen mellem temperatur og overskud. Vi sätter Det er nédvendigt at fortälle läseren x = temperatur (mçlt i C) dette da det ikke stçr i opgaven. y = overskud (mçlt i mio. kr.) Der er oplyst to x-värdier og tilhérende y-värdier: Til x 3 svarer y 2. Til x 5 svarer y 28. 2 2 Da sammenhängen er lineär, er den ségte ligning pç formen a b y x 2 2 y x 28 2 5 ( 3) 6 8 y ax 2 2 ( 3) 8 2 y ax b, og Alle fire metoder fra Opgavetype 0d kan bruges her. Konklusion: Ligningen y 2x 8 viser sammenhängen mellem temperaturen x i C og overskuddet y i mio. kr. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 7 200 Karsten Juul
Opgavetype 0f: Vi har en lineär graf. Vi skal finde tallene a og b i y ax b. Opgave: Grafen viser sammenhängen mellem to variable x og y. Find en ligning for denne sammenhäng. Metode: Da grafen er en ret linje, er ligningen af typen y ax b. For at kunne udregne a og b skal vi bruge koordinaterne til to punkter pç grafen. For at fç stor néjagtighed välger vi de to punkter sç de er nemme at afläse de ligger langt fra hinanden. Vi afläser de to punkters koordinater og fçr ( 4, 8) og ( 33, 26). PÇ figuren har vi tegnet en cirkel omkring hvert af de to punkter. (33, 26) Hvis vi i stedet havde tegnet en prik eller et kryds, sç ville läseren ikke kunne se hvor néjagtigt vi havde afläst. ( 4, 8) Nu kan vi udregne a og b ved at bruge en af de fire metoder i rammen "Opgavetype 0d" Konklusion: Ligningen for sammenhängen er y 0,723x 2, 3. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 8 200 Karsten Juul
Eksempel 0g: LineÄr regression. Vi tager et termometer ud af kéleskabet og afläser det nogle gange. g = temperatur i C m = antal minutter efter at termometeret blev taget ud af kéleskabet. Vi taster de mçlte tal sç m kommer pç den vandrette akse, og g kommer pç den lodrette. Nspire laver lineär regression pç tallene og fçr () g 2,77 m 3, 4. PÇ skärmen ser vi: Den rette linje der er graf for (). Punkterne der viser de mçlte tal. Vi ser: SammenhÄngen () giver en god beskrivelse af temperaturen i tidsrummet fra til 5 minutter efter udtagning fra kéleskab. NÇr vi fçr Nspire til at lave lineär regression pç en tabel, sç udregner Nspire den ligning af typen y = ax + b som bedst passer med tabellens tal. Nspire udregner tallene a og b ved at sätte tabellens tal ind i nogle indviklede formler. Hvis vi kun havde en simpel lommeregner, sç mçtte vi selv sätte tallene ind i disse formler. Eksempel 0h FortsÄttelse af Eksempel 0g. I eksempel 0g underségte vi kun mçlingerne fra til 5 minutter efter udtagningen. PÇ figuren til héjre har Nspire lavet lineär regression pç mçlingerne fra 0 til 4 minutter efter udtagningen. Den rette linje er graf for den lineäre sammenhäng der passer bedst med de mçlte tal. Prikkerne viser de mçlte tal. Vi ser at vi ikke kan bruge en lineär sammenhäng til at give en god beskrivelse af temperaturen i de férste 4 minutter efter udtagningen.. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 9 200 Karsten Juul
Opgavetype 0i: LineÄr regression. Opgave: Vi har mçlt längde og bredde for nogle komponenter: längde i cm,5 2,5 3,5 4,5 5,5 bredde i cm 5, 5,3 5,9 6, 6,6 SammenhÄngen mellem längde og bredde kan med god tilnärmelse beskrives ved en ligning af typen y ax b. Find tallene a og b. Metode: Vi indtaster tallene sçdan at längde kommer pç den vandrette akse og bredde kommer pç den lodrette akse. Nspire laver lineär regression pç de indtastede tal og fçr y 0,38x 0,67. Konklusion: a 0, 38 og b 0, 67 Opgavetype 0j: Regression, Çrstal. Opgave: Tabellen viser antallet af boliger i et bestemt omrçde. Ürstal 998 2000 2002 2004 2006 2008 Antal boliger 33 70 86 28 232 247 Antallet af boliger kan med god tilnärmelse beskrives ved en ligning af typen y ax b hvor y er antallet af boliger, og x er antal Çr efter 998. Find tallene a og b. Metode: Vi taster félgende tabel: x 0 2 4 6 8 0 y 33 70 86 28 232 247 Vi taster ikke Çrstal da x ikke er Çrstallet. Nspire laver lineär regression pç denne tabel og fçr y 3,857x 36, 238 Konklusion: a 3,2 og b 36 LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 20 200 Karsten Juul
: To sammenhånge. Eksempel a: Vi sammenligner to lineäre sammenhänge. FÉlgende ligninger viser to lineäre sammenhänge: y 0,25x 7 og y 0,5x NÇr x 0 er 0,25x 7 0,25 0 7 0,5x 0,5 0 6 9,5 Vi vil finde det tal vi skal sätte x lig for at 0,25x 7 og 0,5x Vi skal altsç finde x sç 0,25x 7 0,5x Vi léser denne ligning mht. x og fçr x 24. giver samme resultat. Figuren viser graferne for de to sammenhänge y 0,429x,29 y 0,857x 24,4 y 0,429x,29 y 0,857x 24,4 PÇ figuren er vist hvordan vi har afläst at nçr x er 0,429x,29 6 0,857x 24,4 5 PÇ samme mçde kan vi afläse at og at nçr x 25 er 0,429x,29 2 0,857x 24,4 3 nçr x 8 er 0,429x,29 9 0,857x 24,4 9 y 0,429x,29 y 0,857x 24,4 Af figuren ser vi: NÇr vi sätter x 8 giver 0,429x, 29 og 0,857x 24, 4 samme y-värdi. Udtrykket 0,429x, 29 giver mindre y-värdi end 0,857x 24, 4 nçr x er mindre end 8, og stérre y-värdi nçr x er stérre end 8. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 2 200 Karsten Juul
Opgavetype b: Vi har to ligninger af typen y ax b. Vi skal finde det tal x som giver samme y-värdi i de to ligninger. Opgave: Ligningerne y 0,25x 7 og y 0,5x viser to sammenhänge mellem variable x og y. Find den värdi af x som giver samme y-värdi i de to sammenhänge. Metode: Vi skal finde x sç 0,25x 7 0,5x Vi léser denne ligning mht. x. og fçr x 24. LÄseren skal kunne se hvordan du har lést ligningen. Du kan välge mellem flere mçder at lése ligningen pç. Konklusion: x-värdien 24 giver samme y-värdi i de to sammenhänge. Opgavetype c: Opgave om virkeligheden som vi kan oversätte til: Vi har to ligninger af typen y ax b. Vi skal finde det tal x som giver samme y-värdi i de to ligninger. Opgave: Metode: I en have planter vi to planter A og B. Der gälder m 0,65t 4,5 og n 0,85t 7, 3 hvor m er héjden i cm af A, n er héjden i cm af B, og t er antal dégn efter plantetidspunktet. HvornÇr har planterne samme héjde? Vi skal finde den värdi af t hvor 0,65t 4,5 0,85t 7,3 Vi léser denne ligning mht. t og fçr t 36 Konklusion: Planterne har samme héjde 36 dégn efter plantetidspunktet. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 22 200 Karsten Juul
Opgavetype d: Vi har to ligninger af typen y ax b. Vi skal finde koordinatsättet til grafernes skäringspunkt. Opgave: Metode : Metode 2: Find koordinatsättet til skäringspunktet mellem graferne for de to sammenhänge y,2 x 7,4 og y 0,6 x 2, 8 SkÄringspunktets x-koordinat er den x-värdi hvor de to ligninger giver samme y-värdi, dvs hvor,2 x 7,4 0,6 x 2,8. Vi léser denne ligning mht. x og fçr x 7. SkÄringspunktet ligger pç grafen for y 0,6 x 2, 8 og har derfor y-koordinaten y 0,6 7 2,8 3. Vi fçr Nspire til at tegne de to grafer. Vi Ändrer udsnittet af koordinatsystemet sç vi kan se skäringspunktet. Vi fçr Nspire til at finde skäringspunktet og fçr ( 7, 3). Konklusion: SkÄringspunktet er (7, 3) Opgavetype e: Vi skal finde ud af hvornçr en variabel er stérre end en anden. Opgave: Metode: Konklusion: To forretninger A og B starter samtidigt salget af en vare. NÇr x = dage efter salgets start og y = varens pris i kr. er A: y 3,5x 2239 B: y 2x 888 HvornÇr er A billigst? Vi bestemmer férst x sç de to priser er ens, dvs. sç 3,5x 2239 2x 888 Vi léser denne ligning mht. x og fçr x 234. Vi tegner graferne for de to sammenhänge med metoden fra rammen "Opgavetype 3b". PÇ figuren ser vi at A's y-värdi er mindre end B's nçr x er stérre end 234. Efter dag 234 er A billigst. A B Af ligningerne ser vi (ifélge SÄtning 9b): A: prisen falder 3,50 kr. hver dag B: prisen falder 2,00 kr. hver dag Efter det tidspunkt hvor priserne er ens i A og B, mç prisen i A altsç väre mindst. Denne begrundelse kan vi bruge i stedet for at se pç graferne. LineÄre sammenhänge for gymnasiet og hf Side 23 200 Karsten Juul