LineÄre sammenhänge y x 3 3 008 Karsten Juul
Dette häfte er en fortsättelse af häftet "VariabelsammenhÄnge, 008". Indhold 8. Hvad er en lineär sammenhäng?... 3 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng?... 6 0. Opgaver hvor vi skal bestemme y eller x i y = ax+b... 8. Hvordan kan vi beregne Ändringer i x og y for en lineär sammenhäng?... 30. Hvad fortäller a og b om den lineäre sammenhäng y = ax+b?... 34 3. Hvordan kan vi bestemme lineäre sammenhänge?... 40 Nyere häfter m.m.: http://mat.dk/lineaere_sammenhaenge_for_gymnasiet_og_hf.pdf 0/0-0 http://mat.dk/betydning_af_ax+b.pdf 3/4-0 http://mat.dk/lineaere_sammenhaenge_udg.pdf 5/0-9 LineÄre sammenhänge. udgave 008 Å 008 Karsten Juul Dette häfte kan downloades fra www.mat.dk HÄftet mç benyttes i undervisningen hvis läreren med det samme sender en e-mail til kj@mat.dk som oplyser at dette häfte benyttes (skriv filnavn), og oplyser om hold, niveau, lärer og skole.
Afsnit 8. Hvad er en lineär sammenhäng? DEFINITION 8. Hvad er en lineär sammenhäng? Vi kalder en sammenhäng for lineär hvis den kan beskrives ved en ligning der fçs ved at indsätte bestemte tal for a og b i ligningen () y ax b Opgave 8.: Ligningen () y 0,4x, 7 viser en sammenhäng mellem to variable y og x. Hvilke tal skal vi indsätte for a og b i ligningen y ax b sammenhängen ()? Vi skal sätte a 0,4 og b, 7 for nçr vi gér det, fçr vi ligningen y 0,4x (,7) som kan omskrives til ligningen (). for at fç BemÄrkning I svaret pç 8. viste vi at sammenhängen () kan fçs ved at sätte bestemte tal ind for a og b i ligning () i definition 8.. IfÉlge definition 8. har vi altsç vist at () er en lineär sammenhäng. Opgave 8.3: Ligningen (3) y (3 x) viser en sammenhäng mellem to variable y og x. Hvilke tal skal vi indsätte for a og b i ligningen y ax b sammenhängen (3)? for at fç FÉrst omskriver vi ligningen (3) ved at gange ind i parentesen: (3a) y 6 x For at fç sammenhängen (3) skal vi altsç i ligningen a og b 6 for nçr vi gér det, fçr vi ligningen y ( ) x 6 som kan omskrives til ligningen (3a). y ax b sätte LineÄre sammenhänge Side 3 008 Karsten Juul
Åvelse 8.4 For hver af félgende sammenhänge skal du finde ud af hvilke tal vi skal indsätte for a og b i ligningen y ax b for at fç sammenhängen. () y x 3 () y x (3) y 8, 5 (4) Åvelse 8.5 y x (5) y 5( x 3) Opskriv de to ligninger der fremkommer nçr du i ligningerne () og () nedenfor erstatter u med og v med. For hver af de to ligninger skal du udfylde en tabel som den til héjre. () y u ( v x) () y x u v x 3 IndsÄt et andet tal for u og et andet tal for v sçdan at de to ligninger ikke fçr samme tabel, eller forklar hvorfor det ikke kan lade sig gére. y Eksempel 8.6 For nogle plader er der félgende sammenhäng mellem omkredsen og héjden: (4a) Omkredsen er det tal vi fçr nçr vi ganger hçjden med 3 og lägger til resultatet. Opgave 8.7: Skriv (4a) som en ligning. (Se eksempel 8.6) Vi indférer betegnelserne x = héjde y = omkreds SÇ kan (4a) skrives sçdan: y fçs ved at gange x med 3 og lägge til resultatet Med symboler kan (4a) altsç skrives sçdan: (4b) y 3x. Opgave 8.8: En plade A har omkredsen 6. Hvilket tal fçr vi hvis vi ganger A's héjde med 3 og lägger til? (Se eksempel 8.6) IfÉlge (4a) fçr vi A's omkreds, dvs. 6. Opgave 8.9: Hvis x er 5, vil y sç väre 6? (Se eksempel 8.6) Hvis x er 5 vil y 35 dvs. y 7. Svaret er altsç: Nej, y er ikke 6 nçr x er 5. Opgave 8.0: Skriv en ligning med x der udtrykker at vi fçr 6 nçr vi ganger x med 3 og lägger til. 6 3x LineÄre sammenhänge Side 4 008 Karsten Juul
Åvelse 8. () Skriv en ligning der udtrykker at vi fçr 7 nçr vi ganger x med 3 og lägger til resultatet. () LÉs denne ligning, og skriv hvad lésningen fortäller om pladerne fra eksempel 8.6. (3) Gang 7 med 3 og läg til, og fortäl hvad resultatet fortäller om pladerne fra eksempel 8.6. Åvelse 8. Denne Évelse drejer sig om grafen for sammenhängen (4b) i 8.7. () Hvad er y-koordinaten til det grafpunkt som har x-koordinat 0,5? () Hvad er x-koordinaten til det grafpunkt som har y-koordinat 5? (3) Hvad fortäller svaret pç () om pladerne fra 8.6? (4) Hvad fortäller svaret pç () om pladerne fra 8.6? (5) Ligger punktet ( 3, ) pç grafen? (6) FormulÑr spérgsmçl (5) som et spérgsmçl om héjde og omkreds for pladerne fra 8.6. Åvelse 8.3 Om alle Peters trekanter gälder: HÉjden er det tal vi fçr nçr vi dividerer grundlinjen med og lägger 4 til resultatet. () Skriv denne sammenhäng som en ligning, og husk at det er nédvendigt férst at skrive hvilke bogstaver der stçr for héjde og grundlinje (se 8.7). Om en af Peters trekanter er oplyst: Vi fçr nçr vi dividerer grundlinjen med og lägger 4 til. () Skriv denne oplysning som en ligning. (3) LÉs ligningen, og skriv hvad lésningen fortäller om Peters trekanter. De félgende spérgsmçl drejer sig om grafen for sammenhängen fra spérgsmçl (). (4) Ligger punktet (, 4,5) pç grafen? (5) FormulÑr spérgsmçl (4) som et spérgsmçl om héjde og grundlinje i Peters trekanter. (6) Hvad er y-koordinaten til det grafpunkt som har x-koordinat 0? (7) FormulÑr spérgsmçl (6) som et spérgsmçl om héjde og grundlinje i Peters trekanter. LineÄre sammenhänge Side 5 008 Karsten Juul
Afsnit 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng? Ligningen () y 0,5x 0, 7 viser en lineär sammenhäng mellem to variable y og x. Ved at beregne nogle stéttepunkter (se afsnit 4) kan vi tegne grafen for sammenhängen (). Hvis vi gér det, vil vi se at punkterne ligger pç en ret linje. Hvis vi préver med en anden lineär sammenhäng, vil vi se at ogsç for denne sammenhäng ligger punkterne pç en ret linje. Hvis en oplysning om noget der gälder, er särlig vigtig, sç kalder man denne oplysning for en SÖTNING. Rammen indeholder sçdan oplysning. SÉTNING 9. Hvordan ser grafen ud for en lineär sammenhäng? Grafen for en lineär sammenhäng er en ret linje. Opgave 9.: Tegne graf for sammenhängen y = ax+b Tegn grafen for sammenhängen (). Da grafen er en ret linje (ifélge sätning 9.), behéver vi kun udregne to punkter for at kunne tegne den. For at fç stor néjagtighed skal de to punkter ligge langt fra hinanden. NÇr x 3 er y 0,5( 3) 0,7 0, 8 NÇr x 4 er y 0,5 4 0,7, 7 Nu kan vi tegne grafen som den rette linje gennem punkterne ( 3, 0,8) og ( 4,,7). Se figur. Åvelse 9.3 Tegne graf for sammenhängen y = ax+b Denne Évelse drejer sig om grafen for sammenhängen y 0,8x. () Hvorfor kan vi for denne graf néjes med to stéttepunkter? (Se 9.). () Tegn et koordinatsystem hvor bçde x-akse og y-akse gçr fra 6 til 6. (3) Hvis vi skal tegne grafen i dette koordinatsystem, hvorfor dur det sç ikke at bruge de to stéttepunkter der har x-koordinater 0 og? (Se 9.). (4) Tegn grafen i det tegnede koordinatsystem LineÄre sammenhänge Side 6 008 Karsten Juul
SÉTNING 9.4 AfgÇre om sammenhängen y = ax+b er voksende eller aftagende En lineär sammenhäng y ax b er aftagende hvis a er negativ og voksende hvis a er positiv. Opgave 9.5: AfgÇre om sammenhängen y = ax+b er voksende eller aftagende PÇ figuren nedenfor er vist graferne for tre lineäre sammenhänge I, II og III. AfgÉr for hver af dem om a er positiv eller negativ. SammenhÄng I er voksende, sç a er positiv (ifélge 9.4). SammenhÄng II er aftagende, sç a er negativ (ifélge 9.4). SammenhÄng III er voksende, sç a er positiv (ifélge 9.4). I II III Åvelse 9.6 AfgÇre om sammenhängen y = ax+b er voksende eller aftagende For hver af félgende sammenhänge mellem x og y skal du skrive en begrundelse for at den er voksende, eller for at den er aftagende, eller for at den hverken er voksende eller aftagende. () y 0,x 3 () y 4 x (3) y x (4) y 0,6 4x (5) y 00 0 x LineÄre sammenhänge Side 7 008 Karsten Juul
Afsnit 0. Opgaver hvor vi skal bestemme y eller x i y = ax + b Eksempel 0. For nogle skiver der findes i forskellige stérrelser, gälder () y 0,x 0, hvor y er tykkelsen, mçlt i mm, og x er diameteren, mçlt i mm. Opgave 0.: Hvad er tykkelsen af en skive hvis diameter er 4 mm? (Se eksempel 0.) Under ligningen () stçr at x diameteren, sç da det oplyste tal 4 er en diameter, skal 4 indsättes pç x's plads: y 0,4 0, Ved at udregne dette fçr vi y,9. Under ligningen () stçr at y er tykkelsen, sç en skive med diameter 4 mm har tykkelsen,9 mm. Opgave 0.3: Hvad er diameteren af en skive hvis tykkelse er 4,5 mm? (Se eksempel 0.) Under ligningen () stçr at y er tykkelsen, sç da det oplyste tal 4,5 er en tykkelse, skal 4,5 indsättes pç y's plads: 4,5 0,x 0, For at lése denne ligning starter vi med at träkke 0, fra pç begge sider: 4,4 0,x Derefter dividerer vi begge sider med 0,: Vi fçr 4,4 0,x 0, 0, x Under ligningen () stçr at x er diameteren, sç en skive med tykkelse 4,5 mm har diameteren mm. Åvelse 0.4 Om en vare er oplyst at y 3,65x 8,90 hvor y er prisen i kr. og x er bredden i cm. () Hvad er bredden nçr prisen er 8,6 kr.? () Hvad er prisen nçr bredden er 8 cm? LineÄre sammenhänge Side 8 008 Karsten Juul
I fçlgende opgave lader vi t stñ for et tal som endnu ikke er oplyst. Opgave 0.5: Hvad er diameteren af en skive hvis tykkelse er t mm? (Se eksempel 0.) Under ligningen () stçr at y er tykkelsen, sç da det oplyste tal t er en tykkelse, skal t indsättes pç y's plads: t 0,x 0, For at lése denne ligning starter vi med at träkke 0, fra pç begge sider: t 0, 0, x Derefter dividerer vi begge sider med 0,: Vi fçr t 0, 0,x 0, 0, t 0, x 0, Under ligningen () stçr at x er diameteren, sç for en skive med tykkelse t mm er diameteren i mm lig () t 0, 0,. BemÄrkning Hvis t 4, 5 fçr vi af () at diameteren i mm er 4,5 0,. 0, Åvelse 0.6 Vi beskäftiger os stadig med varerne fra Évelse 0.4. () Hvis p stçr for prisen pç en af varerne, hvad er sç bredden af denne vare (udtrykt ved p)? () Vis hvordan svaret pç () kan bruges til at besvare férste spérgsmçl i Évelse 0.4. LineÄre sammenhänge Side 9 008 Karsten Juul
Afsnit. Hvordan kan vi beregne Ändringer i y og x for en lineär sammenhäng? Eksempel. For en plante gälder () y,5 x 3, 7 hvor y er vägten, mçlt i gram, og x er längden mçlt i cm. Opgave.: Nu er plantens längde 5, cm. Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet,6 cm längere? (Se eksempel.) x er 5,. SpÉrgsmÇlet er: hvor meget stérre bliver y nçr x bliver,6 enheder stérre? NÇr x er blevet,6 enheder stérre, sç har x stérrelsen 5,,6 7,8 Vi bestemmer y nçr x er 5, og 7,8: NÇr x 5, er y,5 5, 3,7, 5. NÇr x 7, 8 er y,5 7,8 3,7 5, 4. Da x voksede fra 5, til 7,8, sç voksede y altsç fra,5 til 5,4. Nu kan vi nemt regne ud hvor meget stérre y er blevet: 5,4,5 3,9 Der gälder altsç: Planten blev 3,9 gram tungere da den blev,6 cm längere. BemÄrkning Trinene i udregningerne er vist nedenfor. x 5,? x 5, 7,8 y y?? Trin Trin, 6, 6 x 5, 7,8 x 5, 7,8 y,5 5,4 y,5 5,4? 3, 9 Trin 3 Trin 4 LineÄre sammenhänge Side 30 008 Karsten Juul
Åvelse.3 SpÉrgsmÇlene drejer sig om planten fra eksempel.. Nu er plantens längde 3,6 cm. () Hvad er plantens längde nçr den er blevet,8 cm längere? () Hvad er plantens vägt nu? (3) Hvad er plantens vägt nçr den er blevet,8 cm längere? (4) Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet,8 cm längere? (5) Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet 3, cm längere? Opgave.4: Nu vejer planten 7,9 gram. Hvor meget längere end nu vil planten väre nçr den er blevet, gram tungere? (Se eksempel.) y er 7,9. SpÉrgsmÇlet er: hvor meget stérre bliver x nçr y bliver, enheder stérre? NÇr y er blevet, enheder stérre, sç har y stérrelsen 7,9, 0,0 Vi bestemmer x nçr y er 7,9 og 0,0: Ved at lése ligningen 7,9,5 x 3, 7 fçr vi x, 8. Ved at lése ligningen 0,0,5 x 3, 7 fçr vi x 4,. Da y voksede fra 7,9 til 0,0, sç voksede x altsç fra,8 til 4,. Nu kan vi nemt regne ud hvor meget stérre x er blevet: 4,,8,4 Der gälder altsç: Planten blev,4 cm längere da den blev, gram tungere. BemÄrkning Trinene i udregningerne er vist nedenfor. x x?? y 7,9? y 7,9 0,0,, Trin Trin?, 4 x,8 4, x,8 4, y 7,9 0,0 y 7,9 0,0,, Trin 3 Trin 4 LineÄre sammenhänge Side 3 008 Karsten Juul
Åvelse.5 SpÉrgsmÇlene drejer sig om planten fra eksempel.. Nu er plantens vägt 4,9 gram. () Hvad er plantens vägt nçr den er blevet, gram tungere längere? () Hvad er plantens längde nu? (3) Hvad er plantens längde nçr den er blevet, gram tungere? (4) Hvor meget längere end nu vil planten väre nçr den er blevet, gram tungere? (5) Hvor meget längere end nu vil planten väre nçr den er blevet 3 gram tungere? I fçlgende opgave lader vi t stñ for et tal som endnu ikke er oplyst. Opgave.6: Nu er plantens längde 5, cm. Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet t cm längere? (Se eksempel.) x er 5,. SpÉrgsmÇlet er: hvor meget stérre bliver y nçr x bliver t enheder stérre? NÇr x er blevet t enheder stérre, sç har x stérrelsen 5, t Vi bestemmer y nçr x er 5, og 5,t : NÇr x 5, er y,5 5, 3,7, 5 Der er parentes da,5 skal ganges med det vi fçr nçr 5, lägges til t. NÇr x 5, t er y,5 (5,t) 3,7 7,8,5t 3,7,5, 5t Vi kan nu regne ud hvor meget stérre y er blevet:,5,5t,5, 5t Der gälder altsç at da planten blev t cm längere, sç var vägtstigningen i gram,5t BemÄrkninger Opgavens resultat kan anskueliggéres sçdan: t x 5, y,5 t Stigningen i y-värdien er halvanden gange stigningen i x-värdien. Åvelse.7 I bemärkningerne ovenfor stçr en regel om planten fra.. Vis hvordan reglen kan bruges til at besvare félgende spérgsmçl: () Nu er plantens längde 5, cm. Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet cm längere? () Nu er plantens längde 5, cm. Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet cm längere? (3) Nu er plantens längde 5, cm. Hvor meget tungere end nu vil planten väre nçr den er blevet 0 cm längere? LineÄre sammenhänge Side 3 008 Karsten Juul
Vi lader igen t stñ for et tal som endnu ikke er oplyst. Opgave.8: NÇr x starter med at have värdien t og derefter bliver gjort enhed stérre, hvor meget stérre bliver sç y? (Se eksempel.) Dette spérgsmçl er anskueliggjort her: x y t? VÄrdien af x Éges fra t til t. NÇr x t er y,5 t 3, 7 NÇr x t er y,5( t) 3,7,5 t,5 3,7,5 t 5, Vi kan nu regne ud hvor meget stérre y bliver nçr x Éges fra t til t :,5 t 5, (,5 t 3,7),5 t 5,,5 t 3,7 AltsÇ gälder at y bliver, 5 stérre nçr x bliver stérre.,5 BemÄrkning Start-tallet t indgçr ikke i svaret. Der gälder altsç: Hver gang x bliver enhed stérre, sç vil y blive,5 enheder stérre. Åvelse.9 I bemärkningen ovenfor stçr en regel om planten fra.. Vis hvordan reglen kan bruges til at besvare félgende spérgsmçl: () Hvor meget tungere bliver planten nçr den bliver cm längere? () Hvor meget tungere bliver planten nçr den bliver cm längere? (3) Hvor meget tungere bliver planten nçr den bliver 3 cm längere? Åvelse.0 Ligningen y 5x viser sammenhängen mellem to variable x og y. () Find ud af hvad der skal stç efter sidste lighedstegn: NÇr x t er y () Find ud af hvilket reduceret udtryk der skal stç efter sidste lighedstegn: NÇr x t er y 5( t) (3) Find ud af hvad der skal stç efter de to sidste lighedstegn nedenfor nçr udregningen skal väre omtrent som den i () NÇr x t er y Vis hvordan dine svar pç foregçende spérgsmçl kan bruges til at besvare félgende to spérgsmçl: (4) Hvor mange enheder bliver y stérre nçr x bliver enhed stérre. (5) Hvor mange enheder bliver y stérre nçr x bliver enhed stérre. LineÄre sammenhänge Side 33 008 Karsten Juul
Afsnit. Hvad fortäller a og b om den lineäre sammenhäng y = ax + b? I dette afsnit stñr bñde a, b og t for tal som endnu ikke er oplyst. Eksempel. Ligningen () y ax b viser sammenhängen mellem to variable y og x. Opgave.: Bevis for.3 Hvilken Ändring sker i värdien af y, nçr x Ändrer värdi fra t til t eksempel.)? (Se Vi regner ud hvad y er nçr x er t og t : NÇr x t er y at b NÇr x t er y a( t) b at a b Vi udregner nu Ändringen i värdien af y : at a b ( at b) at a b at b Dvs. nçr x Ändres fra t til t, sç lägges a til värdien af y. a BemÄrkninger Opgavens udregning kan anskueliggéres sçdan: x t t+ y at+b at+a+b a Udregningen i svaret viser at uanset hvilken startvärdi x har, sç lägges der a til värdien af y nçr der lägges til värdien af x. BemÄrk at a kan väre negativ. Hvis a er, sç bliver y altsç enheder mindre hver gang x bliver enhed stérre. Svaret pç. er et BEVIS for sätning.3 nedenfor. Hvad er et BEVIS? Et bevis for en pçstand er nogle logiske slutninger der gér det fuldständig sikkert at pçstanden gälder. SÉTNING.3 Hvad fortäller a i y = ax+b? Hvis y ax b, fortäller a at hver gang x bliver enhed stérre, sç vil y blive a enheder stérre. LineÄre sammenhänge Side 34 008 Karsten Juul
Eksempel.4 Ligningen () y 5x 0 viser sammenhängen mellem félgende to variable x temperaturen (mçlt i C) (3) y overskuddet (mçlt i mio.kr.) Opgave.5: Hvad fortäller a i y = ax+b? I ligningen () stçr tallet 5. Hvad fortäller tallet 5 om overskuddet? (Se eksempel.4) Reglen om hvad a fortäller (sätning.3) siger at hver gang x bliver enhed stérre, sç vil y blive a enheder stérre. Heri erstatter vi a, x og y med oplysningerne fra () og (3): (4) Hver gang temperaturen bliver enhed stérre, sç vil overskuddet blive 5 enheder stérre. SÄtningen (4) er klodset sprog, sç vi omformulerer (4) til: For hver grad temperaturen stiger, vokser overskuddet med 5 mio. kr. Dette er hvad tallet 5 fortäller om overskuddet. Åvelse.6 Mellem de variable x = antal uger efter at foreningen blev oprettet er der félgende sammenhäng: y 5x 70 y = antal medlemmer Hvad fortäller tallet 5 om antallet af medlemmer? (Brug metoden fra.5). Åvelse.7 Mellem de variable x = antal minutter efter at vandhanen blev Çbnet er der félgende sammenhäng: y 3x 4 Hvad fortäller tallet 3 om vandet i karret? (Brug metoden fra.5). y = antal liter i karret Åvelse.8 For en bestemt busk vokser bredden hurtigere end héjden. Mellem de variable x = bredde (i cm) y = héjde (i cm) er der félgende sammenhäng: y 0,8x Hvad fortäller tallet 0, 8 om planten? (Brug metoden fra.5). LineÄre sammenhänge Side 35 008 Karsten Juul
Opgave.9: Bevis for.0 I eksempel 0. stçr at ligningen () y ax b viser sammenhängen mellem to variable y og x. Hvad er y nçr x er 0? NÇr x 0 er y a0 b 0 b b. Dvs. y er b nçr x er 0. BemÄrkning Svaret pç.9 er et BEVIS for sätning.0. Et bevis for en pçstand er nogle logiske slutninger der gér det fuldständig sikkert at pçstanden gälder. SÉTNING.0 Hvad fortäller b i y = ax+b? Hvis y ax b, fortäller b at nçr x er 0, er y lig b. Opgave.: Hvad fortäller b? I eksempel.4 stçr at ligningen () y 5x 0, viser sammenhängen mellem félgende to variable (3) x temperaturen (mçlt i C) y overskuddet (mçlt i mio.kr.) I ligningen () stçr tallet 0. Hvad fortäller tallet 0 om overskuddet? Reglen om hvad b fortäller (sätning.0) siger at nçr x er 0, er y lig b. Heri erstatter vi b, x og y med oplysningerne fra () og (3): NÇr temperaturen er 0, er overskuddet lig 0. Vi omformulerer dette til Ved 0 C er overskuddet 0 kr. Dette er hvad tallet 0 i ligningen () fortäller os om overskuddet. BemÄrkning Nedenfor er anskueliggjort hvad tallene 5 og 0 i ligningen y 5x 0 fra. fortäller om overskuddet: Temperatur (C) 0 3 Overskud (kr.) 0 5 0 5 30 35 5 5 5 5 5 LineÄre sammenhänge Side 36 008 Karsten Juul
Opgave.: NÑr a er negativ i y = ax+b Der gälder at a 5 i ligningen (5) y 5x 90 hvor (6) x er temperatur (i C) og y er overskud (i kr.). I ligningen (5) stçr tallet 5. Hvad fortäller tallet 5 om overskuddet? Reglen om hvad a fortäller (sätning.3) siger at hver gang x bliver enhed stérre, sç vil y blive a enheder stérre. Heri erstatter vi a, x og y med oplysningerne fra (5) og (6): Hver gang temperaturen bliver enhed stérre, sç vil overskuddet blive 5 enheder stérre. Dette betyder: (7) Hver gang temperaturen bliver enhed stérre, sç vil overskuddet blive 5 enheder mindre. SÄtningen (7) er klodset sprog, sç vi omformulerer (7) til: For hver grad temperaturen stiger, falder overskuddet med 5 mio. kr. Dette er hvad tallet 5 i ligningen (5) fortäller os om overskuddet. Åvelse.3 Mellem de variable x = antal dage efter at der blev lagt bréd i skabet er der félgende sammenhäng: y 4x 8 y = antal bréd i skabet Hvad fortäller tallet 4 om antallet af bréd i skabet? (Brug metoden fra.). Åvelse.4 I et havomrçde gälder y 0,x 460 hvor x = afstand til havbunden (i meter) y = tryk (i atmosfäre) Hvad fortäller tallene 0, og 460 om trykket? Åvelse.5 Mellem de variable x = tiden (mçlt i uger efter. maj) y = dyrets vägt (mçlt i gram) er der félgende sammenhäng: y 5x 80 Hvad fortäller tallene 5 og 80 om dyrets vägt? LineÄre sammenhänge Side 37 008 Karsten Juul
Opgave.6: NÑr x Çges med flere enheder (i spérgsmçl (3) Éges x med 5 enheder) Mellem de variable x = temperaturen i beholder A (i C) y = temperaturen i beholder B (i C) er der félgende sammenhäng: y,x 40 () Hvad fortäller tallene, og 40 om temperaturerne i de to beholdere? () Hvor mange grader stiger temperaturen i B nçr temperaturen i A Ändres fra 8 grader til 9 grader? (3) Hvor mange grader stiger temperaturen i B nçr temperaturen i A stiger 5 grader? () I en sammenhäng y ax b gälder: Hver gang x bliver enhed stérre, sç vil y blive a enheder stérre. NÇr x er 0, er y lig b. Da a, og b 40, og x og y er temperaturerne i A og B, gälder: Hver gang temperaturen i A stiger grad, sç vil temperaturen i B stige, grader. NÇr temperaturen i A er 0 grader, er temperaturen i B 40 grader. () NÇr temperaturen i A Ändres fra 8 grader til 9 grader, sç Ändres den grad, sç af svaret pç () fçr vi: Temperaturen i B stiger til 9 grader., grader nçr temperaturen i A stiger fra 8 (3) Hver gang temperaturen i A stiger grad, stiger temperaturen i B, grader, sç da, 5 fçr vi: Temperaturen i B stiger grader. grader nçr temperaturen i A stiger 5 Åvelse.7 Mellem de variable x = temperaturen i beholder A (i C) y = temperaturen i beholder B (i C) er der félgende sammenhäng: y 3x 8 () Hvad fortäller tallene 3 og 8 om temperaturerne i de to beholdere? () Hvad sker der med temperaturen i B nçr temperaturen i A stiger grad? (3) Hvad sker der med temperaturen i B nçr temperaturen i A stiger 0 grader? LineÄre sammenhänge Side 38 008 Karsten Juul
Åvelse.8 Mellem de variable x = skinnens temperatur (i C) y = skinnens längde (i meter) er der félgende sammenhäng: y 0,005x 500 () Hvad fortäller tallet 0, 005 om skinnens längde? () Vis hvordan svaret pç () kan bruges til at regne ud hvor meget längere skinnen bliver nçr temperaturen Ändres fra 4 grader til 5 grader. (3) Vis hvordan svaret pç () kan bruges til at regne ud hvor meget längere skinnen bliver nçr temperaturen Ändres fra 0 grader til 30 grader. Åvelse.9 En virksomheds omkostninger i en uge afhänger af hvor stor en mängde der er fremstillet den pçgäldende uge. Mellem de variable x = mängde (i ton) y = omkostninger (i mio. kr.) er der félgende sammenhäng: y 5,3 0, x () Hvad fortäller tallet 0, om omkostningerne? () Vis hvordan svaret pç () kan bruges til at regne ud hvor meget stérre omkostningerne bliver, hvis der fremstilles ton mere. (3) Vis hvordan svaret pç () kan bruges til at regne ud hvor meget stérre omkostningerne bliver, hvis der fremstilles 00 ton mere. Åvelse.0 Prisen pç en vare Ändres hver dag. Mellem de variable x = antal dage efter udsalgets start. y = pris i kr. er der félgende sammenhäng: y 6000 400x Hvor meget billigere bliver varen, hvis vi venter 5 dage med at kébe den? LineÄre sammenhänge Side 39 008 Karsten Juul
Afsnit 3. Hvordan kan vi bestemme lineäre sammenhänge? Opgave 3.: Hvordan kan vi udfylde resten af en tabel for en lineär sammenhäng? I tabellen er skrevet to af y-värdierne i en lineär sammenhäng y ax b. x 3 0 3 y 5 6,5 Udfyld resten af tabellen. FÉrst bruger vi reglen om hvad a fortäller (sätning.3), til at bestemme a: BemÄrkning Af tabellen ovenfor ses at nçr x Ändres fra til, sç Ändres y fra 5 til 6,5. Dvs. nñr x bliver enhed stçrre, vil y blive,5 enheder stçrre. SÇ mç a väre,5, ifélge reglen om hvad a fortäller (sätning.3). SÇ bruger vi reglen om hvad a fortäller (sätning.3), til at bestemme de andre y- värdier i tabellen: IfÉlge denne regel skal vi lägge,5 til y hver gang vi lägger til x: Den udfyldte tabel: 3 6,5 x 3 0 3 y 0,5 3,5 5 6,5 8 Af reglen om hvad b fortäller (sätning.0), félger at b er 3,5, sç ligningen for sammenhängen er y,5 x 3,5., 5 Åvelse 3. I tabellen er skrevet to af y-värdierne i en lineär sammenhäng y ax b. x 0 3 4 5 y 5 9 Brug metoden fra 3. til at finde ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen. Åvelse 3.3 I tabellen er skrevet to af y-värdierne i en lineär sammenhäng y ax b. x 0 3 4 y 7 6,5 Brug metoden fra 3. til at finde ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen. LineÄre sammenhänge Side 40 008 Karsten Juul
Åvelse 3.4 I tabellen er skrevet to af y-värdierne i en lineär sammenhäng y ax b. x 0 3 4 y 4 Brug metoden fra 3. til at finde ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen. Åvelse 3.5 () Find ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen nedenfor hvis der er en lineär sammenhäng mellem x og y : y ax b () Find ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen nedenfor hvis x og y er omvendt proportionale: y k x x 3 4 y 4 Åvelse 3.6 I tabellen er skrevet to af y-värdierne i en lineär sammenhäng y ax b. x 0 4 6 9 9 y 0 5 Brug metoden fra 3. til at finde ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen, og läg märke til at afstanden mellem x-värdierne ikke er den samme alle steder. Åvelse 3.7 I tabellen er skrevet to af y-värdierne i en lineär sammenhäng y ax b. x 4 0 00 y 0 5 Brug metoden fra 3. til at finde ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen. Åvelse 3.8 () Find ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen nedenfor hvis der er en lineär sammenhäng mellem x og y : y ax b () Find ud af hvad der skal stç pç de tomme pladser i tabellen nedenfor hvis x og y er omvendt proportionale: y k x x 0,5 4 8 y 4 LineÄre sammenhänge Side 4 008 Karsten Juul
Opgave 3.9: Hvordan kan vi tilfçje flere grafpunkter? PÇ den Éverste figur er vist to punkter pç grafen for en lineär sammenhäng y ax b. AfsÄt nogle flere grafpunkter. FÉrst bruger vi reglen om hvad a fortäller (sätning.3), til at bestemme a: Det venstre af grafpunkterne ovenfor viser at nçr x, 5 er y. Det héjre af grafpunkterne ovenfor viser at nçr x 3, 5 er y, 75. Heraf ser vi at nçr vi Ändrer x fra,5 til 3,5, sç Ändres y fra til,75. Dvs. nñr x bliver enhed stçrre, vil y blive 0,75 enheder stçrre. SÇ mç a väre 0,75, ifélge reglen om hvad a fortäller (sätning.3). SÇ bruger vi reglen om hvad a fortäller (sätning.3), til at bestemme flere grafpunkter: IfÉlge denne regel skal vi lägge 0,75 til y hver gang vi lägger til x. Nedenfor er vist hvordan vi udnytter dette til at afsätte flere grafpunkter. LineÄre sammenhänge Side 4 008 Karsten Juul
Åvelse 3.0 I hvert koordinatsystem er vist to punkter pç grafen for en lineär sammenhäng y ax b. Brug metoden fra 3.9 til at afsätte nogle flere grafpunkter pç hver af de fire grafer. Åvelse 3. I det venstre koordinatsystem er afsat to punkter pç grafen for en lineär sammenhäng, og i det héjre er afsat to punkter pç grafen for sammenhängen mellem to omvendt proportionale variable. AfsÄt nogle flere punkter pç de to grafer. y ax b y k x LineÄre sammenhänge Side 43 008 Karsten Juul
Opgave 3.: Hvordan kan vi opskrive en ligning? Om en plante oplyses: () HÉjden vokser med,5 cm pr. uge () HÉjden var 7,0 cm da planten blev kébt. Opskriv en ligning for sammenhängen mellem plantens héjde og tidspunktet. Vi välger félgende betegnelser: x = antal uger efter at planten blev kébt y = héjden (i cm) Oplysningen () kan nu formuleres sçdan: Hver gang x bliver enhed stérre, sç vil y blive,5 enheder stérre. Af reglen om hvad a fortäller (sätning.3), félger at a, 5. Oplysningen () kan formuleres sçdan: NÇr x er 0, sç er y lig 7,0. Af reglen om hvad b fortäller (sätning.0), félger at b 7, 0. SammenhÄngen mellem plantens héjde og tidspunktet beskrives altsç med ligningen y,5 x 7,0 hvor y er héjde i cm og x er antal uger efter kéb BemÄrkning Det er vigtigt at vi skriver hvad vi har valgt at lade x og y stç for ("antal uger efter kéb" og "héjde i cm") da ligningen er ubrugelig hvis läseren ikke ved hvad der skal indsättes for x, og ikke ved hvad det er man beregner ved at udregne ligningens héjre side. Åvelse 3.3 Trykket (i atmosfäre) er ved overfladen, og stiger med 0, hver gang man kommer meter längere ned. Vi indférer félgende betegnelser: x = antal meter under overfladen y = trykket (i atmosfäre) () Hvor mange enheder bliver y stérre hver gang x bliver enhed stérre? () Hvad er y nçr x er 0? (3) Brug svarene pç () og () til at opskrive en ligning y ax b for sammenhängen mellem tryk og antal meter under overfladen (se 3.). Åvelse 3.4 Ved mçnedens start er formuen pç 6 000 kr. Hver dag bliver formuen 000 kr. mindre. Vi indférer félgende betegnelser: x = antal dage efter mçnedens start y = formuens stérrelse (i kr.) () Hvor mange enheder bliver y stérre hver gang x bliver enhed stérre? (At blive 5 enheder stérre er det samme som at blive 5 enheder mindre). () Hvad er y nçr x er 0? (3) Brug svarene pç () og () til at opskrive en ligning y ax b for sammenhängen mellem formue og antal dage efter mçnedens start (se 3.). LineÄre sammenhänge Side 44 008 Karsten Juul
Opgave 3.5: Hvad gçr vi nñr tidspunkter er Ñrstal? FÉlgende er oplyst: I 004 er afgiften 900 kr. Hvert Çr stiger afgiften med 00 kr. Opskriv en ligning der viser sammenhängen mellem tidspunkt og afgift. Vi sätter x = antal Çr efter 004 y = afgiften (i kr.) BEMÖRK: Vi sätter ikke x lig Çrstallet. Vi sätter x lig antal Çr efter et eller andet Çrstal, fx 004 eller 000. NÇr x er 0, dvs. i 004, er y lig 900. SÇ er b 900 ifélge reglen om hvad b fortäller (sätning.0). NÇr x bliver stérre, dvs. nçr der gçr et Çr, vil y blive 00 stérre. SÇ er a 00 ifélge reglen om hvad a fortäller (sätning.3). Den ségte ligning er altsç y 00x 900. Åvelse 3.6 I 008 er antallet af elever 500, og i de kommende Çr skal antallet stige med 93 om Çret. Brug metoderne fra 3.5 til at opskrive en ligning der viser sammenhängen mellem antal elever og tidspunktet. Åvelse 3.7 I 995 var der 840 pladser, og hvert af de félgende Çr blev antallet nedsat med 8. Brug metoderne fra 3.5 til at opskrive en ligning der viser sammenhängen mellem antal pladser og tidspunktet. Åvelse 3.8 Fra 990 til 008 blev et trä 0,8 meter héjere hvert Çr. I 99 var héjden 3,9 meter. Vi sätter y = héjden (i meter) x = tidspunktet (i Çr) I hvert af félgende tilfälde skal du opskrive en ligning der viser sammenhängen mellem y og x. () x mçles i Çr efter 99 (x kan väre negativ) () x mçles i Çr efter 990 (3) x mçles i Çr efter 000 (x kan väre negativ) Åvelse 3.9 MÄngden af salt i en sé stiger med 800 kg pr. Çr. I 007 var der 700 kg salt i séen. Skriv en ligning der viser sammenhängen mellem tidspunkt og mängde af salt. LineÄre sammenhänge Side 45 008 Karsten Juul
Opgave 3.0: Hvordan kan vi opskrive ligningen y = ax +b ud fra grafen? Figuren nedenfor til venstre viser grafen for en lineär sammenhäng Opskriv ligningen for denne sammenhäng. y ax b. PÇ figuren til héjre er vist at nçr x bliver stérre sç lägges til y, sç af reglen om hvad a fortäller (sätning.3), félger at a. PÇ figuren ses ogsç at nçr x 0, er y, sç af reglen om hvad b fortäller (sätning.0), félger at b. Ligningen for sammenhängen er altsç y x. () a b Åvelse 3. I koordinatsystemet er tegnet grafen for en lineär sammenhäng y ax b. Forestil dig et punkt P som kan träkkes frem og tilbage langs grafen. () Anbring P sç dets x-koordinat er. Hvad er sç y-koordinaten for P? () TrÄk derefter P langs grafen sç dets x-koordinat bliver enhed stérre. Hvor meget stérre blev dets y-koordinat? (3) TrÄk P hen til det grafpunkt som har x-koordinaten 0. Hvad er nu y-koordinaten for P? (4) Hvilket tal stçr a for? (Brug svaret pç ()). (5) Hvilket tal stçr b for? (Brug svaret pç (3)). Åvelse 3. I koordinatsystemet er tegnet grafen for en lineär sammenhäng. () NÇr et punkt träkkes langs grafen sç dets x-koordinat bliver stérre, hvad sker der sç med dets y-koordinat? () Hvad er y-koordinaten til det grafpunkt der har x-koordinat 0? (3) Brug svarene pç de to foregçende spérgsmçl til at opskrive en ligning for den lineäre sammenhäng. LineÄre sammenhänge Side 46 008 Karsten Juul
Åvelse 3.3 I koordinatsystemet er tegnet grafen for en lineär sammenhäng y ax b. Forestil dig et punkt P som kan träkkes frem og tilbage langs grafen. () Anbring P sç dets x-koordinat er. TrÄk derefter P langs grafen sç dets x-koordinat bliver 3 enheder stérre. Hvor meget stérre blev dets y-koordinat? () Anbring P sç dets x-koordinat er. TrÄk derefter P langs grafen sç dets x-koordinat bliver enhed stérre. Hvor meget stérre blev dets y-koordinat? (3) Hvad er y-koordinaten til det grafpunkt der har x-koordinat 0? (4) Brug svarene pç de to foregçende spérgsmçl til at opskrive en ligning for den lineäre sammenhäng. Åvelse 3.4 I koordinatsystemet er tegnet grafen for en lineär sammenhäng. () NÇr et punkt träkkes langs grafen sç dets x-koordinat bliver 4 stérre, hvad sker der sç med dets y-koordinat? () NÇr et punkt träkkes langs grafen sç dets x-koordinat bliver stérre, hvad sker der sç med dets y-koordinat? (3) Hvad er y-koordinaten til det grafpunkt der har x-koordinat 0? (4) Brug svarene pç de to foregçende spérgsmçl til at opskrive en ligning for den lineäre sammenhäng. Åvelse 3.5 I koordinatsystemet er tegnet grafen for en lineär sammenhäng. () NÇr et punkt träkkes langs grafen sç dets x-koordinat bliver 3 stérre, hvad sker der sç med dets y-koordinat? () NÇr et punkt träkkes langs grafen sç dets x-koordinat bliver stérre, hvad sker der sç med dets y-koordinat? (3) Hvad er y-koordinaten til det grafpunkt der har x-koordinat 0? (4) Brug svarene pç de to foregçende spérgsmçl til at opskrive en ligning for den lineäre sammenhäng. Åvelse 3.6 I koordinatsystemet er tegnet graferne for fire lineäre sammenhänge. Brug metoden fra 3.0 til at opskrive en ligning for hver af de fire sammenhänge. LineÄre sammenhänge Side 47 008 Karsten Juul
Åvelse 3.7 I koordinatsystemet er tegnet grafenerne for fem lineäre sammenhänge. Brug metoden fra 3.0 til at opskrive en ligning for hver af de fem sammenhänge. (5) (4) Åvelse 3.8 Grafen for en lineär sammenhäng gçr gennem punkterne P(, ) og Q (6, 4). Et punkt träkkes langs grafen fra P til Q. () Hvor meget stérre bliver punktets x-koordinat? () Hvor meget stérre bliver punktets y-koordinat? (3) Hvor meget stérre blev punktets y-koordinat hver gang dets x-koordinat blev enhed stérre? Grafen for en lineär sammenhäng gçr gennem punkterne R( x, y ) og T ( x, y ). Et punkt träkkes langs grafen fra R til T. (4) Hvor meget stérre bliver punktets x-koordinat? (5) Hvor meget stérre bliver punktets y-koordinat? (6) Hvor meget stérre blev punktets y-koordinat hver gang dets x-koordinat blev enhed stérre? (3) () () 3.9 Formler til at beregne a og b i y = ax+b Vi lader a og b stç for to tal som endnu ikke er kendt. Ligningen () y ax b viser sammenhängen mellem to variable x og y. Vi lader nu x, x, y og y ikke at de fire tal er og ). Hvis sç gälder: () tallene x og x stç for fire tal som endnu ikke er oplyst. (Tallene og betyder er forskellige (3) y er den y-värdi vi fçr nçr vi sätter x ind i () (4) y er den y-värdi vi fçr nçr vi sätter x ind i () (5) a y x y x (6) b y ax LineÄre sammenhänge Side 48 008 Karsten Juul
Vi vil regne os frem til at (5) og (6) gälder: ForudsÄtningerne (3) og (4) ovenfor kan vi skrive sçdan: (7) y ax b (8) y ax b FÉlgende ligning mç väre gyldig da vi fçr den ved at träkke samme tal fra begge sider i (7): y y ax b y IfÉlge (8) er y samme tal som ax b y y ax b ( ax b Ved at häve parentesen fçr vi at og dermed at y y ax b ax (9) y y ax ax b ) sç der mç ogsç gälde Af reglen om at sätte fälles faktor uden for parentes fçr vi at héjresiden i (9) er samme tal som héjresiden i félgende ligning: (0) y y a x ) ( x Da x og x er forskellige tal, er tallet x x begge sider i (0) divideres med x x : y x y a ( x x) x x x Ved at forkorte héjre side fçr vi: y x y x a Hermed har vi regnet os frem til at (5) gälder. Hvis vi träkker ax fra begge sider i ligningen (8), sç fçr vi y ax b Hermed har vi regnet os frem til at (6) gälder. ikke 0. Vi fçr derfor en ny gyldig ligning nçr BemÄrkninger: ForudsÄtningerne () og (3) kan ogsç udtrykkes ved at sige at punkterne ( x, y) og x, ) ligger pç grafen. Denne formulering er brugt i rammen nedenfor. ( y Det der stçr ovenfor pç denne side er et BEVIS for sätning 3.30. Et bevis for en pçstand er nogle logiske slutninger der gér det fuldständig sikkert at pçstanden gälder. SÉTNING 3.30 Hvis x, ) og x, ) ( y sç gälder: y ax b a y y Formler for a og b i y = ax+b ( y b y ax x x er to forskellige punkter pç grafen for en lineär sammenhäng LineÄre sammenhänge Side 49 008 Karsten Juul
Opgave 3.3: Bestemme y = ax+b ud fra to punkter FÉlgende er oplyst: Der er en lineär sammenhäng mellem temperatur og overskud. NÇr temperaturen er 3 C, er overskuddet mio. kr. NÇr temperaturen er 5 C, er overskuddet 8 mio. kr. Skriv en ligning der viser sammenhängen mellem temperatur og overskud. Vi sätter x = temperatur (mçlt i C) y = overskud (mçlt i mio. kr.) Der er oplyst to x-värdier og tilhérende y-värdier: Til x 3 svarer y. Til x 5 svarer y 8. Da sammenhängen er lineär er den ségte ligning pç formen y ax b, og a b y x y x 8 5 ( 3) 6 8 y ax ( 3) 8 Ligningen y x 8 viser sammenhängen mellem temperaturen x i C og overskuddet y i mio. kr. Åvelse 3.3 Brug 3.30 til at opskrive en ligning for den lineäre sammenhäng hvis graf gçr gennem punkterne ( 5, 9) og ( 7, 5). Åvelse 3.33 Brug 3.30 til at opskrive en ligning for den lineäre sammenhäng hvis graf gçr gennem punkterne (6, 8) og (, ). Åvelse 3.34 () Brug 3.30 til at opskrive en ligning for den lineäre sammenhäng hvis graf gçr gennem punkterne (, ) og ( 4, 3). () Brug svaret pç () til at beregne y-koordinaten til det grafpunkt der har x-koordinat 7. (3) Brug svaret pç () til at beregne x-koordinaten til det grafpunkt der har y-koordinat 4. Åvelse 3.35 Om en vare er oplyst: Der er en lineär sammenhäng mellem vägt og pris. NÇr vägten er 00 gram, er prisen 5 kr. NÇr vägten er 500 gram, er prisen 6 kr. Skriv en ligning der viser sammenhängen mellem vägten x i gram og prisen y i kr. LineÄre sammenhänge Side 50 008 Karsten Juul
Åvelse 3.36 Der er en lineär sammenhäng mellem de variable x = antal dage efter at planten blev kébt (kan väre negativ) y = plantens héjde i cm Seks dage fér kébet var héjden 08 cm, og fjorten dage efter kébet var héjden 3 cm. () Opskriv en ligning der viser sammenhängen mellem plantens héjde og antal dage efter kéb. () HvornÇr er plantens héjde 50 cm? Åvelse 3.37 Et bestemt dyr vokser sçdan at der er en lineär sammenhäng mellem omkreds og längde. NÇr omkredsen er mm, er längden 8 mm, og nçr omkredsen er 3 mm, er längden 3 mm. Opskriv en ligning der viser sammenhängen mellem omkreds og längde. Åvelse 3.38 Der er en lineär sammenhäng mellem temperaturerne i A og B. NÇr temperaturen i A er 0 C, sç vil temperaturen i B väre 4 C, og nçr temperaturen i A er C, vil temperaturen i B väre 34 C. () Opskriv en ligning der viser sammenhängen mellem temperaturerne i A og B. () Hvad er temperaturen i B nçr temperaturen i A er 0 C? (3) Hvad er temperaturen i A nçr temperaturen i B er 0 C? LineÄre sammenhänge Side 5 008 Karsten Juul