Moderne acceleratorers ysik og anvendelse 5 Forelæsning 9a Longitudinal Dynamik Longitudinal dynamik (synkrotroner) Energitilvækst Bundter og Buckets Transitionsenergien Synkrotron bevægelse Longitudinal dynamik: Indledning Vi betragter her synkrotroner En synkrotron vil have en (el. lere) RF-kaviteter til acceleration RF: RadioFrekvens (3 khz 3 GHz) Spændingen i en RF-kavitet vil otest svinge sinusormet U RF =U sin(ω RF t), hvor ω RF = π RF
Hvoror vekselelter? Maxwell: Faraday s lov Dvs. med statiske (eller langsomt varierende) elter er integralet nul rundt langs en ring (Faradays lov). Vekselelt: Feltet kan vende orkert, mens partiklerne er andetsteds. Longitudinal dynamik: Nogle deinitioner Omløbsrekvens: =βc/l=βc/πr m RF rekvensen skal være et helt multiplum a omløbsrekvensen: RF =q q er den harmoniske (ote kaldet h) Spænding per omgang: U U er den samlede spænding en partikel ser Kunne godt hidrøre ra lere kaviteter U=U sin(ψ) hvor Ψ er asen a partiklen i orhold til RF en (under orudsætning a at RF en svinger sinusormet) Synkron partikel: Modtager lige præcis den rigtige energitilvækst hver omgang E =U sin(ψ )-W hvor W er energitab til Synkrotron Stråling (SR) og E (hvis <>) leder til acceleration Ψ har her ikke noget med betatron asetilvækstunktionen at gøre
Bundter og Buckets Den synkrone partikel ser altid den rigtige (passende) spænding Andre partikler vil ikke altid se den passende spænding, men vil i aserummet (ΔΨ, ΔE) oscillere i energi og tid (ase), omkring den synkrone partikel En partikel der er langsommere bliver bageter, og kommer til kaviten senere. Den ser da en større spænding, og udsættes deror or en større acceleration, hvilket vil øge partiklens hastighed Ψ Ψ Bundter og Buckets Partiklerne vil samle sig i bundter ( bunches ) omkring den synkrone partikel I et lineært område omkring den synkrone partikel, vil bevægelsen være som en harmonisk oscillator Længere væk vil bevægelsen blive ulineær Hvis Ψ>-Ψ, så er partiklen ikke låst til en given bucket Det stabile område omkring et givet synkront punkt hedder på engelsk en RF- bucket (en RF- spand ) Ψ π-ψ Ψ π-ψ Ψ 3
Bundter og Buckets 3 Hvis Ψ>-Ψ, så er partiklen ikke låst til en given bucket Eter en given tid vil partiklens energiavigelse være så stor at den bliver tabt Kurven der adskiller det stabile område ra det ustabile, kaldes Separatrix en Stationære buckets / adiabatisk indangning Hvis partiklerne ikke skal accelereres (E ) og ikke taber energi (W =) er Ψ = RF- spanden vil da ylde hele aserummet Adiabatisk indangning Under.eks. injektion kan man langsomt skrue op or spændingen Herved kan man opnå en bedre indangning a.eks. en kontinuert stråle 4
Fasestabilitet, igen En mere energirig partikel vil bevæge sig på en større bane p Rm Rm D D p, er middelværdien a dispersionen i dipolerne For hastigheder nær lysets, vil hastigheden ikke øges, men banelængden vil være større. En mere energirig partikel vil deror have en større omløbstid. Hældningen i det synkrone punkt må deror være modsat. Relativ middeldispersion (momentum compaction) D( s) D D ds L R( s) L R m Transitionsenergien En ideel partikel har omløbstiden En ikke-ideel partikel har omløbstiden L : Ideel banelængde v : Ideel hastighed Dvs og dermed Idet, hvor α er momentum compaction parameteren (ra lattice) og som er en relativistisk relation (se appendiks B) ås 5
Transitionsenergien T Idet T er T Dvs p p p ( ) ( ) p p p γ t kaldes transitionsenergien, og er den energi hvor omløbsrekvensen ikke ændrer sig med energi (eller impuls) Slip-aktoren angiver orholdet mellem relativ omløbsrekvens og relativ impuls ændring t p p t Under acceleration skal man ændre asen a RF eltet, når γ=γ t α typisk -, dvs γ t typisk Synkrotron bevægelse Vi så tidligere at en partikel or små udsving omkring Ψ (lineær genskabende krat) udører en ellipsebevægelse i aserummet Vi har altså en harmonisk oscillator Denne vil have en rekvens s, kaldet synkrotron rekvensen Bevægelsen vil være besket ved _ E E sin( t) cos( t) s s 6
Synkrotron bevægelse - ase Ændringen a asen (per omgang) er givet ved Sætter man ind, ås og endelig ΔΨ angiver en partikels totale aseoset T q T RF RF harmoniske relativistisk relation Synkrotron bevægelse 3 - energi For den ideelle partikel havde vi (per omgang) For en ikke-ideel partikel, har vi Dierencen (per omgang) er ΔΨ angiver en partikels totale aseoset Da synkrotronoscillationen tager mange omgang kan vi inde energitilvæksten per tidsenhed ved blot at dividere med omløbstiden Med lidt trigonometri ås 7
Synkrotron bevægelse 4 Dierentiers mht. tiden ås og med ra tidligere ås hvor Ligning or harmonisk bevægelse Dæmpning (udæmpede) rekvens a s er normal (meget) lille, i.e. a s «Ω Bemærk at or at have stabil bevægelse skal det gælde at Synkrotron bevægelse 5 Synkrotronrekvensen kan også skrives som heu cos( ) s E tot På samme måde som vi deinerede betatron tune (Qværdien) har vi også synkrotron tune n Q s s heu cos( ) E Typisk temmelig lille (~.) ASTRID elektroner: Q s =.3 ( s ~ khz) ASTRID (elektroner): Q s =.5 ( s ~ khz) tot hvor h her angiver den harmoniske 8
Synkrotron bevægelse 6 - Separatrix Separatrix en adskiller det stabile område ra det ustabile område og er givet ved Den maksimale energiavigelse (Bucket-højden) ås ved indsættelse a ΔΨ= og er givet ved E E max.5 % typisk Opsummering Fasestabilitet: Partiklerne udører longitudinale synkrotron oscillationer (harmonisk oscillator) Transitionsenergi: Faseslip aktor: Synkrotron rekvens: t p p heu s E tot t cos( ) Den synkrone ase(ψ ): U s =U sin(ψ ) U s : spændingen den synkrone partikel skal have (middelspændingen or beamet) U : Kavitetens max spænding 9