Fourieranalyse i sammenhæng med lydbølger

Fourieranalyse i sammenhæng med lydbølger Mathias Kærlev Fourieranalyse af en periodisk funktion Vejledere: Poul Hedegaard, Kristian Svendsen

Abstract For this paper, the usage of real-valued Fourier series with sound waves, specically a guitar string's sound, is examined and some of the applications for both Fourier-synthesis and Fourieranalysis are explored. he foundation of the Fourier-analysis, the Fourier-coecients, are deduced through the Fourier series, and the analysis of both periodic functions and actual data are accounted for. he guitar string's sound is recorded and an audio-analysis is performed where both the frequency spectrum and the Fourier-coecients are derived. Additionally, video-analysis is also made to examine the movement of the vibrating string. o test the empirical data, a guitar string's sound can be determined in theory through Fourier-analysis of a function that represents the guitar string. From this, the resulting frequency spectrums in the audio-analysis are found to largely correspond with the expected amplitudes and frequencies. However, the video-analysis was not able to depict a great range of harmonics, but did show the presence of standing waves. It can be concluded that Fourier-analysis can be used to determine the frequency-spectrum and Fourier-spectrum of a guitar string with large precision. Furthermore, Fourier-synthesis of the string's Fourier-spectrum yields a sound wave identical to the source to a great extent, which gives Fourier-synthesis several use-cases for e.g. lightweight electronic instruments that reproduce the sound of real instruments. /41

Indhold Indledning 4 Fourieranalyse 5 Periodiske funktioner og lyd................................ 5 Lige/ulige funktioner.................................... 5 Fourierrækker........................................ 7 Ortogonalitetsrelationer.................................. 9 Bestemmelse af fourierkoecienter............................ 11 Regneeksempler....................................... 13 Ulige funktioner.................................... 13 Lige funktioner.................................... 15 Eksperimenter 16 Fourieranalyse med datasæt................................ 17 Guitaren........................................... 19 Analyse af lyd fra guitar.................................. Analyse af video fra vibrerende guitarstreng....................... 5 Fouriersyntese 7 Konklusion 9 Litteraturliste 30 Bilag 31 Bilag 1: Graf til regneeksempler.............................. 31 Bilag : Fourieranalyse af lyd fra guitar - anslået på midten (Datalyse)........ 3 Bilag 3: Fourieranalyse af lyd fra guitar - anslået på 1 (Datalyse)........... 33 3 Bilag 4: Programkode til fourieranalyse (Python).................... 34 Bilag 5: Data for videoanalyse............................... 36 Bilag 6: Data for videoanalyse............................... 37 Bilag 7: Fourieranalyse af video - Datalyse........................ 38 Bilag 8: Graf for fouriersyntese i CAS-værktøj...................... 39 Bilag 9: Programkode til fouriersyntese (Python).................... 40 Bilag 10: Billede af udtræk fra lyddata.......................... 41 3/41

Indledning Jean Baptiste Joseph Fourier var en fransk matematiker, der gennem sit arbejde kom frem til det, som vi kender som fourierrækker. Fourier antog, at alle funktioner kan skrives op som en uendeligt antal led af sinus- og cosinusfunktioner, og ud fra den antagelse kunne han nde frem til nogle konstanter, de såkaldte fourierkoecienter, som funktioner ville bestå af. På dette tidspunkt var det en banebrydende og kontroversiel idé, der skulle vise sig at have mange anvendelser inden for matematikken og fysikken. I dette projekt er det især analyse af lydsignaler, som fourierrækkerne kan bruges til, og fourieranalysen består så af at nde fourierkoecienterne, der kan bruges til at lave et frekvensspektrum. Formålet med dette projekt er, at bestemme en guitars frekvensspektrum gennem fourieranalyse. Dette kan så gøres enten gennem FF eller fourierkoecienterne, men begge vil der kigges på. Desuden vil teorien bag guitarens svingninger undersøges med fourieropløsning, og en fouriersyntese af guitarens fourierspektrum vil forsøges og diskuteres. Opdelingen er sådan, at baggrunden for fourieranalysen er beskrevet først. Der er redegjort for de matematiske principper, der er nødvendige for at bevise sammenhængen for fourierkoef- cienterne. Heri indgår en introduktion til periodiske funktioner, som også hænger sammen med vores forståelse af lydbølger, ortogonalitetsrelationerne mellem sinus og cosinus, regneregler for lige/ulige funktioner og afsluttende fourierrækker. Der vil også indgå nogle regneeksempler, der illustrativt viser, hvordan fourieranalysen kan bruges til at nde fourier- og frekvensspektret for en kendt funktion. Herefter beskrives den eksperimentelle og praktiske del af opgaven, hvor fourieranalysen bruges til at analysere en guitarstrengs tone og overtoner. De fysiske årsager til guitarstrengens grundtone og overtone vil først blive forsøgt forklaret gennem teori med fourieropløsning, og så testet gennem empiri. Her vil indgå både en analyse af video og lyd fra guitarstrengen, da både strengens bevægelse og resulterende lyd kan undersøges ved hjælp af fourieranalyse. Afslutningsvist vil fouriersyntese med samme fourierkoecienter fra de første eksperimenter undersøges. Hvad er mulighederne for at gå den anden vej med et fourierspektrum? En vurdering af fouriersyntesens muligheder vil diskuteres, altså i hvor stort et omfang man kan genskabe instrumenters tone ud fra en fourieranalyse. I denne projektopgave bruges der fourierrækker på reel form, og der vil altså derfor ikke indgå beregninger med komplekse tal. 4/41

Fourieranalyse Overordnet er fourieranalysen et redskab til at bestemme de harmoniske svingninger, der indgår i en periodisk funktion. Ved approksimation af areal kan man også lave fourieranalyse på et datasæt, men det vil uddybes i eksperiment-afsnittet. Når man ved hvilken sammensætning af bølger et datasæt eller funktion består af, kan man se, hvilken frekvens og amplitude (dvs. styrke) bølgerne har. Det er fourierkoecienterne, der indeholder denne information, men før vi kan begynde at nde dem, er der nogle matematiske begreber vi skal kende til. Periodiske funktioner og lyd En tone er i virkeligheden en lydbølge, der gentager sig. 1 Se følgende gur, der viser en lydoptagelse af en anslået guitar fra eksperiment-afsnittet: Selv om der er en del støj, der kan gøre det svært at gennemskue, er det altså tydeligt, at lyden gentager sig. Vi kan selv modellere funktioner, der svarer til lydbølger, ved at gøre dem periodiske. Periodiske funktioner er funktioner, der gentager sig efter en periode. Når den konstante periode adderes til den variable, vil funktionsværdierne gentage sig. Det vil sige at der gælder, at f(x + ) = f(x), hvor er det mindste tal, der opfylder ligningen. Normalt denerer vi kun periodiske funktioner inden for et interval. il vores formål sætter vi intervallet til [ ; ], sådan så vores funktioners halve periode er delt mellem y-aksen. Desuden kan det hænde, at vi denerer en funktion stykkevist, hvilket betyder, at vi denerer funktionsværdierne gennem ét eller ere intervaller. Et eksempel kunne være x, for x 0 f(x) = x, for x < 0 i intervallet [ ; ]. Funktionen er altså deneret over hele intervallet [ ; ], men med forskellige funktionsudtryk for x 0 og x < 0. Lige/ulige funktioner il vores formål er det hensigtsmæssigt at se, at funktioner kan være lige, hvor der desuden gælder for funktionen, at f(x) = f( x). Funktionen vil rent grask være spejlet omkring y-aksen. For ulige funktioner gælder der, at f(x) = f( x). Funktionsværdierne vil på den 40 1 N. Hartling C. Claussen E. Both. Spektrum - Fysik II. 1. udg. Gyldendal, 004. isbn: 10-87-0-00685-5, s. 5/41

ene side af y-aksen være det samme som på den anden side af y-aksen, men med negativt fortegn. Et eksempel på en ulige funktion kunne være f(x) = x. Indsætter vi i denitionen, ser vi, at udtrykket er sandt: f(x) = f( x) x = x Et eksempel på en lige funktion kunne være f(x) = x. Indsætter vi i denitionen, ser vi igen, at udtrykket er sandt: f(x) = f( x) x = x x = x Desuden har beregninger med lige/ulige funktioner nogle interessante egenskaber: 1) Produktet mellem to lige funktioner er en lige funktion Har vi en ulige funktion f(x), gælder der, at f( x) = f(x) f(x) = f( x). Har vi så en lige funktion, g(x), gælder der, at g(x) = g( x). Vi sætter h(x) til produktet af f og g: h(x) = f(x) g(x) = g( x) f( x) = (f g)(x) = (f g)( x) = h(x) = h( x) h(x) = h( x), så h(x) er lig vores denition på en lige funktion, og sætning er bevist. ) Produktet mellem to ulige funktioner er en lige funktion Et lignende bevis kan laves for denne sætning, hvis f(x) er en ulige funktion og g(x) er en lige funktion: h(x) = f(x) g(x) = g( x) f( x) = (f g)(x) = (f g)( x) = h(x) = h( x) h(x) = h( x), så h(x) er igen lig vores denition på en lige funktion, og sætning er bevist. 3) Produktet mellem en lige og en ulige funktion er en ulige funktion 6/41

h(x) = f(x) g(x) = g( x) f( x) = (f g)(x) = (f g)( x) = h(x) = h( x) h( x) = h(x) h( x) = h(x), så h(x) er lig vores denition på en ulige funktion, og sætning 3 er altså bevist. 4) Integration fra A til A af en ulige funktion er 0 Arealet under grafen for x < 0 vil svare til arealet under grafen for x > 0, bare med negativt fortegn. Kigger vi på f(x) = x og integralet (f(x))dx, er det helt tydeligt: Som det ses, så er (f(x))dx = 0 (f(x))dx + (f(x))dx = + = 0. Dette vil også 0 vise sig at være vigtigt til beviset om ortogonalitetsrelationerne og når sammenhængen mellem fourierkoecienterne og lige/ulige funktioner skal vises. Det skal nævnes, at sinus er en ulige og cosinus er en lige funktion. Graf for sinus og cosinus Det vil vise sig, at vi kan bruge disse egenskaber for cosinus og sinus til vores beviser. De ovenstående regneregler vil vise sig at være betydelige ved bestemmelse af fourierkoecienterne. Fourierrækker En periodisk funktion f(x) med perioden kan tilnærmes med en konstant plus en sum af harmoniske funktioner : Niels Christian Jensen. Fourieranalyse. 004. url: http : / / www. emu. dk / gym / tvaers / sciencegym / matematik-materialer/fourier.doc, s. 1 7/41

f(x) = 1 a 0 + M n=1 (a n cos( π nx) + b n sin( π nx)) dvs. f(x) = 1 a 0 + a 1 cos( π x) + b 1 sin( π x) +... + a n cos( π nx) + b n sin( π nx) Dette kaldes fourierrækken, hvor a n og b n er de såkaldte fourierkoecienter, der siger noget om amplituden for det enkelte led. a 0 -ledet kaldes også for DC-ledet. 3 Når man har bestemt fourierspektret for en funktion eller datasæt, har man altså bestemt fourierkoecienterne. Beviset for, at periodiske funktioner overhovedet kan tilnærmes fourierrækken vil ikke forsøges, men fourierrækken er udgangspunktet for vores andre beviser. I princippet vil funktionen kunne bestå af uendeligt mange led, så i teorien burde M, den øvre grænse for summeringen, være lig. Jo større værdi af M, jo tættere på den oprindelige funktion vil fourierrækken være. Meningen med den 1 -koecient for a 0 vil vise sig senere. il dette projekt vil det være oplagt at nde frekvensspektret for nogle simple funktioner, mest for at forklare princippet til de praktiske forsøg. Et frekvensspektrum viser fordelingen mellem frekvens og amplitude, men hvordan kan vores fourierkoecienter sige noget om det? Hvis vi kender vores periode, kan vi nde frekvensen for cosinus/sinus-ledene ved f = 1 n. Det skyldes, at cosinus/sinus har en periode π, og at division med vil ændre perioden til, og derfor får vi π π. Dette kaldes også vinkelfrekvensen ω, der har værdien, men til vores formål bruger vi bare dens værdi. Faktoren n siger noget om, hvor hurtigt de harmoniske funktioner svinger i forhold til det første led ved n = 1. For eksempel vil n = få vinkelfrekvensen til at være dobbelt så stor, og derfor svinger funktionen altså også dobbelt så hurtigt. Skal vi se fourierrækken i forhold til toner, vil det sige, at leddene for n = 1 siger noget om grundtonen, altså tonen med laveste frekvens. n = siger så noget om 1. overtone, n = 3 om. overtone, og så videre. a n og b n -koecienterne er bølgernes amplitude, da cosinus/sinus har funktionsværdier i intervallet [1; 1]. Den samlede amplitude for a n og b n er deneret som A = a n + b n. Hvis f skal være i Hz, altså SI-enheden for frekvens, kræver det, at perioden er i sekunder. il regneeksemplerne sættes ikke til sekunder, og derfor vil frekvensen være enhedsløs, men det viser princippet i udregningen. 3 Mogens Oddershede Larsen. Fourieranalyse.. udg. (Besøgt d. 0.1.01). 007. url: http://www.larsennet.dk/files/fourieranalyse.pdf, s. 1 8/41

Ortogonalitetsrelationer Før vi kan bestemme værdierne af fourierkoecienterne, må vi først vide noget om ortogonalitetsrelationerne for cosinus og sinus. Ved ortogonalitetsrelationerne forstås, at (1 cos( π nx))dx = 0 n 0 (1) (sin( π (cos( π (sin( π (1 sin( π nx))dx = 0 () nx) cos(π nx) sin(π mx))dx = nx) cos(π mx))dx = mx))dx = 0 (3) for m = n 0 (4) 0 for n m for m = n 0 (5) 0 for n m hvor der gælder, at n Z m Z, og at n 0 m 0. 4 Der gælder også nogle andre ortogonalitetsrelationer, men disse er de eneste, der bruges til beviset for fourierkoecienterne. Grunden til navnet ortogonalitetsrelationer skyldes, at funktioner kan opfattes som vektorer, og hvis skalarproduktet f g = b f(x)g(x)dx er lig 0 med passende grænser for a og b, siges a funktionerne at være ortogonale. 5 Skal disse relationer bevises, kan vi starte med (1) for n 0: (1 cos( π nx))dx = sin(n π) n π = 0 Da n Z (n er et heltal) må sin(n π) altid give 0, da det vil svare til n 180. sin(1 180 ) = 0, sin( 180 ) = 0, sin(3 180 ) = 0, og så videre, og derfor vil ligningen ovenover altid give 0 hvis n 0. Vi fortsætter med (): (1 sin( π nx))dx = 0 (sin( π nx))dx 0 (sin( π nx))dx = 0 Integralet af en ulige funktion (her sinus) med grænser, hvis størrelse er lig hinanden, vil altid være lig 0, som vi så i afsnittet om lige/ulige funktioner. 4 M111 Linear Partial Dierential Equations. (Orthogonality Relations og he Fourier Coecients) (Besøgt d. 0.1.01). url: http://www.maths.manchester.ac.uk/deptweb/ugcourses/syllabus/level/ M111Lecture10_004.pdf. 5 Steen Albrechtsen. Fourieranalyse. Werks Oset Århus, 1991. isbn: 87-983931-0-3, s. 11 9/41

Vi fortsætter med (3). Ser vi på produktet sin( π π nx) cos( mx), er det jo et produkt mellem en lige og ulige funktion, hvilket vil give en ulige funktion. Integrerer vi en ulige funktion fra til /, får vi 0, og det er altså bevist. Ved (4) har vi produktet sin( π π nx) sin( mx). Ved m = n > 0 er det vigtigt at se, at vi kan bruge følgende trigonometriske formel 6 : Vi indsætter parameteren π sin(u) sin(v) = 1 (cos(u v) cos(u + v)) nx for både u og v i formlen (da m = n): sin( π nx) = 1 (cos(π π π nx nx) cos(π nx + nx)) = 1 π (1 cos( nx)) Integrerer vi det udtryk, og bruger vi sætning 1, får vi: ( 1 Det er bevist. Ved n m kan vi indsætte π sin( π Vi integrerer udtrykket: ˆ π / (1 cos( nx)))dx = ( 1 )dx = nx for u og π mx for v: nx) sin(π mx) = 1 (cos(π π π nx mx) cos(π nx + mx)) = 1 = 1 cos(πx (n m)) 1 cos(πx (n + m)) cos( πx (n m))dx 1 cos( πx (n + m))dx Af sætning 1 vil både det højre og venstre led gå ud, da n m, hvilket også vil sige, at n m 0 og n + m 0. Lignende bevis gælder for (5). Hvis m = n 0 kan vi bruge en trigonometriske formel og gentage beviset: cos( π nx) = 1 (cos(π Igen, for m n: cos( π cos(u) cos(v) = 1 (cos(u + v) + cos(u=v)) π π nx + nx) + cos(π nx ( 1 6 Albrechtsen, Fourieranalyse, s. 15 (1 + cos( π nx)))dx = nx)) = 1 ( 1 )dx = nx) cos(π mx) = 1 (cos(π (n + m)) + cos(π (n m))) (1 + cos( π nx)) 10/41

Vi integrerer: ˆ 1 / cos( π (n + m))dx + 1 cos( π (n m))dx Af sætning 1 følger igen, at ovenstående bliver 0. Det er bevist. Med disse relationer kan vi nu bestemme værdier for fourierkoecienterne. Bestemmelse af fourierkoecienter ager vi udgangspunkt i denitionen for fourierrækken, kan vi integrere fra til nogle led: f(x) = 1 a 0 + n=1 (a n cos( π nx) + b n sin( π nx)) f(x)dx = 1 a 0dx = a 0 og eliminere a 0 = f(x)dx Vi har nu fundet frem til a 0. Ledene fra summen går altså ud, hvilket kan ses ved: (a n n=1 (cos( π nx))dx) + b n (sin( π nx))dx)) Vi bruger ortogonalitetsrelationerne (1) og (): (a n 0 + b n 0) = 0 n=1 Skal vi fortolke værdien 1a 0, så er det den gennemsnitlige værdi for perioden. / f(x)dx er jo lig arealet for hele perioden, og faktoren vil så give os det dobbelte af den gennemsnitlige højde/funktionsværdi. Vi fortsætter med at nde a n. Vi kan gange et cos( π nx)-led ind, og bagefter integrere fra til. I stedet for n bruger vi k for summeringen da vi kan bruge én af ortogonalitetsreglerne til at slippe af med summeringen: 11/41

k=1 (f(x) cos( π nx))dx = ( 1 a 0 cos( π nx) + (a k cos( π kx) cos(π nx) + b k sin( π kx) cos(π nx)))dx Vi bruger ortogonalitetsrelationerne () og (3): = ( k=1 (a k cos( π nx) cos(π kx)))dx Vi bruger ortogonalitetsrelationen (5), og slipper af med summerigen, da integralet af de led, hvor n k, er 0: a n = = a n (f(x) cos( π nx))dx Beviset for b n følger i lignende stil, men denne gang ganger vi et sin( π nx)-led ind: k=1 (f(x) sin( π nx))dx = ( 1 a 0 sin( π nx) + (a n sin( π kx) cos(π nx) + b n sin( π nx) sin(π kx)))dx Vi bruger ortogonalitetsrelationerne (1) og (3): = ( k=1 (b n sin( π nx) sin(π kx)))dx Vi bruger ortogonalitetsrelationen (4), og slipper af med summerigen, da integralet af de led, hvor n k, er 0: = b n b n = (f(x) sin( π nx))dx Det viser sig så, at a 0 vil svare til a n ved n = 0 (og det var netop grunden for den 1 -koecient): 1/41

a 0 = (f(x) cos( π 0 x))dx = a 0 = Da cos(0) = 1: (f(x))dx Vores sammenhæng for a n gælder altså også for n = 0! Men hvad så med b n ved n = 0? Lad os regne: b 0 = (f(x) sin( π 0 x))dx = b 0 = Da sin(0) = 0: (f(x) 0)dx = (f(x) cos(0))dx (f(x) sin(0))dx (0)dx = 0 b 0 er lig 0. Der gælder altså for a n, at n {0,1,,...}, og for b n, at n {1,,3,...}. Regneeksempler Ulige funktioner Vi vælger en ulige, periodisk funktion, f.eks. f(x) = x på intervallet [ π; π], dvs. med periode = π. Det giver en såkaldt savtaks-funktion. Vi nder først a 0 : a 0 = / f(x)dx = 1 π f(x)dx = 0 π π Vi nder nu a n og b n fra 1 n 4: a 1 = 1 π a = 1 π a 3 = 1 π a 4 = 1 π ˆ π π ˆ π π ˆ π π ˆ π π (f(x) cos(1 x))dx = 0 (f(x) cos( x))dx = 0 (f(x) cos(3 x))dx = 0 (f(x) cos(4 x))dx = 0 b 1 = 1 π b = 1 π b 3 = 1 π b 4 = 1 π ˆ π π ˆ π π ˆ π ˆ π (f(x) sin(1 x))dx = (f(x) sin( x))dx = 1 sin(3 x))dx = π(f(x) 3 (f(x) sin(4 x))dx = 1 π 13/41

Da vi nu har fundet alle vores ønskede koecienter, kan vi nu bestemme fourierrækken for funktionen: f(x) = 1 a 0 + 4 n=1 (a n cos( π nx) + b n sin( π nx)) = sin(x) sin(x) + 3 sin(3x) 1 sin(4x) Det ses helt klart hvordan fourierrækken kommer tættere og tættere på den oprindelige funktion, jo ere led vi sætter på: Graf for fourierrækken ved et stigende antal fourierkoecienter (se bilag 1) Alligevel burde der nok medtages ere led for at få en pænere approksimation. Hvorfor er det kun sinus-leddene, der bliver tilbage? Sinus er jo også en ulige funktion. ager vi udgangspunkt i beviset for a n, kan vi se, at cosinus ganges ind i integralet for f(x): (f(x) cos( π nx))dx En lige funktion ganget med en ulige funktion må give en ulige funktion, og integrerer vi en ulige funktion fra til /, får vi altid værdien 0, som vi så tidligere i afsnittet om lige og ulige funktioner. Går vi tilbage til a n, ser vi så, at a n = (f(x) cos( π nx))dx = a n -koecienterne vil så altid være 0 for en ulige funktion. h(x)dx = 0 = 0 Frekvensspektret kan vi også bestemme, idet f n = 1 n = n π og A n = a n + b n = 0 + b n = b n. Da vi til regneeksemplerne ikke bruger enheder, vil resultatet ikke være i Hz, men det viser stadig princippet i udregningen. 14/41

f 1 π 1 π 3 π A 3 π 1 Lige funktioner x for x 0 Vi vælger en lige, periodisk funktion, f.eks. f(x) = x for x > 0 intervallet [ π; π]. Det giver en såkaldt triangle-funktion: med periode = π på Vi nder først a 0 : a 0 = ˆ π f(x)dx = 1 π π f(x)dx = π Vi nder nu a n og b n fra 1 n 4. Fordi f(x) er en lige funktion, vil b n -leddene gå ud, så udregningerne for dem tages ikke med (beviset kommer senere). il a n bliver vi nødt til at integrere vores funktion stykkevist, da funktionen selv er deneret stykkevist, dvs. først i intervallet [ π; 0], og bagefter i intervallet [0; π]: a 1 = 1 π ˆ π π (f(x) cos(1 x))dx = 1 (ˆ π (f(x) cos(1 x))dx + π a = 1 (ˆ π (f(x) cos( x))dx + π 0 a 3 = 1 (ˆ π (f(x) cos(3 x))dx + π 0 a 4 = 1 (ˆ π (f(x) cos(4 x))dx + π 0 0 ˆ 0 π ˆ 0 π ˆ 0 ˆ 0 π(f(x) cos(1 x))dx) = 4 π (f(x) cos( x))dx) = 0 (f(x) cos(3 x))dx) = 4 9π π (f(x) cos(4 x))dx) = 0 Da vi nu har fundet alle vores ønskede koecienter, kan vi nu bestemme fourierrækken for funktionen: f(x) = 1 a 0 + 4 n=1 (a n cos( π nx) + b n sin( π nx)) = π 4 π cos(x) 4 9π cos(3x) 15/41

Med 4 led er det en rimelig approksimation. Alligevel er de skarpe kanter blevet langt blødere, så måske burde vi havde forsøgt os med nogle ere led. På samme måde som før kan vi bevise, at b n -leddene går ud, da f(x) er en lige og sin(x) er ulige funktion, og f(x) sin(x) er derfor også en ulige funktion. Integralet / π f(x) sin( nx) er så altid lig 0, og b n-leddene er derfor 0. Vi laver igen et frekvensspektrum for vores funktion, idet A n = a n + b n = a n + 0 = a n : 1 f π A π 4 3 π 9π 4 Eksperimenter Nyquists kritiske frekvens il vores forsøg er det vigtigt at vide, at antallet af målinger vi laver, og hvor hurtigt vi kan lave dem, har en afgørende betydning. Nyquists kritiske frekvens siger, at den maksimale frekvens, der kan optages, er den halve af samplingsfrekvensen. Det vil sige f max = 1f s hvor f s er samplingsfrekvensen, dvs. målinger pr. sekund. Hvis vi f.eks. optager med en samplingsfrekvens på 1000Hz, vil den største frekvens, vi kan lave fourieranalyse på, være 1 1000Hz = 500Hz. Vi kan også fortolke Nyquists kritiske frekvens på en anden måde, hvis vi gerne vil kende grænsen for M. 7 ager vi udgangspunkt i f n = 1 n, kan vi jo sætte f n til det halve af samplingsfrekvensen og isolere n. Hvis = N t (altså antallet af målinger ganget med tiden mellem målingerne), får vi, at: 1 f s = 1 n n = 1 f s = 1 f s N 1 f s = 1 N. Den største værdi, M bør have, er altså det halve af antallet af målinger. 7 Albrechtsen, Fourieranalyse, s. 33 16/41

Fourieranalyse med datasæt Her kommer den praktiske anvendelse af fourieranalysen ind i billedet. Problemet med fourieranalysen er, at der er mange integraler og beregninger, der skal indgå, når man forsøger at bestemme frekvensspektret. Her er FF, Fast Fourier ransform, en algoritme, som gør beregningen meget hurtigere. Programmer som LoggerPro og Datalyse kan lave FF for os, men i stedet for reelle fourierkoecienter får vi et frekvensspektrum beregnet og præsenteret. Princippet bag fourieranalysen er stadig bevaret (selv om FF bruger komplekse værdier til udregningen, men det er sådan set sekundært). I stedet for FF kunne man dog også kigge på data for én periode og foretage nogle beregninger derudfra. Normalt kender vi ikke en funktion for vores lydbølge, men kun nogle samples, altså nogle punkter på grafen for vores lydsignal, og vi skal derudfra beregne vores integraler. ager vi udgangspunkt i a n og b n, skal vi altså nde arealet under grafen for de periodiske funktioner f(t k ) cos( πnx) og f(t k) sin( πnx), hvor f(t k) vil svare til vores måling til tiden t k, dvs. måling k (hvor k = 0 er første måling). Hvis vi lader N være antal målinger i en periode og hvis t er tiden mellem de enkelte målinger, så får vi en periode = N t. Ved approksimation kan vi bestemme arealet af f(x), hvis vi antager, at arealet under grafen for hver måling er et rektangel med bredde t og længde f(x). Eksempeldata, der viser princippet bag beregningen med rektangler Ved summering vil det svare til N 1 / f(t k)dt = ( t f(t k )) = t k=0 N 1 (f(t k )). Grænsen for summeringen vil være N 1, da vores k-indeks starter ved 0, og k = N ville altså gå ud over vores måledata. Vi kan nu nde a n ved at gange et cos( π nx) ind: a n = k=0 f(t k ) cos( π N 1 nx)dt = t (f(t k ) cos( π n t k)) k=0 f(t k ) cos( π n t k)dt = N 1 t (f(t k ) cos( π n t k)) Da = N t og t k = k t, kan vi reducere udtrykket yderligere: k=0 17/41

a n = N 1 N t t( π f(k t) cos( N t n k t)) = k=0 N 1 N ( k=0 f(k t) cos( π N n k)) På samme måde kan vi nde et udtryk for b n, dvs. b n = N 1 N ( k=0 f(k t) cos( π N n k)) Beviset kunne også være ført ved brug af trapezreglen 8, men resultatet er det samme. For at illustrere hvordan man kan bruge vores nye udtryk sammen med reelle data, kan vi lave et simpelt datasæt: t/s 0 1 3 A 0 1 0-1 Ifølge Nyquists kritiske frekvens, vil n over N indeholde for stor en fejl, at disse led ikke bør medtages. Vi nder derfor kun fourierkoecienterne for 0 n 4. N = 4, da vi har 4 målinger, og t = 1s: a 0 = 3 4 ( f(k 1s) cos( π 4 k=0 a 1 = 3 4 ( f(k 1s) cos( π 4 k=0 a = 3 4 ( f(k 1s) cos( π 4 k=0 0 k)) =0 b 1 k)) =0 b k)) =0 1 = 3 4 ( f(k 1s) cos( π 4 1 k)) = 1 k=0 = 3 4 ( f(k 1s) cos( π 4 k)) = 0 k=0 Det vil så svare til følgende fourierrække: π π f(t) = b 1 sin( nt) = sin( 1 t) = sin(π N t 4 1s 4s t) Sammenligner vi de oprindelige værdier, passer det endda eksakt: t/s 0 1 3 f(t) 0 1 0-1 Vi kan nu lave et frekvensspektrum for vores datasæt (de eneste led, der er relevante, er a 1 og b 1 ): f/hz 0,5 A 1 f = 1 n = 1 4s 1 = 0,5Hz A = a 1 + b 1 = 0 + 1 = 1 8 Bevis ved trapezregel, Albrechtsen, Fourieranalyse, s. 31 18/41

Det er selvfølgelig et simpelt eksempel, men vi har nu bestemt frekvensspektret uden nogen kendt funktion. il de følgende eksperimenter vil Datalyse bruges til at lave frekvensspektret, og bilag 4 til at nde fourierkoecienter i det første forsøg. Hvad hvis man ikke kender lydbølgens periode, men kun har nogle vilkårlige måledata? Det er jo netop det, som Datalyse og LoggerPro kan gøre for os. I det tilfælde kunne man sætte sin periode til = N t, altså antallet af målinger multipliceret med tiden mellem målingerne, og så bestemme amplituderne for frekvenserne ved f = 1 n. I det tilfælde har man jo ikke grundtonen ved n = 1 og overtonerne ved n > 1, men i stedet det, man kalder spektrale frekvenser og spektrale amplituder. 9 Vi får altså ikke styrken af grundtonen og overtonerne, men styrken af alle frekvenserne i dataene (til det punkt hvor det er muligt). Ud fra det resulterende frekvensspektrum kan vi alligevel tolke på, hvilke frekvenser og amplituder grundtonen og overtonerne har, ved at se efter frekvenser, der er særdeles stærke, de såkaldte peaks. Guitaren Guitaren som instrument er karakteriseret ved, at den har 6 strenge, der kan slås an. il forsøgene vil vi bruge den streng, der har den mindste frekvens, dvs. den nederste streng, der har tonen E og frekvens omkring 80Hz. Dette skyldes, at frekvensen bør være så lav så mulig, sådan så vi er sikre på, at vi ikke når op over Nyquists frekvens for vores overtoner. Der er ere måder at spille en guitar på, men til vores formål vil vi strække strengen ud og lade den svinge. Da strengen er udspændt i to ender, vil der opstå stående bølger. Der vil så dannes lyd når strengen skubber til luften, og med de frekvenser, som vi kan forvente fra stående bølger. 10 Hvis vi skal se, hvilke frekvenser vi kan forvente i vores lydoptagelse, kan vi så bruge formlen v = λ f f = v λ. Hvis strengen har længden L, har de stående bølger bølgelængden λ n = L n, hvor n = 1 er grundtonen og n > 1 er overtonerne. 11 Bølgelængder for forskellige værdier af n Indsætter vi λ n i formlen for frekvensen, får vi f n = v L = n v. Uden værdier for udbredelseshastigheden og båndlængden, kan vi stadig se på forholdet mellem overtonerne og L n grundtonen: f n f 1 = n f n = n f 1. Går vi f.eks. tilbage til vores E-streng, ved vi, at f 1 = 80Hz, og vi kan forvente, at overtonerne vil være f = 80Hz = 160Hz, f 3 = 3 80Hz = 40Hz, og så videre. Afhænger amplituden for de forskellige overtoner af, hvor og hvordan guitarstrengen slås an? 9 Albrechtsen, Fourieranalyse, s. 53 10 C. Claussen, Spektrum - Fysik II, s. 4 11 Jensen, Fourieranalyse, s. 6 19/41

Hvilke amplituder for frekvenserne kan vi forvente i en idealiseret situation, dvs. uden nogen modstand og anden påvirkning? Med fourieranalyse kan vi kigge på to forskellige begyndelseskongurationer: hvis vi strækker strengen ud på midten og hvis vi strækker strengen ud 1 3 fra enden. Hvis guitarstrengens længde er L, og hvis vi strækker guitarens streng afstanden d ud i midten, kan vi opstille en funktion for dette 1 : d f(x) = x for 0 x L L (x L) for L x L d L Graf for f(x) Umiddelbart vil strengen fortsætte med at svinge på denne måde. Vi kan gøre funktionen periodisk i intervallet [ L; L] med periode L ved at forlænge den, så den også svinger under x-aksen: g(x) = f(x) f( x) Graf for g(x) Vi kan nu foretage en fourieranalyse på g(x). Vi medtager op til 6 koecienter, dvs. op til 6 overtoner. Vi behøver kun at regne b n -koecienterne, da g(x) er en ulige funktion (mellemregningerne tages ikke med, men regnes i et CAS-værktøj): b n = 1 L b = 1 L b 4 = 1 L b 6 = 1 L ˆ L L g(x) sin( π L nx)dx b 1 = 1 L ˆ L L g(x) sin( π L x)dx = 0 b 3 = 1 L ˆ L L g(x) sin( 4π L x)dx = 0 b 5 = 1 L ˆ L L g(x) sin( 5π L x)dx = 0 ˆ L L ˆ L L ˆ L L g(x) sin( π 8d x)dx = L π g(x) sin( 3π L x)dx = 8d 9π g(x) sin( 5π L x)dx = 8d 5π Overtonerne med lige n går altså ud. Vi kan nu lave et frekvensspektrum: A 1 = 8d π = 8d f π f 1 f 1 3f 1 4f 1 5f 1 6f 1 1 A A 1 0 A 1 A 9 1 0 0 3 = 8d 5 9π = 8d 9π = 1 9 A 1 8d A 5 = 5π = 8d 5π = 1 5 A 1 1 Jensen, Fourieranalyse, s. 4 0/41

Selv om vi ikke kan nde værdier for frekvenserne og amplituderne, er det forholdet imellem dem, der er interessant. Ifølge vores beregninger burde der komme overtoner, 3f 1 og 5f 1. Den 3. overtones amplitude er 1 1 af grundtonens, og 5. overtones amplitude er af grundtonen, 9 5 mens. og 4. overtone helt forsvinder. Ser vi på det andet udfald, hvor vi trækker guitarstrengen op 1 3 vores beregninger: fra enden, kan vi gentage 3d f(x) = x for 0 x L L 3 3d (x L) for L x L 3 L Graf for f(x) g(x) = f(x) f( x) ˆ L b n = 1 g(x) sin( π L L L nx)dx b 1 = 1 L b = 1 ˆ L g(x) sin( π 3 9d x)dx = b L L L 8π 3 = 1 L b 4 = 1 ˆ L g(x) sin( 4π 3 9d x)dx = b L L 3π 5 = 1 L L b 6 = 1 L ˆ L L g(x) sin( 5π L x)dx = 0 f f 1 f 1 3f 1 4f 1 5f 1 6f 1 1 A A 1 A 1 4 1 0 A 1 16 1 A 5 1 0 I dette tilfælde forsvinder hver 3. overtone helt. ˆ L L ˆ L L ˆ L L Graf for g(x) g(x) sin( π 3 9d x)dx = L π g(x) sin( 3π L x)dx = 0 g(x) sin( 5π 3 9d x)dx = L 50π 3 9d A 1 = = 9d 3 3 π π 9d A = = 9d 3 = 1 8π 8π 4 A 1 3 9d A 4 = = 9d 3 = 1 3π 3π 16 A 1 3 9d A 5 = = 9d 3 = 1 50π 50π 5 A 1 Disse to begyndelseskongurationer vil bruges til især det første eksperiment for at se, om vi tilnærmelsesvis kan se samme forhold for overtonerne. I dette tilfælde er det ufatteligt svært at genskabe en ideal situation, så en egentlig afvigelses-værdi for amplituderne vil ikke forsøges. 1/41

Analyse af lyd fra guitar Formål En guitarstrengs frekvensspektrum forsøges bestemt gennem fourieranalyse af lyd. Sammenhængen mellem det punkt, hvor strengen slås an, og amplituderne for overtonerne, sammenlignes med teori-afsnittet. Desuden ønskes fourierspektret bestemt gennem udvælgelse af en enkelt periode fra lyddataene. Apparatur Mikrofon, akustisk guitar, PC med Datalyse, Audacity og Python.7 Forsøgsopstilling Guitaren lægges adt på et bord, og en mikrofon sættes op sådan, at den kan optage tæt på guitarens lydhul. Forsøgets udførelse Mikrofonen sættes til at optage lyddata i programmet Datalyse, hvorefter guitarens E-streng slås an med et plekter på midten. Ved brug af Datalyses fourieranalyse-funktion ndes frekvensspektret for optagelsen med en blokstørrelse på 819. Forsøget gentages, men i stedet for midten slås E-strengen an 1 inde på strengen. 3 Forsøgsresultater Vi starter med resultaterne for midten af strengen. Frekvensspektrum for optagelsen /41

Se bilag for det resulterende frekvensspektrum, beregnet af Datalyse. Ved aæsning af grafen ses, at der er nogle helt tydelige peaks, altså nogle toppe på grafen. Skal vi fortolke disse peaks kan vi se, at lydsignalets grundtone er 81Hz med amplitude 100, svarende til tonen E, 1. overtone er 161Hz med amplitude 3,. overtone er 37Hz med amplitude 50, og så videre. Vi laver et skema over de forskellige peaks (op til 5. overtone): f/hz 81 161 37 318 399 481 A 100 3 50 0 4 19 Ifølge guitar-afsnittet passer det godt med vores forventninger. Vi havde jo regnet med, at grundtonen ville være E, og at overtonerne ville være n f 1. Overtonerne følger ikke helt vores forudsigelse, da alle de lige overtoner burde gå helt væk. Der er sikkert nogle fejlkilder behæftet med forsøget, der kan forklare det. Alligevel kan vi se, at de lige overtoner ikke er nær så stærke som de ulige overtoner, så på den måde er det et acceptabelt resultat. Lad os fortsætte med dataene fra strengen, der blev slået an 1 3 et frekvensspektrum gennem Datalyse. inde på strengen. Vi nder Skema over de forskellige peaks: Frekvensspektrum for optagelsen (bilag 3) f/hz 81 161-319 398 480 A 100 57-34 4 Skal vi sammenligne med teorien, er. overtone ved 40Hz også gået helt væk! Det var også det vi forventede. De andre overtoner falder i amplitude, jo længere vi kommer væk fra grundtonen, så det svarer også overens med teorien. Præcisionen af vores frekvensspektre skal måske undersøges. Da vi har en blokstørrelse på 819 (dvs. det antal målinger, der undersøges), vil det sige, at vi har en -værdi på N t = 1 819 0,1858s. Vi antager her, at Datalyse har en samplingsfrekvens ved optagelser på 44100Hz 44100Hz. f 1 er så 1 1 5Hz, f 11Hz, f 3 16Hz. Det vil altså sige, at vi kan bestemme vores frekvenser med en usikkerhed på ±3Hz. 3/41

Som sagt kunne vi også kigge på en enkelt periode og nde både frekvensspektret og fourierspektret på den måde. Med programmet Audacity udvælges følgende periode, der ndes lige efter strengen er slået an ved dataene for optagelse : Billede af lydbølge (bilag 10) For at gøre beregningerne lidt mere overkommelige, bruges programmet i bilag 4 til at beregne fourierkoecienterne. Programmet kræver, at Python.7 er installeret, men ellers er princippet bag programmet allerede blevet forklaret i starten af dette afsnit (dvs. det beregner koecienterne ved approksimation af arealet for f(x)). Med en t-værdi på 15µs (en sampling rate på 8000Hz), må ovenstående bølge have en periode på = N t = 100 15µs = 15 10 4 s. Ved brug af de resulterende data fra bilag 4 laves et frekvensspektrum: Frekvensspektret ser ikke ud til at svare til det, vi fandt ved Datalyse. Det må skyldes, at Datalyse kigger på mange ere perioder, hvor amplituderne kunne have ændret sig, mens vi kun har valgt en enkelt periode her. Alligevel er resultatet passende med vores teori om, at. overtone burde være meget lavere end resten af overtonerne. Overtonernes amplitude falder også trinvist, efterhånden som n stiger, hvilket vi havde forventet. 4. overtone er en anomali i forhold til vores teori, men der er igen nogle fejlkilder, der måske kan forklare det. Fejlkilder I forhold til fejlkilder er det svært at lave en optagelse helt uden støj fra omgivelserne. Alligevel er støjens styrke så lille, at den i det resulterende frekvensspektrum er ubetydelig. Desuden optager vi jo ikke kun den lyd, som strengen laver. Lyden resonerer med guitarens krop, så i virkeligheden er det hele guitarens lyd, som vi optager. På den måde er vores idealiserede teori om, at det kun er strengen, der laver lyd, måske ikke opfyldt på ere måder. Afhængigt af, om guitaren f.eks. er holdt op eller spændt fast kan også gøre, at lyden vil ændre sig. Desuden var 4/41

rummet, hvor forsøgene blev gjort, ikke lyddødt. Støj er allerede nævnt, men lyden fra guitaren kan være reekteret af vægge eller andre overader i rummet, hvilket kunne have resoneret med strengen eller guitarens krop. Optageudstyret burde der også kigges på, da det kunne være, at PC'en eller mikrofonen behandler lyden på en uhensigtsmæssig måde, eller at mikrofonens optageposition kunne gøre en forskel. Konklusion Gennem fourieranalyse i Datalyse har vi fundet en guitarstrengs toner og overtoner, samt dens fourierspektrum. Ud fra teorien om, at der opstår stående bølger på strengen, passer forsøgets resultater meget godt. Det ligner også, at sammenhængen mellem det punkt, hvor strengen strækkes ud, og mange af de overtoner vi får, passer med teoriafsnittet, selv om der for nogle overtoner er nogle uoverensstemmelser. Skal metoden kommenteres, er fourieranalyse i dette tilfælde med en usikkerhed på ±3Hz et godt værktøj til analyse af frekvensspektrer. Analyse af video fra vibrerende guitarstreng Formål En guitarstrengs frekvensspektrum forsøges bestemt gennem videoanalyse i et punkt og fourieranalyse. Apparatur Akustisk guitar, high-speed kamera (f.eks. Casio EX-ZR100), halogenlampe, PC med Datalyse Forsøgsopstilling En guitar sættes oprejst på et bord med en støtte i enden. Kameraet hæves op sådan, at den kan optage guitarens dybe E-streng ved lydhullet. Da lyset fra omgivelserne ikke er tilstrækkeligt, bruges i stedet en halogenlampe til at belyse optageområdet. Guitarens E-streng prikkes med sort tusch, sådan så det bliver nemmere at nde et referencepunkt på optagelsen. Forsøgets udførelse Ved brug af et high-speed kamera (i dette tilfælde et Casio EX-ZR100) kan der optages med 1000Hz, altså 1000 billeder pr. sekund ( t = 1 = 1000Hz 10 3 s). Kameraet bør sættes til indstillingen Super Macro, da optageafstanden vil være meget lille. Strengen slås an med et plekter 1 3 inde på strengen, mens kameraet optager. 5/41

Billeder fra optagelsen, der viser svingningen Billede for billede ndes prikkens y-koordinat i video-optagelsen og noteres ned på et regneark. Da FF-algoritmen i Datalyse kræver, at antallet af målinger skal være potenser af, dvs. x, laver vi 18 målinger ( 7 = 18). Resultaterne for forsøget kan ndes i bilag 5. Forsøgsresultater Graf over forsøgsresultaterne (bilag 6) Dataene importeres manuelt til Datalyse gennem en CSV l. Ved fourieranalyse i Datalyse ndes frekvensspektret for vores data med blokstørrelse 18 (se bilag 7). Igen har vi nogle peaks, som vi kan tolke på. Frekvensspektrum af data Ved 78Hz har vi vores grundtone med amplitude 100, svarende til tonen E. Kigger vi på vores data ligner det da også, at svingningen har en periode, der svarer til 1 målinger, dvs. f = 1 = 1 = 1 83Hz. Ved 156Hz har vi vores 1. overtone med amplitude 39. Selv N t 1 10 3 s om det er svært at se, har vi ved 4Hz vores. overtone med amplitude 7. Vi har altså en grundtone og overtoner. I forhold til lydanalysen ligner det, at frekvensspektret er mindre præcist, da afstanden mellem linjepunkterne for frekvenserne i grafen er større. Det skyldes, at vi kun har 18 målinger, hvilket vil svare til en -værdi på N t = 6/41

18 1 1000Hz = 0,18s. f 1 er så 1 1 8Hz, f 16Hz, f 3 3Hz, og så videre, så i virkeligheden kan vi kun bestemme vores toners frekvenser med en usikkerhed på ±4Hz. Igen passer det godt overens med vores forventninger om, at der opstår stående bølger på strengen, og at overtonerne vil være lig f n = n f 1. Alligevel er det besynderligt, at vi kun får 3-4 overtoner. Det er der nok nogle årsager til. Fejlkilder Af fejlkilder kan nævnes, at strengen imellem yderpunkterne er utydelig, og ser ud til at være til stede mellem et større interval. I dette tilfælde blev midtpunktet valgt, men det er ikke nødvendigvis korrekt. Referencepunktets horisontale position har også afgørende betydning for, hvilke overtoner der kommer med. I teorien kunne vi jo optage ved ét af knudepunkterne for en af de stående bølger, og på den måde ville vi ikke få noget udsving for den bølge. Dette er nok tilfældet for de højere overtoner, der tilmed også har svage amplituder i forhold til grundtonen. Opløsningen af optagelsen er desuden begrænset til 4x64, så i virkeligheden kan y-koordinatet højst bestemmes med omkring 3 pixels nøjagtighed, altså mellem de pixels, hvor strengen svinger. I teorien burde vi ikke være nået op over Nyquists kritiske frekvens, idet f max = 1 1000Hz = 500Hz. Det ligner heller ikke, at overtonerne over 500Hz ville have nogen betydning, da overtonerne forsvinder meget tidligere. For en mindre usikkerhed på vores frekvenser kunne vi have fundet nogle ere punkter for svingningen, sådan så -værdien ville være større. Det ville kræve, at vi havde lavet 8 = 56 eller ere målinger, hvilket måske havde været lidt for meget arbejde til vores formål. Konklusion Ved videoanalyse, fourieranalyse og det resulterende frekvensspektrum har vi set, at der må have opstået stående bølger på guitarstrengen. I forhold til en analyse af lyd er præcisionen af vores måleresultater meget mindre, da vi ikke kan optage med så stor en hastighed, som en mikrofon kan, og at antallet af målinger nødvendigvis er langt mindre. Med vores video-analyse har vi ikke kunnet se mange overtoner, men de overtoner, der kom frem, var af de forventede frekvenser. Fouriersyntese Med fouriersyntese forstås, at man kan lave et periodisk signal med de fourierkoecienter, altså den grundtone og de overtoner, man ønsker. I afsnittet med eksperimenter bestemte vi frekvensspektret og fourierkoecienterne for en guitarstreng. Ud fra frekvensspektret er det umiddelbart ikke muligt at genskabe det oprindelige lydsignal, da vi kun kender en amplitude og en frekvens, hvilket ikke er nok. I princippet skal vi kende til a n og b n -koecienterne, altså fourierspektret, før vi kan genskabe tonens periodiske signal. ager vi 15 fourierkoecient-par 7/41

fra afsnittet om lydanalyse, kan vi prøve at genskabe lydbølgen fra guitaren i et CAS-værktøj. Vi indsætter dataene i et regneark (med navnene antabel og bntabel), og laver en funktion f(x) = 1 15 antabel[1] + n=1 (antabel[n + 1] cos( π nx) + bntabel[n + 1] sin(π nx)) Vi kan nu tegne grafen for funktionen (funktionen er forskudt ned ad y-aksen, sådan så funktionen svinger omkring x-aksen): Graf for fouriersyntese i CAS-værktøj (bilag 8) Sammenligner vi med guren fra Analyse af lyd fra en guitar, dvs. bilag 10, er lydbølgens struktur særdeles godt konserveret. Ved at lave en lydl for fourierrækken, kan vi prøve at sammenligne lyden med den fra guitaren. Bilag 9 er et program, der laver fouriersyntese og gemmer en lydl med en varighed på 5 sekunder. Princippet er det samme som for CAS-værktøjet, men i dette tilfælde gemmes der til en lydl i stedet. Lydlen lyder noget tør. I virkeligheden gentager en lydbølge sig jo heller ikke uden at nogle parametre ændrer sig. Amplituden for de forskellige overtoner og grundtonen vil nok blive mindre efterhånden som guitarstrengens svingning aftager. Vi kunne undersøge, hvordan koef- cienterne ændrer sig over tid, og ændre vores model, sådan så koecienternes værdier aftager. Det var i hvert fald én måde at gøre det resulterende signal mere virkelighedsnært på. Som vi så ovenover, så er fouriersyntese et godt redskab til at genskabe en tone. Hvad hvis vi vil syntetisere alle tonerne for guitaren? Hvis vi havde ændret båndlængden på vores guitarstreng, havde vi selvfølgelig fået en anden grundtone. Antager vi, at den nye tone havde opført sig ligesom den gamle tone, altså med samme a n og b n -værdier, kunne vi i vores fouriersyntese ændre vores -værdi, sådan så grundtonen passer med den nye tone. Hvis vi antager, at det gælder for en arbitrær tone på strengen, ville vi kunne syntetisere alle tonerne på den streng. Havde vi samlet et fourierspektrum for hver streng (eller tone), kunne vi genskabe hver tone på guitaren. I princippet får vi ved fouriersyntese af disse fourierspektre et elektronisk instrument, der genskaber instrumentets lyd! Det helt specielle ved de forskellige instrumenter er jo deres klang, altså sammensætningen af overtoner. 13 Kunne man genskabe deres klang for forskellige toner, har man sig altså et elektronisk instrument. Man kunne også have lavet lydoptagelser 13 C. Claussen, Spektrum - Fysik II, s. 41 8/41

for hver tone og streng, men det ville føre til langt mere data, der skal gemmes. Som vi så, så behøver vi ikke mere end 15 fourierkoecienter for at få genskabt tonen, der overordnet ligner det oprindelige signal. Den største ulempe ved fouriersyntese er dog, at fourierspektret ikke indeholder nogen information om, hvordan lydsignalet ændrer sig over ere perioder. Hvis man ønsker at lave en funktion fra et lydsignal med en enkelt periode er fourieranalyse- og syntese en ideal løsning, men til et signal, der varierer over tid, må man altså gøre noget mere ved det syntetiserede lydsignal eller bruge lydoptagelser i stedet. Fouriersyntese er på den måde en god løsning til at genskabe instrumenters klang. Det skaber muligheder for f.eks. simple, elektroniske instrumenter, der ikke kan være særlig virkelighedsnære pga. hukommelsesbegrænsninger, eller hvor en realistisk lyd ikke er vigtig. Konklusion I denne opgave blev frekvens- og fourierspektret for en guitarstreng både gennem teori og empiri bestemt ved brug af fourieranalyse. Selve fourieranalyse og dens udregning blev bevist med afsæt i fourierrækken og illustreret gennem regneeksempler med periodiske funktioner. Med udgangspunkt i fourieranalysen kunne guitarstrengens svingning i en idealiseret situation forudsiges ved fourieropløsning af forskellige funktioner, der repræsenterede guitarstrengens begyndelseskonguration. Dette kunne efterprøves i praksis, og til lydanalysen kunne sammenhængen mellem teori og forsøgsresultater spores, idet overtonernes amplitude opførte sig tæt på det forventede. Videoanalysen viste sig at være begrænset i forhold til de overtoner, der kunne ndes, men alligevel bekræftede det de stående bølger på strengen. En enkelt periode fra lyddataene blev genskabt gennem fouriersyntese, og den resulterende funktion viste sig at være en god tilnærmelse til originalen. Fouriersyntesen kunne altså genskabe en klang, og til f.eks. simple elektroniske instrumenter ville fouriersyntese være et lettere alternativ til lydoptagelser eller samples, når man prøver at reproducere en instruments lyd. 9/41

Litteraturliste Albrechtsen, Steen. Fourieranalyse. Werks Oset Århus, 1991. isbn: 87-983931-0-3. C. Claussen E. Both, N. Hartling. Spektrum - Fysik II. 1. udg. Gyldendal, 004. isbn: 10-87- 0-00685-5. Jensen, Niels Christian. Fourieranalyse. 004. url: http : / / www. emu. dk / gym / tvaers / sciencegym/matematik-materialer/fourier.doc. Larsen, Mogens Oddershede. Fourieranalyse.. udg. (Besøgt d. 0.1.01). 007. url: http: //www.larsen-net.dk/files/fourieranalyse.pdf. Maor, Eli. rigonometric Delights. (Besøgt d. 0.1.01). Princeton University Press, 1998, 19810 (Fourier heorem). isbn: 9780691095417. url: http://press.princeton.edu/ books/maor/chapter_15.pdf. M111 Linear Partial Dierential Equations. (Orthogonality Relations og he Fourier Coef- cients) (Besøgt d. 0.1.01). url: http://www.maths.manchester.ac.uk/deptweb/ UGCourses/Syllabus/Level/M111Lecture10_004.pdf. 30/41

Bilag Bilag 1: Graf til regneeksempler 31/41

Bilag : Fourieranalyse af lyd fra guitar - anslået på midten (Datalyse) 3/41

Bilag 3: Fourieranalyse af lyd fra guitar - anslået på 1 3 (Datalyse) 33/41

Bilag 4: Programkode til fourieranalyse (Python) Data er taget fra en 8000Hz lydl, dvs. t = 1 8000Hz = 15µs med 100 punkter, N = 100.14 import math d a t a = [ 0, 18, 1, 40, 55, 76, 94, 108, 15, 136, 147, 15, 159, 170, 175, 179, 18, 178, 175, 174, 174, 181, 188, 190, 18, 157, 130, 109, 9, 88, 99, 113, 17, 136, 14, 150, 163, 174, 180, 190, 196, 00, 198, 183, 164, 145, 14, 107, 104, 103, 108, 116, 14, 137, 144, 145, 145, 149, 153, 160, 168, 169, 171, 168, 158, 150, 148, 148, 159, 171, 173, 178, 175, 159, 147, 136, 14, 10, 118, 11, 105, 94, 84, 80, 80, 83, 93, 99, 98, 99, 99, 97, 90, 81, 60, 45, 30, 3, 15, 7 ] N = l e n ( d a t a ) M = N / p r i n t ' n\ t a n \ tbn \ tan ' f o r n in x r a n g e (M+1): an = 0 bn = 0 f o r k in x r a n g e (N ) : an += d a t a [ k ] * math. c o s ( ( * math. p i ) * ( f l o a t ( n * k ) / N) ) bn += d a t a [ k ] * math. s i n ( ( * math. p i ) * ( f l o a t ( n * k ) / N) ) an *=. 0 / N bn *=. 0 / N i f n == 0 : p r i n t ' \ t%s ' % an continue An = math. s q r t ( an ** + bn **) p r i n t '%s \ t%s \ t%s \ t%s ' % ( n, an, bn, An ) 14 Inspireret af Albrechtsens FOURIER.pas, Fourieranalyse s. 83 34/41

Output: n f a n b n A n 0 53,58 1 80-39,17 13,9 41,56 160-9,5 18,51 34,83 3 40-13,64 7,96 15,79 4 30-1,51-0,34 9,6 5 400 4,58-3,79 5,94 6 480-17,54 8,19 19,35 7 560 0,4-3,44 3,45 8 640 1,39-0,7 1,56 9 70,55 1,35,89 10 800-0,35 5,4 5,44 11 880 1,11-7,69 7,77 1 960 1,75-0,53 1,8 13 1040,35 3,31 4,06 14 110 0,8 0,3 0,88 15 100 0,84-1,46 1,69 16 180 1,83-1,06,1 17 1360 0,43-0,0 0,43 18 1440 0,57-0,7 0,91 19 150 0,8 0,5 0,86 0 1600 0,67-0,6 0,7 1 1680 0,81 0,09 0,8 1760 1,3 0,57 1,36 3 1840 0,31-0,0 0,31 4 190 1,15-0,13 1,16 5 000 0,85-0,0 0,85 n f a n b n A n 6 080 0,84-0,19 0,86 7 160 0,59-0,05 0,59 8 40 1,19-0,06 1,19 9 30 1,35 0 1,35 30 400 1,13-0,08 1,14 31 480 0,89 0,0 0,89 3 560 1,4-0, 1,5 33 640 1,19-0,4 1,6 34 70 0,1-0,17 0, 35 800 1,45 0,05 1,45 36 880 1,3-0,11 1,31 37 960 1,06-0,04 1,07 38 3040 0,86 0,15 0,88 39 310 1,06-0,3 1,1 40 300 1,13-0,9 1,17 41 380 1,18-0,5 1,1 4 3360 1,1-0,7 1,4 43 3440 1,51-0,33 1,55 44 350 1,6-0,5 1,8 45 3600 1,6-0,33 1,65 46 3680 1,36-0,6 1,39 47 3760 1,34-0,3 1,36 48 3840 1,9-0,18 1,3 49 390 1,3-0,09 1,3 50 4000 1,1 0,01 1,1 35/41

Bilag 5: Data for videoanalyse n t/s y 0 0,000 18 1 0,001 130 0,00 134 3 0,003 144 4 0,004 160 5 0,005 09 6 0,006 5 7 0,007 40 8 0,008 00 9 0,009 151 10 0,010 13 11 0,011 14 1 0,01 18 13 0,013 19 14 0,014 134 15 0,015 14 16 0,016 148 17 0,017 181 18 0,018 34 19 0,019 51 0 0,00 3 1 0,01 174 0,0 13 3 0,03 1 4 0,04 14 5 0,05 19 6 0,06 130 7 0,07 137 8 0,08 145 9 0,09 161 n t/s y 30 0,030 08 31 0,031 49 3 0,03 40 33 0,033 00 34 0,034 150 35 0,035 13 36 0,036 13 37 0,037 14 38 0,038 13 39 0,039 134 40 0,040 139 41 0,041 15 4 0,04 184 43 0,043 7 44 0,044 50 45 0,045 6 46 0,046 175 47 0,047 133 48 0,048 1 49 0,049 14 50 0,050 13 51 0,051 131 5 0,05 140 53 0,053 148 54 0,054 161 55 0,055 05 56 0,056 50 57 0,057 37 58 0,058 00 59 0,059 151 n t/s y 59 0,059 151 60 0,060 16 61 0,061 11 6 0,06 130 63 0,063 130 64 0,064 134 65 0,065 143 66 0,066 153 67 0,067 183 68 0,068 9 69 0,069 48 70 0,070 4 71 0,071 177 7 0,07 134 73 0,073 118 74 0,074 15 75 0,075 19 76 0,076 135 77 0,077 137 78 0,078 149 79 0,079 164 80 0,080 06 81 0,081 45 8 0,08 41 83 0,083 03 84 0,084 157 85 0,085 14 86 0,086 11 87 0,087 16 88 0,088 13 n t/s y 90 0,090 146 91 0,091 156 9 0,09 183 93 0,093 6 94 0,094 46 95 0,095 5 96 0,096 177 97 0,097 139 98 0,098 11 99 0,099 15 100 0,100 130 101 0,101 136 10 0,10 144 103 0,103 154 104 0,104 166 105 0,105 01 106 0,106 45 107 0,107 40 108 0,108 04 109 0,109 156 110 0,110 15 111 0,111 11 11 0,11 15 113 0,113 16 114 0,114 17 115 0,115 136 116 0,116 14 117 0,117 147 118 0,118 18 119 0,119 33 n t/s y 10 0,10 49 11 0,11 5 1 0,1 174 13 0,13 133 14 0,14 1 15 0,15 16 16 0,16 18 17 0,17 131 36/41

Bilag 6: Data for videoanalyse 37/41

Bilag 7: Fourieranalyse af video - Datalyse 38/41

Bilag 8: Graf for fouriersyntese i CAS-værktøj 39/41

Bilag 9: Programkode til fouriersyntese (Python) abeldata taget fra bilag 3. Programmet gemmer en 44100Hz signed 16bit PCM WAV lydl med navnet syntese.wav, der er 5 sekunder lang. import import import wave math s t r u c t a n _ t a b e l = [ 5 3. 5 8, 39.17, 9.50, 13.64, 1.51, 4. 5 8, 17.54, 0. 4, 1. 3 9,. 5 5, 0.35, 1. 1 1, 1. 7 5,. 3 5 ] bn_ tabel = [ 0, 1 3. 9 0, 1 8. 5 1, 7. 9 6, 0.34, 3.79, 8. 1 9, 3.44, 0.7, 1. 3 5, 5. 4, 7.69, 0.53, 3. 3 1 ] = 1 / 8 1. 0 # 81 Hz FRAMERAE = 4 4 1 0 0. 0 # 44100 OAL_ID = 5 # 5 s e k u n d e r Hz d e f f ( x ) : v = 0. 0 f o r k, an i n enumerate ( a n _ t a b e l ) : v += an * math. c o s ( ( * math. p i ) / * k * x ) f o r k, bn i n enumerate ( bn_tabel ) : v += bn * math. s i n ( ( * math. p i ) / * k * x ) r e t u r n v d a t a = [ ] max_value = None min_value = None f o r x i n x r a n g e ( i n t (FRAMERAE * OAL_ID ) ) : v = f ( x / FRAMERAE) i f x == 0 : max_value = min_value = v e l s e : max_value = max ( v, max_value ) min_value = min ( v, min_value ) d a t a. append ( v ) f p = wave. open ( ' s y n t e s e. wav ', 'wb ' ) f p. s e t p a r a m s ( ( 1,, FRAMERAE, l e n ( d a t a ), 'NONE ', None ) ) f o r s i n d a t a : s = ( s min_value ) / f l o a t ( max_value min_value ) s = ( s 0. 5 ) * f p. w r i t e f r a m e s ( s t r u c t. pack ( ' h ', i n t ( s * 0x7FFF ) ) ) f p. c l o s e ( ) 40/41

Bilag 10: Billede af udtræk fra lyddata 41/41