Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion

Matematik-teknologi 3. semester Projekt introduktion Thomas Arildsen, Arne Jensen, Rafael Wisniewski Version 3 31. august 2015 1 Indledning Dette dokument giver en introduktion til projektmodulet på 3. semester matematik-teknologi uddannelsen. Ifølge studieordningen [8] er temaet dynamiske systemer. Dette er et meget bredt tema. I denne introduktion giver vi en afgrænsning af temaet og nogle forslag til emner man kan koncentrere projektet om. Et dynamisk system kan for eksempel være et pendul eller en tennisbold. I begge eksempler er det systemets tidsudvikling man ønsker at studere. Den første afgrænsning af projektet består i at vi studerer systemer der har en kontinuert tidsparameter. En af grundene til denne afgrænsning er, at 4. semesters projekttema er centreret om diskret tid systemer. Derudover er der på 4. semester et kursus i diskret tid systemer. Et dynamisk system med kontinuert tid er oftest beskrevet ved brug af differentialligninger. Vi vil begrænse os til dynamiske systemer der kan beskrives ved hjælp af systemer af sædvanlige differentialligninger. Lad os se på eksemplet med en tennisbold. Der er valgt et koordinatsystem med lodret z-akse. Positionen til tiden t er beskrevet ved en positionsvektor r(t). Hastigheden r(t) og a(t) = d2 dt 2 r(t). Fysikkens love giver og accelerationen til tiden t er givet ved v(t) = d dt en ligning mellem de tre vektorer r(t), v(t) og a(t), den dynamiske ligning. I eksemplet er det Newtons lov, der siger at ma(t) = F(t, r(t), v(t)), (1.1) hvor F er den kraft der påvirker tennisbolden og m er dens masse. Skrevet som et system af differentialligninger er det m d2 r(t) = F(t, r(t), d r(t)). (1.2) dt 2 dt For at komme videre i analysen af dette dynamiske system skal vi beslutte hvilken model vi vil anvende for kraften. Man kan vælge at modellere tennisbolden som en punktpartikel og alene at tage hensyn til tyngdekraften, eller man kan vælge at modellere tennisbolden som en genstand med en endelig udstrækning, hvor det så bliver relevant at tage hensyn til luftmodstanden. Man kan også inddrage tennisboldens rotation (spin). Modellen kan hurtigt blive meget kompliceret. Eksemplet giver nogle af de deltemaer der kan indgå i projektet. 1. Modellering af dynamiske systemer. 2. Eksistens af løsninger til systemer af sædvanlige differentialligninger. Entydighed af løsning. Løsningers afhængighed af begyndelsesbetingelser og parametre. Er der løsninger for vilkårligt lange tidsrum? 1

3. Approksimation af løsninger til systemer af sædvanlige differentialligninger. Numeriske og grafiske metoder til undersøgelse af løsningerne. 4. Hvor god en beskrivelse giver den approksimative model af det dynamiske system? 2 Matematiske aspekter De matematiske værktøjer, der er til rådighed til en stringent analyse af et differentialligningssystem som (1.2) er blandt andet den lineære algebra fra 1. semester og calculus fra 2. semester. Derudover kurserne Analyse 1 og Linearitet og differentiabilitet, som skal følges i dette semester. Lad os se på et simpelt problem, en enkelt første ordens differentialligning: dt = ax, a R. (2.1) Det er velkendt at samtlige løsninger er x(t) = ce at, c R en vilkårlig konstant. En entydig løsning fås, hvis man tilføjer en begyndelsesbetingelse, for eksempel x(t 0 ) = x 0, således at løsningen der opfylder denne betingelse er x(t) = x 0 e a(t t 0). En generel første ordens differentialligning for en enkelt funktion x(t) er af formen dt = f(t, x), (2.2) hvor f : Ω R er en funktion, der er defineret på en åben delmængde Ω R 2. En begyndelsesbetingelse er givet ved x(t 0 ) = x 0, (t 0, x 0 ) Ω. (2.3) For at formulere et matematisk resultat er det nødvendigt at gøre antagelser om funktionen f. En mulig antagelse er at forlange, at f : Ω R skal være en kontinuert funktion. Under den antagelse er der altid en løsning til (2.2) der opfylder (2.3), men den er ikke nødvendigvis entydig. Det leder til første problemstilling. Problemstilling 2.1. Formulér præcise betingelser for eksistens og entydighed af løsninger til et begyndelsesværdiproblem (2.2), (2.3). Det resultat man kan formulere generelt er et lokalt eksistensresultat. Det betyder, at løsningen eksisterer i et (lille) interval (t 0 δ, t 0 + δ). Det leder til følgende problemstilling. Problemstilling 2.2. Undersøg eksistens af et maksimalt løsningsinverval I max t 0. Hvis f er defineret på hele R 2, er der betingelser på f der sikrer at I max = R? I anvendelser har man ofte data der er behæftet med fejl. Det er derfor relevant at spørge, at hvis vi har to begyndelsesbetingelser x(t 0 ) = x 0 og x(t 0 ) = x 0, hvor x 0 x 0 er lille, vil de to løsninger også være tæt på hinanden? Hvis det er tilfældet taler man ofte om stabilitet af løsninger. Man kan også spørge om stabilitet hvis vi ser på løsninger til to differentialligninger hvor f(t, x) f(t, x) er lille. dt = f(t, x) og dt = f(t, x), (2.4) Problemstilling 2.3. Undersøg stabilitet af løsninger til et begyndelsesværdiproblem (2.2), (2.3). Dette omfatter en præcisering af hvad der menes med at x 0 x 0 er lille, eller at f(t, x) f(t, x) er lille. 2

Der er mange varianter af formuleringen af stabilitet. Det er et meget vigtigt begreb i anvendelser og i modellering. Det vil vise sig at det kan være svært at præcisere hvad man forstår ved stabilitet. I stedet for en enkelt første ordens differentialligning kan man se på et system af første ordens differentialligninger. Et eksempel på et system af to differentialligninger er Begyndelsesbetingelsen er da af formen Ofte anvender man vektornotation [ ] x1 (t) x(t) =, x x 2 (t) 0 = 1 dt = f 1(t, x 1, x 2 ), 2 dt = f 2(t, x 1, x 2 ). x 1 (t 0 ) = x 01, x 2 (t 0 ) = x 02. [ x01 x 02 ], f(t, x) = således at begyndelsesværdiproblemet kan skrives på formen [ ] f1 (t, x 1, x 2 ), f 2 (t, x 1, x 2 ) dt = f(t, x), x(t 0) = x 0. (2.5) Problemstillingerne ovenfor kan generaliseres til et system af N første ordens differentialligninger. Problemstilling 2.4. Formulér resultater for systemer af første ordens differentialligninger, der er analoge med resultaterne for en enkelt første ordens differentialligning. Systemet (1.2) er et system af tre anden ordens sædvanlige differentialligninger. Man kan reducere dette system til et system af seks første ordens differentialligninger. Vi ser først på en enkelt anden ordens differentialligning Vi introducerer d 2 x dt 2 x 1 = x, Ligningen (2.6) kan da skrives som systemet = f(t, x, ). (2.6) dt 1 dt = x 2. 2 dt = f(t, x 1, x 2 ). x 2 = dt. (2.7) Generalisationen til orden højere end to og til systemer af højere ordens differentialligninger er ligefrem. Igen er det en fordel at benytte vektornotation. Det er vigtigt at have kendskab til et antal sædvanlige differentialligninger, der kan løses på lukket form. Et simpelt eksempel er given i (2.1). Det leder til følgende problemstilling. Problemstilling 2.5. Lav et katalog over nogle første og anden ordens sædvanlige differentialligninger, der har løsninger på lukket form. Giv eksempler på systemer af første ordens differentialligninger, der har løsninger på lukket form. 3

En vigtig klasse af systemer af første ordens differentialligninger er dem, der af matematikere kaldes lineære og autonome. Autonome systemer kaldes af ingeniører for tidsinvariante systemer. Lad A være en reel N N matrix, og lad x(t) være en vektorfunktion x: I R N, I R. Et lineært og autonomt første ordens system af differentialligninger med en begyndelsesbetingelse er da givet som dt = Ax, x(0) = x 0. (2.8) Ligningen (2.1) er et eksempel på (2.8), svarende til N = 1. Løsningen er givet ved en eksponentialfunktion, se ovenfor. Formelt set er løsningen til (2.8) også givet ved en eksponentialfunktion x(t) = e ta x 0. (2.9) Dette giver først mening når vi har defineret eksponentialfunktionen af en matrix. Heraf følger Problemstilling 2.6. Hvordan kan vi definere e ta, når A er en N N matrix? Hvilke egenskaber har e ta? Hvordan kan vi beregne e ta? 3 Numeriske aspekter I kurset Computerstøttede beregninger er der givet en introduktion til nogle metoder til numerisk løsning af sædvanlige differentialligninger. Man kan vælge at arbejde videre med disse metoder, både for at illustrere løsninger til nogle ligninger, og med henblik på en teoretisk forståelse af de numeriske metoder. Man kan også vælge at studere andre algoritmer til numerisk løsning af differentialligninger. For eksempel implicitte metoder og multistep metoder (Adams-Bashforth-Moulton metoder) Til illustration af løsninger og for eksempel stabilitet/instabilitet kan man også anvende Maple pakken DEtools. Det anbefales som minimum at sætte sig ind i den version af Runge-Kutta metoderne, der kaldes enten Runge-Kutta-Fehlberg eller RKF4(5). Det er en af de oftest anvendte algoritmer til løsning af systemer af sædvanlige differentialligninger. Det er en adaptiv version af den klassiske RK4 algoritme. RKF4(5) justerer automatisk skridtlængden baseret på en på forhånd givet tolerance for den numeriske løsning. De numeriske metoder spiller en vigtig rolle, da de allerfleste differentialligninger ikke kan løses på lukket form. 4 Anvendelser Der er utallige anvendelser af differentialligninger. Nedenfor er angivet et par eksempler. I porjektet anbefales det at vælge én anvendelse, og analysere den baseret både på meget simple modeller og på mere realistiske modeller. 4.1 Rovdyr-byttedyr modeller Nogle af disse modeller blev analyseret ved numeriske eksperimenter i kurset Computerstøttede beregninger. Vi repeterer den basale model. 4

Populationen af byttedyr til tiden t er x 1 (t), og populationen af rovdyr er x 2 (t). Udviklingen i tid kan modelleres ved følgende system af differentialligninger 1 dt (t) = αx 1(t) βx 1 (t)x 2 (t), (4.1) 2 dt (t) = γx 2(t) + δx 1 (t)x 2 (t). (4.2) Her er α, β, γ, og δ fire positive parametre, der karakteriserer systemet. Parameteren α er vækstraten for byttedyrene, mens leddet βx 1 (t)x 2 (t) angiver med hvilken rate byttedyrene bliver spist af rovdyrene. Parameteren γ angiver hvor hurtigt rovdyrene uddør, hvis der ingen byttedyr er. Endelig angiver leddet δx 1 (t)x 2 (t) vækstraten i rovdyrene, når de spiser byttedyrene. I de numeriske eksperimenter blev det vist, at løsningskurverne alle var lukkede kurver. Det leder til følgende problemstilling Problemstilling 4.1. Gennemfør en matematisk analyse af alle løsninger til systemet givet ved (4.1) og (4.2). Når den matematiske analyse er gennemført kan man begynde at se på forskellige mulige generalisationer, hvor man for eksempel erstattet den eksponentielle vækstmodel for byttedyrene med den logistiske model. Det leder til systemet 1 dt (t) = αx 1(t) βx 1 (t)x 2 (t) µx 1 (t) 2, 2 dt (t) = γx 2(t) + δx 1 (t)x 2 (t). Alle fem parametre ovenfor er positive. Dette system kan man også forsøge at analysere matematisk, og man kan se på andre mulige generalisationer. 4.2 Pendulet Det matematiske pendul består af en ideel stang ophængt friktionsfrit, så at stangen kan bevæge sig i en lodret plan. For enden af stangen er en masse, der modelleres som en punktpartikel med masse m. Længden at stangen er l, og gravitationskonstanten betegnes med g. Vinklen mellem stangen og en lodret linie gennem ophænget betegnes med θ. Pendulets svingninger er da i denne model bestemt ved følgende differentialligning d 2 θ dt + g sin θ = 0. (4.3) 2 l I en mere detaljeret model kan man inddrage luftmodstand og friktion i ophænget. Man kan også modellere stangen som et fysisk objekt med endelig udstrækning og med en masse, der ikke er nul. I en mere idealiseret model antager man, at man kun ser på små udsving, dvs θ lille. Fra Taylors formel får vi da, at sin θ θ og ligningen bliver da d 2 θ dt + g θ = 0. (4.4) 2 l Det er den ligning der oftest bruges til at beskrive et pendul. Problemstilling 4.2. Gennemfør en matematisk analyse af (4.4). Analysér løsningerne til (4.3) numerisk. Påbegynd en matematisk analyse af (4.3). 5

4.3 Kranen Model for det matematiske pendul kan udvides til at beskrive en kran. Kort sagt består en kran af et pendul med en last, hvor pendulet er monteret på en vogn. Bevægelse af lasten beskrives af to koordinater x = (x 1, x 2 ) i R 2 x 1 = y 1 + l sin θ x 2 = l cos θ, hvor l er afstanden fra vognen til lasten, θ er vinklen mellem kablet og lodret retning, og y = (y 1, 0) er vognens position. Bemærk at vognens bevægelse foregår i vandret retning, som opgives af koordinaten y 1. Variablerne x, y og θ kan ses som funktioner af tiden. I mekanik bruger man ofte en anden notation for afledede med hensyn til tid end den matematikere anvender. Hvis x er en variable der afhænger af tiden t, så skriver man ẋ = dt og ẍ = d2 x dt 2. Deres anden afledede med hensyn til tiden giver ẍ 1 = ÿ 1 θ 2 l sin θ + θl cos θ + 2 θ l cos θ + l sin θ, (4.5) ẍ 2 = θ 2 l cos θ θl sin θ 2 θ l sin θ + l cos θ. (4.6) To krafter påvirker lastens bevægelse: tyngdekraft G og friktion F : G = mg, F = k θ l, hvor m er lastens masse, og k er friktionskoefficienten. Newtons anden lov anvendt på lasten giver mẍ 1 cos θ = mẍ 2 G F. (4.7) Ved at sætte (4.5) og (4.6) i (4.7) får vi følgende differential ligning der beskriver θ ændring i tiden l θ = y 1 cos θ g sin θ 2 θ l k θ ml. (4.8) Derudover beskrives vognens bevægelse ved hjælp af Newtons anden lov Mÿ 1 + bẏ 1 m( θ 2 l + g cos θ) sin θ = K, (4.9) hvor M er vognens masse, b er en gnidningskoefficient, K er en ydre kraft (fra vognens motor eller lignende). Udtrykket θ 2 l i (4.9) er centripetalaccelerationen. Ligningerne (4.5), (4.6), (4.8) og (4.9) tilsammen danner en model for kranen dvs. vognen med hængende last. Hvori variablerne l og K kan styres af kranens operatør. 4.4 Masse-fjeder-systemer Mange systemer i vores dagligdag kan modelleres som forskellige kombinationer af masser og fjedre. Det gælder mange systemer, som kan vibrere/oscillere på forskellig vis. Sådanne systemer kan evt. modelleres mere kompleks ved at inkludere dæmpning. Tænk f.eks. på bilers ophæng med støddæmpere, springmadrasser, trampoliner, Hoptimisten osv. 6

Figur 1: Hoptimisten. Som et simpelt eksempel på et masse-fjeder-system kan vi betragte en enkelt masse ophængt i en enkelt fjeder uden dæmpning, se Figur 2a. En fjeder udøver en kraft proportional med den længde, fjederen er udstrakt/sammentrykket i forhold til sit ligevægtspunkt (Hooke s lov): F = kx (4.10) hvor k [N/m] er en fjederkonstant, som udtrykker, hvor stærk fjederen er, og x [m] er den udstrakte afstand af fjederen. Det negative fortegn udtrykker, at fjederen trækker/skubber imod træk-/trykretningen. I eksemplet (Figur 2a) vil tyngdekraften ud over fjederen påvirke massen med en kraft: F = ma = m d2 x dt 2 (4.11) hvor m [g] er massen og a [m/s 2 ] er accelerationen her tyngdeaccelerationen a = g. Hvis vi betragter situationen med ligevægt mellem kræfterne, kan vi opstille følgende ligning: F = m d2 x = kx (4.12) dt2 (4.12) udtrykker en differentialligning, som for dette simple system har løsningen: x(t) = A cos(ωt + φ) (4.13) Heraf kan vi se, at massen i dette tilfælde vil oscillere harmonisk (cosinus-funktionen). m m m k k k1 k2 (a) Massefjeder-system. (b) Massefjeder-system med rotation. (c) Massefjeder-system med to fjedre. Figur 2: Eksempler på masse-fjeder-systemer. 7

Som sagt kan vi fra dette første simple system udvide systemerne på mange forskellige måder. To eksempler ses i Figur 2b og 2c. I Figur 2b tilføjes endnu en bevægelsesretning; rotation omkring fjederens akse, og i Figur 2c tilføjes endnu en fjeder således, at massen er ophængt på to forskellige fjedre i forlængelse af hinanden. Dette er blot to af uendeligt mange eksempler. Man kunne også betragte to forskellige fjedre forbundet parallelt ved siden af hinanden eller tilføje en dæmpning dvs. et element med friktion, som bremser bevægelsen. Herudover kunne man udvide de nævnte en-dimensionelle eksempler til bevægelser i to eller flere dimensioner. Projektgruppen kan selv finde eksempler på anvendelser til inspiration i opbygningen af systemet. Vejlederne kan her hjælpe med afgrænsning af systemet til en passende kompleksitet. 5 Litteratur Der findes en meget omfattende litteratur om differentialligninger, på mange forskellige niveauer. Her er kun nogle få bøger nævnt. Først nogle af bøgerne anvendt på 1. og 2. semester. Lærebogen fra Calculus [2] har i Chapter 8 en introduktion til differentialligninger. Kompendiet til Calculus [6] har en del resultater vedrørende differentialligninger. Lærebogen fra Computerstøttede beregninger [9] indeholder mange relevante resultater. Appendix E i Langtangens bog [4] har en del information om numerisk løsning af differentialligninger i Python. Bogen af Hirsch et al. [3] indeholder meget information om differentialligninger og dynamiske systemer. Den starter relativt elementært, men når meget langt. En stor del af bogen kræver forudsætninger, som I endnu ike har. Bogen af Betounes [1] er en god matematisk solid introduktion til dynamiske systemer og differentialligninger. Bogen af Møller [5] giver en meget stringent introduktion til sædvanlige differentialligninger. Den helt nye bog af Strang [7] indeholder utrolig meget information om differentialligninger, lineær algebra, og samspillet mellem disse. Bogen er skrevet til ingeniør-studerende, og indeholder ikke stringente matematiske beviser. Men den indeholder mange eksempler og modeller, og korte beskrivelser af hovedresultater for disse. 6 Krav til projektet Der er i studieordningen [8] stillet en række krav til projektet. Kravene under indgangene Viden og Færdigheder vil given mening efterhånden som projektetarbejdet gennemføres. Kravene under Kompetencer kræver nok et par kommentarer. Det første krav er skal ud fra givne forudsætninger kunne ræsonnere og argumentere med matematiske begreber indenfor lineær algebra og matematisk analyse Det betyder at der i projektet skal være korrekte beviser og argumenter for et antal centrale resultater vedrørende samspillet mellem lineær algebra og sædvanlige differentialligninger. Med andre ord, numeriske beregninger er ikke nok for at etablere et resultat. Det andet krav er skal udvikle og styrke sin evne til mundtligt og skriftligt at kunne give en korrekt og præcis matematisk fremstilling 8

var også et krav til projektet på 2. semester. I vil opleve at det kræver en betydelig indsats af formulere et matematisk bevis korrekt, både mundtligt og skriftligt. Vedrørende afvejningen mellem de teoretiske og matematiske overvejelser og analyse af konkrete modeller baseret på differentialligninger, så er kravene, at mindst 1 af projektet skal 3 koncentrere sig om det matematisk stringente, og mindst 1 af projektet skal koncentrere sig om 3 analyse af en konkret model eller anvendelse. Litteratur [1] D. Betounes, Differential Equations: Theory and Applications, Springer 2001. [2] C. H. Edwards and D. E. Penney, Calculus Early transcendentals, 7th ed., Prentice Hall, 2008. [3] M. E. Hirsch, S. Smale, and R. L. Devaney, Differential Equations, Dynamical Systems, and an Introduction to Chaos, 2nd ed., Elsevier 2004. [4] H. P. Langtangen, A Primer on Scientific Computing with Python, 3rd ed., Springer 2012. [5] J. S. Møller, Ordinary Differential Equations. An Introduction for Mathematicians, Aarhus Universitet 2014. [6] E. B. Saff et al., Complex numbers and differential equations, Custom print (2nd edition), Pearson, 2010. [7] G. Strang, Differential Equations and Linear Algebra, SIAM 2014. [8] Studieordning for bacheloruddannelsen i matematik-teknologi, 2013. [9] P. Turner, Guide to scientific computing, Macmillan Press 2000. 9