Titel: Reguleringsteknisk analyse af pantograf kran med forslag til stabilisering. Emne: Analyse og syntese af fluid-mekanisk system.

P A N T O G R A F K R A N R E G U L E R I N G S T E K N I S K A N A L Y S E M E D F O R S L A G T I L S T A B I L I S E R I N G B A C H E L O R P R O J E K T I E M S D K A S P E R K Ø T T E R J E N S E N, K E N N E T H J E S S E N, G U N N A R R U N Ó L F S S O N, T H O M A S T Y C H S E N, K A S P E R A A S T R U P M O R T E N S E N V E J L E D E R : H E N R I K C. P E D E R S E N 2 8. M A J 2 0 0 8 I N S T I T U T F O R E N E R G I T E K N O L O G I A A L B O R G U N I V E R S I T E T

Institut for Energiteknologi, Aalborg Universitet Pontoppidanstræde 101, 9220 Aalborg http://www.iet.aau.dk Titel: Reguleringsteknisk analyse af pantograf kran med forslag til stabilisering Emne: Analyse og syntese af fluid-mekanisk system Projektperiode: 6. semester 4. februar - 28. maj, 2008 Gruppe: Gr. 73 - EMSD6 Forfattere: Kasper Køtter Jensen Kasper Aastrup Mortensen Kenneth Jessen Thomas Tychsen Gunnar Runólfsson Vejleder: Henrik C. Pedersen Synopsis: Dette projekt tager udgangspunkt i en pantograf kran der er grundlæggende ustabil under sænkning. Der foretages en analyse og opbygges en komplet ulineær model af kranen bestående af den mekaniske kran samt dennes hydrauliske aktueringssystem. Hydraulikken indeholder en overcenter-ventil som det menes er skyld i ustabiliteten, og denne modelleres derfor op som en del af den hydrauliske model. En lineær model konstrueres fra den ulineære model og der foretages en stabilitetsanalyse som resulterer i et stabiliseringsforslag. Dette forslag inkluderer en forøgelse af volumenet af det øverste kammer i cylinderen der anvendes som aktuator på kranen. Der udarbejdes desuden et forbedringsforslag der udover en forøgelse af førnævnte volumen, kræver et ændret pilotforhold i over-center-ventilen samt forøgelsen af volumenet mellem denne ventil og PVG en. Modellerne er eftervist eksperimentielt, og flere fysiske konstanter der anvendes under modelleringen er ligeledes fundet ved eksperimentielt arbejde på kranen. Antal kopier: 7 Appendiks: 20 Antal sider: 144 Rapportens indhold er frit tilgængeligt, men offentliggørelse (med kildeangivelse) må kun ske efter aftale med forfatterne.

Kapitel 1 Abstract Presentation of the System The crane consists of a combination of a mechanical- and a hydraulic system. In order to prevent the system from dropping the payload in case of oil leakage, an over center valve (OCV) is applied. An unfortunate consequence of the OCV is the introduction of instability to the combined system. Hence, this project aims to describe the complete system and suggest a possible improvement of the instability introduced by the OCV. Procedure A linear and a non-linear model for the mechanical- and hydraulic systems is formed and combined to a model discribing the entire crane. The models are verified by comparison of theoretical data to experimental data obtained in the laboratory. MatLab Simulink is used to handle the non-linear model and simulate the behaviour of the system under different input conditions. Be means of eksperiments and theory the most critical point is locatet. In this point there is formed a liniear model that describe the system in a narrow region around the critical point. Be means of the liniear model a transfer function is obtained. This transferfunction is thereafter used to analyse the system to obtain stability. 1

A B C D E F 1 2 3 4 5 6 7 8 491,82 508,18 383,18 1 2 3 4 430,55 444,45 UNLESS OTHERWISE SPECIFIED: FINISH: DIMENSIONS ARE IN MILLIMETERS SURFACE FINISH: TOLERANCES: LINEAR: ANGULAR: DRAWN CHK'D APPV'D MFG Q.A NAME SIGNATURE DATE MATERIAL: WEIGHT: DEBUR AND BREAK SHARP EDGES TITLE: DWG NO. SCALE:1:1 DO NOT SCALE DRAWING SHEET 1 OF 1 REVISION A B C D 2 1 Abstract 2001,07 1636,07 185,78 179,22 Figur 1.1: Mechanical system. A3 tegning af kran A3 Figur 1.2: Hydraulic system. Possible Solution The linearized model describing the system is used to test if changing different variables in the systems contributes to stabilise the system. To obtain knowledge about which variables could influence the stability, all possible variables are tested systematically. By doing this the variables that could stabilise the system was identified to be the volume between the ringside of the piston and the PVG, V 10, and the area A B in the OCV. Setting V 10 = 3, 5V 10 and A B = 2/5A B shows improved stability. To varify the results the changes are executet in the non-liniear model. And the changes proves to be a success. Another way to stabilise the system is to implement extra valves or other hydraulic components to the system but this is not investigated further. The next steps in analysing the changes would be to carry out the same changes on the real crane and verify the improved stability there.

Forord Denne rapport er et EMSD bachelor projekt ved Aalborg Universitet udarbejdet i perioden 4. februar til 28. maj 2008. Rapporten henvender sig til folk med basal kendskab til matematisk modellering af mekaniske og hydrauliske systemer, samt stabilitetsanalyse af lineære modeller. Den vedlagte CD indeholder de udarbejdede MatLab filer, LabView program, Simulink filer, Maple filer, SolidWorks tegninger, forsøgsdata, datablade og rapporten i pdf format. Indholdsfortegnelse 1 Abstract 1 2 Nomenklatur 7 3 Indledning 9 3.1 Systembeskrivelse........................ 9 3.1.1 Det mekaniske system.................. 10 3.1.2 Det hydrauliske system.................. 10 3.2 Opgaveanalyse.......................... 12 3.3 Kravspecifikation......................... 13 3.4 Delmål.............................. 14 4 Mekanik 17 3

4 Indholdsfortegnelse 4.1 Kinematisk analyse........................ 17 4.1.1 Navngivning........................ 18 4.1.2 Kinematiske positionsbindinger............. 19 4.1.3 Kinematiske hastighedsbindinger............ 22 4.1.4 Kinematiske accelerationsbindinger........... 23 4.2 Kinetisk analyse......................... 25 4.2.1 Gravitationelt bidrag................... 28 4.2.2 Hastighedsbidrag..................... 29 4.2.3 Accelerationsbidrag.................... 29 4.2.4 Løsning af de kinematiske ligninger........... 31 4.3 Statisk spændingsanalyse.................... 37 4.3.1 Snitkræfter og snitmomenter.............. 38 4.3.2 Beregning af spændinger i kranarmen......... 41 4.3.3 FEM analyse....................... 44 4.4 Verificering af spændingsanalyse................ 46 5 Hydraulik 47 5.1 Opbygning af den hydrauliske model.............. 47 5.1.1 Modellens komponenter................. 48 5.1.2 PVG en som en ideel flowgiver.............. 49 5.1.3 Opbygning af modellen.................. 50 5.2 Blændeareal i PVG........................ 58 5.3 Coulombfriktion i cylinder.................... 60 5.4 Over-center-ventilen....................... 62 5.4.1 Kraftanalyse........................ 64 5.4.2 Blænder og trykopbygning................ 68 5.4.3 Opstilling af model.................... 70 5.4.4 Den samlede model.................... 73 5.4.5 Konstanter i modellen.................. 73 5.5 Verificering af ulineær simuleringsmodel............ 76 5.6 Verificering af Gravitationsled.................. 78 6 Stabilitetsanalyse 81 6.1 Den lineære model........................ 81 6.1.1 Metoden.......................... 82 6.1.2 Bestemmelse af arbejdspunktet............. 91 6.1.3 Overføringsfunktionen.................. 91 6.2 Polplots.............................. 92 6.3 Bodeplots............................. 93 6.4 Tidsrespons............................ 95 6.5 Stabilitetsanalyse af den lineariserede model.......... 96

INDHOLDSFORTEGNELSE 5 6.5.1 Variation af V 10...................... 98 6.5.2 Variation af V 20...................... 99 6.5.3 Variation af V 30...................... 100 6.5.4 Variation af P R...................... 102 6.5.5 Variation af CR...................... 104 6.5.6 Variation af k fj...................... 105 6.5.7 Forbedringsforslag.................... 106 6.5.8 Overholdelse af kravspecifikationer........... 109 7 Konklusion 113 I Appendiks 119 A Mekanik 121 A.1 Jacobi-matricen.......................... 121 A.2 Krantegninger........................... 122 B Eksperimentelt arbejde 123 B.1 Dataopsamling.......................... 124 C Lineær model 129 C.1 Reducering af blokdiagram.................... 129 D Konstanter og målte værdier 135 D.1 Hydrauliske konstanter...................... 136 II Bilag 137 A Scout 55 139

Kapitel 2 Nomenklatur ˆ Kilder skrives som [1], som i dette tilfælde henviser til kilde nummer 1 i litteraturlisten i slutningen af rapporten. ˆ Der er gennemgående anvendt SI enheder. På akserne i koordinatsystemer, skrives enheder i firkantede parenteser /[], f.eks. I/[A]. ˆ Vektorer skrives som: a. ˆ Enhedsvektorer skrives med ˆ således at en enhedsvekor der peger i y-aksens retning angives med ŷ ˆ Den tidsafledte og dobbelttidsafledte af vektorer og skalarer beskrives ved Newton-notation, f.eks skrives den dobbelttidsafledte af r skrives som: r. ˆ Prikprodukt skrives som den ene vektor transponeret ganget med den anden uden markeringer imellem, f.eks. a T b = c. ˆ Matricer betegnes med fede blokbogstaver som eksempelvis A. 7

Kapitel 3 Indledning Temaet for dette semester lyder: Analyse og syntese af fluid-mekanisk system For at opnå bedre forståelse for funktionen af hydrauliske systemer arbejdes der med en kran der opereres v.h.a. en hydraulisk cylinder. Denne kran er forsynet med en over-center-ventil (OCV) og betjenes via en proportional retningsventil (PVG). Ved afprøvning af systemet observeres det at kranen er meget ustabil når den sænkes, mens den, når den hæves, kører pænt. Det at kranarmen kører pænt opad, men ikke nedad, peger på at stabiliseringsproblemet ligger i OCV en, da kranarmen under hævning ikke gør brug af OCV en, men istedet en kontraventil indbygget i OCV en. Denne rapports formål er at analysere kranen for at identificere det nøjagtige problem og derigennem komme med et forslag til en forbedring til, eller i bedste fald en løsning på kranens stabilitetsproblem. 3.1 Systembeskrivelse Systemet der bliver betragtet i denne rapport er en såkaldt pantograf kran der er aktueret af et hydraulisk system. I det følgende vil denne bliver præsenteret ved først at beskrive det mekaniske system, efterfulgt af det hydrauliske system, der samlet udgør kranen. 9

10 3 Indledning 3.1.1 Det mekaniske system Mekanisk set udgøres kranen af 4 legemer, hvor en er fæstnet til stel i et punkt vha. et hængsel. De andre tre stålelementer er alle fæstnet til denne bjælke via hængslede led og den ene af disse bjælker er samtidigt målet for den hydraliske aktuation. En tegning af det samlede mekaniske system er præsenteret i figur 3.1 Stempel Figur 3.1: Den mekaniske del af kranen. Gearingsforholdet mellem kranarmens bevægelse og stemplets bevægelse er dimensioneret til at være ca. 8:1. 3.1.2 Det hydrauliske system Hovedkomponenterne i dette system er: en cylinder, en PVG og en OCV. En eldreven hydraulikpumpe leverer tryk og olieflow til systemet. På figur 3.2 ses hvordan systemet er opbygget og i det efterfølgende vil systemets komponenter blive beskrevet. Overtryksventilen er placeret mellem pumpen og PVG en og implementeret i systemet som en sikkerhedtforanstaltning. I tilfælde af at trykket mellem pumpen og PVG en bliver for stort vil denne ventil åbne og lukke olien tilbage til tanken. PVG en styrer hvorvidt olien løber til cylinderens øverste eller nederste kammer. Samtidigt med at ventilen sender olie til det ene kammer kan olien fra

3.1 Systembeskrivelse 11 Cylinderens last OCV Ventil PVG 32 Flowmåler Overtryksventil Trykmåler Figur 3.2: Model af det hydrauliske system der er anvendt i den, i rapporten beskrevne kran. det andet kammer løbe igennem ventilen tilbage til tanken. Det er muligt at styre ventilen med et håndtag eller ved hjælp af en elektrisk aktuator. PVG en er af typen PVG32, fremstillet af Sauer-Danfoss. Datablad er vedlagt på CD. OCV en sidder tæt på cylinderens nedre kammer. Funktion af denne er, at at holde kranen i en given position hvis en lækage skulle opstå i systemet. En OCV kaldes derfor ofte en lastholde ventil. OCV en i dette system er produceret af Oil Control og er af typen VBSO-SE-NBA og har et pilotforhold på 2:1. Datablad er vedlagt på CD. Cylinderen er aktuatoren der forbinder det hydrauliske system med det mekaniske system, og driver dette. Cylinderen er produceret af firmaet LJM og er af typen 3120529. Datablad er vedlagt på CD. Tryk og flow målere er installeret i systemt. Disse anvendes til at måle tryk og flow der kan anvendes til at analysere systemets dynamik. De flow målere der er installeret, er produceret af Parker Fluid Connectors og kan registrere flow fra -60 til +60 liter pr. minut. Trykmålerne er af typen MBS 32, produceret af Danfoss og kan måle relativt tryk, der varierer fra 0 til 400bar. Datablad er vedlagt på CD.

12 3 Indledning 3.2 Opgaveanalyse For at kunne opstille en endelig problemformulering vil den stillede opgave blive analyseret i det følgende afsnit. At kranens ustabilitet fremkommer ved sænkning af kranen peger mod, at selve problemet ligger i OCV en da denne, alene, er aktiv i netop sænkningssituationen. Dette betyder derfor også at arbejdet i rapporten vil fokusere på at analysere problemstillingen omkring anvendelsen af OCV en som lastholdeventil. Det er nødvendigt med en sikkerhedsforanstaltning for at forhindre at kranen vil falde ukontrollabelt ned under fremkomst af en eventuel lækage og det er netop denne funktion som OCV en opfylder. Det er derfor nødvendigt at gøre en af to ting; enten at modificere systemet således at OCV ens naturlige ustabilitet ikke har så stor effekt vha. et reguleringsteknisk indgreb eller ved at anvende en anden form for lastholde ventil som opfylder samme formål som OCV en, uden at gøre det samlede system ustabilt. Det vil være fordelagtigt hvis det er muligt med en simpel modificering af det hydrauliske system at kunne gøre kranen stabil og det vil derfor være interessant hvis OCV en kunne bibeholdes i og med, at den er en udbredt måde at løse problemet med at holde lasten under lækage. Derfor tilstræbes det at bibeholde OCV en i systemet og fremkomme med et forslag til en løsning hvori OCV en stadig vil være en komponent i det hydrauliske system. Dette leder frem til en endelig formulering af problemet der vil bliver behandlet i denne rapport: Hvordan kan sænkningen af en kran stabiliseres når der som krav er, at OCV en stadig skal være en del af det hydrauliske system? For at kunne svare på dette spørgsmål er det nødvendigt, at udføre en række analyser som dækker: ˆ Modeldannelse Mekanisk Hydraulisk ˆ Valg af kritisk arbejdspunkt ˆ Linearisering ˆ Stabilitetsanalyse

3.3 Kravspecifikation 13 3.3 Kravspecifikation I arbejdet med, den i rapporten behandlede kran, ønskes visse krav opfyldt for at kranen kan anvendes til praktiske formål. I dette afsnit vil disse krav blive opstillet. Ved aktuation af kranen ønskes en hurtig respons fra det mekaniske system og ved at betragte det samlede system, bestående af det hydrauliskeog mekaniske system som et reguleringssystem er det muligt at opstille en række kriterier som systemet skal overholde. Overordnet set kan et reguleringssystem bestå af en kombination af første- og anden ordenssystemer. Et 2. ordenssystem har i modsætning til et 1. ordenssystem et oversving i forhold til det ønskede output, se figur 3.3. Desuden ønskes begreber som stigtid, peaktid, indsvingningstid og fejlkriterie defineret. Alle disse begreber er vist i figur 3.3. Oversving 2. ordens respons Fejlkriterie 1. ordens respons Stigtid Peaktid Indsvingningstid Figur 3.3: Responskurver for et 1. ordens- og et 2. ordenssystem, med de forskellige kravsvariable tegnet ind. Værdierne som tilstræbes for de ovennævnte variable, er sat til:

14 3 Indledning ˆ Oversvinget på hastigheden af stemplet må maximalt være 20%. ˆ Stigtiden skal være mindre end 0,2s for stemplets hastighed. ˆ Indsvingsningstiden skal være 0,6s for stemplets hastighed til 5% præcision. ˆ Desuden er det et krav at systemet er stabilt. 3.4 Delmål For at imødekomme de krav der er blevet opstillet i det ovenstående er der en række delopgaver, der skal løses. I det følgende vil disse delmål blive defineret og beskrevet kort. CAD-tegning af de mekaniske komponenter i systemet Kranen optegnes i Solid Works, for at identificere massen af de enkelte dele kranen er opbygget af, samt for at finde kranens samlede massemidtpunkt ved forskellige positioner af kranarmen. Der vil desuden blive udarbejdet en detaljeret tegning af OCV en. Computermodel For at kunne analysere systemet, konstrueres en komplet computermodel af det mekaniske system. Denne består af to hovedelementer; den kinematiske analyse og den kinetiske analyse. Kinematisk analyse Den kinematiske analyse består af en analyse af positionen, hastigheden og accelerationen af kranen. På baggrund af disse analyser er det muligt at forudsige hvordan kranens placering ændres med stemplets stilling. Ved hjælp af dette bliver det muligt at udarbejde et udtryk der samlet beskriver hvordan kranens massemidtpunkt flytter sig som funktion af stemplets placering.

3.4 Delmål 15 Resultaterne fra disse analyser bruges blandt andet til at finde den placering af cylinderen hvor kranen bliver hårdest belastet, men primært som input til den kinetiske analyse. Kinetisk analyse Der udarbejdes desuden en kinetisk analyse for, at finde de kræfter der påvirker konstruktionen. Resultaterne fra analysen anvendes senere til at finde kranens mest kritiske placering. Det er udfra denne placering, at de følgende analyser tager deres udgangspunkt. U-lineær og lineær model Udover den mekaniske model, udarbejdes en hydraulisk model, der som udgangspunkt er u-lineær. Denne sættes sammen med den mekaniske model. Ved hjælp af denne samlede model, er det muligt at simulere det samlede system for alle stemplets positioner, og dermed identificere eventuelle kritiske punkter. Når de kritiske punkter er fundet fra den u-lineære model, lineariseres systemet i det fundne kritiske arbejdspunkt. Herefter kan reguleringsteorien anvendes på den lineære model for at analysere det lineariserede systems stabilitet og derigennem forsøge at stabilisere det reelle system. Stabilitetsanalyse Ud fra den lineære model, udarbejdes en stabilitetsanalyse. Ved hjælp af denne, kan en forventet effekt, i forhold til stabilitet, findes. Der vil blive udført to analyser; rodkurveanalyse og Bodeplots.

Kapitel 4 Mekanik Indhold 3.1 Systembeskrivelse..... 9 3.1.1 Det mekaniske system........ 10 3.1.2 Det hydrauliske system....... 10 3.2 Opgaveanalyse....... 12 3.3 Kravspecifikation..... 13 3.4 Delmål........... 14 4.1 Kinematisk analyse Formålet med dette afsnit, er at gennemføre en bestemmelse af den kraft, F cyl, det hydrauliske system, skal modsvare, for at kranens stempel kan aktueres og kranen derved kan løfte en given last. 17

18 4 Mekanik Helt generelt, kan kraften, der virker på kranens cylinder, fra lasten og kranens egenmasse, beskrives ved en vektorfunktion på formen: ( ) ẏ F cyl = M I (y) y + G(y)(ŷ) + H(y)ẏ 2 (4.1) y hvor y er stemplets position. Fremgangsmåden for at bestemme de forskellige komponenter af cylinderkraften, beskrives i det følgende. Første skridt, er at fastsætte en konvention for navne til de forskellige elementer af kranen. Dette efterfølges af en udarbejdelse af en kinematisk analyse af kranen. Endelig afsluttes afsnittet med en teoretisk- og en praktisk metode til bestemmelse af cylinderkraftens forskellige komponenter. 4.1.1 Navngivning Ved hjælp af CAD-systemet SolidWorks er kranen blevet modelleret. I bilag A.2 er der vedlagt en A3-tegning af hele kranen, med navngivningen af de forskellige legemer og knudepunkter. Fremgangsmåden for navngivningen er, at de forskellige legemer i systemet er nummereret fra 1 til 4. Knudepunkter er angivet med de græske bogstaver α, β, γ og δ. F.eks. er den bagerste vertikale støtte blevet tildelt nummer 1 og det knudepunkt, hvori støtte 1 er hængslet, benævnt med α. På A3-tegningen er det globale- og de lokale koordinatsystemer tegnet ind. Det globale koordinatsystem ligger placeret i knudepunkt α og de lokale koordinatsystemer er placeret i de forskellige legemers massemidtpunkter. På Figur 4.1 er der udover de forskellige koordinatsystemer, indtegnet en række vektorer. De forskellige indekser på vektorerne refererer til hvor vektoren går fra og til og et mærke ( ) indikerer, at vektorerne er angivet i lokale koordinater, i koordinatsystemet, hørende til det legemenummer, der står i indekset. Betragtes f.eks. vektoren, r CM3, peger denne på Center of Mass på legeme 3, i det globale koordinatsystem. Dvs. på origo i legeme 3 s lokale koordinatsystem, hvilket også er vist på figur 4.1. Tilsvarende peger vektor r 3δ fra legeme 3 s massemidtpunkt, på knudepunkt δ, i legeme 3 s lokale koordinatsystem. Der vil undervejs være behov for at transformere en vektors koordinater fra lokale til globale koordinater. Dette gøres vha. den todimensionelle transformationsmatrice [4]. Hvert legeme og dermed også hvert lokalt koordinatsystem, er roteret med en vinkel til det globale koordinatsystem. F.eks. er

4.1 Kinematisk analyse 19 ϕ 1 CM1 CM 3 α ε r r CM 3 CM 4 r r CM 3 r r ' 4δ δ r r ' 2 δ Figur 4.1: Eksempel på kinematiske bindinger. vinklen ϕ 1, for legeme 1, vist på figur 4.1. Dermed har de også hver sin rotationsmatrice,der benævnes A i, hvor indekset refererer til hvilket legeme der er tale om. Transformationsmatricen for det i te legeme, er vist i ligning 4.2 [4]. A i = [ cos(ϕi ) ] sin(ϕ i ) sin(ϕ i ) cos(ϕ i ) (4.2) 4.1.2 Kinematiske positionsbindinger For at kunne gennemføre en kinetisk analyse af kranen er det nødvendigt, at kunne beskrive positionen af et givet punkt på konstruktionen. Disse ønskes

20 4 Mekanik beskrevet i forhold til det globale koordinatsystem, som funktion af cylinderens position. For at opnå dette er der blevet opstillet en række ligninger for de kinematiske bindinger mellem de forskellige legemer. Disse bindinger er vist i tabel 4.1. Kolonnen med bindingerne angiver hvilke legemer der bindes til hinanden. F.eks. referere 2 til 3 i ligning nummer 3, til at denne binder legeme 2 med legeme 3. Nr. Ligning Binding 1 r CM1 + A 1 r 1α = 0 1 til stel 2 r CM1 + A 1 r 1β A 2 r 2β r CM2 = 0 1 til 2 3 r CM2 + A 2 r 2γ A 3 r 3γ r CM3 = 0 2 til 3 4 r CM3 + A 3 r 3δ A 4 r 4δ r CM4 = 0 3 til 4 5 r CM4 + A 4 r 4ɛ A 1 r 1ɛ r CM1 = 0 4 til 1 6 r CM4,x + (A 4 r 4δ ) x r Start,x = 0 Translational joint 7 r CM3,y + (A 3 r 3δ ) y r Start,y = y(t) Driver Tabel 4.1: Kinematiske bindinger mellem de forskellige legemer. r Start er konstant og sammenfaldende med knudepunktet, δ, når stemplet er i sin bundposition. Ud fra venstresiden af ligningerne i tabel 4.1, kan positionsbindingsvektoren Φ p opskrives: Φ p = r CM1 + A 1 r 1α r CM1 + A 1 r 1β A 2 r 2β r CM2 r CM2 + A 2 r 2γ A 3 r 3γ r CM3 r CM3 + A 3 r 3δ A 4 r 4δ r CM4 r CM4 + A 4 r 4ɛ A 1 r 1ɛ r CM1 r CM4,x + (A 4 r 4δ ) x r Start,x r CM3,y + (A 3 r 3δ ) y r Start,y (4.3) Fremgangsmåden for at opstille disse ligninger, er baseret på en systematisk metode, fremsagt af Parvis E. Nikravesh [4]. Ifølge metoden, startes med opstillingen af en ligning for knudepunkterne mellem stel og de legemer der via et sådant knudepunkt, er kædet sammen med stellet. I specialtilfældet med den i denne rapport beskrevne kran, er det kun legeme 1, der er forbundet til stellet via knudepunkt α. Dernæst bindes de forskellige legemer til hinanden via deres fælles knudepunkter. I praksis foregår det ved at knudepunktets globale koordinater udtrykkes ud fra de sammensluttede legemers lokale koordinatsystemer og dernæst omregnes til globale koordinater. De kinematiske ligninger for en hængslet binding mellem stel og et legeme kan ved et smart

4.1 Kinematisk analyse 21 valg af koordinatsystemer (jf. figur 4.2), opstilles relativt simpelt ved at beskrive knudepunktet ( r 0α = 0) i globale koordinater, fratrukket det samme knudepunkt i lokale koordinater, omregnet til globale koordinater, dvs.: hvilket fører til ligning 1 i tabel 4.1. 0 ( r CM1 + A 1 r 1α) = 0 (4.4) x 1 x 1 y 1 y 1 y y - r CM1 - r 1 x x Figur 4.2: Kinematisk binding mellem stel og legeme, via hængslet led. Ligningerne 2, til og med 5, er baseret på samme type system, bestående af to legemer, kædet sammen i et hængslet knudepunkt (se figur 4.3). I denne type system, beskrives knudepunktet φ ud fra massemidtpunktet for de to legemer og disse trækkes fra hinden for at få 0. Den kinematiske ligning, bliver da: ( ) ( ) rcmi + A i r iφ rcmj + A j r jφ = 0 (4.5) Løsningerne til de kinematiske bindingsligninger i tabel 4.1 anvendes i den kinetiske analyse af kranen (se afsnit 4.2).

22 4 Mekanik φ yi' - riφ xi' - rjφ yj xj i y rcmi - - rcmj j x Figur 4.3: To legemer, hængslet sammen i et knudepunkt. 4.1.3 Kinematiske hastighedsbindinger I forbindelse med bestemmelsen af Coriolisbidraget, H(y), i ligning 4.1, er det nødvendigt at kende hastighederne af massemidtpunkterne af kranens forskellige legemer, samt systemets vinkelhastigheder. Fremgangsmåden for at bestemme disse, tager sit udgangspunkt i positionsbindingsligningerne i tabel 4.1, samt løsningerne til disse. Første skridt, er at opstille et udtryk for hastighedsbindingerne i systemet. Dette sker i praksis ved at bestemme den tidsafledede af positionsbindingsligningerne Φ p. Under denne differentiation er det praktisk at forudbestemme den tidsafledede af transformationsmatricen A i (se ligning 4.2). Den afledte af transformationsmatricen er vist i ligning 4.6. Her introduceres en ny matrice kaldet B i hvor i henviser til det legeme der er tale om. [ ] sin(ϕi ) cos(ϕ Ȧ i = ϕ i ) i ϕ cos(ϕ i ) sin(ϕ i ) i B i (4.6) Herved kan hastighedsbindingerne opskrives kompakt som vist i tabel 4.2. Heraf fremgår det, at hastighedsbindingsligningerne er lineære i hastigheder og vinkelhastigheder, hvilket betyder at disse kan løses vha. lineær algebra, som beskrevet i afsnit 4.2.4. Ud fra venstresiden af ligningerne i tabel 4.2, kan hastighedsbindingsvektoren Φ p opskrives:

4.1 Kinematisk analyse 23 Nr. Ligning 1 rcm1 + ϕ 1 B 1 r 1α = 0 2 rcm1 + ϕ 1 B 1 r 1β r CM2 ϕ 2 B 2 r 2β = 0 3 rcm2 + ϕ 2 B 2 r 2γ r CM3 ϕ 3 B 3 r 3γ = 0 4 rcm3 + ϕ 3 B 3 r 3δ r CM4 ϕ 4 B 4 r 4δ = 0 5 rcm4 + ϕ 4 B 4 r 4ɛ r CM1 ϕ 1 B 1 r 1ɛ = 0 6 rcm4,x + ( ϕ 4 B 4 r 4δ ) x = 0 7 rcm3,y + ( ϕ 3 B 3 r 4δ ) y = ẏ(t) Tabel 4.2: Hastigheds bindinger mellem de forskellige legemer. Φ p = r CM1 + ϕ 1 B 1 r 1α r CM1 + ϕ 1 B 1 r 1β r CM2 ϕ 2 B 2 r 2β r CM2 + ϕ 2 B 2 r 2γ r CM3 ϕ 3 B 3 r 3γ r CM3 + ϕ 3 B 3 r 3δ r CM4 ϕ 4 B 4 r 4δ r CM4 + ϕ 4 B 4 r 4ɛ r CM1 ϕ 1 B 1 r 1ɛ r CM4,x + ( ϕ 4 B 4 r 4δ ) x r CM3,y + ( ϕ 3 B 3 r 4δ ) y (4.7) På samme måde som de kinematiske positionsbindinger beskriver legemernes position i forhold til hinanden, beskriver hastighedsbindingerne legemernes hastigheder i forhold til det globale koordinatsystem. Hastighedsbindingerne beskriver hastighederne af de forskellige legemer i en given driftssituation. Da hastigheder giver anledning til Coriolis-kræfter er det essentielt, at beskrive legemernes hastigheder for, at kunne gennemføre en fyldestgørende kraftanalyse af kranen. 4.1.4 Kinematiske accelerationsbindinger Med henblik på at kunne udføre en komplet kraftanalyse er der også behov for at beskrive legemernes accelerationer og vinkelaccelerationer. Disse kan bestemmes ud fra accelerationsbindingerne, der fremkommer som den tidsafledede af hastighedsbindingerne. I forbindelse med denne differentiation er det praktisk at bestemme den tidsafledede af B i. Dette resultat er præsenteret i ligning 4.8. Herudfra ses, at Ḃi kan beskrives ud fra A i

24 4 Mekanik Ḃ i = ϕ 2 i [ ] cos(ϕi ) sin(ϕ i ) = ϕ 2 i A sin(ϕ i ) cos(ϕ i ) i (4.8) De fremkomne accelerationsbindinger er vist på kompakt form i tabel 4.3. Nr. Ligning 1 rcm1 + ϕ 1 B 1 r 1α ϕ 2 1A 1 r 1α = 0 2 rcm1 + ϕ 1 B 1 r 1β ϕ2 1A 1 r 1β r CM2 ϕ 2 B 2 r 2β + ϕ2 2A 2 r 2β = 0 3 rcm2 + ϕ 2 B 2 r 2γ ϕ 2 2A 2 r 2γ r CM3 ϕ 3 B 3 r 3γ + ϕ 2 3A 3 r 3γ = 0 4 rcm3 + ϕ 3 B 3 r 3δ ϕ2 3A 3 r 3δ r CM4 ϕ 4 B 4 r 4δ + ϕ2 4A 4 r 4δ = 0 5 rcm4 + ϕ 4 B 4 r 4ɛ ϕ 2 4A 4 r 4ɛ r CM1 ϕ 1 B 1 r 1ɛ + ϕ 2 1A 1 r 1ɛ = 0 6 rcm4,x + ( ϕ 4 B 4 r 4δ ϕ2 4A 4 r 4δ ) x = 0 7 rcm3,y + ( ϕ 3 B 3 r 3δ ϕ2 3A 3 r 3δ ) y = ÿ(t) Tabel 4.3: Accelerations bindinger mellem de forskellige legemer. Ud fra venstresiden af ligningerne i tabel 4.3, kan accelerationsbindingsvektoren Φp opskrives: Φ p = r CM1 + ϕ 1 B 1 r 1α ϕ 2 1A 1 r 1α r CM1 + ϕ 1 B 1 r 1β ϕ2 1A 1 r 1β r CM2 ϕ 2 B 2 r 2β + ϕ2 2A 2 r 2β r CM2 + ϕ 2 B 2 r 2γ ϕ 2 2A 2 r 2γ r CM3 ϕ 3 B 3 r 3γ + ϕ 2 3A 3 r 3γ r CM3 + ϕ 3 B 3 r 3δ ϕ2 3A 3 r 3δ r CM4 ϕ 4 B 4 r 4δ + ϕ2 4A 4 r 4δ r CM4 + ϕ 4 B 4 r 4ɛ ϕ 2 4A 4 r 4ɛ r CM1 ϕ 1 B 1 r 1ɛ + ϕ 2 1A 1 r 1ɛ r CM4,x + ( ϕ 4 B 4 r 4δ ϕ2 4A 4 r 4δ ) x r CM3,y + ( ϕ 3 B 3 r 3δ ϕ2 3A 3 r 3δ ) y (4.9) Tilsvarende hastighedsbindingerne, indgår de forskellige legemers accelerationer og vinkelaccelerationer kun lineært i alle ligningerne, hvilket gør det muligt at benytte lineær algebra til løsning af accelerationer. Som det fremgår af ligningerne i tabel 4.3, indgår både vinkelhastigheder og vinkler i systemet, hvilket betyder at accelerationerne først kan bestemmes når positioner og hastigheder er fastlagte.

4.2 Kinetisk analyse 25 4.2 Kinetisk analyse I det foregående afsnit blev alle legemers position udregnet som funktion af cylinderens position. Dette blev gjort ud fra de kinetiske bindingsligninger (se tabel 4.1). For at udregne legemernes hastighed og acceleration som funktion af tiden afledes ligningerne i tabel 4.1 med hensyn til tiden. Hastighedsbindingsligningerne er vist i tabel 4.2 og accelerationsbindingsligningerne er præsenteret i tabel 4.3. Positionerne, hastighederne og accelerationerne, der er beregnet ud fra den ovenstående teori, lagres i matricer og benyttes dernæst til at udregne hvor stor en belastning cylindren bliver udsat for gennem en arbejdscyklus (se MatLab-metode til udregninger af possitioner, hastigheder og accelerationer i afsnit 4.2.4). Udgangspunktet for kraftanalysen, er kraft- og moment ligevægte. For at simplificere beregningerne, konstrueres et samlet ligningssystem på formen M q = g + g c (4.10) hvor M er en inertimatrice indeholdende masser og inertimomenter af de forskellige legemer, q er en vektor indeholdende vinkelaccelerationer og accelerationer af de forskellige legemers massemidtpunkter. g er en vektor indeholdende de ydre kræfter og -momenter på- og omkring de enkelte legemers massemidtpunkt. g c er en vektor indeholdende reaktionskræfter og -momenter på og omkring de enkelte legemers massemidtpunkt. Vektorerne er på formen: ( r CM1 ) x ( r CM1 ) y q = φ 1 ( r CM2 ) x. g = ( F 1 ) x ( F 1 ) y M y 1 ( F 2 ) x. g c = ( R 1 ) x ( R 1 ) y M r 1 ( R 2 ) x. (4.11) hvor F i referer til den resulterende ydre kraft på-, og M y i er det resulterende ydre moment omkring, det i te legemes massemidtpunkt. Tilsvarende er R i den resulterende reaktionskraft på-, og Mi r er det resulterende reaktionsmoment omkring, det i te legemes massemidtpunkt. Inertimatricen M er på

26 4 Mekanik formen M = m 1 0... 0 0 m 1.. J 1. m 2..... m2 J 2 0. 0... 0.. (4.12) hvor m i er massen og J i er masseinertimomentet hørende til det i te legeme. Reaktionskræfterne g c, i ligning 4.10, kan omskrives til et produkt mellem en matrice Φ T q og en vektor λ [4]: g c = Φ T q λ (4.13) hvor Φ T q er den transponerede Jacobi-matrice, hørende til postionsbindingsvektoren Φ p og λ er en vektor hvis indgange kaldes Lagrange multipliers. Den (i, j) te indgang i Jacobi-matricen Φ q, er defineret som Φ q(i,j) = Φ i q j (4.14) hvor Φ i er den i te bindingsligning i Φ p. Derved kan ligning 4.10 omskrives til M q = g + Φ T q λ (4.15) Baseret på accelerationsbindingsligningerne Φp, der er bestemt i afsnit 4.1.4, findes en lettere tilgang til bestemmelse af Φ q. Denne baserer sig på følgende relation, mellem Φ q og hastighedsbindingsligningerne Φp : Φ p = Φ q q (4.16)

4.2 Kinetisk analyse 27 hvor q er defineret som ( r CM1 ) x ( r CM1 ) y q = φ 1 ( r CM2 ) x. (4.17) Resultatet i ligning 4.16 er eftervist i bilag A.1. Heraf følger envidere, at: Φ p = Φ q q + Φq q (4.18) Herudfra opstilles følgende definition: Φ q q γ (4.19) Heraf kan Φ q bestemmes ved at samle de accelerationsafhængige led, og betragte disse: Φ q q = qp Φ q q (4.20) Dette muliggøres idet systemet er lineært i acceleration q i (se afsnit 4.1.4). Som det fremgår af afsnit 4.2.4, indeholder λ, samtlige reaktionskræfter mellem kranens legemer. Her vises bland andet at den tolvte indgang i λ, benævnt med λ 12, relaterer sig til den vertikale y komponent af cylinderkraften, F cyl. Dvs. F cyl = λ 12 ŷ (4.21) Vektoren g er i dette specialtilfælde, hvor der ikke er nogen ydre momentpåvirkning og kun et gravitationelt kraftbidrag, givet ved 0 m 1 g 0 g = 0 (4.22) m 2 g 0.

28 4 Mekanik Næste skridt i den kinetiske analyse, er at bestemme komponenterne i ligning 4.1. 4.2.1 Gravitationelt bidrag Ved at sætte stempelhastigheden ẏ = 0 og stempelaccelerationen ÿ = 0, reduceres ligning 4.1 til F cyl = G(y)(ŷ) (4.23) Ved at løse ligning 4.15 for λ, med ovenstående betingelser, og betragte λ 12, kan gravitationsbidraget G(y) derved genkendes. Et plot af gravitationsbidraget kan ses på figur 4.4. 12000 10000 8000 G(y) / [N] 6000 4000 2000 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 y / [m] Figur 4.4: Gravitationsbidraget til cylinderkraften, som funktion af stemplets position. Gravitationsbidraget er blevet approksimeret med et 4. grads polynomium. I forbindelse med implementeringen af gravitationsbidraget i den samlede model for kranen, ønskes et udtryk for G(y). Dette er fremkommet ved at approksimere det beregnede gravitationsbidrag med et 4. grads polynimium.

4.2 Kinetisk analyse 29 Herved findes følgende udtryk: G(y) = 19y 4 2, 0 10 2 y 3 + 99y 2 15y + 11 (4.24) 4.2.2 Hastighedsbidrag Bestemmelsen af hastighedsbidraget H(y) ligger i forlængelse af udregningen af gravitationsbidraget. Idet G(y) er bestemt og kun afhænger af stempelpositionen, kan hastigheds biddraget bestemmes ved at løse ligning 4.1 med ẏ 0 og ÿ = 0. Dette medfører at ligning 4.1 reduceres til ) F cyl = G(y)(ŷ) + H(y)ẏ 2 ( ẏ y = λ 12 ŷ (4.25) hvor λ 12 fremkommer ved at løse for λ i ligning 4.15, med ovenstående betingelser. Ved at betragte en stempelvandring fra bund- til topposition, gælder det, at y = ẏŷ ŷ = y, hvorved det stempelhastighedsuafhængige hastighedsbidrag bestemmes ẏ som H(y) = λ 12 G(y) ẏ (4.26) Et plot af hastighedsbidraget kan ses på figur 4.5, sammen med plots af hastighedens bidrag til cylinderkraften ved tre forskellige stempelhastigheder. Lige som gravitationsbidraget, ønskes også et udtryk for hastighedsbidraget i forbindelse med den videre modellering af kranen. Udtrykket er fremkommet ved at approksimere hastighedsbidraget med et 4. grads polynomium. Følgende polynomium fremkommer: H(y) = 4, 2 10 6 y 4 2.5 10 6 y 3 + 3.5 10 5 y 2 + 3.6 10 4 y 7, 0 10 3 (4.27) 4.2.3 Accelerationsbidrag Bestemmelsen af accelerationsbidraget M I (y) også kaldet, den ækvivalente inertimasse på cylinderen, foregår meget lig den måde hvorpå hastighedsbidraget blev bestemt. Endnu engang anvendes at G(y) er kendt. Herved kan den ækvivalente inertimasse bestemmes ved at sætte ẏ = 0 og ÿ 0 i udtryk 4.1. Derved reduceres dette til: F cyl = G(y)(ŷ) + M I (y) y = λ 12 ŷ (4.28)

30 4 Mekanik 2000 2 H(y) / [kg/m] 0-2000 -4000-6000 Coriolis 0.0275[m/s] / [N] 0-2 -4-8000 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 y / [m] -6 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 y / [m] 5 20 Coriolis 0.05[m/s] / [N] 0-5 -10-15 Coriolis 0.1[m/s] / [N] 0-20 -40-60 -20 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 y cyl / [m] -80 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 y cyl / [m] Figur 4.5: Hastighedsbidraget som funktion af stempelpositionen. Øverst t.v. Hastighedsbidraget H(y). Øverst t.h. Hastighedskraftbidraget, H(y)ẏ 2, ved en konstant stempelhastighed på ẏ = 0, 0275m/s. Nederst t.v. Hastighedskraftbidraget ved en stempelhastighed på ẏ = 0, 050m/s. Nederst t.h. Hastighedskraftbidraget ved en stempelhastighed på ẏ = 0, 100m/s. hvor λ 12 fremkommer ved at løse for λ i ligning 4.15, med ovenstående betingelser. Ved at betragte en situation hvor accelerationen er positiv, gælder der at y = ÿŷ, hvorved den accelerationsuafhængige M I kan bestemmes som: M I (y) = λ 12 G(y) ÿ (4.29) Den fremkomne ækvivalente inertimasse er plottet i figur 4.6. Lige som gravitations- og hastighedsbidraget, ønskes et udtryk for den æ- kvivalente inertimasse som funktion af stemplets position. Dette er blevet fundet ved at approksimere inertimassen med et 5. grads polynimium. Herved fremkommer følgende udtryk: M I (y) = 1, 7 10 6 y 5 1, 3 10 6 y 4 + 2, 4 10 5 y 3 + 3, 5 10 4 y 2 1, 4 10 4 y + 2.8 10 3 (4.30)

4.2 Kinetisk analyse 31 8000 7000 6000 5000 M I (y) / [kg] 4000 3000 2000 1000 0 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 y / [m] Figur 4.6: Plot af den ækvivalente inertimasse, virkende fra det mekaniske system på cylinderen, som funktion af stempelpositionen. 4.2.4 Løsning af de kinematiske ligninger I dette afsnit beskrives hvordan de opstillede kinematiske bindingsligninger løses i praksis. Til dette formål, er MatLab blevet anvendt som værktøj til at løse henholdsvis de kinematiske positionsbindingsligninger, hastighedsbindingsligninger og accelerationsbindingsligninger. Kildekoden til det udviklede program, kan findes på den vedlagte CD. I de foregående afsnit, er de tre ovennævnte ligningssystemer blevet opstillet, hver bestående af 12 ligninger med 12 ubekendte. MatLab programmet er blevet konstrueret således, at alle ligningssystemerne løses i samme forløkke. Dette sker ved, at programmet i hvert gennemløb af løkken løser, først positionsligningerne, dernæst hastighedsligningerne og til sidst accelerationsligningerne, for en given stempel position, -hastighed og -acceleration. Årsagen hertil, er at de beregnede positioner, indgår i både hastigheds- og accelerationsligningerne, medens de fremkomne hastigheder indgår i accelerationsligningerne. Af tabel 4.1 fremgår det, at vinklerne gør positionsbindingsligningerne ulineære i positioner, hvorfor disse løses ved hjælp af den såkaldte Newton-Raphson metode. Dette er en løsningsalgoritme, der ved hjælp af små permutationer, løser ulineære ligningssystemer. Den specifikke Newton-Rhapson-algoritme, anvendt i dette projekt, er skrevet af lektor Michael Rygaard Hansen, Institut

32 4 Mekanik for Maskinteknik, AAU. Programmet er opbygget således, at stemplets position varieres før hvert gennemløb af løkken og alle legemers positioner, hastigheder og accelerationer bestemmes herudfra. I programmet gives der som udgangspunkt et kvalificeret gæt på løsningen til ligningerne for en given stempelposition. Dette gæt er blevet valgt til at være stemplets bundposition, hvorved et estimat for de forskellige legemers positioner og vinkler er blevet aflæst ved hjælp af SolidWorks tegningen af kranen (se bilag A.2). Dette gæt anvendes i første programgennemløb, hvorved den nummeriske løsning, hørende til bundpositionen af stemplet, findes. Dette resultat, anvendes i det efterfølgende gennemløb, hvor stemplets position øges med en lille permutation (1/n af den samlede stempelvandring, hvor n = 100 typisk er blevet anvendt). Herudfra bestemmes dernæst de tilhørende positioner og vinkler vha. Newton-Rhapson algoritmen. Dette gentages n gange, svarende til en fuld stempelvandring fra bund- til topposition. Som tidligere nævnt kan hastigheds ligningerne løses ved brug af lineær algebra, hvilket er implementeret som en del af programmet. Ud fra ligning 4.16, ses det at hastighedsbindingerne kan skrives som produktet af en Jacobimatrice og hastighedsvektoren. Den faktiske Jacobi-matrice, gældende for kranen, er givet ved Φ q = 1 0 B 1 r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1α 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 B 1 r 1 0 1β B 2 r 0 0 0 0 0 0 2β 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 B 2 r 1 0 2γ B 3 r 0 0 0 3γ 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 B 3 r 1 0 3δ B 4 r 4δ 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 0 B 1 r 0 0 0 0 0 0 1 0 1ɛ B 4 r 4ɛ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 (4.31) Hastighedsvektoren q er opbygget, som defineret i ligning 4.17, højresiden af ligningssystemet benævnes med γ.

4.2 Kinetisk analyse 33 q = ṙ CM1x ṙ CM1y ϕ 1 ṙ CM2x ṙ CM2y ϕ 2 ṙ CM3x ṙ CM3y ϕ 3 ṙ CM4x ṙ CM4y ϕ 4 0. γ =. 0 ẏ (4.32) Det lineære ligningssystem der ønskes løst, kan derfor opskrives som Φ p = Φ q q = γ (4.33) Tilsvarende hastighederne, kan accelerationerne beskrives som produktet af Jacobi-matricen og accelerationsvektoren (se ligning 4.20). Denne er defineret som: q = d q dt = r CM1x r CM1y ϕ 1 r CM2x r CM2y ϕ 2 r CM3x r CM3y ϕ 3 r CM4x r CM4y ϕ 4 (4.34) Det ligningssystem der ønskes løset for accelerationsvektoren er på samme form som ligning 4.33. Fra accelerationsbindingerne i tabel 4.3 trækkes alt hvad der har med hastigheder at gøre over på højresiden af lighedstegnet så

34 4 Mekanik der kun står accelerationer på venstresiden. Højresiden af dette ligningssystem benævnes γ og er givet ved: γ = ϕ 2 1A 1 r 1α ϕ 2 1A 1 r 1β ϕ2 2A 2 r 2β ϕ 2 2A 2 r 2γ ϕ 2 3A 3 r 3γ ϕ 2 3A 3 r 3δ ϕ2 4A 4 r 4δ ϕ 2 4A 4 r 4ɛ ϕ 2 1A 1 r 1ɛ ( ϕ 2 4A 4 r 4δ ) x ( ϕ 2 3A 3 r 3δ ) y + ÿ (4.35) Det lineære ligningssystem der ønskes løset for accelerationerne er da Φ q q = γ (4.36) Reaktionskræfter Som nævnt i afsnit 4.1.2 anvendes Nikravesh-metoden til den kinematisk analyse af kranen. Et biprodukt heraf er, at reaktionskræfterne i kranens knudepunkter, kan bestemmes ud fra ligning 4.15, ved at løse med hensyn til λ: λ = (Φ T q ) 1 (M q g) (4.37) Som det vil fremgå af den nedenstående gennemgang af λ, indeholder denne reaktionskræfterne i legemernes knudepunkter. For at få overblik over hvor de, forskellige indgange i λ, virker (dvs. hvilke legemer de virker imellem), er det nødvendigt, at betragte ligning 4.37, hvilket betyder at den transponerede Jakobi-matrice skal kendes. En specifik transponeret Jacobi-matrice for en given driftsposition (her, stempel i topposition), er præsenteret her under. Denne anvendes som et eksempel til at forklare sammenhængen mellem reaktionskræfter R i og Lagrangemultiplier-vektoren λ.

4.2 Kinetisk analyse 35 Φ T q = λ 1 λ 2 λ 3 λ 4 λ 5 λ 6 λ 7 λ 8 λ 9 λ 10 λ 11 λ 12 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0, 50 0, 01 0.49 0, 013 0 0 0 0 0, 38 0, 01 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 54 1, 92 0, 44 1, 57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 0 0 0, 43 0, 01 0, 44 0, 01 0 0 0 0, 01 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0, 04 0, 17 0, 05 0, 17 0, 04 0 Af ligning 4.13 fremgår det, at de resulterende reaktionskræfter og -momenter, g c, er givet ved produktet, Φ q λ. Ud fra dette, er det muligt at lokalisere hvor de forskellige reaktionskræfter virker på de forskellige legemer. Rækkerne i Φ T q repræsenterer legemerne og søjlerne repræsenterer bindingerne mellem de forskellige legemer. For eksempel repræsenterer de tre øverste rækker legeme ét og de to første søjler repræsenterer bindingen mellem legeme 1 og stellet. På figur 4.7 ses et eksempel på hvordan reaktionskræfterne virker på legeme 1. Fremgangsmåden er at første række i Φ T q, repræsenterer kræfterne i x aksens retning på legeme 1. Som det fremgår af Φ T q, er der et 1 tal på den første plads i denne række. Idet søjlerne repræsenterer de forskellige kinematiske bindinger og de to første søjler er bindingen mellem legeme 1 og stel, virker λ 1 i x aksens retning i knudepunkt α, der forbinder legeme 1 med stel. Ligeledes står der 1 i søjle 3 og -1 i søjle 9. Søjle 3 og 4 repræsenterer ligning 2 i tabel 4.1, der er bindingen mellem legeme 1 og 2. Derfor virker λ 3 i den positive x akses retning. Søjle 9 og 10 er bindingen mellem legeme 4 og 1, hvilket betyder at λ 9 virker i den negative x akses retning i knudepunkt, ε, der forbinder legeme 4 med 1. Hermed er der taget højde for alt hvad der står i den første række og dermed for alle reaktionskræfterne i x aksens retning på legeme 1. For at finde kræfterne i y aksens retning på legeme 1, betragtes række to i Φ T q hvor samme fremgangsmåde benyttes, som for x retningen. Række tre repræsenterer de momenter, omkring legemets massemidtpunkt, som reaktionskræfterne giver anledning til. Disse anvendes ikke i analysen af kranen og er derfor ikke vist på figur 4.7. Figurerne 4.7 til 4.10 viser de forskellige legemer og de reaktionskræfter der virker på disse. Målet med kraftanalysen er, at bestemme cylinderkraften F cyl. Denne virker på legeme 3 og kan derfor findes ved at betragte Φ T q. Legeme 3 er repræsen-

36 4 Mekanik 3 10 1 9 2 Figur 4.7: Reaktionskræfter på legeme 1. 4 3 5 6 Figur 4.8: Reaktionskræfter på legeme 2. teret i rækkerne 7 til 9. Da cylinderkraften virker i y aksens retning, er det i række 8, at den skal findes. I tabel 4.1 svarer ligning 7 til bindingen mellem legeme 3 og driveren. Dette er den sidste ligning og det er derfor i søjle 12, i Φ T q, at denne binding er repræsenteret. Det vil sige, at cylinderkraften er givet ved λ 12. Da reaktionskræfterne i alle knudepunkterne er identificeret er det muligt, at lave spændingsanalyser af alle legemerne i kranen. Dette er anvendt i næste afsnit.

4.3 Statisk spændingsanalyse 37 7 8 6 5 12 Figur 4.9: Reaktionskræfter på legeme 3. 9 10 8 11 7 Figur 4.10: Reaktionskræfter på legeme 4. 4.3 Statisk spændingsanalyse I dette afsnit udføres to spændingsanalyser på kranens legeme 2. Fremgangsmåden i den første analyse er at beregne snitkræfter og snitmomenter og udfra disse beregne spændingerne, den anden er en finite element analyse. Legeme 2 antages, at være det legeme der udsættes for de største spændingsvidder og er derfor mål for analysen. I det følgende vil ligninger til beregning af snitkræfter og momenter blive opstillet for hele armens længde. Der vil kun blive beregnet spændinger i ét tværsnit, idet der kun er monteret strain gauges et sted på armen og det derfor kun er muligt at sammenligne de eksperimentielle data i netop dette punkt.

38 4 Mekanik 4.3.1 Snitkræfter og snitmomenter Figur 4.11 viser hvor strain gaugene er monteret og hvordan det i de følgende udregninger er antaget, at armen er understøttet. S 1 og S 2 på figuren angiver hvordan bjælken er snittet med henblik på at beregne snitkræfter og -momenter gennem hele bjælken. Figur 4.11: Forsimpling af kranarmen. I det samlede massemidtpunkt for armen og lodderne virker kraften P, som svarer til tyngdeaccelerationens virkning på armens og loddernes samlede masse. Som tidligere nævnt betragtes der kun spændinger i et snit på armen. Dette snit kaldes S 1,4 og er vist på figur 4.11. Interval 1: Figur 4.12 viser et fritlegemediagram for det første betragtede interval hvorom der gælder at længden r s1p : 0 < r s1p < a I dette interval regnes normalkraften, N s1, tværkraften, V s1, og momentet, M s1, i snittet, S 1. Koordinatsystemet på figur 4.12 angiver hvilke retninger der betragtes som positive. Udtrykkene for snitkræfterne og snitmomentet i interval 1 fremkommer ved, at opstille den statiske kraftligevægt for det frie legeme i figur 4.12 som komposanterne af kræfterne samt momentetligevægten. Disse udtryk er vist i ligningerne 4.38 til 4.40. ( Fx = N s1 cos(ϕ 2 ) + V s1 cos ϕ 2 π ) = 0 (4.38) 2 ( Fy = N s1 sin(ϕ 2 ) + V s1 sin ϕ 2 π ) P = 0 (4.39) 2 Ms = M s1 P cos(ϕ 2 )r s1p = 0 (4.40)

4.3 Statisk spændingsanalyse 39 Figur 4.12: Fritlegemediagram for snit 1. Figur 4.13 viser hvordan momentarmen til kraften P findes. Som det fremgår af ligning 4.40 er det moment som P giver anledning til regnet som negativt, idet ϕ 2 altid ligger i enten 1. eller 4. kvadrant og dermed vil cos(ϕ 2 ) altid være positiv og det moment P giver anledning til vil derfor altid være negativt. Figur 4.13: Angivelser af de dele der anvendes til opstilling af snitmomentet Ved at isolere N s1 i ligning 4.38 som vist i ligning 4.41 og herefter indsætte dette udtryk i ligning 4.39 så fremkommer udtrykket i ligning 4.42 hvorefter V s1 isoleres. Ligning 4.43 fremkommer ved at isolere M s1 i ligning 4.40. ) Interval 2: N s1 = V s1 cos ( ϕ 2 π 2 cos(ϕ 2 ) (4.41) V s1 = P cos(ϕ 2 ) cos ( ) ϕ 2 π sin(ϕ2 ) + sin ( ) ϕ 2 2 π cos(ϕ2 ) 2 (4.42) M s1 = P cos(ϕ 2 )r s1p (4.43)

40 4 Mekanik Et fritlegemediagram for interval 2 opstilles som vist i figur 4.14. I dette interval ligger længden r s2p i følgende interval: a < r s2p < (a + b) Figur 4.14: Fritlegemediagram for snit to. Snit 2 indeholder knudepunktet γ og de reaktionskræfter som virker i γ skal derfor regnes med i dette snit. De statiske kraftligevægte og momentligevægten opstilles for interval 2. ( Fx = λ 5 + N s2 cos(ϕ 2 ) + V s2 cos ϕ 2 π ) = 0 (4.44) 2 ( Fy = λ 6 P + N s2 sin(ϕ 2 ) + V s2 sin ϕ 2 π ) = 0 (4.45) 2 Ms = M s2 P cos(ϕ 2 )r s2p + λ 6 cos(ϕ 2 )(r s2p a) +λ 5 sin(ϕ 2 )(r s2p a) = 0 (4.46) Da det kun er muligt at sammenligne beregningerne med data i snittet S 1 så bliver der ikke fundet udtryk for N s2, V s2 og M s2 i interval 2. Figurerne 4.15, 4.16 og 4.17 viser resultaterne fra beregningerne udført i snit S 1,4, hvorom der gælder at: r s1p = 1, 441m Ved at betragte plottene af N s1, V s1 og M s1 i hhv. figur 4.15, 4.16 og 4.17 er det muligt at bestemme retningerne af disse. N s1 er negativ indtil vinklen ϕ 2 > 2π hvorefter N s1 bliver positiv. Dette betyder at N s1 peger modsat af hvad den er antaget til i figur 4.12 indtil ϕ 2 > 2π hvor N s1 vil pege i samme retning. V s1 peger ligeledes i den modsatte retning af det antagede idet figur 4.16 vises som værende negativ i hele det betragtede interval. M s1 virker i samme retning som antaget da denne er positiv i hele det betragtede interval,

4.3 Statisk spændingsanalyse 41 som vist på figur 4.17. 1.85 x 107 1.8 1.75 σ ξ / [Pa] 1.7 1.65 1.6 5.7 5.8 5.9 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 φ 2 / [rad] Figur 4.15: Normalkraften i S 1,4. -1600-1650 -1700 V s1 / [N] -1750-1800 -1850-1900 5.7 5.8 5.9 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 φ / [rad] 2 Figur 4.16: Tværkraften i S 1,4. 4.3.2 Beregning af spændinger i kranarmen Fra momentet og kræfterne i S 1,4, kan spændingerne i dette snit nu beregnes. Figur 4.18 viser kranarmens profil. De spændinger som momentet M s1 giver anledning til kan beregnes med ligning 4.47 [1]. σ ξm = Mχ I κ σ ξms1 = M s1χ I κ (4.47)

42 4 Mekanik 2700 2650 2600 M s1 / [Nm] 2550 2500 2450 2400 2350 5.7 5.8 5.9 6 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 6.6 6.7 φ / [rad] 2 Figur 4.17: Momentet is 1,4. Figur 4.18: Kranarmens profil. Hvor χ er afstanden fra neutralaksen, som i dette tilfælde er κ aksen, til det sted spændingerne ønskes udregnet. M er et moment der virker omkring κ aksen, og er altså M = M s1. Idet momentet, M s1, er et reaktionsmoment anvendes det derfor med modsat fortegn af det der fremgår af figur 4.17. I κ er tværsnittets inertimoment omkring κ aksen og denne er givet ved ligning 4.48 [1]. I κ = b 1h 3 1 12 b 2h 3 2 12 = 11 10 6 m 4 (4.48) Den normalkraft der virker i snittet er N s1 og som med momentet er denne