Repetto Forårets højdepukter
Forårets højdepukter
Smpel Leær Regresso Smpel leær regresso: Mdste kvadraters metode Kovaras og Korrelato
Scatterplot Scatterplot kf Advertsg Epedtures (X ad Sales (Y Et scatterplot vser par (, af oservatoer. I eksemplet er reklameudget og afsætge. Sales 4 8 6 4 I scatter plottet er tlføjet e ret le 3 Advertsg 4 5 Bemærk hvorda par af og har tedes tl at lgge omkrg e ret le. hvorda par af og kke falder præcs på le. hvorda le eskrver hvorda geemst afgæger af.
Flere scatterplot X Y Y Y X X Y Y Y X X X
Smpel Leær Regresso (SLR Smpel ford v ku har é forklarede varael emlg. Leær ford sammehæge mellem og er leær.
Smpel leær regressosmodel Y X β β β d ε ε β + β + ε ε d N(, σ - de afhægge varael. - de uafhægge varael faste - det græske ogstav eta - skærgspukt med -akse - hældgskoeffcet - depedet, detcall dstruted uafhægg, detsk fordelte - det græske ogstav epslo - det eeste stokastske elemet modelle
Smpel leær regresso tegge Modelle er: ε + β d N(, σ β + ε Y E[Y X] β + β X Modelle sger: E(Y X β + β X V(Y X σ Y X ~ N(β + β X, σ Y β ε { } β X X
Edu e tegg Y Y β + β Y ~N(β + β,σ..d. ormalfordelte fejlled 3 4 5 X
Forudsætger for SLR (/3 Der er e leær sammehæg mellem X og Y. Idledede tjek: Scatter plot af (X,Y ser puktere ud tl at lgge lags e le?
Forudsætger for SLR (/3 Værdere af de uafhægge varale X atages at være faste dvs. kke stokastske. Mao. Atages X at være kedt eller målt ude støj / målefejl Idledede tjek: Logsk sas.
Forudsætger for SLR (3/3 Fejledee ε atages være uafhægge og ormalfordelte med mddelværd og varas σ. Idledede tjek: Se efter dlsede prolemer scatter plot af (X,Y.
Eksempel: Reklame udget vs salg Sammehæg mellem det ugetlge reklame-udget og det ugetlg salg? Reklame udget ( Salg ( 4 385 4 5 395 365 3 475 5 44 4 49 4 5 56 4 55 5 48 5 5
Scatterplot SPSS Graphs Chart Bulder Vælg Smple Scatter Placer relevate varale på og aksere. Klk OK
Scatterplot af data SPSS Og hva så?
Estmato Model: β + β + ε ε er..d. N(,σ β, β og σ er modelles parametre ukedte! Estmato af β og β svarer tl at vælge de le, der passer edst tl de oserverede pukter. Estmerede regressos le ˆ + er estmat for β og er estmat for β. Y hat er estmat for E(Y X Spørgsmål: Hvorda estmerer v β og β?
Resdual led e ˆ ( er de (lodrette afstade fra de estmerede le tl puktet (,. Y Det oservered e datapukt Yˆ + X Y $Y e Y ˆ Y. { ( X, Y Y ˆ de forvedtede værd for Y De fttede regressosle gvet X X X
Mdste kvadraters metode V vl fde og så summe af de kvadrede fejl lver mdst mulg. Dvs, v vl mmere SSE er Sum of Squared Errors. Skrevet ud: SSE ˆ + ( e ( Bemærk: Fukto af to varale ( og. e
Mmerg SSE er e fukto af og. SSE V vl fde og så SSE er mdst mulg.
Mmerg udført Defer fukto Q(, SSE. Dvs v skal mmere Q(,. Fremgagsmåde: Fd de to partelle afledte og : Q(, " Q dffeteret mht. - lad som om Sæt partelle afledte lg ul: ( ( Q(, Q(, To lgger med to uekedte: Løs dem! ( Q( (, er e kostat" Q(,
Omskrvg af afledte mht. ( + + Q (, (
Afledte mht. { } ( + + ( ( ( (, ( Q
+ + ( ( To lgger med to uekedte Idsæt ( ( på s plads: ( + (3 Estmat af β! Isolér o (
( ( ( + + + (3 Isoler : c c c ( ( ( Estmat af β
Estmater per hådkraft 4 6 385 485 54 4 4 6 8 5 65 395 565 9875 4 365 335 73 3 9 475 565 45 5 5 44 936 4 6 49 4 96 4 4 764 84 5 5 56 336 8 4 6 55 7565 5 65 48 34 5 5 5 6 55 4 565 5445 595 935
69 394 3. - 565-935 ( ( ( ( 5445( 4 ( 4 69 5445 394 677 97 353.7 4 Estmerede regressos le: ˆ 343.7+ 3.
Samme hstore SPSS Aalze Regresso Lear Placer de afhæge varael ( -varale Depedet. Placer de uafhægge/ forklarede varale ( -varale Idpedet(s. Klk OK.
SPSS output Estmerede regressos lje: ˆ 343.76 + 3.
Regeformler For at gøre lvet ldt lettere vl v ruge følgede forkortelser/regeformler Bemærk: Nok at udrege følgede fem udtrk: ( ( SS ( ( SS ( ( SS ( (
Ldt regeregler Regeregel: Ford: Kosekves: ( ( ( (
Estmateres fordelg Estmatore B svarede tl estmatet er ( ( SS Y Y B SS ( Bemærk at Y ere store, dvs de er stokastske varale, derfor er B også er e stokastsk varael. Estmator: Stokastsk varael. Estmat: Fast tal, dvs. ej stokastsk. Opået ved at dsætte oservatoere estmatore.
Estmatore B s fordelg Hvs de leære regressos model er sad gælder der for estmatore B : Mddelværd: Varas: Fordelg: E( B β V ( B B ~ σ ( N β, σ ( Bemærk: Når SS er stor så er S llle!
Plads tl udregger
Estmatore B s fordelg Estmatore B svarede tl estmatet er Mddelværd Varas Fordelg B Y B Y B ( β B E B V ( ( σ N B (, ~ σ β
Estmato af σ varase for fejledee I foråret estmerede v varase e uafhægg stkprøve ved s ( For smpel leær regresso ruger v Atal frhedsgrader Mus é, da s volverer ét estmat, emlg. s ( ˆ SSE MSE Mea Squared Error MSE Atal frhedsgrader Mus to, da s volverer to estmater, emlg og.
Udregg af SSE ( ( ( ( ( ( ( ( XY Y XY X X XY Y XY X Y SS SS SS SS SS SS SS SS SS SS ( ( ( ˆ + + + Hermed opår v Som desude er e uased estmator for σ. SS SS df SSE s XY Y
Næste gag Kofdestervaller for parametre Test af hpoteser Korrelato