enote 14 1 enote 14 Elementære funktioner I enne enote vil vi els repetere nogle af e basale egenskaber for et uvalg af e (fra gymnasiet) velkente funktioner f (x) af én reel variabel x, og els introucere enkelte nye funktioner, som typisk optræer i mangfolige sammenhænge. De grunlæggene spørgsmål verørene enhver funktion rejer sig typisk om følgene: Hvoran og for hvilke x er funktionen efineret? Hvilke værier af f (x) får vi, når vi bruger funktionen på elementerne x i efinitionsmængen? Er funktionen kontinuert? Hva er ifferentialkvotienten f (x) af funktionen hvis en eksisterer? Som noget nyt vil vi inføre en meget stor klasse af funktioner, epsilon-funktionerne, som betegnes me fællesbetegnelsen ε(x), og som vi gennemgåene vil benytte til at beskrive kontinuitet og ifferentiabilitet også af funktioner af flere variable, som vil blive inført og analyseret i e efterfølgene enoter. Version 20.08.15. 14.1 Definitionsmænge og værimænge Ve beskrivelsen af en reel funktion f (x) anføres els e reelle tal x, hvor funktionen er efineret, og els e værier, som kan fås ve at benytte funktionen på efinitionsmængen. Definitionsmængen kaler vi Dm( f ) og værimængen kaler vi Vm( f ).
enote 14 14.1 DEFINITIONSMÆNGDE OG VÆRDIMÆNGDE 2 Eksempel 14.1 Nogle efinitionsmænger og værimænger Her er efinitonsmænger og tilhørene værimænger for nogle velkente funktioner. f 1 (x) = exp(x), Dm( f 1 ) = R = ], [, Vm( f 1 ) = ]0, [ f 2 (x) = ln(x), Dm( f 2 ) =]0, [, Vm( f 2 ) = R = ], [ f 3 (x) = x, Dm( f 3 ) = [0, [, Vm( f 3 ) = [0, [ f 4 (x) = x 2, Dm( f 4 ) = R = ], [, Vm( f 4 ) = [0, [ f 5 (x) = x 7 + 8x 3 + x 1, Dm( f 5 ) = R = ], [, Vm( f 5 ) = R = ], [ f 6 (x) = exp(ln(x)), Dm( f 6 ) = ]0, [, Vm( f 6 ) = ]0, [ f 7 (x) = sin(1/x), Dm( f 7 ) = ], 0[ ]0, [, Vm( f 7 ) = [ 1, 1] f 8 (x) = x /x, Dm( f 8 ) = ], 0[ ]0, [, Vm( f 8 ) = { 1} {1} (14-1) Figur 14.1: Den velkente eksponentialfunktion e x = exp(x) og en naturlige logaritmefunktion ln(x). De røe cirkler på en negative x-akse og i 0 inikerer, at logaritmefunktionen ikke er efineret i ], 0].
enote 14 14.1 DEFINITIONSMÆNGDE OG VÆRDIMÆNGDE 3 Funktionen f 8 (x) i eksempel 14.1 er efineret u fra x, som betegner en numeriske væri af x, vs. x > 0, for x > 0 x = 0, for x = 0 (14-2) x > 0, for x < 0. Heraf følger efinitionsmænge og værimænge for f 8 (x) irekte. Eksempel 14.2 Tangens Funktionen f (x) = tan(x) = sin(x) cos(x) (14-3) har efinitionsmængen Dm( f ) = R \ A, hvor A betegner e reelle tal x, hvor nævneren cos(x) er 0, vs. Dm( f ) = R \ {x cos(x) = 0} = R \ {(π/2) + p π, hvor p er et helt tal}. (14-4) Værimængen Vm( f ) er alle e reelle tal, se figur 14.2. Figur 14.2: Graferne for funktionerne tan(x) og cot(x).
enote 14 14.1 DEFINITIONSMÆNGDE OG VÆRDIMÆNGDE 4 Opgave 14.3 La g(x) betegne en reciprokke funktion til funktionen tan(x): g(x) = cot(x) = cos(x) sin(x) (14-5) Se figur 14.2. Bestem efinitionsmængen for g(x), og skriv en på samme måe som for tan(x) ovenfor. 14.1.1 Uvielser af efinitionsmængen til hele R En funktion f (x), som ikke er efineret i alle reelle tal, kan kan let uvies til en funktion f (x), som har Dm( f ) = R. Det kan for eksempel gøres ve hjælp af en krøllet parentes som i følgene efinition. Definition 14.4 0-uvielsen Givet en funktion f (x) me Dm( f ) = R. Så efinerer vi 0-uvielsen af f (x) ve f (x) = { f (x), for x Dm( f ) 0, for x R \ Dm( f ). (14-6) Det er klart, at afhængig af anvenelsen kan man plombere og uvie efinitionsmængen for f (x) på mange anre måer en ve at vælge konstanten 0 som væri for en uviee funktion i e punkter, hvor en oprinelige funktion ikke er efineret. Værimængen Vm( f ) for en 0-uviee funktion er naturligvis en oprinelige værimænge for f (x) forenet me værien 0, vs. Vm( f ) = Vm( f ) {0}. Vi vil herefter typisk meminre anet nævnes helt tyeligt antage, at e funktioner, vi betragter, er efineree i hele R (eventuelt ve hjælp af en uvielseskonstruktion) som ovenfor.
enote 14 14.2 EPSILON-FUNKTIONER 5 14.2 Epsilon-funktioner Vi infører en særlig klasse af funktioner, som vi vil benytte til at efinere et vigtige begreb kontinuitet for funktioner. Definition 14.5 Epsilon-funktioner Enhver funktion ε(x), som er efineret i et åbent interval, er ineholer 0, og som antager værien ε(0) = 0 i x = 0 og eruover går imo 0, når x går imo 0, kales en epsilon-funktion af x. Epsilon-funktioner er altså karakteriseree ve egenskaberne ε(0) = 0 og ε(x) 0 for x 0. (14-7) Den siste betingelse er ækvivalent me, at en numeriske væri af ε(x) kan gøres så lille som ønsket ve blot at vælge en numeriske væri af x tilstrækkelig lille. Helt præcis betyer betingelsen: For ethvert helt tal k > 0 fines er et helt tal K > 0 såan, at ε(x) < 1/k for alle x me x < 1/K. Mængen af epsilon-funktioner er meget stor, som næste eksempel viser. Eksempel 14.6 Epsilon-funktioner Her er nogle simple eksempler på epsilon-funktioner: ε 1 (x) = x ε 2 (x) = x ε 3 (x) = ln(1 + x) ε 4 (x) = sin(x). (14-8) Egenskaben at være en epsilon-funktion er ret stabil: Prouktet af en epsilonfunktion me en vilkårlig anen funktion, er blot er begrænset, er også en epsilon-funktion. Summen og prouktet af to epsilon-funktioner er igen epsilon-funktioner. Den numeriske væri af en epsilon-funktion er en epsilonfunktion. Funktioner, er er 0 anre steer en i x = 0, kan også give anlening til epsilonfunktioner: Hvis en funktion g(x) har egenskaberne g(x 0 ) = 0 og g(x) 0 for x x 0, så er g(x) en epsilon-funktion af x x 0, vs. vi kan skrive g(x) = ε g (x x 0 ).
enote 14 14.3 KONTINUERTE FUNKTIONER 6 Opgave 14.7 Vis, at 0-uvielsen f 8 (x) af funktionen f 8 (x) = x /x ikke er en epsilon-funktion. Vink: Hvis vi vælger k = 10, så fines er helt klart ikke nogen væri af K såan, at f 8 (x) = x /x = 1 < 1 10, for alle x me x < 1 K. (14-9) Tegn grafen for f 8 (x). Den kan ikke tegnes uen at løfte blyanten fra papiret! Opgave 14.8 Vis, at 0-uvielsen af funktionen f (x) = sin(1/x) ikke er en epsilon-funktion. 14.3 Kontinuerte funktioner Vi kan nu formulere kontinuitetsbegrebet ve hjælp af epsilon-funktioner. Definition 14.9 Kontinuitet En funktion f (x) er kontinuert i x 0, hvis er eksisterer en epsilon-funktion ε f (x x 0 ) sålees, at følgene gæler i et åbent interval, er ineholer x 0 : f (x) = f (x 0 ) + ε f (x x 0 ). (14-10) Hvis f (x) er kontinuert i alle x 0 i et givet åbent interval i Dm( f ), så siger vi, at f (x) er kontinuert i intervallet. Læg mærke til, at selvom et er klart, hva epsilon-funktionen helt præcist er i efinition 14.9, nemlig f (x) f (x 0 ), så er en eneste egenskab, vi er interesseree i, følgene: ε f (x x 0 ) 0 for x x 0 såan, at f (x) f (x 0 ) for x x 0, altså præcis som vi kener kontinuitets-begrebet fra gymnasiet! Opgave 14.10 Alle epsilon-funktioner er herefter per efinition kontinuerte i x 0 = 0 (me værien 0 i x 0 = 0). Konstruér en epsilon-funktion, som ikke er kontinuert i nogen som helst af punkterne x 0 = 1/n, hvor n = 1, 2, 3, 4,.
enote 14 14.4 DIFFERENTIABLE FUNKTIONER 7 Selvom epsilonfunktionsbegrebet er helt funamentalt for efinitionen af kontinuitet (og, som vi skal se neenfor, for efinitionen af ifferentiabilitet), så behøver epsilonfunktionerne altså ikke selv at være kontinuerte anre steer en netop i x 0 = 0. Opgave 14.11 Vis, at 0-uvielsen f (x) af funktionen f (x) = x 7 /(x 7) ikke er kontinuert i R. 14.4 Differentiable funktioner Definition 14.12 Differentiabilitet En funktion f (x) er ifferentiabel i x 0 Dm( f ), hvis er fines en konstant a og en epsilon-funktion ε f (x x 0 ) såan, at f (x) = f (x 0 ) + a (x x 0 ) + (x x 0 ) ε f (x x 0 ). (14-11) Tallet a kales f (x 0 ), og et er velefineret i en forstan, at hvis f (x) i et hele taget kan fremstilles på ovenståene form (altså hvis f (x) er ifferentiabel i x 0 ), så er er én og kun én væri for a, som gør formlen rigtig. Me enne efinition af ifferentialkvotienten f (x 0 ) af f (x) i x 0 har vi altså f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + (x x 0 ) ε f (x x 0 ). (14-12) Hvis f (x) er ifferentiabel i alle x 0 i et givet åbent interval i Dm( f ), så siger vi naturligvis, at f (x) er ifferentiabel i intervallet. Vi skriver ofte ifferentialkvotienten af f (x) i x på følgene alternative måe: f (x) = f (x). (14-13) x Forklaring 14.13 Differentialkvotienten er entyig Vi vil vise, at er kun fines én væri af a, som kan opfyle (14-11). Antag nemlig omvent, at er er to forskellige værier a 1 og a 2, som opfyler ligningen me
enote 14 14.4 DIFFERENTIABLE FUNKTIONER 8 muligvis to forskellige epsilon-funktioner: f (x) = f (x 0 ) + a 1 (x x 0 ) + (x x 0 ) ε 1 (x x 0 ) f (x) = f (x 0 ) + a 2 (x x 0 ) + (x x 0 ) ε 2 (x x 0 ). (14-14) Ve at trække neerste ligning i (14-14) fra en øverste får vi så 0 = 0 + (a 1 a 2 ) (x x 0 ) + (x x 0 ) (ε 1 (x x 0 ) ε 2 (x x 0 )) (14-15) sålees, at a 1 a 2 = ε 1 (x x 0 ) ε 2 (x x 0 ) (14-16) for alle x = x 0. Det kan klart ikke være rigtigt; højresien går jo imo 0, når x går imo x 0! Antagelsen ovenfor, altså at a 1 = a 2, er erfor forkert. De to konstanter a 1 og a 2 må være ens, og et var et, vi skulle inse. Ovenståene efinition er helt ækvivalent me en, vi kener fra gymnasiet. Hvis vi nemlig først trækker f (x 0 ) fra begge sier af lighestegnet i (14-12) og ernæst ivierer igennem me (x x 0 ), får vi f (x) f (x 0 ) x x 0 = f (x 0 ) + ε f (x x 0 ) f (x 0 ) for x x 0, (14-17) altså en velkente grænseværi for kvotienten mellem funktionstilvæksten f (x) f (x 0 ) og x-tilvæksten x x 0. Grunen til, at vi ikke bruger enne kente efinition af f (x 0 ), er en simple, at for funktioner af flere variable giver kvotient-brøken ikke mening men mere om et i en senere enote. Sætning 14.14 Differentiabel mefører kontinuert Hvis en funktion f (x) er ifferentiabel i x 0, så er f (x) også kontinuert i x 0. Bevis Vi har, at f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ) = f (x 0 ) + [ f (x 0 ) (x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ) ], (14-18) og a hele en kantee parentes på højre sie er en epsilon-funktion af (x x 0 ), så er f (x) kontinuert i x 0.
enote 14 14.4 DIFFERENTIABLE FUNKTIONER 9 Men et omvente gæler ikke nøvenigvis, som følgene eksempel viser. Eksempel 14.15 Kontinuert men ikke ifferentiabel Funktionen f (x) = x er kontinuert men ikke ifferentiabel i x 0 = 0. Funktionen er selv en epsilon-funktion, og f (x) er erfor kontinuert i 0. Men antag nu, at er fines en konstant a og en epsilon-funktion ε f (x x 0 ) såan, at Så skulle er gæle, at f (x) = f (x 0 ) + a (x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ). (14-19) x = 0 + a x + x ε f (x) (14-20) og erme for alle x = 0 at x x = a + ε f (x). (14-21) Det kan ikke lae sig gøre, for så skulle a være båe 1 og 1 og et er umuligt! Derfor er ovenståene antagelse om, at er skulle fines en såan konstant a, altså forkert. f (x) er erfor ikke ifferentiabel. Definition 14.16 Approksimerene førstegraspolynomium Det approksimerene førstegraspolynomium for f (x) me uviklingspunkt x 0 efineres ve P 1,x0 (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ). (14-22) Bemærk, at P 1,x0 (x) virkelig er et førstegraspolynomium i x. Grafen for funktionen P 1,x0 (x) er tangenten til grafen for f (x) igennem punktet (x 0, f (x 0 )), se figur 14.3. Ligningen for tangenten er y = P 1,x0 (x), altså y = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ). Hælningskoefficienten for tangenten er klart α = f (x 0 ), og tangenten skærer y-aksen i punktet (0, f (x 0 ) x 0 f (x 0 )). Vi skal senere fine u af, hvoran vi kan approksimere me polynomier af højere gra n, altså polynomier er så betegnes P n,x0 (x). 14.4.1 Differentiation af et proukt
enote 14 14.4 DIFFERENTIABLE FUNKTIONER 10 Figur 14.3: Konstruktion af tangenten y = P 1,x0 (x) = f (x 0 ) + α (x x 0 ) me hælningskoefficienten α = f (x 0 ) for funktionen f (x). Til højre ses forskellen mellem funktionsværien f (x) og tangentværien P 1,x0 (x). Sætning 14.17 Differentiation af f (x) g(x) Et proukt h(x) = f (x) g(x) af to ifferentiable funktioner f (x) og g(x) er ifferentiabel og ifferentieres på følgene velkente måe: x ( f (x) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x). (14-23) Selv om enne formel formentlig er ganske velkent fra gymnasiet, vil vi kort skitsere et bevis for en igen for at illustrere brugen af epsilon-funktioner. Bevis Da f (x) og g(x) er ifferentiable i x 0, har vi f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 ) (x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ) g(x) = g(x 0 ) + g (x 0 ) (x x 0 ) + (x x 0 )ε g (x x 0 ) (14-24) såan, at prouktet af e to højresier bliver h(x) = f (x) g(x) = f (x 0 ) g(x 0 ) + ( f (x 0 ) g(x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 )) (x x 0 ) + (x x 0 )ε h (x x 0 ), (14-25)
enote 14 14.4 DIFFERENTIABLE FUNKTIONER 11 hvor vi har benyttet (x x 0 )ε h (x x 0 ) som kort skrivemåe for en resterene el af prouktsummen. Enhver af aenerne i enne resterene el inholer faktoren (x x 0 ) 2 eller et proukt af (x x 0 ) me en epsilon-funktion og kan erfor netop skrives på en angivne form. Men så følger prouktformlen ve irekte at aflæse faktoren foran (x x 0 ) i (14-25): h (x 0 ) = f (x 0 ) g(x 0 ) + f (x 0 ) g (x 0 ). (14-26) 14.4.2 Differentiation af en brøk Følgene ifferentiationsregel er ligelees velkent fra gymnasiet: Sætning 14.18 Differentiation af f (x)/g(x) En brøk h(x) = f (x)/g(x) mellem to ifferentiable funktioner f (x) og g(x) er ifferentiabel overalt, hvor g(x) = 0, og ifferentieres på følgene velkente måe: x ( ) f (x) = f (x) g(x) g(x) f (x) g (x) g 2 (x) = f (x) g(x) f (x) g (x) g 2 (x). (14-27) Opgave 14.19 Benyt et epsilonfunktions-argument på samme måe som i ifferentiationsreglen for et proukt til at vise sætning 14.18. 14.4.3 Differentiation af sammensatte funktioner Sætning 14.20 Kæereglen for sammensatte funktioner En funktion h(x) = f (g(x)), er er sammensat af e to ifferentiable funktioner f (x) og g(x), er selv ifferentiabel i ethvert x 0 me iffererentialkvotienten h (x 0 ) = f (g(x 0 )) g (x 0 ) (14-28)
enote 14 14.4 DIFFERENTIABLE FUNKTIONER 12 Bevis Vi benytter, at e to funktioner f (x) og g(x) er ifferentiable. Specielt er g(x) ifferentiabel i x 0, g(x) = g(x 0 ) + g (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 ) ε g (x x 0 ), (14-29) og funktionen f (u) er ifferentiabel i u 0 = g(x 0 ), f (u) = f (u 0 ) + f (u 0 )(u u 0 ) + (u u 0 ) ε f (u u 0 ). (14-30) Heraf fås så, når vi sætter u = g(x) og u 0 = g(x 0 ): h(x) = f (g(x)) = f (g(x 0 )) + f (g(x 0 ))(g(x) g(x 0 )) + (g(x) g(x 0 )) ε f (g(x) g(x 0 )) = h(x 0 ) + f (g(x 0 ))(g (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 ) ε g (x x 0 )) + (g (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 ) ε g (x x 0 )) ε f (g(x) g(x 0 )) = h(x 0 ) + f (g(x 0 ))g (x 0 ) (x x 0 ) + (x x 0 ) ε h (x x 0 ), (14-31) hvoraf et irekte aflæses, at h (x 0 ) = f (g(x 0 ))g (x 0 ) fori ette netop er en entyige koefficient på (x x 0 ) i ovenståene utryk. Opgave 14.21 Vi har i ovenståene sist i (14-31) benyttet, at f (g(x 0 )) ε g (x x 0 ) + (g (x 0 ) + ε g (x x 0 )) ε f (g(x) g(x 0 )) (14-32) er en epsilon-funktion, som vi erfor kalte ε h (x x 0 ). Overvej, hvorfor ette er helt OK. Opgave 14.22 Fin ifferentialkvotienterne af følgene funktioner for enhver x-væri i e respektive efinitionsmænger: f 1 (x) = (x 2 + 1) sin(x) f 2 (x) = sin(x)/(x 2 + 1) f 3 (x) = sin(x 2 + 1). (14-33)
enote 14 14.5 OMVENDTE FUNKTIONER 13 14.5 Omvente funktioner Exponentialfunktionen exp(x) og logaritmefunktionen ln(x) er hinanens omvente funktioner er gæler som bekent: exp(ln(x)) = x for x Dm(ln) = ]0, [ = Vm(exp) ln(exp(x)) = x for x Dm(exp) = ], [ = Vm(ln). (14-34) Læg mærke til, at selv om exp(x) er efineret for alle x, så er en omvente funktion ln(x) kun efineret for x > 0 og omvent (!) Funktionen f (x) = x 2 har en omvent funktion i sine respektive monotoni-intervaller, vs. er hvor f (x) er voksene henholsvis aftagene: Den omvente funktion i et interval, [0, [, hvor f (x) er voksene er en velkente funktion g(x) = x. Funktionen f (x) afbiler altså intervallet A = [0, [ en-entyigt på intervallet B = [0, [, og en omvente funktion g(x) afbiler intervallet B en-entyigt på intervallet A sålees at: f (g(x)) = ( x) 2 = x for x B = [0, [ g( f (x)) = x 2 = x for x A = [0, [. (14-35) Den omvente funktion til f (x) i et interval, ], 0], hvor f (x) er aftagene er funktionen h(x) = x, som ikke er efineret på et samme interval som f (x). Funktionen f (x) afbiler intervallet C =], 0] en-entyigt på intervallet D = [0, [, og en omvente funktion h(x) afbiler intervallet D en-entyigt på intervallet C sålees at: f (h(x)) = ( x) 2 = x for x D = [0, [ h( f (x)) = x 2 = x for x C = ], 0]. (14-36) Hvis f (x) ikke er monoton på et interval, så betyer et essentielt, at vi kan opnå samme funktions-væri f (x) for flere forskellige x-værier på samme måe som x 2 = 1 båe for x = 1 og for x = 1, og så er funktionen ikke en-entyig på intervallet. Funktionerne cos(x) og sin(x) er kun monotone på bestemte el-intervaller på x-aksen, se figur 14.7. Hvis vi ønsker at efinere en omvent funktion til e funktioner må vi altså vælge et såant interval me omhu, se afsnit 14.8 og figur 14.8.
enote 14 14.5 OMVENDTE FUNKTIONER 14 Definition 14.23 Notation for omvente funktioner Den omvente funktion til en given funktion f (x) vil vi betegne me f 1 (x). Den omvente funktion er generelt efineret ve følgene egenskaber på passene valgte intervaller A og B som er ineholt i henholsvis Dm( f ) og Dm( f 1 ) f 1 ( f (x)) = x for x A Dm( f ) f ( f 1 (x)) = x for x B Dm( f 1 ). (14-37) Vi bruger betegnelsen f 1 (x) for ikke at forveksle me ( f (x)) 1 = 1/ f (x). Grafen for en omvente funktion g(x) = f 1 (x) til en funktion f (x) kan fås ve at spejle grafen for f (x) i iagonal-linjen i (x, y)-koorinatsystemet vs. linjen me ligningen y = x se figur 14.4. 14.5.1 Differentiation af omvente funktioner Sætning 14.24 Differentiation af omvent funktion Hvis en ifferentiabel funktion f (x) har en omvente funktion f 1 (x) og hvis f ( f 1 (x 0 )) = 0, så er en omvente funktion f 1 (x) selv ifferentiabel i x 0 : ( f 1 ) (x 0 ) = 1 f ( f 1 (x 0 )) (14-38) Bevis Pr. efinition af omvent funktion gæler, at h(x) = f ( f 1 (x)) = x, (14-39) så h (x 0 ) = 1, men vi har så også fra kæereglen i (14-28): h (x 0 ) = f ( f 1 (x 0 )) ( f 1 ) (x 0 ) = 1, (14-40) hvoraf vi får resultatet ve at iviere me f ( f 1 (x 0 )).
enote 14 14.6 HYPERBOLSKE FUNKTIONER 15 Figur 14.4: Grafen for en funktion f (x) og grafen for ens omvente funktion g(x). Der gæler g(x) = f 1 (x) og f (x) = g 1 (x), men e har hver eres egne efinitionsintervaller. 14.6 Hyperbolske funktioner
enote 14 14.6 HYPERBOLSKE FUNKTIONER 16 Definition 14.25 Hyperbolsk cosinus og hyperbolsk sinus Vi vil efinere to nye funktioner cosh(x) og sinh(x) som e entyigt bestemte løsninger til følgene ifferentialligningssystem me begynelsesbetingelser. De to funktioner benævnes henholsvis hyperbolsk cosinus og hyperbolsk sinus: cosh (x) = sinh(x), cosh(0) = 1 sinh (x) = cosh(x), sinh(0) = 0. (14-41) Betegnelserne cosh(x) og sinh(x) ligner cos(x) og sin(x), men funktionerne er meget forskellige, som vi skal se neenfor. Der er og også funamentale strukturelle ligheer mellem e to par af funktioner og et er em er motiverer betegnelserne. I ifferentialligningssystemet for cos(x) og sin(x) optræer kun et enkelt minus-tegn som eneste forskel i forhol til (14-41): cos (x) = sin(x), cos(0) = 1 sin (x) = cos(x), sin(0) = 0. (14-42) Desuen gæler (igen me et helt afgørene minustegn som eneste forskel) følgene simple analogi til en velkente og ofte brugte relation cos 2 (x) + sin 2 (x) = 1: Sætning 14.26 Funamentale relation for cosh(x) og sinh(x) cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1. (14-43) Bevis Differentier me hensyn til x på begge sier af ligningen (14-43) og konkluér, at cosh 2 (x) sinh 2 (x) er en konstant. Brug til sist begynelsesbetingelserne.
enote 14 14.6 HYPERBOLSKE FUNKTIONER 17 Figur 14.5: Hyperbolsk cosinus, cosh(x), og hyperbolsk sinus, sinh(x). Opgave 14.27 Vis irekte u fra ifferentialligningssystemet (14-41) at e to nye funktioner faktisk ikke er så nye ena: cosh(x) = ex + e x 2 sinh(x) = ex e x 2, Dm(cosh) = R, Vm(cosh) = [1, [, Dm(sinh) = R, Vm(sinh) = ], [ (14-44) Opgave 14.28 Vis irekte u fra e funne utryk i opgave 14.27, at cosh 2 (x) sinh 2 (x) = 1. (14-45) Opgave 14.29 Grafen for funktionen f (x) = cosh(x) ligner meget en parabel, nemlig grafen for funktionen g(x) = 1 + (x 2 /2) når vi plotter begge funktionerne i et passene lille interval omkring x 0 = 0. Prøv et! Hvis vi erimo plotter begge graferne over et meget stort x-interval, vil
enote 14 14.6 HYPERBOLSKE FUNKTIONER 18 vi opage, at e to funktioner har meget forskellige grafiske opførsler. Prøv et, vs. prøv at plotte begge funktioner over intervallet [ 50, 50]. Kommentér og forklar e kvalitative forskelle. Prøv tilsvarene at sammenligne e to funktioner sinh(x) og x + (x 3 /6) på samme måe. Det er naturligt og nyttigt at efinere e hyperbolske analogier til tan(x) og cot(x). Det gør vi sålees: Definition 14.30 Hyperbolsk tangens og hyperbolsk cotangens tanh(x) = sinh(x) cosh(x) = e2x 1 e 2x + 1, Dm(tanh) = R, Vm(tanh) = ] 1, 1[ coth(x) = cosh(x) sinh(x) = e2x + 1 e 2x 1, Dm(coth) = R {0}, Vm(coth) = ], 1[ ]1, [. (14-46) Figur 14.6: Hyperbolsk tangens, tanh(x), og hyperbolsk cotangens, coth(x). Differentialkvotienterne af cosh(x) og sinh(x) er alleree givet ve et efinerene sy-
enote 14 14.7 AREAFUNKTIONERNE 19 stem i (14-41). cosh(x) = sinh(x) x sinh(x) = cosh(x) x x tanh(x) = 1 cosh 2 (x) = 1 tanh2 (x) x coth(x) = 1 sinh 2 (x) = 1 coth2 (x). (14-47) Opgave 14.31 Vis e to siste utryk for ifferentialkvotienterne for tanh(x) og coth(x) i (14-47) ve at benytte ifferentiationsreglen i sætning 14.18. 14.7 Areafunktionerne De omvente funktioner til e hyperbolske funktioner kales areafunktioner og betegnes me henholsvis cosh 1 (x) = arcosh(x), sinh 1 (x) = arsinh(x), tanh 1 (x) = artanh(x), og coth 1 (x) = arcoth(x). Da funktionerne cosh(x), sinh(x), tanh(x), og coth(x) alle kan utrykkes ve eksponentialfunktioner er et ikke overraskene, at e omvente funktioner og eres ifferentialkvotienter kan utrykkes ve logaritmefunktioner. Vi samler informationerne her: arcosh(x) = ln(x + x 2 1) for x [1, [ arsinh(x) = ln(x + x 2 + 1) for x R artanh(x) = 1 ( ) 1 + x 2 ln for x ] 1, 1[ 1 x arcoth(x) = 1 ( ) x 1 2 ln for x ], 1[ ]1, [. x + 1 (14-48)
enote 14 14.8 ARCUSFUNKTIONERNE 20 x arcosh(x) = 1 for x2 1 x ]1, [ x arsinh(x) = 1 x2 + 1 for x R x artanh(x) = 1 for 1 x2 x ] 1, 1[ x arcoth(x) = 1 for 1 x2 x ] 1[ ]1, [. (14-49) 14.8 Arcusfunktionerne Figur 14.7: Cosinus og sinus funktionerne. De omvente funktioner som hører til e trigonometriske funktioner er lit mere kompliceree. Som nævnt bliver vi her nøt til for hver trigonometrisk funktion at vælge et interval, hvor en pågælene funktion er monoton. Til gengæl, når vi har valgt et såant interval, så er et klart, hvoran en omvente funktion skal efineres og erefter hvoran en skal ifferentieres. De omvente funktioner til cos(x), sin(x), tan(x), cot(x) betegnes henholsvis arccos(x), arcsin(x), arctan(x), og arccot(x); e benævnes arcus-cosinus, arcus-sinus, arcus-tangens, og arcuscotangens. Ligesom ovenfor samler vi resultaterne her: cos 1 (x) = arccos(x) [0, π] for x [ 1, 1] sin 1 (x) = arcsin(x) [ π/2, π/2] for x [ 1, 1] tan 1 (x) = arctan(x) [ π/2, π/2] for x R cot 1 (x) = arccot(x) ]0, π[ for x R. (14-50)
enote 14 14.8 ARCUSFUNKTIONERNE 21 x arccos(x) = 1 for 1 x 2 x ] 1, 1[ x arcsin(x) = 1 for 1 x 2 x ] 1, 1[ x arctan(x) = 1 1 + x 2 for x R x arccot(x) = 1 1 + x 2 for x R. (14-51) Figur 14.8: Arcus-cosinus funktionen efineres her. Læg mærke til, at iffererentialkvotienterne for arccos(x) og arcsin(x) ikke er efineret i x 0 = 1 og i x 0 = 1. Det skyles els, at hvis en funktion vi betragter kun er efineret i et begrænset interval, så kan vi ikke sige at funktionen er ifferentiabel i enepunkterne af intervallet. Desuen viser formlerne for arccos (x) og arcsin (x) at e ikke er efineree i x 0 = 1 eller x 0 = 1; e værier giver jo 0 i nævnerne.
enote 14 14.8 ARCUSFUNKTIONERNE 22 Figur 14.9: Arcus-cosinus og arcus-sinus. De røe cirkler inikerer igen, at arcusfunktionerne ikke er efineret uenfor intervallet [ 1, 1]. De grønne cirkelskiver inikerer tilsvarene, at arcus-funktionerne er efineret i enepunkterne x = 1 og x = 1. Opgave 14.32 Benyt en passene moifikation af arctan( x ) til at konstruere en ny ifferentiabel (og erfor kontinuert) funktion f ( x ), som ligner 0-uvielsen af x /x (er hverken er kontinuert eller ifferentiabel), vs. vi ønsker en funktion f ( x ) me følgene egenskaber: 1 > f ( x ) > 0.999 for x > 0.001 og 0.999 > f ( x ) > 1 for x < 0.001. Se figur 14.10. Vink: Prøv at plotte arctan(1000x ). Figur 14.10: Arcus-tangens funktionen.
enote 14 14.9 OPSUMMERING 23 14.9 Opsummering Vi har behanlet nogle af e funamentale egenskaber ve nogle kente og knap så kente funktioner. Hvoran er e efineret, hva er eres efinitions-intervaller, er e kontinuerte, er e ifferentiable, hva er i så fal eres ifferentialkvotienter? En funktion f (x) er kontinuert i x 0 hvis f (x) f (x 0 ) er en epsilon-funktion af (x x 0 ), vs. f (x) = f (x 0 ) + ε f (x x 0 ). (14-52) En funktion f (x) er ifferentiabel i x 0 me ifferentialkvotienten f (x 0 ) hvis f (x) = f (x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) + (x x 0 )ε f (x x 0 ). Hvis en funktion er ifferentiabel i x 0, så er en også kontinuert i x 0. Det omvente gæler ikke. Differentialkvotienten af et proukt af to funktioner er x ( f (x) g(x)) = f (x) g(x) + f (x) g (x). (14-53) Differentialkvotienten af en brøk mellem to funktioner er ( ) f (x) = f (x) x g(x) g(x) f (x) g (x) g 2 = f (x) g(x) f (x) g (x) (x) g 2 (x). (14-54) Differentialkvotienten af en sammensat funktion er x f (g(x)) = f (g(x)) g (x). (14-55) Differentialkvotienten af en omvente funktion f 1 (x) er ( f 1) (x) = 1 f ( f 1 (x)). (14-56)