Uafhængighed af hændelser

Uafhængighed af hændelser Uafhængighed af to hændelser A og B kaldes uafhængige hændelser hvis P A B P A P B Kaldes også den specielle multiplikationsregel. Så gælder både P A B P A og P B A P B. Bemærk at S og A altid er uafhængige, og det samme for og A. Bemærk: Hvis A og B er disjunkte og uafhængige er enten P A 0 eller P B 0. Bevis: Da P A B P 0måvisåhave 0 P A P B

Eksempel Kast med terning, S 1, 2, 3,4,5,6 Lad A 1, 2, 3 og B 2, 4 P A 1/2 P B 1/3 P A B P 2 1/6 Da P A B P A P B er A og B uafhængige. Lad nu C 3, 4, 5, såp C 1/2. Så er B og C også uafhængige (check selv). Men A og C er ikke uafhængige, da P A C P 3 1/6 1/2 1/2 P A P C

Mere om uafhængighed Hvis A og B er uafhængige, så er A og B også uafhængige. Bevis: P A B P B A B P B P A B P B P A P B P B 1 P A P B P A, som ønsket. Vi ser altså at A og B uafhængige er ækvivalent med 1. A og B er uafhængige 2. A og B er uafhængige 3. A og B er uafhængige

Hvis A og B er uafhængige gælder at P A B 1 P A P B Bevis: P A B P A P B P A B P A P B P A P B 1 1 P A P B P A P B 1 1 P A 1 P B 1 P A P B

Uafhængighed af tre hændelser A, B og C kaldes indbyrdes uafhængige hændelser hvis A, B og C er parvis uafhængige, dvs. P A B P A P B P A C P A P C P B C P B P C og der gælder den specielle multiplikationsregel for tre hændelser: P A B C P A P B P C

Eksempel: Betragt en roulette med S 1,2,,12. Lad A 1, 2, 3, 4, 5, 6, B 4, 5, 6, 7, 8,9 og C 1, 2, 3, 7, 8, 9, alle med sandsynlighed ½. Så er P A B P A C P B C 1/4, så A, B og C er parvis uafhængige. Men da A B C er den specielle multiplikationsregel ikke opfyldt for de tre hændelser, så A, B og C er ikke indbyrdes uafhængige. Nu definerer vi D 1, 4, 7, 12 med sandsynlighed 1/3. Da A og B er uafhængige, og da 1. A og D er uafhængige, idet P A D 1/6 1/2 1/3 2. B og D er uafhængige, idet P B D 1/6 1/2 1/3 3. Multiplikationsreglen er opfyldt: P A B D 1/12 1/2 1/2 1/3,

så er A, B og D indbyrdes uafhængige. Uafhængighed generelt Generelt bruges en rekursiv definition: Tre eller flere hændelser: A 1, A 2,, A k kaldes indbyrdes uafhængige hvis: 1. Alle delsæt af A 1, A 2,,A k bestående af k 1 hændelser er indbyrdes uafhængige. 2. Den specielle multiplikationsregel gælder for de k hændelser gælder: P A 1 A 2 A k P A 1 P A 2 P A k. Bemærk at vi har følgende (har allerede set det for k 2): P A 1 A 2 A k 1 P A 1 P A 2 P A k. Da A 1,A 2,,A k er uafhængige følger det af at

P A 1 A 2 A k 1 P A 1 A 2 A k

Kombinatorik Produktreglen Et forsøg udføres i k etaper. Ideni te etape er der m i valgmuligheder. Det samlede antal valgmuligheder er så m 1 m 2 m k Eksempel: En Dell PC kan stykkes sammen som følger: 1. Kabinettet kan være sort, hvidt eller gråt (m 1 3) 2. Strømforsyningen kan være på 500 W elle 800 W (m 2 2) 3. Bestykningen med drev kan inkludere CD-Rom, DVD eller begge dele (m 3 3)

Det samlede antal forskellige kombinationer er da 3 2 3 18.

Tilfældig udtrækning (urnemodellen) En urne som indeholder farvede kugler. En kugle trækkes tilfældigt fra urnen, og farven registreres. Når der trækkes flere kugler kan det enten være: 1. med tilbagelægning: kuglen lægges tilbage før der trækkes igen. 2. uden tilbagelægning: kuglen lægges ikke tilbage før der trækkes igen.

Eksempel: En æske med tændstikker skal undersøges. 1. Destruktiv test: det er nødvendigt at stryge tændstikken for at se om den virker. Derfor kræves udtrækning uden tilbagelægning. Eksempel: En kasse med modstande skal undersøges. 1. Ikke-destruktiv test: modstanden måles med et voltmeter, hvorefter modstanden lægges tilbage i kassen, som derefter rystes grundigt. Altså udtrækning med tilbagelægning.

Permutationer n fakultet er produket af de n første heltal: n! 1 2 n med konventionen 0! 1 n! antallet af permutationer (rækkefølger) af n objekter. Rekursionsformel: n 1! n 1 n! I R bruges kommandoen: factorial(n

Eksempel: En komite består af 5 medlemmer. Komiteen konstituerer sig som følger: 1. Formand (5 muligheder). 2. Næstformand (4 muligheder) 3. Ceremonimester (3 muligheder) 4. Sekretær (2 muligheder) 5. Menigt medlem (1 mulighed) På hvor mange måder kan det ske? Svar: 5! 5 4 3 2 1 120 måder. Approximation for n 50: Stirlings formel n! 2 n n e n Eksempel: 5! 2 5 5 e 5 118.02

Permutation: Antallet af måder der kan vælges k ud af n (uden tilbagelægning): P n,k n n 1 n k 1 n! n k! Eksempel: En komite på 5 skal konstituere sig med formand og næstformand. Antal måder: P 5,2 5 5 1 5! 5 2! 20

Kombinationer Binomialkoefficient: For n k defineres n k n! k! n k! n n 1 n k 1 k! Antallet af måder en k-mængde kan vælges fra en n-mængde. Specialtilfælde: Bemærk: n n k n k n 0 n n n! 0! n! 1 n! n k! k! I R bruges kommandoen: choose n, k. n n 1 k 1 n k!

Eksempel: 5-mandsudvalg blandt 33 studerende kan vælges på 33 33 32 31 30 29 237, 336 måder. 5 5 4 3 2 1

Sandsynligheder baseret på kombinatorik Ved urnemodellen med tilfældig udtrækning gælder generelt Antal gunstige udfald P Hændelse Antal mulige udfald Eksempel: Anders og Yrsa ønsker brændende at komme i den komite på 5 som skal vælges blandt 33. Sandsynligheden for at det sker for begge er

P Anders og Yrsa sammen 31 3 33 5 31 30 29 3 2 1 5 4 33 32 0.018939 5 4 3 2 1 33 32 31 30 29

Eksempel fra poker: Hvad er sandsynligheden for to par (af forskellig værdi) i en hånd på fem? Svar: P To par 4 4 44 13 2 2 52 5 2 1 0.048 (vælg først de to værdier, vælg så de to par ud, og vælg så det sidste kort).

Multinomialkoefficienten Lad n n 1 n k (alle heltal), og lad n n 1 n k n! n 1! n k! antallet af måder en n-mængde kan inddeles i k mænger af størrelser n 1,, n k. Eksempel: En klasse på 33 skal deles ind i 6 grupper af størrelse 5, 5, 5, 6, 6 og 6. Kan gøres på 33 555666 33! 5! 5! 5! 6! 6! 6! 1.35 1022 måder. Bevis for multinomialkoefficienten: n! n n 1 n k n 1! n k!,

da begge sider angiver antallet af permutationer af en n-mængde.

Bemærk: 1. Når k 2 gælder 2. Når k 3 gælder n mn m n m n! m! n m! n n 1 n 2 n 3 n n1 3. Generelt gælder n n 1 n k n n1 n n 1 n 2 n n 1 n 2 n k

Eksempel: Julefrokost på IMADA. 30 deltagere skal deles op i tre hold: 1. 12 skal forberede julefrokosten 2. 8 skal servere maden 3. 10 skal rydde op Antal muligheder for opdelingen i hold er 30 12810 30 12 18 8 86, 493, 225 43, 758 3.784771 10 12

Antag at der er 12 dataloger og 5 mat-øk er. På hvor mange måder kan det ske at alle 10 som rydder op er dataloger, og at alle 5 mat-øk er skal servere? Svar: Blandt de 12 dataloger skal der vælges 10 til oprydning, og efter at de 5 mat-øk er er sat til at servere, skal der vælges 3 blandt de resterende 15 som også skal servere. Antal måder er altså: 12 10 15 12 15 3 2 3 12 11 2 1 66 455 30,030 15 14 13 3 2 1 Sandsynligheden for at dette sker er 30, 030 3. 784771 10 12 7. 934431 10 09