Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9

Oversigt [S] 8.7, 8.8, 8.9 Nøgleord og begreber Potensrækker og opgaver Binomialformlen Binomialkoefficienter Binomialrækken Taylor polynomier Vurdering af Taylor s restled Eksponentialrækken konvereger mod eksponentialfunktionen Calculus 2-2005 Uge 49.1-1

En potensrække [S] 8.5 Power series Definition En potensrække med centrum i a er et udtryk af form c 0 + c 1 (x a) 1 + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 +... c n erne kaldes rækkens koefficienter. Calculus 2-2005 Uge 49.1-2

En potensrække [S] 8.5 Power series Definition En potensrække med centrum i a er et udtryk af form c 0 + c 1 (x a) 1 + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 +... c n erne kaldes rækkens koefficienter. Skrives også 2 n=0 c n (x a) n Calculus 2-2005 Uge 49.1-2

En potensrække [S] 8.5 Power series Definition En potensrække med centrum i a er et udtryk af form c 0 + c 1 (x a) 1 + c 2 (x a) 2 + c 3 (x a) 3 +... c n erne kaldes rækkens koefficienter. Skrives også 2 n=0 c n (x a) n Bemærk c 0 (x a) 0 = c 0, da (x a) 0 = 1. Calculus 2-2005 Uge 49.1-2

Konvergens [S] 8.5 Power series Definition For en potensrække er konvergensradius (i) R = 0 (ii) R = + (iii) R > 0 Konvergensradius skiller konvergens og divergens. er konvergensintervallet. (a R,a + R) Calculus 2-2005 Uge 49.1-3

Konvergens [S] 8.5 Power series Definition For en potensrække er konvergensradius (i) R = 0 (ii) R = + (iii) R > 0 Konvergensradius skiller konvergens og divergens. er konvergensintervallet. (a R,a + R) a R a a + R x Calculus 2-2005 Uge 49.1-3

Koefficienter [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series 5 Sætning Hvis en potensrœkke med centrum i a har konvergensradius R > 0, så har sumfunktionen f(x) = n=0 c n (x a) n koefficienter c n = f(n) (a) n! Calculus 2-2005 Uge 49.1-4

Taylorrække [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Definition En vilkårlig ofte differentiabel funktion f(x) har Taylorrække om a 6 f(x) = n=0 f (n) (a) (x a) n n! og Maclaurinrække, a = 0, 7 f(x) = n=0 f (n) (0) x n n! Calculus 2-2005 Uge 49.1-5

Opgave Calculus 2, januar 2004 Opgave 4 Angiv en potensrække i x, der fremstiller en stamfunktion til Arctan(x) (= tan 1 (x)) i intervallet ( 1, 1). Det er nok at angive så mange led, at mønsteret træder frem. Calculus 2-2005 Uge 49.1-6

Opgave Calculus 2, januar 2004 Opgave 4 Angiv en potensrække i x, der fremstiller en stamfunktion til Arctan(x) (= tan 1 (x)) i intervallet ( 1, 1). Det er nok at angive så mange led, at mønsteret træder frem. Opgave 4 - Løsning Man har ([S] 8.6 Example 7) og Arctan(x) = 1 1 + x 2 dx 1 1 + x 2 = 1 x2 + x 4 x 6 + x 8.... Calculus 2-2005 Uge 49.1-6

Opgave Calculus 2, januar 2004 Opgave 4 - Løsning fortsat Heraf ved ledvis integration (eller: direkte fra [S] 8.7 side 618) Arctan(x) = 1 1 x 1 3 x3 + 1 5 x5 1 7 x7 + 1 9 x9... og fortsat integration giver den søgte stamfunktion Arctan(x) dx = 1 1 2 x2 1 3 4 x4 + 1 5 6 x6 1 7 8 x8 + 1 9 10 x10... ( 1) n+1 = (2n 1)2n x2n. n=1 Calculus 2-2005 Uge 49.1-7

Opgave Calculus 2, august 2004 Opgave 4 Betragt funktionen f(x) = sin( x2 2 ). 1) Angiv nogle af de første led i en potensrække i x, der på hele den reelle akse fremstiller funktionen f(x). (Det er tilstrækkeligt at angive leddene af grad 6.) 2) Beregn tallet f (4) (0) (hvor f (4) betegner den 4. afledede af f). Calculus 2-2005 Uge 49.1-8

Opgave Calculus 2, august 2004 Opgave 4 - Løsning 1) Fra [S] haves Indsæt y = x2 2 sin y = y 1 3! y3 + 1 5! y5... sin( x2 2 ) = x2 2 1 3! (x2 2 )3 + 1 5! (x2 2 )5... Altså sin( x2 2 ) = 1 2 x2 1 48 x6 +... Calculus 2-2005 Uge 49.1-9

Opgave Calculus 2, august 2004 Opgave 4 - Løsning 2) I en potensrække f(x) = a n x n gælder Heraf f (4) (0) = 0. f (n) (0) = n!a n. Calculus 2-2005 Uge 49.1-10

Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 Calculus 2-2005 Uge 49.1-2

Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 Calculus 2-2005 Uge 49.1-2

Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4 Calculus 2-2005 Uge 49.1-2

Binomialformler [S] 8.8 The binomial series (a + b) 2 = a 2 + 2 ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3 a 2 b + 3 ab 2 + b 3 (a + b) 4 = a 4 + 4 a 3 b + 6 a 2 b 2 + 4 ab 3 + b 4 (a + b) k = k n=0 ( ) k n a k n b n, Calculus 2-2005 Uge 49.1-2

Binomialformler [S] 8.8 The binomial series hvor ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) 1 2 3... n (n faktorer i tælleren, nedstigende fra k n faktorer i nævneren, opstigende fra 1). Calculus 2-2005 Uge 49.1-3

Binomialformler [S] 8.8 The binomial series hvor ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) 1 2 3... n (n faktorer i tælleren, nedstigende fra k n faktorer i nævneren, opstigende fra 1). ( ) 4 = 4 3 2 1 2 = 12 2 = 6 Calculus 2-2005 Uge 49.1-3

Binomialformler ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) 1 2 3... n giver mening selv om k ikke er et positivt helt tal. [S] 8.8 The binomial series Calculus 2-2005 Uge 49.1-4

Binomialformler ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) 1 2 3... n [S] 8.8 The binomial series giver mening selv om k ikke er et positivt helt tal. ( ) 1.6 1.6 0.6 ( 0.4) = = 0.384 = 0.064 3 1 2 3 6 Calculus 2-2005 Uge 49.1-4

Binomialformler ( ) k n = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) 1 2 3... n [S] 8.8 The binomial series giver mening selv om k ikke er et positivt helt tal. ( ) 1.6 1.6 0.6 ( 0.4) = = 0.384 = 0.064 3 1 2 3 6 Hvis k er et positivt helt tal, så ( ) k = 1 og 0 ( ) k k = 1 Calculus 2-2005 Uge 49.1-4

Binomialformler [S] 8.8 The binomial series Hvis k er positivt helt tal, så ( ) ( ) k k (a + b) k =a k + ka k 1 b + a k 2 b 2 + a k 3 b 3 +... 2 3 ( ) k... + a 2 b k 2 + kab k 1 + b k k 2 Calculus 2-2005 Uge 49.1-5

Binomialformler [S] 8.8 The binomial series Hvis k er positivt helt tal, så ( ) ( ) k k (a + b) k =a k + ka k 1 b + a k 2 b 2 + a k 3 b 3 +... 2 3 ( ) k... + a 2 b k 2 + kab k 1 + b k k 2 Specielt (sæt a = 1 og b = x) ( ) k (1 + x) k = 1 + k x + x 2 + 2 ( ) k x 3 +... + x k 3 Calculus 2-2005 Uge 49.1-5

Maclaurin række for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series For vilkårlig k f(x) = (1 + x) k f (x) = k(1 + x) k 1 f (x) = k(k 1)(1 + x) k 2 f (x) = k(k 1)(k 2)(1 + x) k 3 Calculus 2-2005 Uge 49.1-6

Maclaurin række for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series For vilkårlig k f(x) = (1 + x) k f (x) = k(1 + x) k 1 f (x) = k(k 1)(1 + x) k 2 f (x) = k(k 1)(k 2)(1 + x) k 3 f(0) = 1 f (0) = k f (0) = k(k 1) f (0) = k(k 1)(k 2) Calculus 2-2005 Uge 49.1-6

Maclaurinrække for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series f (n) (x) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1)(1 + x) k n f (n) (0) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) Calculus 2-2005 Uge 49.1-7

Maclaurinrække for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series f (n) (x) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1)(1 + x) k n f (n) (0) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) Koefficienter i Maclaurin rækken: c n = f(n) (0) n! = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n! = ( ) k n Calculus 2-2005 Uge 49.1-7

Maclaurinrække for f(x) = (1 + x) k [S] 8.8 The binomial series f (n) (x) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1)(1 + x) k n f (n) (0) = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) Koefficienter i Maclaurin rækken: c n = f(n) (0) n! = k(k 1)(k 2)...(k n + 1) n! = ( ) k n Maclaurinrække for (1 + x) k kaldes binomialrækken, [S] 8.8. Calculus 2-2005 Uge 49.1-7

Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin rækken for (1 + x) k = binomialrækken hørende til tallet k ser altså sådan ud: ( ) ( ) k k 1 + kx + x 2 + x 3 +... 2 3 Calculus 2-2005 Uge 49.1-8

Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin rækken for (1 + x) k = binomialrækken hørende til tallet k ser altså sådan ud: ( ) ( ) k k 1 + kx + x 2 + x 3 +... 2 3 Ex. 1: Maclaurin række for 1 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 Calculus 2-2005 Uge 49.1-8

Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin rækken for (1 + x) k = binomialrækken hørende til tallet k ser altså sådan ud: ( ) ( ) k k 1 + kx + x 2 + x 3 +... 2 3 Ex. 1: Maclaurin række for 1 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 ikke at forveksle med (jvf. Ex. 1 i [S] 6.6.) 1 1 + x 2 = 1 x2 + x 4 x 6 +... Calculus 2-2005 Uge 49.1-8

Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series Maclaurin række for 1 = (1 + x) 2 (1 + x) 2 Binomialrække med k = 2. (Konvergensradius 1) ( ) ( ) 2 2 = 1, = 2, 0 1 ( ) 2 2 ( ) 2 3 = ( 2)( 3) 2! = ( 2)( 3)( 4) 3! = 3 = 4 Calculus 2-2005 Uge 49.1-9

Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series altså begynder rækken: 1 2x + 3x 2 4x 3 +... Calculus 2-2005 Uge 49.1-10

Binomialrækken [S] 8.8 The binomial series altså begynder rækken: 1 2x + 3x 2 4x 3 +... F.eks. (med x = 0.1) (1.1) 2 = 1 0.2 + 0.03 0.004 +... Calculus 2-2005 Uge 49.1-10

Taylor-polynomier (centrum a) [S] 8.8 The binomial series f(a) + f (a) (x a) }{{ 1! } T 1 (x) + f (a) 2! (x a) 2 }{{} T 2 (x) + f (a) 3! (x a) 3 } {{ } T 3 (x) +... Calculus 2-2005 Uge 49.1-11

Taylor-polynomier (centrum a) [S] 8.8 The binomial series f(a) + f (a) (x a) }{{ 1! } T 1 (x) + f (a) 2! (x a) 2 }{{} T 2 (x) + f (a) 3! (x a) 3 } {{ } T 3 (x) T 1 (x) er den lineære approximation til f i a; +... Calculus 2-2005 Uge 49.1-11

Taylor-polynomier (centrum a) [S] 8.8 The binomial series f(a) + f (a) (x a) }{{ 1! } T 1 (x) + f (a) 2! (x a) 2 }{{} T 2 (x) + f (a) 3! (x a) 3 } {{ } T 3 (x) T 1 (x) er den lineære approximation til f i a; T 2 (x) kaldes det approximerende 2.grads polynomium, eller Taylor-polynomiet af grad 2 for f i a. +... Calculus 2-2005 Uge 49.1-11

Taylor-polynomier [S] 8.8 The binomial series T 1 (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) Calculus 2-2005 Uge 49.1-12

Taylor-polynomier [S] 8.8 The binomial series T 1 (x) = f(a) + f (a) 1! T 2 (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) (x a) + f (a) (x a) 2 2! Calculus 2-2005 Uge 49.1-12

Taylor-polynomier [S] 8.8 The binomial series T 1 (x) = f(a) + f (a) 1! T 2 (x) = f(a) + f (a) 1! T 3 (x) = f(a) + f (a) 1! (x a) (x a) + f (a) (x a) 2 2! (x a) + f (a) (x a) 2 + f (a) (x a) 3 2! 3! Calculus 2-2005 Uge 49.1-12

Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. Calculus 2-2005 Uge 49.1-13

Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. f(x) = x 1 3 ;f(8) = 8 1 3 = 2 Calculus 2-2005 Uge 49.1-13

Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. f(x) = x 1 3 ;f(8) = 8 1 3 = 2 f (x) = 1 3 x 2 3 ;f (8) = 1 12 Calculus 2-2005 Uge 49.1-13

Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 Approximer f(x) = 3 x = x 1 3 i omegnen af a = 8 med et 2.grads polynomium. f(x) = x 1 3 ;f(8) = 8 1 3 = 2 f (x) = 1 3 x 2 3 ;f (8) = 1 12 f (x) = 2 9 x 5 3 ;f (8) = 1 144 Calculus 2-2005 Uge 49.1-13

Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 - fortsat T 2 (x) = f(8) + f (8) (x 8) + f (8) (x 8) 2 1! 2! Calculus 2-2005 Uge 49.1-14

Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 - fortsat T 2 (x) = f(8) + f (8) (x 8) + f (8) (x 8) 2 1! 2! = 2 + 1/12 1! (x 8) + 1/144 (x 8) 2 2! Calculus 2-2005 Uge 49.1-14

Kubikrod [S] 8.9 Applications of Taylor polynomials Eksempel 1 - fortsat T 2 (x) = f(8) + f (8) (x 8) + f (8) (x 8) 2 1! 2! = 2 + 1/12 1! (x 8) + 1/144 (x 8) 2 2! = 2 + 1 1 (x 8) (x 8)2 12 288 Calculus 2-2005 Uge 49.1-14

Restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Hvor god en approximation til f(x) er Taylor polynomiet T n (x)? Specielt: hvor god er den lineære approximation T 1 (x)? Hvor stor er fejlen (restleddet) R n (x) := f(x) T n (x)? Calculus 2-2005 Uge 49.1-15

Restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Hvor god en approximation til f(x) er Taylor polynomiet T n (x)? Specielt: hvor god er den lineære approximation T 1 (x)? Hvor stor er fejlen (restleddet) R n (x) := f(x) T n (x)? Hvis f (k) (a) f(x) = (x a) k k! så er R n (x) = k=0 k=n+1 f (k) (a) k! (x a) k Calculus 2-2005 Uge 49.1-15

Restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Hvor god en approximation til f(x) er Taylor polynomiet T n (x)? Specielt: hvor god er den lineære approximation T 1 (x)? Hvor stor er fejlen (restleddet) R n (x) := f(x) T n (x)? Hvis f (k) (a) f(x) = (x a) k k! så er R n (x) = k=0 k=n+1 f (k) (a) k! (x a) k - men det siger ikke noget om hvor stor den er Calculus 2-2005 Uge 49.1-15

Taylor s restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series 9 Sætning Hvis f (n+1) (x) M for alle x med x a d, så for alle med x a d. R n (x) M (x a) n+1 (n + 1)! Calculus 2-2005 Uge 49.1-16

Taylor s restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series 9 Sætning Hvis f (n+1) (x) M for alle x med x a d, så for alle med x a d. R n (x) M (x a) n+1 (n + 1)! Sammenlign udtrykket i vurderingen med det næste led i Taylor-rækken, som jo er f (n+1) (a) (n + 1)! (x a)n+1 Calculus 2-2005 Uge 49.1-16

Hvor god er den lineære approximation? [S] 8.7 Taylor and Mac... f(x) T 1 (x) M 2! x a 2 hvor f (x) M for all x i det berørte interval om a. Calculus 2-2005 Uge 49.1-17

Hvor god er den lineære approximation? [S] 8.7 Taylor and Mac... f(x) T 1 (x) M 2! x a 2 hvor f (x) M for all x i det berørte interval om a. Eksempel. Lad f(x) = sin x. Da f(0) = 0 og f (0) = cos(0) = 1, er den lineære approximation til sin i a = 0 givet ved T 1 (x) = 0 + 1 x = x Calculus 2-2005 Uge 49.1-17

Hvor god er den lineære approximation? [S] 8.7 Taylor and Mac... f(x) T 1 (x) M 2! x a 2 hvor f (x) M for all x i det berørte interval om a. Eksempel. Lad f(x) = sin x. Da f(0) = 0 og f (0) = cos(0) = 1, er den lineære approximation til sin i a = 0 givet ved T 1 (x) = 0 + 1 x = x Da f (x) = sin(x) er numerisk 1 for alle x, har vi for alle x fejlvurderingen R 1 (x) 1 2! x2 Calculus 2-2005 Uge 49.1-17

Taylors restled som itereret integral [S] 8.7 Taylor and Mac... Hovedsætning i Calculus: F(x) = F(a) + x a F (s) ds; Calculus 2-2005 Uge 49.1-18

Taylors restled som itereret integral [S] 8.7 Taylor and Mac... Hovedsætning i Calculus: F(x) = F(a) + anvend på F = f f(x) = f(a) + x a x a F (s) ds; f (s) ds Calculus 2-2005 Uge 49.1-18

Taylors restled som itereret integral [S] 8.7 Taylor and Mac... Hovedsætning i Calculus: F(x) = F(a) + anvend på F = f f(x) = f(a) + x a x a F (s) ds; f (s) ds anvend på F = f inden under integraltegnet: = f(a) + x a (f (a) + s a f (t) dt) ds Calculus 2-2005 Uge 49.1-18

Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series = f(a) + x a (f (a) + s a f (t) dt) ds Calculus 2-2005 Uge 49.1-19

Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series = f(a) + x a (f (a) + s a f (t) dt) ds = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. Calculus 2-2005 Uge 49.1-19

Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series f(x) = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. Calculus 2-2005 Uge 49.1-20

Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series f(x) = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. De to første led er Taylor-polynomiet T 1 (x) for f, og det sidste led er derfor en formel for restleddet R 1 (x). Calculus 2-2005 Uge 49.1-20

Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series f(x) = f(a) + (x a)f (a) + x a s a f (t) dt ds. De to første led er Taylor-polynomiet T 1 (x) for f, og det sidste led er derfor en formel for restleddet R 1 (x). t a a x s Calculus 2-2005 Uge 49.1-20

Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Vi kan genkende dette itererede integral som et udtryk for (plus/minus) dobbeltintegralet af f (t) over trekanten D i (s, t)-planen, afgrænset af t = a (vandret linie), s = x (lodret linie) og linien s = t Calculus 2-2005 Uge 49.1-21

Taylors restled [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series Vi kan genkende dette itererede integral som et udtryk for (plus/minus) dobbeltintegralet af f (t) over trekanten D i (s, t)-planen, afgrænset af t = a (vandret linie), s = x (lodret linie) og linien s = t Trekanten D har areal 1 (x 2! a)2. Da f (t) M for alle punkter i D, er 1 2! (x a)2 M = M (x a)2 2! D Calculus 2-2005 Uge 49.1-21

Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! +... + xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. Calculus 2-2005 Uge 49.1-22

Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! +... + xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. For hvilke x gælder T n (x) e x for n? Calculus 2-2005 Uge 49.1-22

Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! +... + xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. For hvilke x gælder T n (x) e x for n? For hvilke x gælder R n (x) 0 for n? Calculus 2-2005 Uge 49.1-22

Eksponentialrækken konvergerer mod eksponentialfunktionen [S] 8.7 Taylor Eksempel 2 T n (x) = 1 + x 1! + x2 2! +... + xn n! er afsnits-summen i eksponentialrækken. For hvilke x gælder T n (x) e x for n? For hvilke x gælder R n (x) 0 for n? For alle x! THI: Calculus 2-2005 Uge 49.1-22

Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er f (n+1) (x) = e x e d Calculus 2-2005 Uge 49.1-23

Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Calculus 2-2005 Uge 49.1-23

Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Men x n+1 (n+1)! 0 for n. Calculus 2-2005 Uge 49.1-23

Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Men x n+1 0 for n. (n+1)! Altså R n (x) 0 for n Calculus 2-2005 Uge 49.1-23

Eksponentialrækken [S] 8.7 Taylor and Maclaurin series tag et d x. I intervallet [ d, d] er så restledsvurderingen giver f (n+1) (x) = e x e d R n (x) e d (n + 1)! x n+1 for x d. Men x n+1 0 for n. (n+1)! Altså R n (x) 0 for n Altså T n (x) f(x) = e x for n. Calculus 2-2005 Uge 49.1-23