Introduktion til Endogen Økonomisk Vækst Carl-Johan Dalgaard Økonomisk Institut Københavns Universitet 2. december 2003 Resumé Notatet diskuterer de formelle betingelser der kræves opfyldt for at generere endogen vækst i en-sektor modeller med eksogen og endogen opsparingsadfærd. Envidere defineres begreberne streng og semiendogen vækst. 1 Endogen produktivitetsvækst: Nogle fundamentale overvejelser I gennemgangen af neoklassiske vækstmodeller har vi fastholdt to centrale antagelser der viser sig at være væsentlige i forhold til hvordan endogen vækst kan genereres. For det første har vi antaget, at der eksisterer en aggregeret produktionfunktion der udviser konstant skalaafkast (KSA) til de rivaliserende faktorinput (kapital, K, ogarbejdskraft, L), men stigende skalaafkast til rivaliserende og ikke-rivaliserende (dvs. inklusiv teknologiindexet, A): Y = F (K, AL),λY = F (λk, AλL) for λ>0. Den anden gennemgående antagelse er fuldkommen konkurrence (FK) på varemarkedet og faktormarkederne. I forening indebærer disse to antagelser at: Y = F L AL + F K K = wl + RK, (1) Forelæsningsnoter: Makroøkonomi 2, Matematik-Økonomi. 1
hvor w og R repræsenterer hhv. reallønnen og realafkastet på kapital. Det første lighedtegn følger af Euler s teorem for homogene funktioner, og det andet lighedstegn er konsekvensen af fuldkommen konkurrence. Alle de neoklassiske vækstmodeller vi har studeret (Solow, Ramsey og Diamond) har haft en fælles egenskab: På langt sigt er væksten i indkomsten per beskæftiget givet ved væksten i A. Så i bund og grund handler endogen vækst teori om, at A skal bestemmes indenfor rammerne af modellen. En nærliggende idé er, at virksomhederne investerer i "nye teknologier", altså at vi opfatter A som et ekstra input i produktionen; på linie med K og L. Men dén går ikke. Udfra ligning (1) står det jo klart at givet FK og KSA vil aflønningen af K og L udtømme revenuet virksomhederne har således ikke ressourcer til at aflønne også A. Vi er altså nødsaget til at producere "en historie", der ikke kræver at virksomhederne aktivt investerer i tekniske fremskridt; dersom ovennævnte antagelser skal fastholdes. I dette kursus vil vi primært se på to tilgange. Metode 1. Glem A", og antag at kapitalinputtet er tilpas produktivt til at understøtte vedvarende vækst. Dette vil være den første mulighed vi kikker på. På det abstrakte plan er det klart at dersom A ikke viser sig at være nødvendig for at sikre vedvarende vækst i per capita indkomsten, da er problemet med at finansiere A jo også løst. Der er imidlertid også en anden tilgang: Metode 2. A øges uden nogen betaler for det: Altså som en gunstig sidegevinst"af produktiv aktivitet. Denne mulighed knytter sig til eksistensen af eksternaliteter i produktionen af færdigvarer. Altså den idé at i takt med at produktionen øges, da opnår arbejderne en erfaringsbetinget viden der gør dem mere produktive. Der er i sagens natur andre muligheder, som kan studeres i kurset "videregående vækstteori". 1 1 Her er en kort liste. En tredie mulighed er, at staten betaler: skatterevenue fra indkomstbeskatning kan anvendes fx på investeringer i infrastruktur, eller i forskning og udvikling. En fjerde mulighed er, at husholdningerne betaler. Humankapital akkumulation (altså investering i uddannelse) kan lede til vedvarende vækst, dersom uddannelse antages at være tilstrækkelig produktiv. Endelig er der den mulighed, at antagelsen om 2
2 Nødvendige og tilstrækkelige betingelser for endogen vækst Som opvarmning kan vi starte med kort at overveje hvorfor vedvarende vækst i per capita indkomsten er udelukket i neoklassiske vækstmodeller. Af hensyn til overskueligheden anvendes Solowmodellen i det følgende. 2 Den centrale differentialligning (fra nu af: "solowdynamikken") i denne model, når vi ser bort fra eksogene tekniske fremskridt, er k/k = s f (k) k (n + δ) Φ (k). Hvor k K/L, s er opsparingskvoten (eller investeringskvoten), F (K/L, 1) f (k) =y udgør produktionsfunktionen, n er vækstraten i arbejdsstyrken, mens δ er nedslidningsraten. I gennemgangen anvendte vi ovenstående som basis for fasediagrammet for økonomiens udvikling over tid. Specifikt noterede vi os at og endvidere at f (k) lim k/k = lim Φ (k) =s lim (n + δ) k 0 k 0 k 0 k L Hopital s regel = s lim f 0 (k) (n + δ) k 0 nedre"inada betingelse =, f (k) lim k/k = lim Φ (k) =s lim (n + δ) k k k k L Hopital s regel = s lim f 0 (k) (n + δ) k øvre"inada betingelse = (n + δ). kompetitive markeder suspenderes. Dersom virksomhederne har mulighed for at indtjene en positiv profit vil de potentielt være villige til at investerere i forskning og udvikling, for derigennem at øge produktiviteten. 2 Dette valg indebærer at vi kan fokusere på de teknologiske betingelser der skal være opfyldt for endogen vækst. Dersom vi tillader nyttemaksimerende husholdninger er vi nødt til også at implementere visse antagelser omkring agenternes præferencer. Vi vender kort tilbage til denne problematik i notatets sidste afsnit. 3
Ydermere, siden f(k) endvidere er monotont aftagende kan vi slutte at der k eksisterer en faktorintensitet, k>0, sådan at k/k =0. Altså vil væksten dø ud" i steady state. Til forelæsningerne har vi lidt løseligt tilskrevet dette resultat loven"om aftagende marginalprodukt. Men det er faktisk lidt en tilsnigelse. I realiteten er den helt centrale antagelse ikke at f 00 < 0 (sikrer aftagende marginalafkast), men derimod at kapitalens grænseprodukt bliver nul når faktorintensiteten går mod uendelig; altså den øvre" Inada betingelse: lim f 0 (k) =0. k Det er denne betingelse vi basalt set er nødsaget til at "kortslutte" for at få den økonomiske langsigtsvækstrate endogeniseret. Lad os kikke på nogle (forhåbentlig klargørende) eksempler. 2.1 Eksempel1:DensimpleAKModel Antag, som et ekstremt case, at produktionsfunktionen er givet ved y = f (k) =Ak, (A1) hvor A>0, menkonstant. 3 Hvis vi indsætter denne produktionsfunktion i Solow-dynamikken ovenfor fås umiddelbart k/k = s f (k) k (n + δ) Φ (k) =sa (n + δ) > 0 (2) hvis sa > (n + δ). Givet antagelsen A1 fås dermed umiddelbart muligheden for vedvarende vækst i faktorintensiteten, og dermed i indkomsten per capita. Det sidste ses let ved at differentiere ligning (A1) mht t: ẏ/y = k/k. Derer flere implikationer af ovenstående ligning: 1. Den økonomiske vækstrate er konstant på alle tidspunkter, 3 Nu kan man undres over hvor det andet centrale input - arbejdskraft - er blevet af. Det skal imidlertid ikke distrahere os på dette sted: vi fokuserer på mekanikken, og gemmer mulige forklaringer af (A1) til senere. 4
2. Om den betragtede økonomi vokser eller skrumper afhænger af parametrene. Specielt er det muligt at lande der investerer for lidt"ender i det sidstnævnte tilfælde. Med "for lidt" menes: s< s (n + δ) /A, 3. Ændringer i den økonomiske politik (som manifesterer sig i ændringer i fx s) harpermanent væksteffekt. Dette i modsætning til neoklassiske vækstmodeller, hvor ændringer i s blot påvirker niveauet for indkomsten på langt sigt ( i steady state), 4. Væksten i indkomsten per capita er endogent bestemt ved modellens parametre: s, A, n samt δ. Mere generelt vil vi arbejde med følgende definition på strengt"endogen vækst 4 Definition 1 (Strengt) endogen vækst. Der foreligger strengt endogen vækst dersom vedvarende vækst i per capita indkomsten er mulig uden dette kræver at variable i modellen vokser med eksogene rater. Ovenstående - noget rudimentære - model udviser således endogen vækst. Til gengæld udelukker definitionen at Solowmodellen udviser endogen vækst: Her er væksten på langt sigt givet ved vækstraten af teknologi-niveauet ( A/A = g), som er eksogen. Det turde også være klart, at eksistensen af vedvarende vækst i ovenstående eksempel kun lykkedes fordi vi droppede den øvre inada-betingelse. Hvis y = f (k) =Ak følger det jo at f 0 (k) =A>0 for alle k; specielt er betingensen lim k f 0 (k) =0derfor brudt. Men på sin vis har vi muligvis opnået lige rigeligt meget. Specifikt har vi jo fuldkommen antaget os ud af aftagende marginalproduktivitet, hvilket næppe er aldeles realistisk. Det betyder jo, at modellen slet ikke tillader tilpasningdynamik af nogen som helst art. Det er lidt problematisk idet vi kan observere en klar negativ sammenhæng mellem initial indkomst per capita, og efterfølgende vækst, for lande med ens structurelle karakteristika (fx OECD landende betinget konvergens). Hvis AK modellen var "data genererenede" burde denne sammenhæng slet ikke kunne opstå. 4 Senere vil vi introducere begrebet svag eller "semi-endogen vækst. 5
Men det er faktisk heller ikke nødvendigt at eliminere tilpasningsdynamikken fuldkommen; som det næste eksempel illustrer. 2.2 Eksempel2:DenasymptotiskeAKmodel Betragt følgende produktionsfunktion Y = F (K, L) =AK + K α L 1 α y = f (k) =Ak + k α,a>0. (A2) Vi kan starte med at notere os, at f 0 (k) = A + αk α 1 > 0 f 00 (k) = α (α 1) k α 2 < 0. Under (A2) har vi således tilladt aftagende marginal afkast - f 00 (k) < 0. Men er der så endogen vækst? Dette kræver at vi tjekker grænseværdien f (k) lim k k = A + lim k k α 1 = A>0. Dvs, at vi igrænsenender med nøjagtigt ligning (2). Eksempel 1 er i al sin enkelthed et specialtilfælde af teknologien A2. Men der er blot tale om at vedvarende vækst kan opstå. For hvis sa < n + δ vil væksten i per capita indkomsten gradvist forsvinde. Bemærk at kapitalens gennemsnitsprodukt (f (k) /k) erfaldendemedk; ganske som i den sædvanlige Solowmodel. Hvis der findes et k : s f(k ) = n + δ da tillader k modellen en steady state, hvor k =0. Medandreord:landemedentilpas høj investeringskvote (dvs s> s (n + δ) /A) vil udvise permanent vækst i per capita indkomsten. Til gengæld vil vi nå til den konklusion, at faktorintensiteten k konvergerer mod en konstant (steady state niveau, ganske som i den sædvanlige Solowmodel) i lande med s s. Fasediagrammet for modellen er illustreret i Figur 1, hvor der samtidigt sondres mellem de to mulige udfald af vækstprocessen. Ved opsparingskvoten s 1 gælder således 6
Figur 1: Fasediagram for den asymptotiske endogene vækstmodel. s 1 < (n + δ) /A; hvorimod uligheden er vendt ved s 2. I dette tilfælde er der således vedvarende vækst, mens modellen tillader en steady state når s = s 1. 5 Men det ændrer ikke ved, at vedvarende vækst i per capita indkomsten er en mulighed. Desuden der er tydeligvis ingen variable der vokser med eksogene rater og derigennem driver væksten i per capita indkomsten. Der foreligger derfor endogen vækst. Samlet har vi følgende resultat: Resultat 1 Den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for endogen vækst i en-sektor vækstmodeller med eksogen opsparingskvote er: lim k f 0 (k) > 0. En korrolar til resultatet er naturligvis, at hvis f 0 (k) > 0 for alle k, da er det tilstrækkeligt for strengt endogen vækst. Undertiden kan man støde på det udsagn, at endogen vækst (i en-sektor modeller) kræver "konstant skalaafkast til den akkumulerbare produktions- 5 Den simplere AK model, som vi behandlede ovenfor, er tydeligvis blot specialtilfældet, hvor Φ (k) er en vandret linie, sammenfaldende med "asymptoterne"s 1 A (n + δ) hhv s 2 A (n + δ). 7
faktor" (eller at modellens centrale differentialligning er lineær). 6 Det viser sig imidlertid at Resultat 1 og fornævnte udsagn er ensbetydende. For at indse dette, betragt eksempel 1 ovenfor. Vi har: Y = AK. Konstant skalaafkast i K kræver at skalaelasticiteten mht K", dy K, er lig dk Y 1. 7 Vi finder umiddelbart at: dy K dk Y = A 1 A =1. I ord haves altså, at en stigning i K (inputet der kan akkumuleres) på 1 pct. leder til en stigning i Y på 1 pct. Hvad med eksempel 2? Skalaelasticiteten mht K er y k k y = f 0 (k) k f (k) = (A + αkα 1 ) k Ak + k α = Ak + αkα Ak + k α, og dén er jo ikke 1. Men det bliver den når k : y k lim k k y = lim k Ak + αk α Ak + k α = lim k Ak 1 α Ak 1 α + α + lim k L Hopital = lim k A + α 2 k α 1 A + αk α 1 α 2 Ak 1 α + α =1. Den asymptotiske AK model udviser dermed asymptotisk konstant skalaafkast til den akkumulerbare produktionsfaktor. Vi har således nedenstående alternative udlægning af den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for endogen vækst. Resultat 2 Den nødvendige og tilstrækkelige betingelse for endogen vækst i en-sektor modeller med eksogen opsparingskvote f(k) k er: lim k =1. k f(k) 6 Det er fx den opfattelse man efterlades med hvis man studerer C. Jones "Introduction to Economic Growth", W.W Norton and Company Inc., New York, 1998, Kap. 8. 7 Hvad er "skalaelasticiteten"mht K hvis vi har Y = K α L 1 α? 8
Det er således vigtigt at være opmærksom på, at dersom vi antager lim k f 0 f(k) k (k) > 0, da er det ensbetydende med at lim k k f(k) =1.8 I bund og grund kan man således selv vælge om man vil udtrykke betingelsen på den ene eller den anden måde. 2.2.1 En problematisk implikation af den asymptotiske endogene vækstmodel Når vi kikker på betingelsen udtrykt via Resultat 2 i et stykke tid bliver det klart, at der er noget ubehageligt ved den. Antag fuldkommen konkurrence på faktormarkederne og varemarkedet, hvorfor virksomhederne sørger for at L og K 0 s marginalprodukt modsvarer de respektive faktorpriserne w = f (k) f 0 (k) k, R = f 0 (k). I så fald indebærer betingelsen for endogen vækst, at lønkvoten asymptotisk nærmer sig 0, siden lønkvoten = w y = w f (k) =1 f 0 (k) k, f (k). For endogen vækst kræves at f 0 (k)k, 1, hvorforw/y 0. 9 Empirisk er f(k) derimidlertidikkemegetdertyderpåatlønkvotennærmersig0overtid; tværtom synes den at være relativt stabil. En mulig løsning er diskuteret nedenfor. 2.3 Eksempel3:EndogenvækstviaLearning-by-Doing Betragt Cobb-Douglas produktionfunktionen Y = K α (AL) 1 α. (3) 8 Prøv selv at finde grænseværdien af (f 0 (k) k) /f (k) givet antagelsen: lim k f 0 (k) = E>0. 9 I den simplere AK model så vi helt bort fra arbejdskraft, så her gælder w/y =0for alle kapitalniveauer. Denne udgave af modellen er således ikke specielt mere appeleredende, set udfra denne synsvinkel. 9
Når virksomheden maximerer profitten tages A som eksogen given, og de respektive marginal produkter for K og L sættes lig de relevante faktor priser: w = Y L =(1 α) Y L R = Y K = α Y K. Vi antager nu følgende: I takt med at produktionen Y øges, øges arbejdernes erfaring, hvorfor deres produktivitet øges. Formelt antager vi: A = ηy, η > 0. (A3) Antagelsen A3 er udtryk for Learning-by-doing genereret produktivitetsvækst. Det er relevant at sondre imellem interne læreprocesser, og eksterne læreprocesser. Interne læreprocesser afspejler, at den enkelte virksomheds erfaring med produktion leder til at virksomhedens egne arbejdere (og kun dens egne) bliver mere produktive. Det er ikke dén form for læreproces vi her skal have i tankerne, men derimod ekstern indlæring. Det vil sige, at vi antager, at den viden der genereres i virksomhed I - via produktionen af en given vare - over tid smitter af på virksomhed IIs arbejderes produktivitet. Der er empiriske studier der bekræfter at denne type af vidensspredning faktisk synes at finde sted; muligvis som konsekvens af at arbejdere forlader virksomhed I og søger beskæftigelse i virksomhed II. 10 Sondringen er vigtig, idet vi ønsker at fastholde antagelsen om, at virksomheden ikke internaliserer de gevinster der opstår ved produktionen af varen. Altså tager "A" som udefra givet. Hvis vi fokuserer på intern indlæring synes denne antagelse ikke at være synderlig appelerende. Men dersom læreprocessen er ekstern, og virksomheden er "lille" forekommer det mere rimeligt at antage, at den ikke tager højde for sit eget bidrag til den kollektive viden i samfundet, A, når den vælger faktorinput. Med disse overvejelser kan vi nu påbegynde analysen af modellen. Lad os starte med at indsætte ligning (A3) i produktionfunktionen: Y = K α (ηy L) 1 α 10 Se fx. Irwin and Klenow, 1994. Learning-by-Doing Spillovers in the Semiconductor industry. Journal of Political Economy. 10
hvis Y isoleres opnår vi Y = K (ηl) 1 α α G (K, L). (4) I tilfældet med eksternaliteter er der således forskel på den produktionsfunktion som den enkelte virksomhed mener den står over for (dvs (3)), ogsåden der faktisk gælder for økonomien, når eksternaliteten er taget med i overvejelserne ((4)). I det følgende vil vi referere til G ( ) som den "reducerede form"produktionsfunktion. I det omfang vi antager, at arbejdsstyrken er konstant over tid (ligesom parameteren η) er vi i praksis tilbage i den simple "AK model" (eksempel 1). Dynamikken er for denne model (idet vi igen antager at S = sy )givetved hvorfor K = sy δk = sg (K, L) δk K K = s (ηl) 1 α α δ>0 hvis s (ηl) 1 α α δ>0. Det er således tydeligt, at endogen vækst er mulig; og det er en enkelt sag at tjekke, at vurderet udfra ligning (4) at den øvre Inada-betingelse er brudt, når vi har indregnet effekten fra antagelsen A3! Resultat 1 og/eller 2 bør således læses sådan, at den relevante produktionsfunktion - det vil i tilfældet med eksternaliteter sige den reducerede form G (K, L) -skalbryde den øvre Inada-betingelse, eller, udvise konstant skalaafkast til K. En gevinst ved denne tilgang til endogenisering af væksten er, at den ubehagelige implikation vdr lønkvoten undgås. Set fra virksomhedens synspunkt er produktionfunktionen givet ved (3). Ved kompetitive markeder véd vi, at RK Y = Y/ K Y/K givet (3) = α. Lønkvotenerdermedgivetved1 RK =1 α, på alle tidspunkter. Men Y på det "aggregrede plan", altså når vi tager eksternaliteten i betragtning, er produktionfunktionen ligning (4), hvor Y/ K Y/K = (ηl) 1 α α (ηl) 1 α α 11 =1,
som påkrævet for endogen vækst (konstant skalaafkast i den akkumulerbare produktionsfaktor - K). Forklaringen på forskellen er, at det private afkast (R p ) ved investering i kapital er mindre end det sociale (R s ). Så mens R p K Y = α vil R s K =1. Y Det private afkast er mindre fordi virksomhederne ikke tager højde for, at når de øger produktionen, da stiger arbejdernes produktivitet. Den sidste effekt er imidlertid indregnet når det sociale afkast udregnes. Mere konkret haves: mens R s = µ Y K s =(ηl) 1 α α R p = µ Y p = α Y K 1 α α K = α(ηl) K K µ = α (ηl) 1 α α Y s <. K Denne egenskab ved modellen indebærer, at den decentrale løsning (i en model med optimerende husholdninger) ikke er sammenfaldende med samfundsplanlæggerens foretrukne. Det vil vi se nærmere på i forbindelse med gennemgangen af Romer (2001, kap. 3.5). Men hvor robust er ovenstående model type egentlig? Det kikker vi på i næste afsnit, hvilket også åbner muligheden for at introducere begrebet "svagt-" eller semi-endogen vækst 3 Eksempel 4: Svag eller semi-endogen vækst Lad os starte med at modificere ligning (A3) således at produktiviteten ikke nødvendigvis stiger med 1 procent, i det omfang output stiger med 1 procent: A = ηy λ. (A4) 12
Det viser sig at denne, tilsyneladende beskedne, ændring af set-up et har stor betydning for modellens egenskaber. Hvis A4 udnyttes i produktionsfunktionen (3) opnås Y = K α ηy λ L 1 α, hvorefter Y kan isoleres Y = K α 1 λ(1 α) (ηl) 1 α 1 λ(1 α) G (K, L). Lad os antage at 1 λ (1 α) > 0. På trods heraf er det tydeligt, at skalaelasticiteten mht K ikke er 1, men derimod 11 Y K K Y = α R 1 for λ R 1. 1 λ (1 α) Hvis vi indsætter den reducerede form produktionfunktion, G (K, L), isolow- dynamikken: K = sy δk = sk α 1 λ(1 α) (ηl) 1 α 1 λ(1 α) δk m K K = s Y K δ = sk (λ 1)(1 α) 1 α 1 λ(1 α) (ηl) 1 λ(1 α) δ Det er nu klart, at hvis 1 <λ< 1 vil væksten selv med en konstant 1 α befolkning - være stigende over tid; altså opføre sig "eksplosivt" om man vil. Dette følger umiddelbart af, at K (λ 1)(1 α) (λ 1)(1 α) / K = sk 1 λ(1 α) 1 1 α (ηl) K 1 λ(1 α) 0 for alle K>0. Siden der p.t. ikke forelægger nogen som helst evidens for, at den økonomiske vækstrate udviser eksponentiel vækst, vil vi i det følgende se bort fra dette tilfælde. Hvis λ =1er vi "tilbage"i modellen ovenfor. Hvad med tilfældet hvor λ<1? I så fald er eksponenten (λ 1)(1 α) < 1, ogvæksten 1 λ(1 α) vil dø ud al den stund L holdes konstant. Men hvis arbejdsstyrken øges over tid - med raten n - da viser det sig muligt at fastholde en konstant vækst i kapitalbeholdningen per capita. For 11 Siden α<1 kan vi med betingelsen (1 λ (1 α)) > 0 ikke udelukke, at λ>1. 1 λ(1 α) > 13
at indse dette er det letteste at notere sig at konstant vækst i at følgende er opfyldt d (Y/K) d ³K (λ 1)(1 α) 1 α 1 λ(1 α) (ηl) 1 λ(1 α) = =0, dt dt hvilket er opfyldt hvis: µ (1 λ)(1 α) K 1 λ (1 α) K = 1 α n 1 λ (1 α) m K K = n 1 λ. K K må kræve Efterfølgende kan væksten i kapitalbeholdningen per arbejder bestemmes: k k = K K n = n µ λ 1 λ n = n. 1 λ Vi kan således konkludere, at vedvarende vækst i kapitalbeholdningen per capita er mulig. Væksten i indkomsten må envidere være identisk den samme. Fra Solowdynamikken har vi jo at K/K = s (Y/K) δk. Hvis således K vokser med en konstant rate, må denne være sammenfaldende med vækstraten i Y (ellers vil Y/K ikke være konstant). Altså er væksten i per capita væksten ligeledes givet ved µ ẏ λ y = n. 1 λ Men selvom vedvarende vækst i indkomst per capita er muligt i modellen, da kræver det at arbejdsstyrken øges over tid og dét med en eksogen rate. Uden denne eksogene vækst i L vil væksten i pr. capita indkomsten gradvist forsvinde. Der foreligger altså ikke streng endogen vækst. På den anden side er modellen heller ikke direkte sammenlignlig med Solowmodellen. Her antages det jo, at A vokser over tid, med en udefra givet rate. I nærværende model er væksten i A bestemt indenfor modellens rammer, og er konkret µ A λ A = λẏ Y = n. 1 λ 14
Vi har således med et slags "mellem tilfælde" at gøre. For at have noget konkret at henvise til, vil vi benævne dette udkomme af vækstprocessen som svag eller semi-endogen vækst: Definition 2 Svag eller Semi-endogen vækst. Der foreligger semi-endogen vækst dersom vedvarende vækst i per capita indkomsten betinger eksogen vækst i en ikke-teknologisk variabel. Diskussionen ovenfor løfter også sløret for hvornår semi-endogen vækst opstår: Resultat 3 Semi-endogen vækst. Lad G (K, L) representere den reducerede form af den aggregerede produktionsfunktion. De nødvendige og tilstrækkelige betingelse for semi-endogen vækst i en-sektor modeller med eksogen opsparingskvote er at produktionsteknologien udviser stigende skalaafkast til kapital og arbejdskraft under ét (G (λk, λl) >λy), men aftagende marginalproduktivitet til kapital inputtet isoleret G (λk, L) < λy. Forskellen til streng endogen vækst ligger dermed i, at hvor streng endogen vækst kræver G (λk, L) = λy (altså konstant skalaafkast til den akkumulerbare produktionsfaktor) da kan semi-endogen vækst opstå hvis G (λk, L) < λy. I en standard Solowmodel opstår semi-endogen vækst ikke selvom G (λk, L) < λy holder. Det skyldes, at vi i Solowmodellen antager præcis konstant skalaafkast til K, L; altsåg (λk, λl) =F (λk, λl) =λy. 3.1 En bemærkning om "generalitet" På dette sted er der muligvis et spørgsmål der trænger sig på: Hvad er så mest realistisk: streng eller semi-endogen vækst? Det er et spørgsmål der ikke umiddelbart lader sig besvare, og som må komme an på empirisk efterprøvning. Men det er dog relevant at påpege, at der ikke er tale om at streng endogen vækst er mindre "generel" end semi-endogen vækst. Det er ellers 15
en tanke man kunne komme på i lyset af diskussionen ovenfor. Hvor semiendogen vækst opstår når A = ηy λ for alle 0 <λ<1, dasynesstreng endogen vækst at kræve λ =1.Menherskalmanværeopmærksompå,at denne forskel er et produkt af at vælge simple funktionelle former (Cobb- Douglas). For at indse dette, antag følgende teknologi Y = K α (AL) 1 α, hvor A nu er en generel" funktion af kapitalbeholdningen (hvilket gør modellen lidt simplere, men som ikke er afgørende): A = A (K). (5) I denne model vil streng endogen vækst opstå dersom vi antager: lim K A0 (K) =E>0, mens semi-endogen vækst opstår dersom (A5a) lim K A0 (K) =0. (A5b) Hvilken af disse betingelser der synes mest snærende overlades til læserens subjektive vurdering. At vise, at A5b leder til semi-endogen vækst overlades til den interesserede læser. Her vil vi kort vise, at betingelsen A5a sikrer strengt endogen vækst. Hvis A = A (K) indsættes i produktionfunktionen, hvorpå vi indsubstituerer i Solowdynamikken opnås: µ 1 α K A (K) K = s L 1 α δ Φ (k) K Hernæst kan vi undersøge grænseværdien af vækstraten, når K bliver stor: lim K K K = lim k Φ (k) =sl1 α lim µ = sl 1 α A (K) lim K K K µ 1 α A (K) δ 1 α δ L Hopital = s (LE) 1 α δ>0 hvis s (EL) 1 α >δ.dette tilfælde repræsenterer dermed i praksis den asympotiske udgave af eksempel 3. 16 K
3.2 Endogen vækst og Ramsey forbrugere Afslutningsvist er det værd kort at overveje om Resultat 1(/2) stadig gælder hvis vi tillader Ramsey-husholdninger? Ikke helt og aldeles, desværre. For at indse dette, antag at husholdningen er udstyret med følgende nyttefunktion U 0 = Z s=0 u (c s ) e ρs ds hvor c s er forbruget pr. person i husholdningen. Vi ser bort fra vækst i arbejdsstyrken. Den dynamiske bogholderi ligning er k = f (k) c, k 0 given. (6) Hvis vi løser husholdningens problem opnås Keynes-Ramsey reglen ċ c = 1 ε (c t ) (f 0 (k t ) ρ),ε(c t ) u00 (c) c (7) u 0 (c) Så modellen er nu karakteriseret ved ligningerne (6) og (7). Lad os nu foretage en teknologisk antagelse, i overenstemmelse med Resultat 1(/2): f (k) =Ak. Som konsekvens heraf ser differentialligningssystemet nu således ud k k = A c k ċ c = 1 (A ρ). ε (c t ) I denne model vil en balanceret vækststi bestå af et forløb hvor både, k, y og c vokser med konstante rater. Men det er jo tydeligt at c ikke nødvendigvis vil øges med en konstant eksponentiel rate; dette afgøres af hvordan grænsenytteelasticiteten, ε (c t ), opfører sig og dermed af elementarnyttefunktionen. Teknologi-antagelsen er således ikke tilstrækkeligt til at sikre vedvarende endogen vækst i forbruget. Som eksempel på hvordan tingene kan "gå galt", antag at elementarnyttefunktionen er eksponentiel: u (c) = e c 17
Vi har dermed at u 0 (c) = e c > 0, u 00 (c) = e c < 0, altså positiv men aftagende marginalnytte. Men hvorfor Keynes-Ramsey bliver ε (c t ) u00 (c) c u 0 (c) = e c c e c = c ċ c = 1 (A ρ). c I takt med at c øges må væksten i forbruget gradvist aftage siden substitutionselasticiteten ( 1 ε(c t ) over tid nærmer sig 0. Nøglen er altså at vi også må ) tilføje en antagelse om hvordan elementarnyttefunktionen ser ud. Specielt er vi nødt til at antage, at ε (c t ) nærmer sig en konstant; ellers er konstant forbrugsvækst umulig. Samlet har vi Resultat 4 Nødvendige og tilstrækkelige betingelse for endogen vækst f(k) i en-sektor modeller med endogen opsparingskvote er: lim k k 1 samt lim c ε (c t )=θ>0. Det simpleste eksempel på en elementar nyttefunktion der overholder betingelsen lim c ε (c t ) = θ > 0 er naturligvis u (c) = lnc. Hervédvi jo, at grænsenytteelasticiteten er 1, for alle forbrugsniveauer. Den lidt mere generelle form, u (c) = c1 θ 1, duer naturligvis også. Men i princippet er det 1 θ "nok", hvis blot u (c) asymptotisk bliver på CES form. k = f(k) 18