Hvad er kønetværk? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 1 / 17

Hvad er kønetværk? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 1 / 17

Hvad er kønetværk? Vi skal kun se på åbne kønetværk (ankomst fra eksterne kilder, hver kunde forlader systemet med sandsynlighed 1). Ideelt vil vi gerne, at hvert delsystem ligner de køsystemer, vi véd, hvordan vi analyserer (M/M-systemer, M/GI -systemer). Interessante spørgsmål 1 Hvordan ser ankomst/afgangsprocesser i delsystemer ud? 2 Hvilken indflydelse har det på beregninger, at delsystemer generelt afhænger af hinanden? 3 Hvordan beregnes performancestørrelser for (del)system? AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 2 / 17

Hvad er kønetværk? Poisson afgangsproces hvornår? Burke s sætning: For et M/M(m, ) med ankomstintensitet a og trafiktilbud A, således at A/m < 1 (ligevægt), er afgangsprocessen også en Poisson proces med intensitet a. Desuden, hvis N(t) er antal kunder i systemet til tid t, og M(t) er afgangsprocessen til tid t, så er N(t) uafhængig af M(s) for alle s t. Med andre ord ankomst- og afgangsprocessen ser ens ud ( flow ind = flow ud ) vi kan ikke bruge observationer af afgangsprocessen nu til at sige noget om antallet af kunder i systemet nu. Endvidere for et M/GI (, 0)-køsystem (uendeligt mange ekspedienter) med ankomstintensitet a, er afgangsprocessen ligeledes en Poisson proces med intensitet a. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 3 / 17

Hvad er kønetværk? Eksempel: simpel tandemkø Hvert delsystem kan analyseres separat som M/M(1, ). Lad N i (t) = antal kunder i delsystem i til tid t. Eftersom N 2 (t) kun afhænger af ankomstproces før tid t, som er uafhængig af N 1 (t) iflg. Burke s sætning, er N 1 (t) faktisk uafhængig af N 2 (t) (gælder generelt i Jacksonnetværk som defineret senere slide 12). AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 4 / 17

Fra afgangsproces til ankomstproces Ankomstprocesser til delsystemer er typisk Sammensat af flere afgangsproc./eksterne ankomstproc. En procentdel af en afgangsproc./eksterne ankomstproc. Begge dele. Reminder fra 2. forelæsning Sum. Hvis N i uafhængige Poissonprocesser med int. a i, i = 1, 2, så er N 1 + N 2 en Poissonproces med intensitet a 1 + a 2. Udtynding. Lad N være en Poissonproces med intensitet a. Hvis Ñ er tælleprocessen, som fremkommer ved uafhængigt at inkludere hver enkelt ankomst i N med sandsynlighed p, så er Ñ en Poissonproces med intensitet ap. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 5 / 17

Fra afgangsproces til ankomstproces Sumproces har intensitet givet ved sum af afgangsintensiteter. Antag p 1 +... + p k 1 og sandsynlighed p j for at en ankomst tilknyttes delproces j. Da er de k Poisson delprocesser uafhængige med intensiteter p 1,..., p k, respektivt. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 6 / 17

Fra afgangsproces til ankomstproces Erlang ankomstprocesser Delproces j får præcis hver jte ankomst, j = 1,..., k. Dermed fås en Erlangproces af orden k m. intensitet a/k. Vanskeligt at benytte dette til eksakte beregninger pånær i meget simple kønetværk, fx simpel tandemkø. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 7 / 17

Fra afgangsproces til ankomstproces Eksakte beregninger opsummering Vi kan regne eksakt på åbne kønetværk, hvor Eksterne ankomstprocesser er Poisson. Delsystemer med m servere, uafhængige eksp. fordelte ekspeditionstider og uendeligt mange ventepladser. Tilfældig kundeallokering mellem delsystemer. (Der ingen løkker er, dvs. hver kunde besøger hvert delsystem højest én gang). Fremgangsmåde 1 Bestem ankomstintensitet for hvert delsystem vha. regnereglerne slide 6. 2 Regn på hvert delsystem som på M/M(m, ). 3 Sammensæt evt. performancestørrelser fra delsystemer. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 8 / 17

Fra afgangsproces til ankomstproces Eksempel: kønetværk uden løkker Antag at hvert delsystem er et M/M(1, )-system. Ekspeditionsintensiteter b 1 = 3, b 2 = 2.5, b 3 = 0.5, b 4 = 4. Dvs./ delsystemer med ankomst/ekspeditionsintensiteter 1 : a = 2, b = 3, 3 : a = 0.1 2 = 0.2, b = 0.5 2 : a = 0.9 2 = 1.8, b = 2.5 4 : a = 2, b = 4. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 9 / 17

Fra afgangsproces til ankomstproces Eksempel: kønetværk uden løkker Hvad er den gennemsnitlige produktionstid (i ligevægt)? Gnsnt. antal kunder n i i delsystem i (i ligevægt); vi véd at n i = hvor A i trafiktilbud i delsystem i. Dvs. 1 : n 1 = (2/3)2 1 2/3 = 1.33, 2 : n 2 = (1.8/2.5)2 1 1.8/2.5 = 1.85 3 : n 3 = (0.2/0.5)2 1 0.2/0.5 = 0.27 4 : n 4 = (2/4)2 1 2/4 = 0.5. Dvs. samlet gnsnt. produktionstid (vha. Little s formel) V = 1 a (n 1 + n 2 + n 3 + n 4 ) = 1.98 A2 i 1 A i, AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 10 / 17

Kønetværk med løkker (feedback) Eksempel på kønetværk med løkke/feedback. Antag at delsystemer kan modelleres som G/M(m, )-systemer og at ekstern ankomstproces er Poisson. Bemærk at intern ankomstproces (dvs. når feedback medregnes) ikke er en Poissonproces! Kan systemerne stadig analyseres som separate M/M(m, )-køsystemer? Ja ifølge Jackson s sætning. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 11 / 17

Jacksonnetværk Et Jacksonnetværk er et åbent kønetværk af G/M(m, )-køer, hvor eksterne ankomstprocesser er uafhængige Poisson, og kunder fra et køsystem allokeres tilfældigt til næste køsystem indtil kunden forlader køsystemet. Jackson s sætning Et Jacksonnetværk kan analyseres ved at 1 Bestemme ankomstintensiteter a i til hvert delsystem ved at udnytte, at flow ind = flow ud for hvert delsystem i ligevægt. 2 Behandle hvert delsystem som om det var et M/M(m, )-system med ankomsintensitet a i uafhængigt af de øvrige delsystemer. 3 Evt. kombinere performancestørrelser på tværs af delsystemer. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 12 / 17

Jacksonnetværk Eksempel: beregninger i Jacksonnetværk Præcis samme teknik, som I brugte i Opgave 2 til 2. opgaveregning. 1 : a 1 = λ 1 + 0.2a 4 4 : a 4 = a 3 + a 2 2 : a 2 = 0.5a 1 5 : a 5 = 0.8a 4 + λ 2 = λ 1 + λ 2. 3 : a 3 = 0.5a 1 1 11.25 2 5.63 3 5.63 4 11.25 a 5 = 10 AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 13 / 17

Jacksonnetværk Eksempel: beregninger i Jacksonnetværk Antag at eksempelnetværk er et Jacksonnetværk med M/M(1, )-delsystemer og ekspeditionsintensiteter b 1 = = b 5 = 12/time Gnsnt. antal kunder n i i delsystem i (i ligevægt); vi véd at n i = hvor A i trafiktilbud i delsystem i. Dvs. 1 : n 1 = (11.25/12)2 1 11.25/12 = 14.06, 3 : n 3 = (5.63/12)2 1 5.63/12 = 0.41 2 : n 2 = (5.63/12)2 1 5.63/12 = 0.41 4 : n 4 = (11.25/12)2 1 11.25/12 = 14.06 5 : n 5 = (10/12)2 1 10/12 = 4.17. Dvs. samlet gnsnt. produktionstid (vha. Little s formel) V = 1 λ 1 + λ 2 (n 1 + n 2 + n 3 + n 4 + n 5 ) = 3.3 A2 i 1 A i, idet λ 1 + λ 2 er intensiteten for alle ankomster ( samlet throughput ). AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 14 / 17

Jacksonnetværk Karakteristiske størrelser i Jacksonnetværk Poisson eksterne ankomstprocesser med intensiteter λ 1,..., λ l. Sæt λ = λ 1 + + λ l (samlet throughput). Antag k delsystemer med ankomstintensiteter a i ; gennemsnitlige ekspeditionstider b i ; m i ekspedienter; N i (t) kunder til tid t. Ekspedientbelastning ved delsystem i; med trafiktilbud A i = a i /b i ρ i = A i m i, (skal være mindre end 1 for ligevægt!). Gennemsnitligt antal besøg til delsystem i: v i = a i /λ. Gennemsnitligt antal kunder i system: L = k i=1 EN i. Gennemsnitlig opholdstid i system: V = 1 k λ i=1 EN i. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 15 / 17

Rekapitulation: dimensionering og analyse Vi kan regne eksakt på åbne kønetværk m. M/M(m, ) delsystemer og tilfældig allokering til delsystemer. Velegnet til initiel dimensionering og analyse. Bemærk Analysen forudsætter eksponentialfordelte ventetider. Ofte er ventetidernes varians mindre end eksponentialfordelingens. Det betyder, at analysen giver konservative performancemål. Eksempelvis vil den faktiske gennemsnitlige ventetid være mindre end analysens resultat, jf. PK-formlen V = 1 1 A ( 1 + VarS ) 2 b 1 A (ES) 2. AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 16 / 17

Kort om M/GI (, 0)-delsystemer Vi kan faktisk også regne eksakt på åbne kønetværk med M/GI (, 0)-delsystemer; uden løkker(!!!). Mindre interessante i dimensioneringssammenhæng pga. uendeligt mange ekspedienter per delsystem dvs. kunder bliver altid straksekspederet. For antal kunder i delsystem i gælder N i Poisson(A i ). Heraf eksempelvis antal kunder i delsystem i Dvs. EN i = A i gennemsnitligt antal kunder EN1 + + EN k = A 1 + + A k ; gennemsnitligt produktionstid: V = λ 1 (A 1 + + A k ). AGR/PSE (I17) VS7-8. minimodul 17 / 17