Rapport Problemorienteret projektarbejde i matematikundervisningen YOUNG MOBILE A/S Det optimale mobilabonnement Gitte Iversen Jørgen Lerchedahl Petersen Jan de la Motte Olsen CPH West Htx afdelingen, 2006. 1
Indholdsfortegnelse Forside. Indholdsfortegnelse. 1. Projektets baggrund. 2. Projektets design. 3. Projektets forøb. 4. Pædagogiske observationer. 5. Elevernes skriftlige evaluering. 6. Elevernes mundtlige evaluering. 7. Fik de lært det? 8. Fik vi lært det? 9. Forbedringsforslag. 10. Konklusion. Bilag 1: Elevoplæg - Young Mobile A/S. Bilag 2: Brug af Excel i matematik. Bilag 3: Drømme Mobilen Lille Excel-trænings øvelse. Bilag 4: Debitel mobilabonnementer. Bilag 5: Evalueringsskema. Bilag 6: Forslag til næste års elevoplæg inkl. bilag 1 2 2 3 3 5 6 7 7 10 10 12 13 15 18 19 20 21 1. Præsentation af projektets baggrund I bekendtgørelsen til den ny gymnasiereform er det bestemt at en del af undervisningen i matematik skal være problem- og projektorienteret. Derfor meldte vi os til dette kursus på RUC. Kurset som blev ledet af Tinne og Morten har vi oplevet som inspirerende, muntert og professionelt og vi vil gerne sige tak for det venlige pres der blev lagt på os under forløbet. Da vi underviser på HTX er den problem- og projektorienterede undervisningsform ikke fremmed for os, idet den indgår som et væsentligt element i teknologiundervisningen. Matematikundervisningen har derimod overvejende været traditionel, men med små tværfaglige projekter hvor det ikke har været forstyrrende for indlæringen af de matematiske spidskompetencer. I bekendtgørelsen for den ny gymnasiereform er det endvidere et krav at eleverne møder forskellige it-baserede hjælpeværktøjer: Mathcad, Excel, grafregner etc. Vores elever er 1.g 2. semester. De har på grundforløbet snuset til samtlige fag og studieretningskombinationer på uddannelsen og har efter jul valgt sig ind på den studieretning de vil følge i resten af deres uddannelsesforløb. Vi endte med 4 klasser hvoraf den ene har matematik på A-niveau mens de tre andre har det på B-niveau. Af eleverne på B-niveau har 70% af eleverne valgt matematik på A-niveau som tilvalgsfag. Jlp har klassen med A-niveau mens jmo har de 3 klasser på B-niveau og gii formodentlig skal have 1. årselever i næste semester. Egne mål: At afprøve matematiske modeller som emne i problemorienteret projektarbejde At undersøge om man kan fange nogle elever som normalt ikke er de meste aktive i matematik vha. et (måske) populært emne og en anderledes arbejdsform 2
At åbne for at eleverne arbejder på forskellige niveauer simple ift. komplekse abonnementer At afprøve vejlederen som lærerrolle 2. Projektets design Vi ville prøve om den problem- og projektorienterede metode ville være gangbar ved tilegnelsen af såkaldt hjælpemiddelkompetence, in casu regnearket Excel. Da de unge mennesker er storforbrugere af elektroniske gadgets og dybt afhængige af mobiltelefoner specielt sms, var det vores håb at vi med dette projekt kunne fange interessen hos de fleste af eleverne. Vi valgte at lade eleverne modellere et mobilabonnement, der ville være interessant både for sælger og køber. For at imødekomme kravet om undervisningsdifferentiering valgte vi at lade eleverne selv afgøre hvor kompliceret de ville lade deres abonnementsbetingelser være. De kunne for eksempel lade fordelagtigt køb af mobiltelefoner, fri taletid, moms etc. indgå i deres forslag. Den matematik som indgår i projektet er simpel (procentregning, lineære sammenhænge og almindelig regning ). Til gengæld er problemstillingen kompleks. For at opstille et abonnement er det nødvendigt at eleverne foretager en række valg og vurderer konsekvenser heraf. Vi mener, at denne kombination af simpel matematik og komplekst problem vil give eleverne mulighed for selvstændigt at arbejde med modelleringsprocessens faser, herunder selvstændigt at matematisere problemet. Cirka midt i forløbet ville vi afholde en midtvejsevaluering hvor grupperne overfor hinanden skulle fremlægge deres abonnement. Dette naturligvis for at anspore til at få noget gjort færdigt, men også for at sikre at alle grupper var på rette spor. Uden at læreren/vejlederen kommenterede noget som helst, kunne eleverne give hinanden feedback på deres projekt, tanker og ideer. Målene for elevernes udbytte var derfor: Motivation Færdigheder i Excel Anvende grafer Udvælge relevante variable, opstille ligninger og opleve at ligninger beskriver sammenhænge Almindelig regning I bilagene 1, 2, 3, 4 og 5 findes hhv. Oplægget til projektorienteret matematik, Brug af Excel i matematik, Drømmemobilen - en lille øvelse i basal Excel, Debitel mobilabonnementer og Evalueringsskema. 3. Projektets forløb Selvom eleverne var på forskellige niveauer A hhv B var deres forudsætninger i forhold til regneark de samme, nemlig stort set ikke eksisterende. Vi valgte derfor at udlevere et basalt regnearkspapir der kun fremlagde de allermest basale ting i excel (bilag 1). 3
Jmo kørte det samme forløb i sine tre klasser og havde undervejs gii med som observatør. Jlp kørte solo med sit hold. Vi havde afsat i alt 10 lektioner til projektet, som blev afviklet efter følgende skitse: 1-2 3-4 5 6-7 8-9 10 Introduktion til Excel Introduktion til Excel Inddeling i grupper Udlevering af oplæg Projektarbejde Projektarbejde Midtvejsevaluering Gruppe1-2-3 Projektarbejde Midtvejsevaluering Gruppe 4-5-6 Projektarbejde Projektarbejde Projektarbejde Evaluering Projektet sluttede med aflevering af en rapport. Rapportskrivningen fandt sted i en periode uden matematikundervisning idet der var terminsprøve for 2. og 3.g, derfor fik de heller ingen hjælp til denne bortset fra de retningslinier de arbejder efter i de øvrige fag på skolen. Rapporten blev bedømt med karakter. Forløbet i klasse MF (A-niveau): Jlp startede med at danne grupper på mellem 3 og 4 personer og udlevere alle papirer den første dag. Eleverne dannede ret hurtigt grupper og da de kendte hinanden og lige børn jo leger bedst, blev resultatet forudsigeligt Efter gruppedannelsen gik alle i gang med opgaven. Jlp gik rundt til de enkelte grupper og viste hvordan man låste celler det var der nemlig ingen der kunne, men allerede efter denne første lektion havde de første løst den lille opgave med at anvende Excel til at beregne lån og til at se konsekvensen af ændrede lånebetingelser. De øvrige blev færdige i løbet af den næste dobbeltlektion, hvor alle også kom i gang med hovedopgaven. Ved midtvejsevalueringen havde de fleste fundet frem til mere eller mindre realistiske abonnementer som de præsenterede for hinanden dog havde en enkelt gruppe endnu ikke helt fået fod på det. Det skal siges at her var der kun gået 5 lektioner.. Der var dog ikke megen nåde eller hensyn at finde hos de der havde fundet de vises sten.så her vil læreren gå i tænkeboks til næste gang. Ved projektets slutning havde alle fået et resultat og vi så frem til rapporten der skulle komme ugen efter. Forløbet i klasserne KeB, KoD og KoM (B-niveau): I disse tre klasser fik eleverne først oplægget til opgaven efter en dobbeltlektion med Excel. Med den første klasse blev det hurtigt klart at deres viden om brug af Excel var helt på begynder-niveau og derfor fik de to næste hold lidt mere hjælp. Under hele forløbet fik de hjælp til at låse celler. Gruppedannelsen foregik som i MF-klassen, ligeledes midtvejsevalueringen. Samlet kan det konkluderes, at der ingen rigtig forskel var på klasserne på A- og B-niveau, dette skyldes at vi er på 1. år og at HTX-elever generelt har det godt med matematik og ca. 80% af eleverne har planer om at tage det på A-niveau. 4
4. Pædagogiske observationer I de tre af klasserne deltog en lærer som observatør på tre tidspunkter i forløbet, ved introduktionen af projektet, ved midtvejsevalueringen og en gang under selve projektarbejdet. Som udgangspunkt for observationerne havde vi inden afviklingen af forløbet stillet følgende spørgsmål. Hvordan reagerer eleverne ift. at gå i gang med noget nyt uden traditionel introduktion? Lykkes det at få de passive matematikelever aktiveret og involveret? Hvordan fungerer den tilbagetrukne lærerrolle? Vores udgangspunkt var, at eleverne skulle prøve kræfter med projektet uden den store introduktion. I den klasse som fik forløbet serveret først, var introduktionen derfor kort og indeholdt fx ikke en introduktion til de indledende opgaver. Signal Nu kommer der et projekt I skal klare selv. Klassen var præget af en vis lammelse / overrumpling. Hvad skal vi? Vil du ikke forklare ved tavlen? var typiske kommentarer. Dette førte til en lidt længere introduktion af de indledende øvelser i de to andre klasser. Signal Nu kommer der et projekt I skal klare selv, men jeg hjælper jer lige i gang. Disse to klasser gik noget mere direkte til sagen og stemningen i klasserne var generelt bedre. Om det alene er introduktionen, som gjorde forskellen på klassernes første reaktion på projektet er dog svært at sige, da der også er forskel på klasserne generelt. Ved besøgene midtvejs under projektarbejdet så det generelt ud til at alle elever var i gang med projektet og ingen elever skilte sig ud enten som meget aktive eller meget passive. Det var endvidere tydeligt at nogle elever fik succesoplevelser de ikke var vant til ved fx at kende Excel på forhånd eller simpelthen have lettere ved den del end andre i klasserne.der blev diskuteret livligt fx Hvad er det egentlig vi regner ud, hvad vil vi gerne regne ud, hvad er forudsætningerne, kan vi det her osv. Aktivitetsniveauet var generelt godt og både Excel, papir/blyant og lommeregner blev brugt. Eleverne var generelt selvkørende, diskuterede indbyrdes og hjalp hinanden mere end de egentlig brugte læreren. Det virkede derfor ikke som om, det var et problem at læreren havde trukket sig og fx ikke besvarede spørgsmål vedr. rigtigt / forkert. De gange jeg hørte eleverne udtrykke frustration gik det mere på problemer med at vælge rammerne for beregningerne fx skal vi tage højde for det eller ej, er det realistisk eller ej eller hvad betyder alt det med småt i abonnementerne ift. vores beregninger. Ved midtvejsevalueringen syntes det tydeligt, at eleverne ikke fandt seancen specielt inspirerende og der var ganske få spørgsmål til elevernes oplæg. Samtidig var det også tydeligt, at eleverne tog det at skulle fremlægge alvorligt, og at de derfor fik gjort status over deres arbejde og blev holdt på sporet i projektarbejdet. Endelig fandt der en udveksling af tal sted og dette har formentlig tjent til eftertanke bagefter. Ved midtvejsevalueringen var eleverne ikke nået til selve konstruktionen af eget mobilabonnement. Denne del af projektet var den mest åbne og kunne måske have givet anledning til mere debat af det gode abonnement. Set udefra må de indledende spørgsmål derfor besvares som: 5
Hvordan reagerer eleverne ift. at gå i gang med noget nyt uden traditionel introduktion? Generelt virkede det som om eleverne havde det godt med forløbets struktur hvor de startede med nogle mere lukkede opgaver for at arbejde hen mod de mere åbne opgaver. Lykkes det at få de passive matematikelever aktiveret og involveret? Det virkede som om langt de fleste elever var i gang og løste opgaven med de forudsætninger, der var tilstede i gruppen. Hvordan fungerer den tilbagetrukne lærerrolle? Det virkede ikke som om eleverne havde specielle reaktioner på denne lærerrolle. Eleverne var ret selvkørende om eleverne så er blevet tilstrækkeligt udfordret i deres arbejde med problemstillingen må projektets resultater vise. 5. Elevernes skriftlige evaluering Ved afslutning af forløbet udfyldte alle elever et evalueringsskema (bilag 5). At det skulle udfyldes før aflevering af rapporten var valgt helt bevidst for at evalueringen ikke skulle handle om rapporten og den opnåede karakter. 70 spørgeskemaer blev indsamlet, og af disse synes de 66 at det ville være en god idé at lave projektet for de kommende 1. års elever til næste år. Der er formentlig nogle, der har tænkt det må jeg nok hellere sætte kryds ved når nu læreren har været på kursus i det, men næppe så mange. En klar tilkendegivelse af at eleverne har en god oplevelse under dette projekt. M.h.t. at få snakket matematik i gruppen oplever eleverne at det nogle steder går knapt så godt. Muligvis har eleverne delt opgaverne mellem sig, eller alle gruppemedlemmer har ikke været lige engagerede. Tidsmæssigt har nogle følt sig presset, og det kan linkes med at de godt ville have haft en bedre introduktion til Excel. Midtvejsevalueringen er fra ok til spild af tid. Følgende kommentarer er givet til matematikopgaver uden facit: Man får mulighed for at vise andre evner Man skal bruge sit eget hoved i stedet for bare formler Man er ikke så bange for at lave fejl Det er sjovt, men ikke alle 3 år Følgende kommentarer er givet til lærerens rolle: Han var passiv, men det er ok i projektarbejde Hvilken lærer næsten?? Han behøver ikke være passiv, bare fordi man arbejder i grupper! Godt at han ikke siger om det er forkert eller rigtigt Forslag til ændringer går især på at man burde have lært mere Excel inden start. Desuden foreslås flere træningsopgaver, en større opgave eller flere underspørgsmål. Nogle synes at selve opgaven er for Handelsskole-orienteret. 6
6. Elevernes mundtlige evaluering Efter tilbagelevering af rapporten blev der afholdt mundtlig evaluering mellem lærer og elever i de enkelte klasser. Indledningsvis fik de forklaret principperne for problemorienteret projektarbejde og hvad matematisk modellering er. Som ventet medførte dette ikke de vilde reaktioner fra eleverne. De vidste alle, at faget Teknologi på HTX bygger meget på problemorienteret projektarbejde og er vant til at arbejde med metoden. Og matematisk modellering er en praktisk tilgang til faget matematik, som de ligeledes er vant til på HTX. Der var generel enighed om at de ikke skulle have dette forklaret inden projektet, det ville have forvirret for meget. Ellers var elevernes mundtlige kommentarer til ændringer følgende: At formålet med opgaven er at prøve at dreje på håndtagene i Excel kunne måske være tydeliggjort i opgaveformuleringen uden at låse opgaven mere fast. Delte meninger om flere eller færre startoplysninger. Man kunne f.eks. have et startbeløb, så der kom mere konkurrence/spil mellem grupperne over det. Midtvejsevalueringen kunne flyttes til en slutevaluering eller til en præsentation af rapporten. At man selv bør vælge grupper er der enighed om. Ligeledes kender alle problematikken omkring at få arbejdet ihærdigt når man ikke bliver styret af en lærer. Det er der ingen løsninger på, men læreren skal IKKE gå ind og og blande sig. En typisk bemærkning er vi må bare tage os lidt mere sammen. 7. Fik de lært det? Under planlægningen af projektet har vi som nævnt arbejdet ud fra følgende mål for elevernes udbytte: Motivation Færdigheder i Excel Almindelig regning Anvende grafer Udvælge relevante variable, opstille ligninger og opleve at ligninger beskriver sammenhænge På baggrund af elevernes evaluering af projektet konkluderer vi, at størstedelen af eleverne har oplevet forløbet som motiverende. Vi mener, at eleverne generelt har opnået bedre færdigheder i Excel og har øvet almindelige regnefærdigheder som fx procentregning mv. For en del af eleverne har disse mål været tilstrækkeligt udfordrende i sig selv, hvilket fx ses af følgende kommentarer fra en af grupperne: Der er mange ting vi i denne opgave ville have gjort anderledes, og samtidig ville have ønsket var blevet gjort anderledes. Det første er helt klart information omkring Excel. Opgaverne er en god måde at lære at bruge programmet på, men er man ikke på fast grund med hensyn til hvad det hele 7
egentlig drejer sig om i forvejen er det virkelig svært at komme i gang med opgaverne. Ingen af os har brugt den store tid på Excel i folkeskolen, og det vi har brugt har ikke beskrevet halvdelen af det vi her skulle beskæftige os med. Vores opgaver bygger 99 % på det vi selv har fundet frem til ved hjælp af Excels hjælpeprogrammer. Eleverne udtrykker her en utryghed ved, at de ikke er blevet introduceret til teori og program, inden de skal anvende det, sådan som det typisk foregår i traditionel undervisning. Et problem såfremt dette har været en hæmsko for elevernes arbejde. Men samtidig var det også en del af hensigten med projektets setup, at eleverne selv skulle arbejde med og tilegne sig Excel. Måske kan dette formål gøres tydeligere for eleverne i projektoplægget, som fx kan tilføres en passus om at eleverne forventes at anvende Excels hjælpe-funktioner. Derimod har ikke alle elever anvendt grafer i forløbet, ej heller tydeligt arbejdet med modelleringsaspekter som at vælge variable, opstille ligninger og undersøge sammenhænge. De fleste elever har opstillet ligninger til beskrivelse af deres abonnement i Excel, dvs. i Excel-notation, men har ikke opstillet disse lignigner formelt og i standard matematisk notation. Endevidere har de færreste elever drejet på parametrene og undersøgt disses indflydelse på fortjeneste osv. Eleverne foreslog under den mundtlige evaluering at tydeliggøre dette i opgaveoplægget uden at fastlåse opgaven yderligere. Af elevernes rapporter fremgår det at de har diskuteret, at markedsandelen har betydning for indtjeningen og dermed for fortjenesten, idet de faste udgifter så betyder relativt mindre sådan som opgaven er stillet. Eleverne har løst dette problem ved at vælge en markedsandel på 5, 10 eller 15 %, men de har typisk ikke opstillet fx grafer der illustrerer fortjenestens afhængighed af markedsandelen. de har diskuteret de mange abonnementsbetingelser, som står med småt hos forskellige selskaber, men de færreste elever har opstillet regneark som tager højde for disse sær-regler eller valgt abonnementstyper som udnytter den type særregler. de har diskuteret, at kundens forbrug har betydning for kundens valg af abonnement og dermed for firmaets mulige indtjening på forskellige abonnementer, men de færreste elever har forsøgt at operere med fx forskellige kundetyper Det er derfor tydeligt, at eleverne har arbejdet med den afgrænsning og systematisering, som er en del af den indledende del af en modelleringsproces. Eleverne har været klar over kompleksiteten i problemstillingen, men har ikke søgt eller ikke fundet veje til at behandle disse. En gruppe formulerer det på følgende måde: Vi synes at det har været et sjovt projekt, men vi savner dog nogle flere faktorer og krav til opgaven, sådan at det bliver sværere at opstille et abonnement. En startkapital med tilhørende svær opstart, hvor der spiller nogle større økonomiske problemer ind, ville gøre opgaven mere spændende og en del sværere. Man kunne tage fat om fx reklame og skat. Det er for let at sige, at man har 5 / 10 eller 15 % af hele målgruppen og vælge nogle fiktive tal ud, som man så tjener penge efter. Det ville gøre opgaven sværere at lave, men det ville også gøre selve projektet en del mere omfattende og spændende. 8
Disse elever har set men ikke forfulgt udfordringerne i projektet. De har opstillet en simpel model, men har ikke undersøgt betydningen af de valg, der ligger i at opstille en simpel model. Eleverne efterlyser ydre rammer som skal anspore dem til dette. Dette kan betyde, at arbejdet med at fortolke og evaluere af modellen og resultaterne af analysen har været vanskelig for eleverne. Måske skal elev-oplægget og vejledningen undervejs tydeligere opfordre eleverne til at forfølge udfordringerne frem for at løse opgaven ved at forsimple problemstillingen. Der er dog eksemper på at elever har fundet ud af at matematisere problemstillingen og opstille relevante ligninger og grafer hvad følgende rapportudpluk viser: Budgetberegning I Danmark er der ca. 360.000 unge i alderen 15 20 år. Da det er denne store målgruppe, vi skal ramme, har vi antaget, at det var muligt at få omkring 50.000 kunder, som vil købe en af de to telefoner og dermed også tegne et abonnement. Vi antog, at det var muligt at få så mange kunder, fordi at vores priser er så lave, og fordi at det lyder relativt realistisk. Samtidigt med at vi skulle fastslå et realistisk antal kunder, var det også nødvendigt at sætte et tal på, hvor mange telefoner, der skulle købes af producenten. Normalt plejer man at købe flere hjem end man for solgt igen. Så vi valgte at købe 20% flere telefoner hjem. Dette svarer til 60.000 stk. og med en pris på 500 kr. pr. telefon vil dette koste 30 mio. kr. Dette ekstra køb for at have mulighed for ombytning af evt. defekte telefoner. (Se i øvrigt vedlagte budget). Her er et diagram, der viser hvor mange kunder der skal til, for at firmaet får overskud. I dette diagram er mobilsalg og mobilindkøb medregnet. Overskud 80.000.000 60.000.000 40.000.000 Kroner 20.000.000 0-20.000.000-40.000.000 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000 Antal kunder Ved at bruge formlen for linjens ligning (y = ax + b) er det muligt for os at finde ud af, hvor mange personer, der skal købe en mobiltelefon og betale abonnement i et år, for at budgettet balancere, det vil sige, at vi hverken har underskud eller overskud. Med vores abonnement har vi udregnet, at det er nødvendigt med 16.559 kunder for ikke at have underskud. Dette er igen beregnet med indkøb og salg af mobiltelefoner. Hvis det derimod var uden indkøb og salg af mobiltelefoner, så ville der ikke være brug for lige så mange kunder. Dette er fordi, at der så ville være færre udgifter, som skulle betales. Beregningen ser således ud 9
Liniens ligning y = ax + b, hvor a er hældningen og b er en kontant. Hældningen a = Y2-Y1/X2-X1 = 25.617.780-6.558.520/30.000-20.000 = 1905,926 Kontanten b = -31.560.000 Hvis y = 0 er x = -b / a = 31.560.000 / 1905,926 = 16.558,88 oprundet til 16.559 personer. 8. Fik vi lært det? At afprøve matematiske modeller som emne i problemorienteret projektarbejde o Emnet fungerede godt som en del af HTX-undervisnigen og passer godt ind i billedet med praktisk orienteret matematik på HTX. At undersøge om man kan fange nogle elever som normalt ikke er de meste aktive i matematik vha. et (måske) populært emne og en anderledes arbejdsform o Både lærere og observatør oplevede en øget aktivitet hos de elever, man normalt ikke hører så meget til. At der ikke er så meget fokus på rigtigt og forkert har tilsyneladende en god effekt på nogle elever i matematik. At åbne for at eleverne arbejder på forskellige niveauer simple ift. komplekse abonnementer o Den åbne opgave fungerede godt, formentlig fordi eleverne selv havde valgt grupper. At afprøve vejlederen som lærerrolle o Rollen kendes fra faget Teknologi, men var ny i matematik. Timerne bliver kedelige for læreren (især 6 lektioner med 3 klasser), og man skal være meget opmærksom på hvad man vil og ikke vil hjælpe med. Eksempelvis fik alle hjælp til at låse celler og at vide, at mobilselskaber typisk kan købe mobiltelefoner til videresalg for 50% af prisen. 9. Forbedringsforslag I ikke prioriteret rækkefølge kan man foreslå: Lægge projektet i 1. semester som en del af grundforløbet med fokus alene på regneark i samarbejde med f.eks. teknologi eller kommunikation. Bibeholde projektet i 2. semester, men øve Excel i samarbejde med teknologi eller kommunikation på 1. semester Lægge projektet senere i forløbet f. eks 3.semester med særlig fokus på matematiseringen. Opstille mere konkrete krav til rapporten og tydeliggøre at den er en væsentlig del af projektet, således at eleverne ikke tror de er færdige når opgaven er løst. Tydeliggøre at et af formålene med projektet er at prøve at dreje på håndtagene i Excel. 10
Vi mener at projektets design overordnet set har fungeret godt. Eleverne har haft det sjovt med matematik, har øvet brugen af Excel og opstillet ligninger i Excel-notation. Eleverne har arbejdet med og diskuteret matematik. De har arbejdet selvstændigt og har oplevet, at matematik kan give anledning til diskussioner og ikke kun handler om, hvordan man når til det rigtige facit. De har oplevet at diskussioner om beregningernes forudsætninger kan give anledning til forskellige valg og forskellige resultater. Vi mener, at projektets brug af simpel matematik er en væsentlig årsag til at langt de fleste elever har kunnet diskutere udover selve metoden. Vi regner derfor med at anvende projektet igen næste år og på omtrent samme tidspunkt i semesteret. Da eleverne i år ikke har anvendt lignigner, grafer og tabeller i den grad, vi havde forestillet os, har vi forsøgt at indarbejde disse forventninger i oplægget til næste år. De to vigtigste ændringer handler om placeringen af låneøvelsern og udformningen af elevoplægget Låne-øvelsen flyttes ud af projekt perioden og udføres sammen med et introducerende forløb til Excel. Formået er at mindske de start-problemer, eleverne havde med Excel og dermed give mere tid/plads i projektet til, at eleverne kan arbejde med abonnementet og den tilhørende dokumentation. Selve oplægget er kortere (1 side) og er skrevet med fokus på det mobilselskabet forventer af eleverne. Dette er et forsøg på at ændre elevernes tanke om modtageren fra matematiklæreren (som kender projetkets detaljer) til mobilselskabet (som ikke er så interesseret i detaljer, men i resultater og begrundelser). Herved håber vi at fremme præcisionen i elevernes kommunikation. Vi har forsøgt at tydeliggøre kravene til klar og letforståelig dokumentation ved at ændre og skærpe kravene til aflevering på tre punkter: 1. Eleverne skal udarbejde korte sammendrag af deres resultater rettet mod mobilselskabet dvs. en udenforstående, som ikke ønsker detaljer, men resultater og begrundelser a. Et resumé af deres undersøgelse af og konklusioner ift. mobilforbruget i klassen, dvs. et forsøg på at spore eleverne ind på at deres beregninger afhænger af deres valg af forudsætninger (uændret men fremhævet i forhold til i år) b. Et begrundet resumé af deres beregninger på konkurrenternes abonnementer, dvs. en ret lukket opgave som skal spore eleverne ind på problemstillingens kompleksitet (uændret fra i år) c. Et begrundet forslag til et bedre abonnement, dvs. den egentlige åbne modelleringsopgave, hvor eleverne først må diskutere hvad bedre betyder, dernæst hvordan de kan sikre dette under nogle valgte forudsætninger 2. Eleverne skal afleverer deres model (Excel regnearket) elektronisk i en form, som kan anvendes af selskabets salgschef til at vurdere elevernes beregninger og undersøgelser. Dette for at stille krav til elevernes arbejde med Excel, til det at opstille gode regneark med forklarende tekster, overskrifter og fornuftig opbygning, samt for at tydeliggøre at Excel er værktøjet og at det kan bruges til at variere/undersøge med 3. Eleverne skal stadig aflevere en rapport, hvis primære formål nu er den detaljerede dokumentation som ligger til grund for de papirer der er afleveret til mobilselskabet. I et særskilt bilag præciseres det at rapporten skal indeholde forudsætninger, krav, begrundelser, beregninger, undersøgelser og resultater, ligesom bilaget understreger at rapporten bedømmes udfra dette og at brugen af ligninger, grafer og tabeller fremmer forståelsen. 11
10. Konklusion At afprøve matematiske modeller som emne i problemorienteret projektarbejde o Eleverne har valgt HTX bl.a. fordi faget matematik fokuserer mere på praktisk anvendelse end på bevisførelse, så det kan ikke undre at begejstringen er stor over emnet matematisk modellering At undersøge om man kan fange nogle elever som normalt ikke er de meste aktive i matematik vha. et (måske) populært emner og en anderledes arbejdsform o Alle elever er begejstrede, og dermed også de elever, der har svært ved matematik. Det skal pointeres, at på HTX er 2 års matematik obligatorisk, så derfor har alle elever det rimeligt godt med at have megen matematik o De stærke elever fik som sædvanlig meget ud af det. Vores målgruppe hoppede i vid udstrækning på limpinden og i et tilfælde fik de faktisk fremstillet både det bedste abonnement og den bedste rapport, det var en glædelig overraskelse At åbne for at eleverne arbejder på forskellige niveauer simple ift. komplekse abonnementer o Det fremgik af rapporterne, at opgaven blev løst på forskellige niveauer. Det er vigtigt for dette at eleverne selv kan vælge grupper efter ambitionsniveau og matematiske evner. o Der opstod konkurrence om de mest fordelagtige/fantasifulde abonnementer blandt de skarpere knive, mens de knap så skarpe kun fik det mest simple med. At afprøve vejlederen som lærerrolle o Rollen var velkendt fra faget Teknologi, derfor havde eleverne og lærerne ikke de store kvaler med dette system. Den kræver at læreren er meget opmærksom på, hvad han vil og ikke vil hjælpe med og formulerer sig åbent, f.eks. står der nogen steder, at I ikke må regne Moms med??! Midtvejsevalueringen: o Selvom midtvejsevalueringen blev oplevet som tidsspilde af en del elever, havde den alligevel en vis disciplinerende virkning i sin egenskab af tæt på deadline, således at stort set alle havde noget de kunne gå videre med bagefter. Derfor er der heller ingen grund til at afskaffe den i et eventuelt senere forløb. 12
Projektorienteret matematik Bilag 1 anvendte elev oplæg I de næste to uger skal I arbejde projektorienteret i matematiktimerne. I skal arbejde i grupper på 3 max 4 personer. Formålet med projektet er at lære at anvende Excel til gentagne beregninger således at man kan løse/belyse et problem der ikke nødvendigvis har et givet facit. Vi starter med en lille opgave der beregner hvem der scorer kassen på billige lån hvorefter vi går over til Young Mobil A/S Salg af SMS og andre mobiltjenester er et interessant marked for pengestærke forretningsmænd. Alle mulige mobilabonnementer ser dagens lys f.eks 0 kr i oprettelse, 0 kr i abonnement, fri sms etc... det må jo kunne betale sig. Jeres opgave er at sammensætte et abonnement, der giver overskud til firmaet Young A/S, og som samtidig er attraktivt for unge mellem 15 og 20 år. I denne aldersgruppe er der ca. 360.000 personer i Danmark. I jeres løsningsforslag skal der tages hensyn til følgende: Faste omkostninger: Husleje: 60 000 kr. pr år Antenneleje: 500 000 kr. pr år Ledelse og administration: 1000 000 kr. pr år Variable omkostninger: Kundeservice: Efter de første 1000 kunder kan administrationen ikke længere klare kundehenvendelser, og en kundeservice må etableres; den koster 300 000 kr. pr påbegyndt 10 000 kunder. Transmissionsomkostninger: 5 øre pr minut. Det oplyses at 1 sms er kan afsendes på 0,01 sekund. I kan inddrage forskellige rabatordninger (parametre) fx abonnementspris minutpris sms pris salg af modetelefoner på favorable vilkår 13