DEN GENERELLE SOLOWMODEL (SOLOW-MODELLEN) Slides til Makro 2, Forelæsning 5 24 september 2004 Chapter 5 Hans Jørgen Whitta-Jacobsen September 20, 2004 Tilbage til lukket økonomi Basal Solowmodel: Ingen vækst i BNP per arbejder i steady state - empirisk set et problem Nu den egentlige Solowmodel, hvor:: Total-faktorproduktiviteten B t antages at vokse med en konstant, eksogen rate! (Eneste ændring) Dét giver en steady state med balanceret vækst og konstant, positiv vækstrate i y t Kilden til langsigtet vækst i BNP pr mand i denne model: Eksogen teknologisk vækst Måske ikke dybt, men: - Ikke trivielt, at resultatet er balanceret vækst i steady state, - betryggende for anvendelser, at modellen er i overensstemmelse med en fundamental empirisk regularitet
SOLOWMODELLENS MIKROVERDEN er helt som den basale Solowmodels, fx: Samme OBJEKT (lukket økonomi) Samme VARER og MARKEDER, markederne igen kompetitive med realpriser 1, r t og w t, én slags output (énsektormodel) Samme AKTØRER, forbrugere og virksomheder (og stat), essentielt set med samme adfærd, specielt: Én repræsentativ profitmaksimerende virksomhed beslutter K d t og Ld t givet r t og w t Én forskel: Produktionsfunktionen rummer mulighed for teknologisk udvikling Med Kt d = K t og L d t = L t indsat: Y t = B t Kt α L t, 0 <α<1 Hele forløbet (B t ) eksogent, B t > 0 for alle t Specialtilfælde: B t = B PRODUKTIONSFUNKTIONEN med TEKNISKE FREMSKRIDT Y t = B t K α t L t med et givet forløb (B t ) Y t = K α t (A t L t ) med forløb (A t ), A t B 1 t Med Cobb-Douglas gør det ingen forskel, om vi beskriver den tekniske udvikling ved et forløb (B t ) fortfpellerved det tilsvarende forløb for arbejdsproduktivitets-variablen A t Det sidste er det smarteste her Det eksogene forløb (A t ) er givet ved: A t+1 =(1+g) A t, g > 1 A t =(1+g) t A 0, g > 1 Disse tekniske fremskridt kommer som manna fra himlen (kræver ingen indsats af økonomiske ressourcer)
Husk definitionerne y t Y t /L t og k t K t /L t Dividér på begge sider af Y t = K α t (A tl t ) med L t for per capita-produktionsfunktionen : Herfra fås: y t = k α t A t DEN FULDSTÆNDIGE SOLOW-MODEL Y t = K α t (A t L t ), 1 r t = αkt α 1 (A t L t ) Kt = α, A t L t w t =(1 α) Kt α L α t A Kt t =(1 α) A t, A t L t ln y t = α ln k t +(1 α)lna t ln y t ln y t 1 = S t = sy t, K t+1 K t = S t δk t, α (ln k t ln k t 1 )+(1 α)(lna t ln A t 1 ) L t+1 =(1+n) L t, g y t = αgk t +(1 α) g A t = αg k t +(1 α) g A t+1 =(1+g) A t Vækst i y t kan komme fra præcis to kilder, og gt y vejede snit af gt k og ga t med vægte α og 1 α er det Hvis, som i balanceret vækst, K t /Y t er konstant, da er g y t =? Parametre: α, s, δ, n, g Ladg>0 Fuld model? Ja, givet K 0, L 0 og A 0 bestemmer den (K t ), (L t ), (A t ), (Y t ), (r t ), (w t ), (S t ) Tilstandsvariable:, og
ANALYSE AF SOLOWMODELLEN Bemærk: r t K t = αk α t (A t L t ) = αy t, Gæt: Der sker nok igen det, at k t k,hvork er et konstant steady state-niveau for kapitalintensiteten I så fald i steady state: gt y = αgt k +(1 α) ga t = (1 α) gt A = (1 α)g Forkert! Hvorfor? w t L t =(1 α)kt α (A t L t ) =(1 α) Y t Dvs igen: Kapitalens andel = α, lønandel=1 α, renprofit =0 Kalibrering af α fortsat α 1/3 Hvis k t er konstant, vil y t vokse og vokse (med fast rate), og da vil sy t vokse og vokse (med fast rate), men så vil der uundgåeligt til sidste blive mere og mere kapital pr arbejder, dvs k t vil vokse Mengætteterhellerikkeioverensstemmelsemedbalanceret vækst: k t og y t skal jo vokse med samme konstante rate for balanceret vækst (så k t /y t = K t /Y t er konstant) Hvis gættet havde været rigtigt, ville modellen have haft et alvorligt empirisk problem Ligevægstdannelsen i modellen er mere subtil Og det er godt
BEVÆGELSESLOVEN Hvis ikke k t k, i hvilke størrelser skal man så analysere modellen? Det skulle gerne (igen) være nogle, som går mod at være konstante i en evt steady state Man får en genial idé Hvorfra? 1 Definér: k t k t A t = K t A t L t, og ỹ t y t A t = 2 Fra Y t = K α t (A tl t ) er: ỹ t = k α t 3 Fra K t+1 K t = S t δk t og S t = sy t fås: K t+1 = sy t +(1 δ) K t Y t A t L t Hvis en evt steady state for modellen skal svare til balanceret vækst, så skal k t og y t voksemedsammekonstante rate i steday state Husk: g y t = αgk t +(1 α) g A t Dvs: gt y = gk t gy t = gk t = ga t Hvis konvergens mod steady state med balanceret vækst, så vil k t og y t begge voksemedsammeratesoma t i steady state, og så vil k t /A t og y t /A t være konstante: 4 Divider med A t+1 L t+1 =(1+g)(1 + n)a t L t på begge sider: k t+1 = sỹt +(1 δ) k t 5 Indsæt ỹ t = k t α for TRANSITIONSLIGNINGEN: k t+1 = s k t α +(1 δ) k t 6 Fratræk k t på begge sider for SOLOW-LIGNINGEN: k t+1 k t = s k t α () k t
k t+1 = TRANSITIONSLIGNINGEN s k t α +(1 δ) k t Givet k 0 = K 0 /(A 0 L 0 ) fastlægger den ( k t ),ogdermed (ỹ t ) fra ỹ t = k α t Herfra: KONVERGENS TIL STEADY STATE: TRANSITIONSDIGRAMMET k t+1 = s k t α +(1 δ) k t, d k +1 d k t = s k α 1 t +(1 δ) y t A t ỹ t = A t k α t =(1+g) t A 0 k α t, og så: c t =(1 s)y t, r t = α ³ k t α 1, w t =(1 α)a t k α t lim kt d k t+1 /d k t < 1 n+g +δ +ng > 0 Yderst plausibel betingelse Antages! Konvergens mod k Tilsvarende: ỹ t ỹ =( k ) α
STEADY STATE Én foreløbig konklusion er altså: På langt sigt går k t k t /A t og ỹ t y t /A t mod konstante niveauer, hhv k og ỹ Definerer steady state I steady state må da både k t og y t voksemedsammerate som A t, altså med raten g, og capital-output-forholdet K t /Y t = k t /y t må være konstant Solow-ligningen: k t+1 k t = s k t α () k t med k t+1 k t = k giver: k = ỹ = s! 1 s Den geniale idé virkede altså så langt Vi har ikke fuldt ud godtgjort, at der er balanceret vækst i steady state, men det kommer nu Steady state-vækstbaner for nøglevariable: Fra k t k t /A t og ỹ t k t /A t :! 1 kt s = A t, yt s = A t
Da c t =(1 s)y t : c t = A t (1 s) Fra r t = α Kt A t L t s 1 og w t =(1 α)! 1 r s = α w t = A t (1 α) Kt A t L t s A t : Der er balanceret vækst i steady state: k t, y t og w t vokser med samme konstante rate (dvs k t /y t konstant) g, ogr t er konstant osv Hele projektet gik godt: Vi fik positiv vækst i BNP pr mand i steady state (langsigtsforudsigelsen) og i en realistisk form (balanceret vækst) STRUKTUREL POLITIK FOR STEADY STATE Output pr mand og forbrug prmand i steady state: yt = A 0 (1 + g) t s c t = A 0 (1 + g) t (1 s) s Golden rule: Det s, der maksimerer hele banen c t Igen: s = α Politikimplikationer fra steady state er i høj grad som i den basale Solowmodel: Fremme af opsparing og kontrol med befolkningsvæksten Endda samme elasticiteter Problematisering: Aldringsproblemet Dog ny parameter g og initialværdi A 0 Svært at uddrage politikkonklusioner, da de er eksogene!
ln y t =lna t + EMPIRI FOR STEADY STATE yt s = A t α [ln s ln ()] 1 α Antag alle lande er i steady state i 2000! Svært at få god empiri for A t, så antag (heroisk!) A t ens i alle lande i 2000 Sæt (plausibelt) g + δ =0075 Med BNP per arbejder i 2000 kaldet y00 i ilandi, peger ovenstående på en sammenhæng på tværs af lande: ln y i 00 = γ 0 + γ 1 h ln s i ln ³ n i +0075 i, med s i og n i passende målt (her som årsgennemsnit over 1960-2000), og hvor γ 1 = α Altså: Steady state forudsigelsen: ln yt =lna t + α [ln s ln ()], 1 α peger på regression: hvor γ = ln y i 00 = γ 0 + γ 1 h ln s i ln ³ n i +0075 i, α skulle være omkring 1 2 OLS-estimation med 86 lande: ln y00 i h = 8812 + 147 ln s i ln ³ n i +0075 i, (std=014) R 2 = 055 Høj signifikans Rimelig R 2 Men: Estimeret γ passer dårligt med den teoretiske (modelforudsagte) værdi på 1/2 Eller: α =147 α =060! 1 α
Logarithm of real GDP per worker, 2000, 1996 dollars 12 115 LUX SOLOW-DIAGRAMMET k t+1 k t = s k t α () k t 11 105 10 95 EGY JOR ZAF IRL USA CAN GBR CHL PRT BRA BEL ITA GRC THA JPN NOR Tegn hhv s k α t og () k t : 9 85 PAK CHN PER ZWE ROM 8 75 7 65 MDG BDI NGA KEN -15-1 -05 0 05 1 15 2 ZMB COG TZA ln s i - ln(n i +0075) Logaritmen til BNP pr arbejder, ln y i 00,modstrukturel indflydelse, ln s i ln(n i +0075), 86 lande
DET MODIFICEREDE SOLOW-DIAGRAM k t+1 k t k t = Tegn hhv s k α 1 t 1 h s k t α 1 () i og (): KOMPARATIV STATIK I SOLOWDIAGRAMMERNE Økonomien først i steady state givet α, s, n, δ og g Opsparingskvoten vokser fra s til s 0 >shvadskerder? Overensstemmelse med betinget konvergens: To lande med samme α, s, δ, n, g (og A 0 )
Gammel steady state: k t k t /A t = k og ỹ t y t /A t = ỹ (konstante) Både k t og y t vokser med rate g Ny steady state: k t = k 0 > k og ỹ t =ỹ 0 > ỹ (igen konstante) Både k t og y t vokser med rate g, vækstbanen højere Overgangen: k t k t /A t vokser fra k op mod k 0, vækstraten i k t springer op og falder jævnt tilbage mod nul Fra k t = k t A t er gt k = g k t +gt A Dvs k t vokser med rate større end g, oggt k springer op og falder tilbage mod g OgsåVÆKSTHOPfory t,dagt y = αgk t +(1 α) ga t