Matematik C (må anvendes på Ørestad Gymnasium) Trigonometri Den del af matematik, der beskæftiger sig med figurer og deres egenskaber, kaldes for geometri. Selve ordet geometri er græsk og betyder jord(=geo)måling(=metri). Interessen for figurer og deres egenskaber fortaber sig i forhistorien. Vi finder geometriske og stiliserede figurer anvendt som dekoration på redskaber langt tilbage i stenalderen. Allerede her må man have opdaget de første geometriske egenskaber ved figurer for eksempel symmetri. Stiliserede mennesker dekoreret med geometrisk mønster fra jægerstenalderen. Med de første kulturers handel og vareudveksling fik man behov for at kunne måle og veje. Man har haft brug for at kunne bestemme arealer og rumfang. Desuden kan man ikke forestille sig, at de store byggerier i Ægypten og Mesopotamien i oldtiden kunne planlægges og gennemføres uden en stor og grundig geometrisk viden. Keops, Kefrens og Mykerinospyramiderne ved Cairo i Ægypten. Side 45
Vi kender en del til oldtidens geometriske viden gennem nogle få papyrusskrifter fra Ægypten fra omkring 2000 fvt. og en hel del lertavler med kileskrift fra Mesopotamien fra omtrent den samme tid. Her er en række konkret gennemregnede problemer. Man må forestille sig, at hvis man skulle løse et geometrisk problem, har man fundet en eksempel der ligner, og så brugt samme metode. Nogle af de anvendte metoder giver det helt rigtige resultat, hvorimod andre metoder kun i visse specialtilfælde giver et rigtigt resultat. Beviser for, at metoderne er rigtige, finder vi ikke. De ses først i det antikke Grækenland (ca. 500 fvt. og fremefter). 5.1 Trekanter Når vi skal beskæftige os med geometriske figurer er trekanten den simpleste figur. Samtidig er det også en meget grundlæggende figur, fordi andre mere komplicerede figurer ofte kan opdeles i trekanter. Ordet trigonometri betyder også simpelt hen trekantmåling (trigon = trekant og metri = måling). Hvis vi ser på en trekant, plejer vi at betegne vinklerne med store bogstaver fx A, B og C. Tilsvarende betegnes sidelængderne med små bogstaver for eksempel a, b og c. En vinkelspids og den modstående side i en trekant betegnes altid med samme bogstav. Navngivning af sider og vinkler i en trekant. Afstanden mellem to punkter A og B betegnes AB, og dette vil vi undertiden også benytte for længden af en side i en trekant, altså AB = c. Hvis vi måler alle tre vinkler i en trekant og lægger vinklerne sammen, får vi som bekendt 180. Dersom alle vinkler i en trekant er under 90, kaldes trekanten spidsvinklet. Hvis en af vinklerne er over 90 kaldes trekanten stumpvinklet. Og endelig kaldes en trekant, hvor en af vinklerne er 90, for en retvinklet trekant. Side 46
5.2 Ligedannede figurer Hvis vi ser på tegningerne herunder, kan vi sige, at de forestiller samme figur. De er blot gengivet i forskellige størrelser. Vinkler, der ligger samme sted i de tre figurer, har samme størrelse, og sidelængderne er forstørret eller formindsket med samme tal. I figur b) er alle længderne det dobbelte af de tilsvarende længder i a), og i figur c) er alle længderne af de tilsvarende i figur b). Vi siger, at figur b) er en forstørrelse af figur a) med en skalafaktor på 2. Tilsvarende siger vi, at figur c) er en formindskelse af figur b) med en skalafaktor på. Når vinklerne i de to figurer er de samme, og alle sider i den ene figur er forstørret eller formindsket med samme faktor i forhold til de tilsvarende sider i den anden figur, vil de to figurer se ens ud. Vi siger at de to figurer er ligedannede. Eksempel (5.2.1) Landkort Når man tegner landkort, laver man en tegning, der er ligedannet med det landområde, som kortet skal vise. Alle vinkler er de samme som i landskabet, men alle afstande er gjort mindre. Ved korttegning kaldes skalafaktoren for målestoksforholdet. Her ses et kort over Danmark i målestoksforholdet 1: 4.800.000 På kortet måles afstanden fra Gedser til Skagen til 7,5 cm. I virkeligh eden er afstanden så Side 47
4.800.000 7,5 cm = 36.000.000 cm = 360 km Eksempel (5.2.2) Hvis ikke alle vinkler er ens i de to figurer, vil de se helt forskellige ud. Herunder er sidelængderne i de to figurer ens, men vinklerne er ændret. Det er tydeligt, at de to figurer ikke ligner hinanden ret meget. I figuren herunder er alle tilsvarende vinkler i de to figurer ens, men sidelængder er ikke forstørret eller formindskes med samme skalafaktor. Igen ser figurerne forskellige ud. For at to figurer vil se ens ud, skal vinklerne i de to figurer parvis være ens, og alle sidelængderne i den ene figur skal ganget med samme faktor være lig med sidelængderne i den anden. Side 48
For trekanter gælder der dog noget specielt. Hvis to trekanter er ensvinklede, dvs. at vinklerne i de to trekanter er parvis ens, er de ligedannede. De tilsvarende sidelængder i de to trekanter vil altså være forbundet med hinanden ved samme skalafaktor. (5.2.3) Sætning om ligedannede trekanter Hvis to trekanter ABC og A'B'C' er ensvinklede, (A = A', B = B' og C = C'), så er de ligedannede. De tilsvarende sider er forbundet med hinanden med samme skalafaktor. a' = k a b' = k b c' = k c hvor: Eksempel (5.2.4) Herunder ses to ensvinklede trekanter: Da sidelængderne b og b er kendt, kan vi finde skalafaktoren: Alle sidelængder i trekant A'B'C' er derfor 2 gange større end de tilsvarende sidelængder i trekant ABC. Side 49
Vi kan derfor finde: a' = k a = 2 3,2 = 6,4 Og: c = c' : k = 4 : 2 = 2 5.3 Cosinus og sinus I resten af dette kapitel vil vi næsten udelukkende se på beregninger i retvinklede trekanter. Hertil har vi brug for to hjælpestørrelser, der kaldes cosinus og sinus. Vi betragter en cirkel i et koordinatsystem. Cirklens centrum ligger i koordinatsystemets midtpunkt (0,0) og radius er r = 1. Sådan en cirkel kaldes for en enhedscirkel. Hvis vi så har en vinkel, v, kan vi indlægge den i koordinatsystemet med højre vinkelben på x-aksen. Vinklens venstre ben vil skære enhedscirklen i punktet P v. Dette punkt kaldes for vinklens retningspunkt. Førstekoordinaten til retningspunktet, P v, kaldes for cosinus til vinkel v, og andenkoordinaten kaldes for sinus til vinkel v. Dette kan kort udtrykkes således: P v = (cos(v), sin(v)). Side 50
Definition af cosinus og sinus: Cosinus til en vinkel findes således: 1. Læg vinklen ind i et koordinatsystem 2. Find retningspunktet. 3. Gå lodret ned til x-aksen og cos(v) aflæses som førstekoordinaten. Sinus til en vinkel findes således: 1. Læg vinklen ind i et koordinatsystem 2. Find retningspunktet. 3. Gå vandret ind til y-aksen og sin(v) aflæses som andenkoordinaten. CAS-værktøjet, fx TI-nspire, har cosinus og sinus indbygget På denne måde er vi fri for at tegne enhedscirkler og indlægge vinkler, samtidig med at vi får resultater der i præcision langt overgår, hvad vi kunne få ved den nok så præcise tegning. Eksempel (5.3.1) Hvis v = 57 o kan vi finde retningspunktets koordinater som P v = (cos(57 o ), sin(57 o )) = (0,54 ; 0,84) Nogle gange er vi i den situation, at vi kender cosinus- eller sinusværdien til en vinkel og vil så gerne finde ud af, hvilken vinkel der er tale om. Hvis vinklen er mellem 0 o og 90 o er dette enkelt nok. Hvis vi kender cosinus, ved vi hvad førstekoordinaten til retningspunktet P v er. Vi kan altså gå fra dette tal på x-aksen lodret op til vi skærer enhedscirklen, og her finder vi retningspunktet. Så kan vinklen nemt findes. På samme måde kan vi finde vinklen, hvis vi kender sinus. Vi starter så på y-aksen i stedet for og går vandret ind mod højre til vi rammer enhedscirklen. Her ligger retningspunktet P v, og vinklen kan nu nemt bestemmes. Disse procedurer er også indbygget i CAS-værktøjet. Her kaldes de for arccos og arcsin, og de omtales som arcuscosinus og arcussinus. Programmet anvender symbolerne cos 1 og sin 1. De kaldes også for invers cosinus og invers sinus. Side 51
Eksempel (5.3.2) Hvis vi ved, at cos(v) = 0,5, kan vi bestemme v som: v = cos 1 (0,5) = 60 o Hvis vi ved, at sin(v) = 0,5, kan vi bestemme v som: v = sin 1 (0,5) = 30 o 5.4 Anvendelse af cosinus og sinus Nu kan vi knytte vores viden om ensvinklede trekanter og cosinus og sinus sammen. Hvis vi har en retvinklet trekant ABC, kan vi indlægge den i et koordinatsystem med vinkel A i punktet (0,0) og siden b ud langs x-aksen. Når vi så indtegner enhedscirklen, så ser vi, at der fremkommer en lille retvinklet trekant AB'C' inde i enhedscirklen. Herved har vi opnået to ensvinklede trekanter, for de har jo vinkel A til fælles og så er de begge retvinklede. Derfor må B og B' så også være ens. Side 52
Sidelængderne i den lille trekant AB'C' kender vi. Da den ligger i en enhedscirkel og c' er radius i enhedscirklen, vil: c' = 1. Punktet B' er retningspunkt for vinkel A, og det har derfor koordinaterne (cos(a), sin(a)). Derfor kan vi slutte, at: b' = cos(a) a' = sin(a) Skalafaktoren kan af sidelængderne c og c' beregnes til at være: Derfor får vi: b = c cos(a) a = c sin(a) Disse former kan omformes ved division med c på begge sider af lighedstegnet til: Side 53
Herved har vi bevist følgende vigtige sætning: (5.4.1) Sætning I en retvinklet trekant ABC, hvor C = 90 o, gælder følgende formler: b = c cos(a) a = c sin(a) eller eller Eksempel 5.4.2 Beregning af sidelængder I trekant ABC er A = 27 o og C = 90 o. Endvidere er c = 7. Vi ønsker at beregne sidelængderne a og b. Vi finder: a = c sin(a) = 7 sin(27 o ) = 3,18 og: b = c cos(a) = 7 cos(27 o ) = 6,24 Side 54
Eksempel 5.4.3 Beregning af sidelænnder I trekant ABC er A = 78 o og a = 9. Vi ønsker at beregne sidelængderne c og b. I formlen: a = c sin(a) indsættes de tal vi kender: 9 = c sin(78 o ) Her isolerer vi c: c = = 9,20 Dernæst kan vi finde b: b = c cos(a) = 9,20 cos(78 o ) = 1,91 Eksempel 5.4.4 Beregning af vinkler. I trekant ABC er a = 5 og c = 7. Vi ønsker at finde vinkel A. Ud fra formlen: beregnes: sin(a) = = 0,714257 Hermed kan vinkel A bestemmes: A = sin 1 (0,71425) = 45,58 o Side 55
5.5 Tangens Foruden cosinus og sinus har flere andre hjælpestørrelser i trekantsberegning. En af disse er tangens, som defineres ved: (5.5.1) Definition af tangens: Tangens til en vinkel A defineres ved: tan(a) = På CAS-værktøjet er tangens forkortet ved tan. Ligesom ved cosinus og sinus kan man udregne værdien af en vinkel, hvis den ligger mellem 0 o og 90 o, og man kender dens tangensværdi. Hertil bruges funktionen arctan, som udtales arcustangesn. Den angives også som tan- 1, og kaldes også for invers tangens. Eksempel (5.5.2) Hvis A = 52 o, bliver: Hvis vi ved, at tan(a) = tan(52 o ) = 1,2799 tan(a) = 0,25 bliver: A = tan 1 (0,25) = 14.03 o Tangens er nyttig i beregninger, hvor længden af hypotenusen i trekanten ikke indgår. Dette skyldes, at der gælder følgende formler for tanges: (5.5.3) Sætning om tangens: I en retvinklet trekant ABC, hvor C = 90 o, gælder følgende formler: a = b tan(a) eller Side 56
Beviset for disse former foregår ud fra de tilsvarende formler for cosinus og sinus. Fra sætning (5.4.1) har vi: a = c sin(a) og b = c cos(a) Heraf får vi: = tan(a) Den anden formel bevises således: b tan(a) = b = a 5.6 Generelt udtryk for trigonometriske formler Nu er det jo ikke altid, at trekanterne hedder ABC. Derfor kan det være en fordel at formulere de trigonometriske formler uden brug af bogstavsymboler. Hvis vi ser på en retvinklet trekant ABC med C = 90 o, kaldes siden c for hypotenusen. Siderne a og b, som danner den rette vinkel, kaldes for kateter. Særligt kaldes siden b for vinkel A s hosliggende katete, og siden a for vinkel A s modstående katete. Med disse betegnelser kan de trigonometriske formler angives således: hosliggende katete = hypotenuse cos(v) cos (v) = modstående katete = hypotenuse sin(v) sin(v) = modstående katete = hosliggende katete tan(v) tan(v) = Side 57
Eksempel 5.6.1 På figuren ses trekant FHL, hvor H = 90 o. Med udgangspunkt i vinkel F er siden f vinkel F s modstående katete, siden l er vinkel F s hosliggende katete og h er hypotenusen. Derfor kan formler i denne trekant skrives: l = h cos(f) eller cos(f) = f = h sin(f) eller sin(f) = f = l tan(f) eller tan(f) = Side 58