GALAXEN. Kære Læser. Indhold GALAXEN

Transkript

1 GALAXEN Marts Nr21 Magasin om Matematik og lommeregnere Kære Læser Pr 1 januar 2000 er der sket en ¾ndring i Texas Instruments skandinaviske opbygning, idet undertegnede, candmercint Michael Brochmann, er blevet udn¾vnt til Educational Marketing Manager (EMM) for Danmark og Norge Jeg kommer fra en marketing-stilling pœ Odense Universitetsforlag, Syddansk Universitet Det er sœledes fremover undertegnede, som er den direkte kontaktperson til l¾rerne i Danmark og Norge, og som I kan henvende jer til med alle sp rgsmœl og kommentarer angœende Texas Instruments produkter Herunder afholdelse af workshops, kurser, lœneprogrammer, stork bsfordele mm Tlf nr og adresse finder I inde i bladet Jeg ser frem til et godt samarbejde Med venlig hilsen Michael Brochmann Texas Instruments Indhold Forord 1 Tanker efter et Œr med TI-92 2 Hvad er rrf? Kan man l se 2 ligninger med 3 ubekendte pœ TI-83? 4 Programmering med TI-89 9 Unders gelse af forskrift for forskellige funktioner 11 Nyheder fra Texas Instruments 12 Redaktion 12 GALAXEN

2 Ulla Folkmann Viborg Handelsskole Tanker efter et år med TI-92 Hvad sker der, nœr man tilbyder et hold HH3-elever med Matematik A som valgfag gratis lœn af TI-92 i et helt Œr uden betingelser af nogen art? OvenstŒende var den mulighed mit 'Matematik A'-hold pœ Viborg Handelsskole havde i skoleœret 1998/99 I sammenligning med andre klasser, der fors gsvis anvender TI-92, var vilkœrene for os specielle ved at: 1) Vi planlagde ingen formaliseret undervisning, da ikke alle elever var interesserede i/havde overskud til at benytte TI-92 2) I mods¾tning til i Det almene Gymnasium, er det i Handelsskolen helt legalt at medtage en symbolsk lommeregner til eksamen pœ sœvel A-niveau som pœ B-niveau Det skal ogsœ n¾vnes, at til forskel fra Gymnasiet, foruds¾tter undervisningen og eksaminerne pœ A og pœ B-niveau i Handelsskolen endnu ikke brug af grafregner, heller ikke selv om praksis pœ adskillige handelsskoler er meget orienteret bœde i retning af avancerede lommeregnere og i IT-retning PŒ Viborg Handelsskole indf rte vi feks i skoleœret 1998/99 obligatorisk anvendelse af TI-83 for samtlige nystartede 'Matematik B'-hold, og i august i Œr (dvs 1999) er startet en IT-klasse med b¾rbare computere (betalt af HH1-eleverne selv) Baggrund for lœnet af TI-92 Ð Men hvorfor "skyde spurve med kanoner" eller med andre ord, hvorfor ville undervise ved hj¾lp af TI-92, nœr de skriftlige eksamensopgaver er "designet" til at kunne l ses ved hj¾lp af TI-30? Ð Ja, en del af svaret giver sig selv: TI-92 er den perfekte overgang mellem en grafregner og en computer Ð og med et tilbud om at lœne et klasses¾t af TI-92«ere er det sv¾rt ikke at gribe chancen og fœ et kig ind i morgendagens matematikundervisning En anden del af svaret skyldes mine elevers begejstring: Jeg anskaffede mig selv en TI-92 i efterœret 97 Kort tid efter, at jeg havde demonstreret den for mine 'Matematik B'-elever, havde 5 af dem selv k bt hver sin TI-92 Disse TI-92«ere blev hurtigt fast tilbeh r i matematiktimerne, desuden fik eleverne fat i et 'Graph Link'-kabel, sœ de kunne hente spil ned fra Internettet, og herudover brugte de TI-92«erens tekstbehandlingsfaciliteter i andre fag Denne overv¾ldende interesse ansporede mig til i det f lgende skoleœr (1998/99) at fors ge at fœ bevilget en TI-92-fors gsklasse pœ A-niveau, kun bestœende af de 14 elever fra min 'Matematik B'-klasse, der havde valgt niveau A En sœ lille klasse kunne dog ikke oprettes, og jeg stod ved starten af skoleœret 1998/99 med et 'Matematik A'-hold pœ i alt 26 elever, som kom fra 5 forskellige klasser Jeg opgav derfor i f rste omgang tanken om TI-92 Men ved en tidligere lejlighed havde J rgen Simonsen n¾vnt, at Texas gerne ville stille et klasses¾t til rœdighed for et mere uforpligtende fors g, sœ det blev l sningen, og vi fik problemfrit og meget hurtigt et lœn af TI-92«ere etableret Hvad havde jeg forestillet mig Et par af eleverne markerede klart kort f r, vi fik lœnet fra Texas i stand, at de overhovedet ikke var interesserede i TI-92 Jeg forestillede mig derfor, at interesserede elever plus undertegnede m dtes uden for skoletid Žn gang om ugen til gensidig inspiration og bel¾ring TI-92 rummer et v¾ld af muligheder (her er ikke engang t¾nkt pœ alle de programmer, man ved 'Graph Link'-kablet kan nedtage fra nettet), men jeg planlagde, at vi skulle begr¾nse os til at bruge TI-92 i forbindelse med den daglige undervisning: OmrŒderne af Handelsskolens Matematik A ligger meget n¾r Det almene Gymnasiums og bestœr i: Vektorregning, integralregning, differentialligninger, kvadratisk optimering (som opererer med funktioner i to variable, og hvor TI-92-erens tredimensionale grafiske faciliteter er som skabt til en forstœelse af teorien), statistik og et valgfrit emne, som vi besluttede skulle omhandle talteori og kryptologi Der var altsœ i vores A-pensum adskillige muligheder for en TI-92 Min naive forestilling var, at de begejstrede TI-92-brugere efter nogle fœ studiekredstimer kunne smitte resten af klassen med deres engagement, og at vi derefter kunne inddrage TI-92 i den daglige undervisning - og hvordan gik det sœ? Men her gjorde jeg "regning uden v¾rt": Tilslutningen til de h jt opreklamerede studiekredstimer beroede f rst og fremmest pœ, at der ogsœ blev givet hj¾lp til afleveringsopgaverne; og samtidig bevirkede elevernes erhvervsarbejde mm, at det blev minimalt, hvad der i vores ekstratimer skete pœ TI-92-fronten De elever, der fra starten havde haft indvendinger som, "det tager for lang tid at l¾re en ny lommeregner at kende", "min TI-30 er god nok til de beregninger, jeg fœr brug for", eller "man l¾rer jo ikke matematik, nœr man har en TI-92", ¾ndrede desv¾rre ikke mening i Œrets l b Derimod var der ca 15 elever, der for alvor tog TI-92«eren til sig, de var fascinerede over at iagttage, hvordan de tredimensionale grafer voksede frem pœ sk¾rmen, og over at TI-92 prompte kunne regne udtryk som (a + b) 10 ud, de brugte den som facitliste til 2

3 opgaverne i integralregning og afskaffede deres andre lommeregnere helt Vi udvekslede gode ideer i pauserne, og selv om vi ikke gennemf rte det store systematiske TI-92-fors g, erfarede vi da noget: Det obligatoriske pensum TI-92 er formidabel som facitliste og inspirator til integralregning; den korrekte matematiske notation, der er indbygget i TI-92, har givet anledning til mange gode diskussioner, feks om hvor "fejlen" er, nœr man som resultat i en opgave selv fœr ln(8), og TI-92 sœ viser 3 ln(2) Desv¾rre har pensums st rrelse begr¾nset antallet af den slags diskussioner De statistiske programmer er meget righoldige, men sv¾rere at bruge umiddelbart og derfor slet ikke udnyttet i det omfang, de berettiger til Kryptologi Ð det valgfri emne OmrŒdet kryptologi er oplagt til en eksperimenterende undervisning; men jeg f lte mig meget bundet af, at hele stoffet skulle opgives til mundtlig eksamen Moduloregning, heltalsdivision, beregning af st rste f¾lles divisor og faktorisering forl b let og smertefrit Dog viste TI-92 sig for f rste gang at svigte, da det 6 Fermat-tal: , skulle faktoriseres Den St rre Skriftlige Opgave (TredjeŒrsopgaven) Det var helt klart her, at TI-92 fik sin store berettigelse Ud af 26 elever valgte 10 at skrive St rre Skriftlig Opgave i matematik, og det drejede sig om emner, der strakte sig fra ¾gyptisk matematik over komplekse tal til kryptologi TI-92«eren blev brugt til at l se tredjegradsligninger med komplekse koefficienter, til reduktion af komplicerede udtryk, til graftegning i to og tre dimensioner, til at faktorisere bœde polynomier og store tal, til beregning af integraler osv osv Skriftlig eksamen Som n¾vnt er TI-92 tilladt til Handelsskolens 'Matematik A'-eksamen, og jeg havde forventet en positiv effekt hos TI-92-brugerne Men sœ vidt jeg kan vurdere, har TI-92 hverken gjort fra eller til, hvad angœr de endelige karakterer, og der var desv¾rre Ð som altid! Ð stor usikkerhed i opgaverne med partiel integration og integration ved substitution Alt i alt har det bœde for eleverne og mig selv v¾ret sp¾ndende at fœ lov at eksperimentere med TI-92 For eleverne, hvoraf flere vil studere videre (datalogi og konomi pœ handelsh jskoler og universiteter), har det v¾ret en fin chance, dels at fœ et indtryk af mange nye matematiske emner blot ved at se pœ menuerne i TI-92, dels at opleve, hvad en matematisk computer er i stand til For de elever, der har skrevet St rre Skriftlig Opgave i matematik, har TI-92 v¾ret et fortrinligt hj¾lpemiddel, og der er fine muligheder for med en TI-92 i hœnden at g re problemformuleringerne langt mere eksperimenterende, end tilf¾ldet er i dag Men selv om TI-92-forl bet pœ mange mœder har v¾ret positivt, vil jeg alligevel anbefale, at man kun giver sig i kast med lignende eksperimenter, hvis alle elever gœr ind for sagen Det har v¾ret alt for frustrerende, at ting, man i den daglige undervisning havde lyst til at demonstrere, ikke har kunnet tages op, fordi det ville have betydet spildtid for nogle af eleverne Hvis alle elever er med pœ ideen, kan man tilrettel¾gge en systematisk undervisning i brugen af TI-92, og her er det en stor fordel at have en TI ViewScreenª til rœdighed Desuden tror jeg, at de fleste elever har brug for mere end Žt Œr, for at fœ fuldt udbytte af TI-92 Afsluttende bem¾rkninger Samtidig med eksperimenterne med TI-92 pœ A-niveau begyndte vi i skoleœret 1998/99 pœ Viborg Handelsskole at undervise samtlige ny 'Matematik B'- elever ved hj¾lp af TI-83 I begge situationer har f lgende to reaktionsm nstre blandt eleverne v¾ret typiske: Mange elever tager med begejstring imod de nye hj¾lpemidler, kaster sig ud i sindrige fors g og udviser i samv¾r med de avancerede lommeregnere den st¾dighed og kampœnd, som vi til daglig mangler sœ meget (og som mœske nu fœr mulighed for at opstœ, fordi der ikke l¾ngere stœr en bedrevidende matematikl¾rer og puster dem i nakken med alle de rigtige svar) Uanset deres tidligere matematiske standpunkt fœr de en ny indsigt i og gl¾de ved matematik Andre elever er derimod fra starten modvillige over for det nye Det kan v¾re meget matematisk kompetente elever, der har den indstilling, at alt det nye er ÓsnydÓ Men det er ogsœ den type elever, der normalt med tilfredshed og flid ville have kunnet klare de gammeldags krav, og som nu risikerer at blive tabere: Ikke alene skal de overkomme alle matematikkens abstrakte krav, men nu skal de ogsœ forholde sig til komplicerede teknologiske hj¾lpemidler, der rummer langt flere muligheder, end der er brug for Meget tankev¾kkende er det, at de to forskellige mœder at reagere pœ slet ikke er koblet til, om eleverne normalt betragtes at v¾re gode eller dœrlige til matematik SŒ i de kommende Œr, hvor der pœ de gymnasiale uddannelser i allerh jeste grad l¾gges op til eksperimenter med sœvel avancerede lommeregnere som med egentlige computerprogrammer, og hvor det i stor udstr¾kning er op til den enkelte l¾rer, om man vil v¾re med pœ vognen eller ej, vil vi faktisk som menige matematikl¾rere Ð hver for sig Ð komme til at stœ med et meget stort ansvar over for begge grupper af elever Tak til J rgen Simonsen og til TEXAS, der beredvilligt stillede et klasses¾t TI-92 til rœdighed i et helt skoleœr 3

4 Af Gert Schomacker, Frederiksborg Gymnasium Hvad er rref? Kan man løse 2 ligninger med 3 ubekendte på TI-83? Kan TI-83 bestemme skæringslinjen mellem 2 planer? I denne artikel beskrives rref-proceduren, som kan benyttes til l sning af line¾re ligningssystemer, ogsœ sœdanne, hvor der er flere ubekendte end ligninger Der bliver givet eksempler, hvor metoden anvendes i rumgeometrien til bestemmelse af sk¾ringen mellem to punktm¾ngder, fx sk¾ringslinjen mellem to planer Eksempel 1 (a) Vi skal l se ligningssystemet NŒr man skal l se et line¾rt ligningssystem med 2 ligninger med 2 ubekendte x og y, sœ g¾lder det om at fœ isoleret x i den ene ligning og y i den anden Dette kan g res ved passende r¾kkeoperationer F rst ganges r¾kkerne med henholdsvis 5 og 3: Herefter udregnes differensen mellem mellem de to r¾kker: PŒ tilsvarende mœde fœs Ved division med henholdsvis 14 og -7 fœs og Det givne ligningssystem er ensbetydende med : Eksempel 2 (a) Vi skal l se ligningssystemet Ligesom i eksempel 1 omskrives ved line¾re r¾kkeoperationer: S¾tter vi z = t, kan dette resultat skrives: OvenstŒende metoder er baseret pœ, at et ligningssystems l sningsm¾ngde ikke ¾ndres, nœr man (l st sagt): (1) ganger en ligning med et tal 0 (2) l¾gger ligninger sammen (3) ombytter ligninger Matrixnotation Et system af line¾re ligninger kan karakteriseres ved sin udvidede matrix A, dvs koefficientmatricen svarende til venstresiderne udvidet med en ekstra s jle bestœende af h jresiderne i ligningerne For systemet i eksempel 1 (a) er A = De omtalte omformninger af ligningssystemer svarer til f lgende matrix-r¾kkeoperationer: (1) alle elementer i en r¾kke ganges med et tal 0 (2) til alle elementer i en r¾kke l¾gges (plads for plads) elementerne i en anden r¾kke (3) to r¾kker ombyttes Man kan ogsœ sige, at enhver r¾kke kan erstattes af en linearkombination af r¾kken selv og en eller flere andre r¾kker Efter sœdanne omformninger fremkommer der en matrix, der svarer til et ligningssystem, som er ensbetydende med det oprindelige Eksempel 1 (b) Vi viser, hvordan dette foregœr pœ systemet fra eksempel 1 (a) Den udvidede matrix er A = 4

5 Denne matrix vil vi nu omforme i en r¾kke skridt F rst ganges f rste r¾kke med 5 og anden r¾kke med Ð 3 : Herefter erstattes f rste r¾kke med summen af de to r¾kker:, som ved division reduceres til F rste r¾kke ganges med Ð2 : Anden r¾kke erstattes af summen af de to r¾kker:, som ved division reduceres til Nu kan det ikke blive enklere Vi ser, at det givne ligningssystem er ensbetydende med, at, hvoraf l sningerne afl¾ses direkte Matricen A 6 siges at v¾re skrevet pœ reduceret r¾kke echelon form, forkortet rref Echelon er et milit¾rudtryk for en bestemt opstilling af tropper Her er Òfl jm¾ndeneó 1-tallerne l¾ngst til venstre i matricen rref pœ TI-83 At en matrix er pœ rref, betyder: Omsider kommer grafregneren ind i billedet Vi ser endnu en gang pœ ligningssystemet fra eksempel 1 (a) eventuelle 0-r¾kker stœr nederst alle elementer i trekanten til venstre for hoved-ódiagonalenó er 0 det f rste fra 0 forskellige element (fl jmanden) i en r¾kke er 1 alle andre elementer i en fl jmands s jle er 0 fl jmanden i en r¾kke stœr mindst Žn plads til h jre for fl jmanden i r¾kken ovenover, osv nedefter Eksempel 1 (c) Vi skal nu indl¾gge den udvidede matrix A = pœ TI-83 Tast f rst é~edit Herefter indtastes matricens dimension 2x3 og elementerne Žt for Žt efterfulgt af Õ: 5

6 Uanset hvilken af de to mœder man nu har brugt til at fœ matricen [A] ind i maskinen, sœ skal vi nu finde rref ([A]) Dette g res som vist pœ nedenstœende figurer Tast é ~ MATH Ü B:(fig 3a) og derpœ Õ : Fig 1a [A] indtastes Fig 3a Fig 1b [A] udskrives Indtastningen (fig 1a) afsluttes med y QUIT nsker man at kontrollere matricen, taster man é~ NAMES 1:[A] Õ, hvorved fig 1b fremkommer Alternativt (hurtigere metode, men mœske sv¾rere at huske) kan man indtaste matricen r¾kke for r¾kke i firkantede parenteser, direkte pœ tekstsk¾rmen og til sidst lagre den under navnet [A] ved hj¾lp af é~names : Fig 3b Tast sœ é~ NAMES 1:[A], og derpœ Õ : Fig 3c Fig 2a Indtastning af [A] Fig 3d Fig 2b Og sœ tryk pœ Õ Resultatet pœ fig 3d kender vi efterhœnden godt 6

7 Eksempel 2 (b) Ligningssystemet i eksempel 2 kan behandles pœ tilsvarende mœde: Fig 5b viser igen, at Eksempel 3 Vi s ger sk¾ringspunktet mellem planen med ligningen 3x 2y+z-20=0 og linjen med parameterfremstillingen Fig 4 Vi opstiller problemet som et ligningssystem med 4 ligninger og 4 ubekendte: Herefter fœs resultatet som ovenfor Man kan ogsœ gœ lidt anderledes frem Man kan fra starten v¾lge at indf re z = t som en ekstra ligning Herefter kan vi skrive ligningssystemet pœ formen Ligningssystemets udvidede matrix indtastes, og rref bestemmes: L¾g m¾rke til, at vi her har anbragt t pœ h jre side Dette betyder naturligvis intet for de line¾re r¾kkeoperationer Vi skal blot huske det, nœr vi fortolker rref-matricen: Fig 6a Fig 5a Fig 6b Konklusion: Sk¾ringspunktets koordinats¾t er ( 2, -4, 6 ), som svarer til parameterv¾rdien t = 1 Fig 5b 7

8 Eksempel 4 Vi skal l se ligningssystemet Eksempel 5 Vi skal bestemme sk¾ringspunktet mellem de to rette linjer l og m givet ved: Ligningssystemets udvidede matrix indtastes, og rref bestemmes: Vi skal altsœ l se ligningssystemet Fig 7a Ligningssystemets udvidede (6x6)-matrix kan lige akkurat ses pœ Žt sk¾rmbillede (fig 8a): Fig 7b Fig 8a Figur 7b viser, at det givne system er ensbetydende med V¾lger vi z = t som parameter, kan resultatet skrives: Fig 8b Fig 8b viser, at sk¾ringspunktet har koordinaterne (10, 5, 2), som svarer til parameterv¾rdierne s = 1 og t = 3 Dette er en parameterfremstilling for en ret linje, dvs de tre givne ligninger svarer til 3 planer, der alle indeholder denne linje 8

9 Eksempel 6 Vi skal bestemme beliggenheden af de to rette linjer l og m givet ved: Vi skal altsœ l se ligningssystemet: Fig 9b Fig 9b viser, at ovenstœende ligningssystem er ensbetydende med dvs linjerne l og m har ikke noget punkt f¾lles Da vi umiddelbart kan se af retningsvektorerne, at linjerne ikke er parallelle, slutter vi, at de er vindsk¾ve, Fig 9a Bjørn Felsager, Haslev Gymnasium & HF Programmering med TI-89 I den naturvidenskabelige klasse pœ Haslev Gymnasium, der k rer et specielt lommeregnerfors g med den nye symbolske lommeregner TI-89, har vi ikke overraskende ogsœ fœet elever, der interesserer sig s¾rligt meget for programmering, og som derfor Ð pœ egen hœnd - har kastet sig over programmeringsfaciliteterne i TI-89 I starten af differentialregningen fandt Teis sœledes hurtigt ud af totalt at omskrive et tidligere primitivt l¾rerprogram til at finde toppunkter for andengradspolynomier, sœ det ikke blot kan hœndtere vilkœrlige funktioner, men ogsœ giver frit valg med hensyn til den uafh¾ngige variable Programmet top() ses i aktion pœ det f lgende sk¾rmbillede, hvor det er udnyttet til at finde toppunktet for en bev¾gelse med konstant acceleration Men l¾s selv programmet og nyd den dokumentation som Teis har skrevet til sit program Den er bare helt i top! 9

10 Symbolsk toppunkts beregning Teis Johansen 2z, Haslev Gymnasium & HF top Beskrivelse top er et program, der er designet til at finde toppunkter for forskellige udtryk Det er symbolsk og kan hœndtere almindelige polynomier, polynomiumsbr ker og de trigonometriske funktioner sin og cos Teori Det top g r, er at differentiere udtrykket, for at finde et udtryk for tangenth¾ldningen Det, der er karakteristisk for toppunkter, er, at tangenth¾ldningen i et toppunkt netop er 0 SŒ n¾ste trin er at finde de steder hvor tangentens h¾ldning er 0 Til formœlet bruges funktionen zeros(), der er designet til at finde steder hvor et udtryk er 0, men det mest smarte, og grunden til at jeg valgte denne funktion (der er andre muligheder), er at den spytter en liste ud i stedet for x=5 or x=-5, som solve() spytter ud Kode :top(e,x) :Func : Local i,l,r : : zeros(d(e,x),x) 1 : If dim(l)>0 Then : newmat(dim(l),2) r : For i,1,dim(l) : l[i] r[i,1] : e x=l[i] r[i,2] : EndFor : Return r : Else : Return "Error: Expression has no min/max points" : EndIf :EndFunc top() VAR-LINK top (polynomium,var) top finder alle toppunkter for et polynomium med hensyn til variablen var, og returnerer en matrix, med x-v¾rdier til venstre og y-v¾rdier til h jre Hint: top retter sig efter Mode, sœ hvis Exact/ Approx er sat til Auto, kan man tvinge top til at returnere decimaltal ved at inds¾tte et komma top (symbolsk-polynomium, var) top er symbolsk, sœ de resterende v¾rdier i udtrykket beh ver ikke at v¾re numeriske Som eksempel kan man finde toppunktsformlen for et andengrads-polynomium: x-koordinaten ligner meget godt, men y-koordinaten er anderledes Dette l ser man ved hj¾lp af factor() Resultatet er faktisk det samme som toppunktsformlen, der er bare flyttet lidt pœ nogle minusser, og sœ stœr der b 2-4ac i stedet for d top (expression,var) top kan ogsœ finde toppunkter for andet end polynomier, fx de trigonometriske funktioner sin og cos, er et heltal Note: Lommeregneren skriver et tal dette tal er tilf¾ldigt og har ingen betydning 10

11 Peter Zangenberg, Silkeborg Handelsskole Undersøgelse af forskrift for forskellige funktioner I det f lgende beskrives hvorledes TI-83 kan bestemme forskriften for: Line¾re funktioner f(x) = ax + b Eksponential funktioner f(x) = a * b x Potensfunktioner f(x) = a * x b Bestemte funktions-v¾rdier for de 3 funktioner kan beregnes ved pœ grafen at afl¾se en cirka-v¾rdi og herefter via solveren MATH Ð 0:Solver at l se feks 0 =Y 1, 0 =Y 2 Ð 05 og 0 =Y 3 Ð 9 Vi tager udgangspunkt i punkterne f(1) = 1 /2 og f(8) = 9 Koordinaterne for de to punkter kan enten indl¾gges i to lister eller angives som {1, 1 /2} og {8,9} I det f lgende indl¾gges punkterne i listerne L 1 og L 2 Forskrifterne bestemmes ved at anvende STAT Ð CALC og herefter hhv 4:LinReg(ax+b), 0:ExpReg og A:PwrReg I det f lgende indl¾gges de 3 funktioner i Y 1, Y 2 og Y 3 De 3 funktions-forskrifter findes nu under Y= PŒ grund af un jagtighed ved bestemmelse af forskrifterne samt udregning af x-v¾rdierne bliver resultatet ikke helt n jagtigt hhv 1 og 8, men usikkerheden ligger ude pœ 4 decimal Ved hj¾lp af 3 punkter kan forskriften for en 2-grads funktion ax 2 + bx + c tilsvarende bestemmes ved hj¾lp af QuadReg 11

12 Nyheder fra Texas Instruments i foråret 2000 Som omtalt i sidste nummer af Galaxen regner vi med i l bet af forœret at udsende et nyt program til PC TI InterActive!ª Programmet behandler blandt andet samtlige funktioner pœ TI-83, men med en datamaskines kapacitet En demonstration af programmet findes pœ ny eksempelsamling med diverse CBLª dataopsamlings fors g Den forventes at v¾re f¾rdig inden sommerferien og kan gratis TIÕs hjemmesider wwwticom/docs/interactive CBL 2ª er det nyeste indenfor dataopsamling Den bygger ogsœ pœ FLASH teknologi og indeholder indbyggede dataopsamlings programmer Den kan opsamle op til data med op til mœlinger pr sekund Den forventes til salg f r sommerferien L¾s yderligere information pœ wwwticom/calc/docs/cbl2 I samarbejde med Ole Bakander udsendes en rekvireres hos Texas Instruments TI-15 Explorer er den nyeste lommeregner til brug i folkeskolen Den er en videreudvikling af Math Explorer og den lille professor Der er allerede et par testklasser i Danmark L¾s mere om den pœ wwwticom/calc/danmark med venlig hilsen J rgen Simonsen Redaktion Educational Marketing Manager (EMM) for Danmark og Norge Michael Brochmann m-brochmann@ticom Skolekoordinator J rgen Toft Simonsen j-t-s@post6teledk Texas Instruments Naverland Glostrup Tlf Fax Hjemmeside Selvom Texas Instruments Incorporated og virksomhedens forhandlere fors ger at sikre rigtigheden af kommentarer og udsagn i denne publikation, vil ansvarligg relse under ingen omst¾ndigheder blive accepteret, hvis der er tale om upr¾cist indhold eller artikler/udsagn fra bidragsyderne til publikationen De meninger der gives udtryk for deles ikke n dvendigvis af Texas Instruments Incorporated Alle lommeregnere der markedsf res i Europa er fremstillet under ISO 9000-certificering Paper-Free, Constant Memory, APD ( Automatic Power Down ), ANYLITE, SuperView, EOS, AOS, TI-GRAPH LINK, ViewScreen, CBL 2, CBL og CBR er varem¾rker tilh rende Texas Instruments Incorporated Cabri GŽom tre II er et varem¾rke tilh rende UniversitŽ Joseph Fourier IBM er et registreret varem¾rke tilh rende International Business Machines Corporation Windows er et varem¾rke tilh rende Microsoft Corporation Alle andre varem¾rker tilh rer de respektive ejere Texas Instruments forbeholder sig ret til at ¾ndre produkter, specifikationer, serviceydelser og programmer uden varsel Trykt pœ 100% klorfrit genbrugspapir hos Druckerei Paul GmbH Typografi + Litografi LS: Heinrich & Lapperger GmbH 2000 Texas Instruments Incorporated CL 2000NLM1/DK XX/SL/1L8/D