Den moderne grundlagsdiskussion. Tirsdag den 22. November 2011
|
|
|
- Sidsel Mikkelsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Den moderne grundlagsdiskussion Tirsdag den 22. November 2011
2 The empirical law of epistemology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
3 Erkendelsesteoriens Empiriske Lov Matematikkens urimelige nøjagtighed i beskrivelsen af naturlovene. Naturlovenes stærkt begrænsede omfang. Der findes regulariteter i naturen, som er grundlaget for matematikkens anvendelighed. Der findes aspekter af naturen som tilsyneladende ikke udviser nogen for for regularitet.
4 De Store Tals Lov
5 Newtons Love! l eller m g Lineær approximation mg sin! g!
6 Grundlagsproblemer: Uafgørlighed Gödels 1. sætning: Enhver konsistent aksiomatisk teori, som tillader Gödel-nummerering, vil være uafgørlig. Gödels 2. sætning: I enhver konsistent aksiomatisk teori, som tillader Gödel-nummerering, kan teoriens konsistens udtrykkes men ikke bevises. L%71*%'12%" JK#-1-2%/" 1"GE" PA!"!" I+=0%71*%'12%" JK#-1-2%/" 1"GE"
7 Grundlagsproblemer: Utilstrækkelighed Löwenheim-Skolems sætning: Enhver førsteordensteori (med kun tælleligt mange formler), som har en uendelig model, vil have en model af vilkårlig kardinalitet. Manglende kategorisitet: Löwenheim-Skolems sætning medfører bl.a., at det ikke er muligt at karakterisere uendelige matematiske strukturer op til isomorfi. Eksempler: Ikke-standardmodeller for Peanoaritmetikken, PA Tællelige modeller for Zermelo-Fraenkels mængdelære, ZFC
8 Grundlagsproblemer: For stærke aksiomer Uendelighedsaksiomet, som siger, at der findes mindst een uendelig mængde er filosofisk set problematisk. Tilsvarende med potensmængdeaksiomet når det anvendes på uendelige mængder. Eksempler: Der findes flere delmængder af de naturlige tal end der kan beskrives i matematikkens sprog, Der findes en model for ZF, hvor delmængder begrænses til beskrivelige mængder, Gödels V=L.
9 Grundlagsproblemer: Højereordens Logik Førsteordens aritmetik, PA: for alle formler " Fuld Andenordens aritmetik, A: A er et endeligt aksiomsystem i modsætning til PA A er kategorisk i 2.-ordens logik, men 2.-ordens logik kan ikke aksiomatiseres.
10 Formel 2.-ordens Aritmetik, Z 2 1. Basis-aksiomer 2. Induktionsaksiom Z 2 tillader som PA mange modeller, men gælder også for standardmodellen, hvor 1.-ordens variable, x,y,, løber over de naturlige tal, 0,1,2,, og 2.ordens variable, X,Y,, løber over delmængder af naturlige tal. 3. Komprehensionsaksiom Logiske slutningsregler som i 1.-ordens logik, hvor kvantorreglerne udvides til at gælde også for 2.-ordens kvantorer.
11 RCA 0 (Recursive Comprehension Axiom) RCA 0 er det delsystem af andenordens aritmetik, som fremkommer, når induktionsaksiomet udskiftes med aksiomskemaet hvor " kun tillades at løbe over # 0 1-formler, og komprehensionsaksiomet udskiftes med $ 0 1 -komprehension hvor " er en $ 0 1 -formel. RCA 0 har en entydig mindste model, hvor 1.-ordens variable løber over naturlige tal og 2.-ordens variable over rekursive delmængder af de naturlige tal. Den matematik, som kan udvikles i RCA 0, svarer til rekursiv analyse, dvs. den beregnelige del af matematikken.
12 Theorems provable in RCA 0 The following theorems are provable in RCA 0 : 1. The Baire Category Theorem: The intersection of a sequence of dense open sets in R k is dense in R k. 2. The Intermediate Value Theorem: If f(x) is continuous on the unit interval [0,1] and f(0)<0<f(1), then there exists x such that 0<x<1 and f(x)=0. 3. Existence of an algrabaic closure of a countable field. 4. Existence of a unique real closure (intermediate value property for polynomials) of a countable ordered field. (See Stephen G. Simpson: Subsystems of Second Order Arithmetic, Cambridge UP 2009, p. 28)
13 WKL 0 (Weak König s Lemma) WKL 0 fremkommer ved at udvide RCA 0 med en svag udgave af König s lemma, som siger, at ethvert uendeligt binært træ har en uendelig gren. Alle modeller afwkl 0 indeholder ikke-rekursive mængder, og WKL 0 har ikke nogen mindste model.
14 Reverse Mathematics for WKL 0 Within RCA 0 one can prove that WKL 0 is equivalent to each of the following ordinary mathematical theorems: 1. The Heine-Borel Covering Lemma: Every covering of the closed interval [0,1] by a sequence of open intervals has a finite sub-covering. 2. Every continuous real valued function on [0,1], or on a compact metric space, is bounded. 3. The local existence theorem for solutions of finite systems of ordinary differential equations. 4. Every countable commutative ring has a prime ideal. 5. Every countable field of characteristic 0 has a unique algebraic closure. 6. Brouwer s fixed point theorem: Every uniformly continuous function f:[0,1] k % [0,1] k has a fixed point. (See Stephen G. Simpson: Subsystems of Second Order Arithmetic, Cambridge UP 2009, p. 36)
15 ACA 0 (Arithmetic Comprehension Axiom) ACA 0 fremkommer af Z 2 ved at udskifte komprehensionsaksiomet med det aritmetiske komprehensionsaksion, som begrænser formlerne i komprehensionsaksiomet til aritmetiske formler. En 2.-ordens formel, ", er aritmetisk, hvis den ikke indehilder nogen 2.- ordens kvantorer. ACA 0 har en mindste model, hvor 1.-ordens variable løber over naturlige tal og 2.-ordens variable over de delmængder af de naturlige tal, som kan Turing-reduceres til TJ(n,Ø), for passende n. TJ(1,Ø) = en fuldstændig rekursivt nummerable mængder, dvs. en maksimalt kompleks mængde, som kan genereres af en algoritme. TJ(n+1,Ø) = en fuldstændig rekursivt nummerabel mængde relativt til TJ(n,Ø).
16 Reverse Mathematics for ACA 0 Within RCA 0 one can prove that ACA 0 is equivalent to each of the following ordinary mathematical theorems: 1. Every bounded, or bounded increasing, sequence of real numbers has a least upper bound. 2. The Bolzano-Weierstrass theorem: Every bounded sequence of reals has a convergent subsequence. 3. The Ascoli Lemma: Every bounded equicontinuous sequence of real valued continuous functions on a bounded interval has a uniformly convergent subsequence. 4. Every countable commutative ring has a maximal ideal. 5. König s Lemma: Every infinite, finitely branching tree has an infinite path. (See Stephen G. Simpson: Subsystems of Second Order Arithmetic, Cambridge UP 2009, p. 34)
17 ATR 0 (Arithmetical Transfinite Recursion) ATR 0 fremkommer af ACA 0 ved at tilføje aksiomet om aritmetisk transfinit rekursion hvor WO(X) betyder, at X er en velordnet mængde, og H! (X,Y) betyder, at Y fremkommer ved at iterere! langs ordningen af X.! er en aritmetisk formel, som definerer en afbildning af delmængder af naturlige tal ind i delmængder af naturlige tal. ATR 0 har ikke nogen minimalmodel.
18 Reverse Mathematics for ATR 0 Within RCA 0 one can prove that ATR 0 is equivalent to each of the following ordinary mathematical theorems: 1. Any two countable well orderings are compatible. 2. The domain of any single-valued Borel relation is a Borel set. 3. Lusin s separation theorem: Any two disjoint analytic sets can be separated by a Borel set.
19 Five Basic Systems RCA 0 Constructivism Bishop WKL 0 Finitistic Reductionism Hilbert ACA 0 Predicativism Weyl, Feferman ATR 0 & 1 1 -CA 0 Predicative Reductionism Friedman, Simpson Impredicativity Feferman, Pohlers, Sieg Stephen G. Simpson: Subsystems of Second Order Arithmetic, Cambridge UP 2009
Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009
Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4
Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed
Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste
Exercise 6.14 Linearly independent vectors are also affinely independent.
Affine sets Linear Inequality Systems Definition 6.12 The vectors v 1, v 2,..., v k are affinely independent if v 2 v 1,..., v k v 1 is linearly independent; affinely dependent, otherwise. We first check
Gentzen og de transfinitte bevismetoder
Gentzen og de transfinitte bevismetoder Klaus Frovin Jørgensen Afdeling for Filosofi og Videnskabsteori, RUC Den 15. november 2011 1 / 27 Konsistensbeviser og grundlagskrisen Grundlagskrisen opstod på
Beregnbarhed, diagonalisering og matematikkens grundlag
Beregnbarhed, diagonalisering og matematikkens grundlag Stig Andur Pedersen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 1 Matematikkens grundlagsproblemer Omkring år 1900 havde matematikken udviklet metoder
Skriftlig Eksamen Automatteori og Beregnelighed (DM17)
Skriftlig Eksamen Automatteori og Beregnelighed (DM17) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Odense Campus Lørdag, den 15. Januar 2005 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater
Gödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning
Strings and Sets: set complement, union, intersection, etc. set concatenation AB, power of set A n, A, A +
Strings and Sets: A string over Σ is any nite-length sequence of elements of Σ The set of all strings over alphabet Σ is denoted as Σ Operators over set: set complement, union, intersection, etc. set concatenation
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 31 Oktober 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af lommeregner
Kurver og flader Aktivitet 15 Geodætiske kurver, Isometri, Mainardi-Codazzi, Teorema Egregium
Kurver og flader Aktivitet 15 Geodætiske kurver, Isometri, Mainardi-Codazzi, Teorema Egregium Lisbeth Fajstrup Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kurver og Flader 2013 Lisbeth Fajstrup (AAU)
DM549 Diskrete Metoder til Datalogi
DM549 Diskrete Metoder til Datalogi Spørgsmål 1 (8%) Hvilke udsagn er sande? Husk, at symbolet betyder går op i. Which propositions are true? Recall that the symbol means divides. Svar 1.a: n Z: 2n > n
Meddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5.
Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30.
Gödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Gödels første ufuldstændighedssætning
DM547 Diskret Matematik
DM547 Diskret Matematik Spørgsmål 1 (11%) Hvilke udsagn er sande? Husk, at symbolet betyder går op i. Which propositions are true? Recall that the symbol means divides. Svar 1.a: n Z: 2n > n + 2 Svar 1.b:
Sign variation, the Grassmannian, and total positivity
Sign variation, the Grassmannian, and total positivity arxiv:1503.05622 Slides available at math.berkeley.edu/~skarp Steven N. Karp, UC Berkeley FPSAC 2015 KAIST, Daejeon Steven N. Karp (UC Berkeley) Sign
DM549. Hvilke udsagn er sande? Which propositions are true? Svar 1.a: x Z: x > x 1. Svar 2.h: x Z: y Z: x + y = 5. Svar 1.e: x Z: y Z: x + y < x y
DM549 Spørgsmål 1 (8%) Hvilke udsagn er sande? Which propositions are true? Svar 1.a: x Z: x > x 1 Svar 1.b: x Z: y Z: x + y = 5 Svar 1.c: x Z: y Z: x + y = 5 Svar 1.d: x Z: y Z: x 2 + 2y = 0 Svar 1.e:
Computing the constant in Friedrichs inequality
Computing the constant in Friedrichs inequality Tomáš Vejchodský vejchod@math.cas.cz Institute of Mathematics, Žitná 25, 115 67 Praha 1 February 8, 212, SIGA 212, Prague Motivation Classical formulation:
: B r (x 0 )! R, j =1, 2,..., m, i =1, 2,...,n. alle er kontinuerte i x 0.SåerF differentiabel i x 0.
Sætning 9.32 Lad F : U! R m være en funktion og lad x 0 2 U. Antag, at de partielt afledte af F s koordinatfunktioner eksisterer i alle punkter i en åben kugle B r (x 0 ) U, og at de derved fremkomne funktioner
Linear Programming ١ C H A P T E R 2
Linear Programming ١ C H A P T E R 2 Problem Formulation Problem formulation or modeling is the process of translating a verbal statement of a problem into a mathematical statement. The Guidelines of formulation
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam April Algebra 3
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 16. April 2010 Algebra This exam contains 5 exercises which are to be solved in hours. The exercises are posed in an English and in a Danish version.
Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ
Noter til kursusgang 8, IMAT og IMATØ matematik og matematik-økonomi studierne 1. basissemester Esben Høg 25. oktober 2013 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg Noter til kursusgang
MM537 Introduktion til Matematiske Metoder
MM537 Introduktion til Matematiske Metoder Spørgsmål 1 (11%) Hvilke udsagn er sande? Husk, at symbolet betyder går op i. Which propositions are true? Recall that the symbol means divides. Svar 1.a: n Z:
LIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM
LIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM Denne note omhandler uendelighedsbegrebet, som det er indført af Georg Cantor omkring 1870 Vi henviser til [4] for Cantors arbejder For datiden var Cantors idéer revolutionerende,
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 3. April Algebra 3
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 3. April 2009 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish
Selvreference i begrænsningsresultaterne
Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.
Aarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Konstruktionen af de reelle tal gennem decimaltalsrepræsentation og Dedekind-snit
Keeping it real Konstruktionen af de reelle tal gennem decimaltalsrepræsentation og Dedekind-snit Speciale 10. januar 2018 Pernille Andersen Rikke Bod Lund Matematisk Institut Skjernvej 4A 9220 Aalborg
Curve Modeling B-Spline Curves. Dr. S.M. Malaek. Assistant: M. Younesi
Curve Modeling B-Spline Curves Dr. S.M. Malaek Assistant: M. Younesi Motivation B-Spline Basis: Motivation Consider designing the profile of a vase. The left figure below is a Bézier curve of degree 11;
Probabilistic properties of modular addition. Victoria Vysotskaya
Probabilistic properties of modular addition Victoria Vysotskaya JSC InfoTeCS, NPK Kryptonite CTCrypt 19 / June 4, 2019 vysotskaya.victory@gmail.com Victoria Vysotskaya (Infotecs, Kryptonite) Probabilistic
Eric Nordenstam 1 Benjamin Young 2. FPSAC 12, Nagoya, Japan
Eric 1 Benjamin 2 1 Fakultät für Matematik Universität Wien 2 Institutionen för Matematik Royal Institute of Technology (KTH) Stockholm FPSAC 12, Nagoya, Japan The Aztec Diamond Aztec diamonds of orders
Unitel EDI MT940 June 2010. Based on: SWIFT Standards - Category 9 MT940 Customer Statement Message (January 2004)
Unitel EDI MT940 June 2010 Based on: SWIFT Standards - Category 9 MT940 Customer Statement Message (January 2004) Contents 1. Introduction...3 2. General...3 3. Description of the MT940 message...3 3.1.
Fejlbeskeder i SMDB. Business Rules Fejlbesked Kommentar. Validate Business Rules. Request- ValidateRequestRegist ration (Rules :1)
Fejlbeskeder i SMDB Validate Business Rules Request- ValidateRequestRegist ration (Rules :1) Business Rules Fejlbesked Kommentar the municipality must have no more than one Kontaktforløb at a time Fejl
Henrik Bulskov Styltsvig
Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition
On the Relations Between Fuzzy Topologies and α Cut Topologies
S Ü Fen Ed Fak Fen Derg Sayı 23 (2004) 21-27, KONYA On the Relations Between Fuzzy Topologies and α Cut Topologies Zekeriya GÜNEY 1 Abstract: In this study, some relations have been generated between fuzzy
Thomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen. 7. marts 2005
Om Gödels sætning Thomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen 7. marts 2005 Resumé Gödels sætning er en af det 20. århundredes mest berømte matematiske sætninger. Den er kendt langt ud over de professionelle
Datalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt (polynomiel
9. marts NP -fuldstændighed Datalogisk indsigt Der findes problemer som kan løses effektivt (polynomiel tid) Der findes problemer som ikke kan løses effektivt Der findes problemer som slet ikke kan løses
5 hurtige til de voksne
16 Interview 5 hurtige til de voksne om intuitionisme Jingyu She og Maria Bekker-Nielsen Dunbar Hvad er det, du vil med matematik? Du vil gerne opbygge nogle modeller af et eller andet, som på en eller
Beyond Fermat s Last Theorem
Beyond Fermat s Last Theorem David Zureick-Brown Slides available at http://www.mathcs.emory.edu/~dzb/slides/ EUMMA talk October 18, 2018 a 2 + b 2 = c 2 Basic Problem (Solving Diophantine Equations) Setup
Grundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, Sandsynlighed og Randomiserede Algoritmer (DM58) Institut for Matematik og Datalogi Syddansk Universitet, Odense Torsdag den 1. januar 01 kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Sampling real algebraic varieties for topological data analysis
Sampling real algebraic varieties for topological data analysis Joint with: Emilie Dufresne (U. York) Heather Harrington (U. Oxford) Jonathan Hauenstein (U. Notre Dame) AG19, July 2019 Sampling real varieties
Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72)
Skriftlig Eksamen Diskret matematik med anvendelser (DM72) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet, Odense Onsdag den 18. januar 2006 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.),
Elementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Help / Hjælp
Home page Lisa & Petur www.lisapetur.dk Help / Hjælp Help / Hjælp General The purpose of our Homepage is to allow external access to pictures and videos taken/made by the Gunnarsson family. The Association
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)
Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 7 Januar 2008, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af lommeregner
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen Februar 2017
Besvarelser til Lineær Algebra Reeksamen - 7. Februar 207 Mikkel Findinge Bemærk, at der kan være sneget sig fejl ind. Kontakt mig endelig, hvis du skulle falde over en sådan. Dette dokument har udelukkende
Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Aarhus Universitet, Science and Technology, Computer Science. Exam. Wednesday 27 June 2018, 9:00-11:00
Page 1/12 Aarhus Universitet, Science and Technology, Computer Science Exam Wednesday 27 June 2018, 9:00-11:00 Allowed aid: None The exam questions are answered on the problem statement that is handed
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008. Algebra 3
University of Copenhagen Faculty of Science Written Exam - 8. April 2008 Algebra 3 This exam contains 5 exercises which are to be solved in 3 hours. The exercises are posed in an English and in a Danish
Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen
12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre
On the complexity of drawing trees nicely: corrigendum
Acta Informatica 40, 603 607 (2004) Digital Object Identifier (DOI) 10.1007/s00236-004-0138-y On the complexity of drawing trees nicely: corrigendum Thorsten Akkerman, Christoph Buchheim, Michael Jünger,
Multivariate Extremes and Dependence in Elliptical Distributions
Multivariate Extremes and Dependence in Elliptical Distributions Filip Lindskog, RiskLab, ETH Zürich joint work with Henrik Hult, KTH Stockholm I II III IV V Motivation Elliptical distributions A class
Business Rules Fejlbesked Kommentar
Fejlbeskeder i SMDB Validate Business Request- ValidateRequestRegi stration ( :1) Business Fejlbesked Kommentar the municipality must have no more than one Kontaktforløb at a time Fejl 1: Anmodning En
TM4 Central Station. User Manual / brugervejledning K2070-EU. Tel Fax
TM4 Central Station User Manual / brugervejledning K2070-EU STT Condigi A/S Niels Bohrs Vej 42, Stilling 8660 Skanderborg Denmark Tel. +45 87 93 50 00 Fax. +45 87 93 50 10 info@sttcondigi.com www.sttcondigi.com
DM559/DM545 Linear and integer programming
Department of Mathematics and Computer Science University of Southern Denmark, Odense June 10, 2017 Marco Chiarandini DM559/DM545 Linear and integer programming Sheet 12, Spring 2017 [pdf format] The following
Fejlbeskeder i Stofmisbrugsdatabasen (SMDB)
Fejlbeskeder i Stofmisbrugsdatabasen (SMDB) Oversigt over fejlbeskeder (efter fejlnummer) ved indberetning til SMDB via webløsning og via webservices (hvor der dog kan være yderligere typer fejlbeskeder).
Konstruktion af de reelle tal
Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe
ArbejsskadeAnmeldelse
ArbejsskadeAnmeldelse OpretAnmeldelse 001 All Klassifikations: KlassifikationKode is an unknown value in the current Klassifikation 002 All Klassifikations: KlassifikationKode does not correspond to KlassifikationTekst
Formelle systemer og aksiomatisk mængdelære
Formelle systemer og aksiomatisk mængdelære Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/32 Lidt
Talteori: Euklids algoritmer, modulær aritmetik
Talteori: r, modulær aritmetik Videregående algoritmik Cormen et al. 31.1 31.4 Tirsdag den 6. januar 2009 1 1 2 Restklasseringene modulo n Grupper og undergrupper Modulær division Divisorer De hele tal
Ja! det beviste vi uge 16+17
Ugens emner Lukketheds- og afgørlighedsegenskaber [5.3-5.5] lukkethed under,,,, * lukkethed under homomorfi og invers homomorfi pumping -lemmaet beslutningsproblemer: membership, emptiness, finiteness
Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
DM547/MM537. Spørgsmål 2 (3%) Hvilke udsagn er sande? Which propositions are true? Svar 1.a: x Z: x > x 1. Svar 2.h: x Z: y Z: x + y = 5. Svar 1.
DM547/MM537 Spørgsmål 1 (10%) Hvilke udsagn er sande? Which propositions are true? Svar 1.a: x Z: x > x 1 Svar 1.b: x Z: y Z: x + y = 5 Svar 1.c: x Z: y Z: x + y = 5 Svar 1.d: x Z: y Z: x 2 + 2y = 0 Svar
Hilbert om det uendelige og matematikkens grundlag omkring 1925
Hilbert om det uendelige og matematikkens grundlag omkring 1925 Klaus Frovin Jørgensen Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 1 / 40 Situationen i 1800-tallets
Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ
Noter til kursusgang 9, IMAT og IMATØ matematik og matematik-økonomi studierne 1. basissemester Esben Høg 4. november 013 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben Høg Noter til kursusgang
Feebly projectable l-groups
Algebra Univers. 62 (2009) 91 112 DOI 10.1007/s00012-010-0041-z Published online January 22, 2010 Birkhäuser Verlag Basel/Switzerland 2010 Feebly projectable l-groups Algebra Universalis Michelle L. Knox
Skolems Paradoks og den moderne kritik af mængdelæren
Skolems Paradoks og den moderne kritik af mængdelæren PA og ZFC Plus og gange defineret ud fra eierfølgerfunkkonen og 0, samt muligheden for at lave indukkonsbeviser. ZF1. Extensionalitetsaksiomet ZF2.
Grundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Vina Nguyen HSSP July 13, 2008
Vina Nguyen HSSP July 13, 2008 1 What does it mean if sets A, B, C are a partition of set D? 2 How do you calculate P(A B) using the formula for conditional probability? 3 What is the difference between
The GAssist Pittsburgh Learning Classifier System. Dr. J. Bacardit, N. Krasnogor G53BIO - Bioinformatics
The GAssist Pittsburgh Learning Classifier System Dr. J. Bacardit, N. Krasnogor G53BIO - Outline bioinformatics Summary and future directions Objectives of GAssist GAssist [Bacardit, 04] is a Pittsburgh
Sandsynlighedsbaserede metoder
48 Metodeartikel Sandsynlighedsbaserede metoder Et førstehåndsindtryk med pseudotilfældige tal Daniel Kjær For nogle uger siden pålagde jeg mig selv den opgave at aflevere to artikler til Famøs om Monte
Engineering of Chemical Register Machines
Prague International Workshop on Membrane Computing 2008 R. Fassler, T. Hinze, T. Lenser and P. Dittrich {raf,hinze,thlenser,dittrich}@minet.uni-jena.de 2. June 2008 Outline 1 Motivation Goal Realization
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides
01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...
Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed
Approximations-algoritmer Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme
DM559/DM545 Linear and integer programming
Department of Mathematics and Computer Science University of Southern Denmark, Odense June 10, 2017 Marco Chiarandini DM559/DM545 Linear and integer programming Sheet 12, Spring 2017 [pdf format] The following
Matematik: Videnskaben om det uendelige. Anden forelæsning: Indivisibler
Matematik: Videnskaben om det uendelige Anden forelæsning: Indivisibler Klaus Frovin Jørgensen 20. september, 2010 1 / 24 Den græske matematik Endelige geometriske objekter er matematikkens objekter Kun
Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger. Jørgen Ebbesen
"0" 1 "ƒ" 3 " " 5 " " 7 " " 9 "(" 11 ")" 13 Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger Jørgen Ebbesen Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger. Her kan man fx tage udgangspunkt i et eller flere eksempler
Det er muligt at chekce følgende opg. i CodeJudge: og
Det er muligt at chekce følgende opg. i CodeJudge:.1.7 og.1.14 Exercise 1: Skriv en forløkke, som producerer følgende output: 1 4 9 16 5 36 Bonusopgave: Modificer dit program, så det ikke benytter multiplikation.
Avancerede bjælkeelementer med tværsnitsdeformation
Avancerede bjælkeelementer med tværsnitsdeformation Advanced beam element with distorting cross sections Kandidatprojekt Michael Teilmann Nielsen, s062508 Foråret 2012 Under vejledning af Jeppe Jönsson,
MASO Uge 1. Relle tal Følger. Jesper Michael Møller. 7. september Department of Mathematics University of Copenhagen
MASO Uge 1 Relle tal Jesper Michael Møller Department of Mathematics University of Copenhagen 7. september 2016 Formålet med MASO Integer sequences Oversigt Relle tal Notation Tal Overtal og undertal Største
Ikke-parametriske tests
Ikke-parametriske tests 2 Dagens menu t testen Hvordan var det nu lige det var? Wilcoxson Mann Whitney U Kruskall Wallis Friedman Kendalls og Spearmans correlation 3 t-testen Patient Drug Placebo difference
Ordliste MM511 Kompleks Analyse
Ordliste MM511 Kompleks Analyse Jens Siegstad jesie04@student.sdu.dk A Absolute convergence = absolut konvergens Analytic = analytisk Antiderivative = stamfunktion Annulus = annulus, ringområde Argument
Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004
BSD-prosper.tex Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Johan P. Hansen 26/11/2004 13:34 p. 1/20 Birch og Swinnerton-Dyer formodningen Foredrag i Eulers Venner 30. nov. 2004 Johan P. Hansen matjph@imf.au.dk
Matematikkens Filosofi
Matilde 13 foreligger ikke som samlet PDF-fil. Dette dokument er en samling af de HTML-, Word- og PDF-filer der var at finde i Matilde arkivet vedr. Matilde 13. MATH-AU 2015-11-18 Matematikkens Filosofi!
Mordell s Sætning. Henrik Christensen og Michael Pedersen. 17. december 2003
Mordell s Sætning Henrik Christensen og Michael Pedersen 17. december 2003 Mordells sætning siger at gruppen C(Q) af rationale punkter over en ellipse C er en endeligt frembragt abelsk gruppe. Elliptiske
SKRIFTLIG EKSAMEN I NUMERISK DYNAMIK Bygge- og Anlægskonstruktion, 7. semester Torsdag den 19. juni 2003 kl Alle hjælpemidler er tilladt
SKRIFTLIG EKSAMEN I NUMERISK DYNAMIK Bygge- og Anlægskonstruktion, 7. semester Torsdag den 9. juni 23 kl. 9.-3. Alle hjælpemidler er tilladt OPGAVE f(x) x Givet funktionen f(x) x, x [, ] Spørgsmål (%)
Diskrete Matematiske Metoder. Jesper Lützen
Diskrete Matematiske Metoder Jesper Lützen Juni 2013 ii Indhold Introduktion. ix 0.1 Den aksiomatisk-deduktive metode................. ix 0.2 Diskret matematik; hvad er det?.................. x 1 Tal,
Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter
Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer
Adaptive Algorithms for Blind Separation of Dependent Sources. George V. Moustakides INRIA, Sigma 2
Adaptive Algorithms for Blind Separation of Dependent Sources George V. Moustakides INRIA, Sigma 2 Problem definition-motivation Existing adaptive scheme-independence General adaptive scheme-dependence
Resource types R 1 1, R 2 2,..., R m CPU cycles, memory space, files, I/O devices Each resource type R i has W i instances.
System Model Resource types R 1 1, R 2 2,..., R m CPU cycles, memory space, files, I/O devices Each resource type R i has W i instances. Each process utilizes a resource as follows: request use e.g., request
PARALLELIZATION OF ATTILA SIMULATOR WITH OPENMP MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ DEL AMOR MINIPROJECT OF TDT24 NTNU
PARALLELIZATION OF ATTILA SIMULATOR WITH OPENMP MIGUEL ÁNGEL MARTÍNEZ DEL AMOR MINIPROJECT OF TDT24 NTNU OUTLINE INEFFICIENCY OF ATTILA WAYS TO PARALLELIZE LOW COMPATIBILITY IN THE COMPILATION A SOLUTION
Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. alle mulige resultater af eksperimentet
Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (X, E, ν). Udfaldsrummet X indeholder alle mulige resultater af eksperimentet men ofte også yderligere elementer
Den matematiske grundlagskrise 12. januar 2010. Søren Frejstrup Grav Petersen
Den matematiske grundlagskrise 12. januar 2010 Asger Haugstrup Helene Juncher Søren Frejstrup Grav Petersen Mikkel Nichlas Rauf Rasmus Sylvester Bryder Indhold 1 Problemformulering 2 2 Indledning 2 3 Logicisme
Undervisningsbeskrivelse
Undervisningsbeskrivelse Stamoplysninger til brug ved prøver til gymnasiale uddannelser Termin Institution Uddannelse Fag og niveau Lærer(e) Hold Termin hvori undervisningen afsluttes: Maj-juni, 14. Denne
Lineær Algebra. Lars Hesselholt og Nathalie Wahl
Lineær Algebra Lars Hesselholt og Nathalie Wahl 2. udgave, oktober 207 Forord Denne bog er beregnet til et første kursus i lineær algebra, men vi har lagt vægt på at fremstille dette materiale på en sådan
Divide-and-Conquer algoritmer
Divide-and-Conquer algoritmer Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. Divide-and-Conquer algoritmer Det samme som rekursive algoritmer. 1. Opdel problem i mindre delproblemer
DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser:
DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser: Jørgen Bang-Jensen October 9, 2013 Abstract Formålet med denne note er at give en form for kogebogsopskrift på, hvorledes man bygger et uafgørlighedsbevis
t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er
![En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er](/thumbs/20/401081.jpg "En karakteristik af de regulære sprog. Ugens emner. FA minimering [5.1-5.2] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er")
Ugens emner FA minimering [.-.] MyHill-Nerode-sætningen en algoritme til minimering af FA er En karakteristik af de regulære sprog Et sprog L er regulært hvis og kun hvis L beskrives af et regulært udtryk
1 Sandsynlighed Sandsynlighedsbegrebet Definitioner Diskret fordeling Betinget sandsynlighed og uafhængighed...
Indhold 1 Sandsynlighed 1 1.1 Sandsynlighedsbegrebet................................. 1 1.2 Definitioner........................................ 2 1.3 Diskret fordeling.....................................