Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. alle mulige resultater af eksperimentet
|
|
- Frida Bendtsen
- 5 år siden
- Visninger:
Transkript
1 Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (X, E, ν). Udfaldsrummet X indeholder alle mulige resultater af eksperimentet men ofte også yderligere elementer af matematiske grunde. Resultatet af et eksperiement er en observation x X. Slide 1/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
2 Sandsynlighedsteori Et eksperiement beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (X, E, ν). E er en σ-algebra på X. Mængderne i E kaldes hændelser. En hændelse A E er indtruffet hvis observationen x tilhører A. Ikke-målelige mængder er så komplicerede, at vi ikke i praksis kan afgøre om x er i mængden eller ej... Slide 2/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
3 Sandsynlighedsteori Et eksperiement beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (X, E, ν). Sandsynlighedsmålet ν repræsenterer... Den observerbare fordeling af udfald ved replikationer af eksperimentet. Vores forventninger til udfaldet af eksperimentet. Noget tredje (en udvidet logik...). Det første synspunkt er den frekventistiske fortolkning af sandsynligheder, hvor de repræsenterer objektive observerbare frekvenser. Det andet synspunkt er den (subjektive) Bayesianske fortolkning af sandsynligheder, hvor de repræsenterer en individuel graduering af forventning. En tredje mulighed er at sandsynligheder repræsenterer en objektiv plausabilitet som en udvidelse af logikken. Slide 3/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
4 Et Bayesiansk argument Lad X = {plat, krone}, A = {plat} og lad x være resultatet af et møntkast. Bookmakeren giver odds 0.7. Vil du spille? Hvis x = plat vinder du DKK 1.7 ellers taber du DKK 1.0. Ser vi på et abstrakt udfaldsrummet (X, E) og A E, hvad skal odds, ξ(a), være for at du synes et spil på A er fair? Den subjektive graduering af usikkerhed kan begynde med tildeling af fair odds, ξ(a), til alle udfald A E, som en afbildning ξ : E [0, ]. Et spil til odds ξ > ξ(a) er fordelagtigt, og et spil til odds ξ < ξ(a) er ufordelagtigt. Slide 4/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
5 Sammenhægn Hvis A, B E er disjunkte kan vi konstruere et kombineret spil, hvor vi spiller x på A og 1 x på B for x [0, 1]. Lemma (Sammenhængslemmaet) Hvis A, B E er disjunkte, og hvis det kombinerede spil er (u)fordelagtigt netop når de to spil hver for sig er (u)fordelagtige, så gælder Med ξ(x ) = 0 er ξ(a) ξ(b) = ξ(a B). ν(a) = ξ(a) et endeligt additivt sandsynlighedsmål. Slide 5/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
6 Frekvenser For en hændelse A E er der to muligheder: A indtræffer A indtræffer ikke Hvis vi har n replikationer og observerer x 1,..., x n X, er den empiriske A-frekvens ε n (A) = 1 n 1 A (x i ). n i=1 Empirisk evidens: For alle rimelige mængder A gælder at ε n (A) konvergerer mod en grænse, når antallet af observationer, n, vokser. Grænsen af ε n (A) kalder vi sandligheden, ν(a), for hændelsen A. Slide 6/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
7 Empiriske frekvenser Empirical frequency Number of experiments Empiriske frekvenser for hændelsen A = {A, B, C, D, E, F } for 400 tilfældige hexadecimale cifre fra mængden {0, 1,..., 9, A, B, C, D, E, F } frembragt fra en radioaktiv kilde. Slide 7/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
8 Empiriske frekvenser Empirical frequency Number of experiments Omordning af udfaldene. Hvad kan vi lære: Det er ikke udfaldene i sig selv, men ordningen af udfaldene, der giver stabilisering og konvergens. Slide 8/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
9 Empiriske frekvenser Den frekventistiske fortolkning er solidt empirisk underbygget, men grundlaget er dog alligevel lidt usikkert. Hvad mener vi med replikationer? Hvordan kan størrelsen ν(a) være defineret ved en ikke-observerbar grænse? Faktum: For n observationer er et sandsynlighedsmål. A ε n (A) Pragmatisk frekventisme: ν er en idealiseret approksimation af ε n er. Kvaliteten og den praktiske nytte af ν skal bedømmes ud fra målets evne til at approksimere ε n specielt når n bliver stor. Slide 9/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
10 Odds and frekvenser Hvis vi spiller til odds ξ på A, så er den gennemsnitlige gevinst i n spil ε n (A)ξ (1 ε n (A)) = ε n (A)(1 + ξ) 1 ν(a)(1 + ξ) 1. }{{} forventet gevinst Spillet er frekventistisk fair, hvis den forventede gevinst er 0, dvs. hvis ν(a) = ξ. Frekventister og Bayesianere er enige om relationen mellem fair odds og sandsynlighedsmål. Slide 10/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
11 Transformationer I eksemplet med den radioaktive kilde er observationerne frembragt fra = 3200 ventetider mellem registrerede henfald. Hver 8-tuple af ventetider udgør et udfald (x 1,..., x 8 ) R 8. Hvad vi faktisk så på var et transformeret eksperiment givet ved en afbildning t : R 8 {0, 1,..., 9, A, B, C, D, E, F }. Slide 11/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
12 Transformationer Lad (X, E, ν) være et udfaldsrum, (Y, K) et måleligt rum, og t : X Y en målelig afbildning. Princip: Hvis udfaldet, x, har udfaldsrum (X, E, ν), har det transformerede udfald, t(x), udfaldsrum (Y, K, t(ν)). Frekvensargumentet: Observertionerne x 1,..., x n transformerer til y 1,..., y n med y i = t(x i ). Hvis B K, så er 1 n n 1 B (y i ) = 1 n i=1 n 1 B (t(x i )) = 1 n i=1 ν ( t 1 (B) ) = t(ν)(b) n 1 t 1 (B)(x i ) i=1 Slide 12/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
13 Abstrakte baggrundsrum Abstract background representation X (Ω, F,P) (X, E, ν) The better reason to introduce the abstract background Ω is the superior mathematical notation for handling transformations. We say 1) let X take values in the space X Et eksperiment repræsenteres af (X, E, ν). Forestil dig nu at der er et underliggende 2) let the distribution udfaldsrum of X be ν (Ω, (the image F, P) measure og en is afbildning X(P )=ν) X : Ω X med X (P) = ν. What we are really interested in is the distribution of t(x) =t X for some measurable t : X Y. Vi kalder X en stokastisk variabel og sandsynlighedsmålet ν = X (P) kaldes fordelingen af X. Slide 13/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, p.25/40
14 En forklaring Abstract background representation X (Ω, F,P) (X, E, ν) The better reason to introduce the abstract background Ω is the superior mathematical notation for handling transformations. We say 1) let X take values in the space X Ω er mængden af alle mulige skæbner for hele universet. Lykkens gudinde2) vælger let the distribution en skæbne of Xefter be ν (the P. image measure is X(P )=ν) What we are really interested in is the distribution of t(x) =t X for some measurable t : X Y. Afbildningen X oversætter skæbnen for universet ω Ω til udfaldet x = X (ω) af vores ydmyge eksperiment. Det er bogstaveligt talt noget vrøvl.. p.25/40 Slide 14/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
15 Abtrakte baggrundsrum Abstract background representation X (Ω, F,P) (X, E, ν) The better reason to introduce the abstract background Ω is the superior mathematical notation for handling transformations. We say 1) let X take values in the space X Ethvert udfaldsrum (X, E, ν) kan altid sættes ind i den abstrakte ramme 2) vedlet athe vælgde distribution Ω of = X be, ν F (the = image E, P measure = ν ogis X(P )=ν) identitetsafbildningen What we are really interested in is the distribution of t(x) =t X for some measurable t : X Y. X = Id : x x.. p.25/40 Slide 15/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
16 Abstrakte baggrundsrum Abstract background representation X (Ω, F,P) (X, E, ν) The better reason to introduce the abstract background Ω is the superior mathematical notation for handling transformations. We say Hovedårsagen 1) let Xtil takeatvalues introducere in the spaceabstrakte X baggrundsrum er en overlegen matematisk notation for transformationer. Vi siger 2) let the distribution of X be ν (the image measure is X(P )=ν) lad X tage værdier i X og lad X have fordeling ν (billedmålet er X (P) = ν). What we are really interested in is the distribution of t(x) =t X for some measurable t : X Y. Vi er udelukkende interesserede i fordelingen af X eller af t(x ) = t X for en målelig afbildning t : X Y. Slide 16/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, p.25/40
17 Abstrakte baggrundsrum Abstract background representation X (Ω, F,P) (X, E, ν) Y t (Y, K) The transformed experiment given by Y = t(x) has distribution Det transformerede Y eksperiment (P )=t X(P)=t(X(P er givet )) = ved t(ν) den stokastisk variabel Y = t(x ), som har fordeling if the stochastic variable X has distribution ν. Y (P) = t X (P) = t(x (P)) = t(ν), hvis den stokastiske variabel X har fordeling ν. Slide 17/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, p.26/40
18 Fordelinger Density Vi har behov for at modellere observationer, der tager reelle værdier x Til det formål skal vi have nogle modeller (sandsynlighedsmål) til rådighed. Slide 18/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
19 Fordelinger med tæthed Density x Et typiske modelvalg er ν([x, x + ]) 2 f (x) = f (x)m([x, x + ]) med m lebesguemålet på R, og f : R [0, ) en tæthed. Slide 19/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
20 Fordelinger med tæthed Density x Hvilke f skal vi vælge? Slide 20/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
21 Measures with a density Mål med tæthed Let (X, E,µ) be a measure space and f M + a function. Define Lad (X, E, µ) være et målrum og f M +. Definer ν(a) = fdµ for all A E A ν(a) = f dµ for all A E. A A B Vi skriver ν = f µ og siger at ν har tæthed f m.h.t. µ.. p.1/22 Slide 21/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
22 Mål med tæthed Lad (X, E, µ) være et målrum og f M +. Definer ν(a) = f dµ for all A E. A Lemma ν er et mål på (X, E). Bevis: Observer at ν(a) [0, ], og at ν( ) = 0 per definition. Hvis A 1, A 2,... er disjunkte E-mængder, så er ( ) ν A n = 1 f dµ = 1 n=1 An An f dµ n=1 Cor. 9.9 in Schilling. Cor = n=1 Slide 22/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013 n=1 1 An f dµ = ν(a n ). n=1
23 Eksponentialfordelingen Betragt målet ν = f m med tæthed f (x) = e x for x > 0 m.h.t. lebesguemålet m. Den tekniske fortolkning er at tætheden m.h.t. til m er Vi finder at ν(r) = 1 (0, ) (x)e x. monotone conv. = lim n 1 (0, ) (x)e x dx n 0 e x dx = lim n 1 e n = 1. Dvs. ν er et sandsynlighedsmål vi kalder målet exponentialfordelingen. Slide 23/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
24 Middelværdier En reel stokastisk variabel, X : Ω R, er en målelig funktioner fra (Ω, F) til (R, B). Definition Hvis enten X 0 eller X L(Ω, F, P) er integralet EX := X dp veldefineret, og vi kalder det middelværdien af X. Fra linearitet af integraler, E(cX ) = cex E(X + Y ) = EX + EY givet at integralerne er veldefinerede. Slide 24/24 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 2. December, 2013
Sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori. Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et. Et Bayesiansk argument
Sandsynlighedsteori Sandsynlighedsteori Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål, (, E, ν). Et eksperiment beskrives af et udfaldsrum udstyret med et sandsynlighedsmål,
Læs merestandard normalfordelingen på R 2.
Standard normalfordelingen på R 2 Lad f (x, y) = 1 x 2 +y 2 2π e 2. Vi har så f (x, y) = 1 2π e x2 2 1 2π e y2 2, og ved Tonelli f dm 2 = 1. Ved µ(a) = A f dm 2 defineres et sandsynlighedsmål på R 2 målet
Læs mereMomenter som deskriptive størrelser. Hvad vi mangler fra onsdag. Momenter for sandsynlighedsmål
Hvad vi mangler fra onsdag Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er komplicerede objekter de tildeler numeriske værdier til alle hændelser i en σ-algebra. Vi har behov for simplere, deskriptive
Læs mereHvad vi mangler fra onsdag. Vi starter med at gennemgå slides fra onsdag.
Hvad vi mangler fra onsdag Vi starter med at gennemgå slides 34-38 fra onsdag. Slide 1/17 Niels Richard Hansen MI forelæsninger 6. December, 2013 Momenter som deskriptive størrelser Sandsynlighedsmål er
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige
Histogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = 1 n hvor z i = xi 2 + yi 2. n z i = 1 n i=1 n i=1 x 2 i + y 2 i Indfør tabellen samt vægtene Da er a k = #{i
Læs mereEksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Eksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt
Læs mereHistogrammetoden For (x i, y i ) R 2, i = 1,..., n, ser vi på den gennemsnitlige. Histogrammetoden. Histogrammetoden.
For ( i, y i ) R 2, i =,, n, ser vi på den gennemsnitlige længde: z = n hvor z i = i 2 + yi 2 Indfør tabellen samt vægtene Da er z i = n 2 i + y 2 i a k = #{i 00z i = k}, k N 0 z ned := ν k = a k n 00kν
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereReeksamen 2014/2015 Mål- og integralteori
Reeksamen 4/5 Mål- og integralteori Københavns Universitet Institut for Matematiske Fag Formalia Eksamensopgaven består af 4 opgaver med ialt spørgsmål. Ved bedømmelsen indgår de spørgsmål med samme vægt.
Læs mereBorel-σ-algebraen. Definition (EH 1.23)
Borel-σ-algebraen Definition (EH 1.23) Borel-σ-algebraen B k på R k er σ-algebraen frembragt af de åbne mængder O k. Andre frembringersystemer for B k : De afsluttede mængder. De åbne kasser I k (k = 1,
Læs mereIntegration m.h.t. mål med tæthed
Integration m.h.t. mål med tæthed Sætning (EH 11.7) Lad ν = f µ på (X, E). For alle g M + (X, E) gælder at gdν = g f dµ. Bevis: Standardbeviset: 1) indikatorfunktioner 2) simple funktioner 3) M + -funktioner.
Læs mereFortolkning. Foldning af sandsynlighedsmål. Foldning af tætheder. Foldning af Γ-fordelinger Eksempel: Hvis X og Y er uafhængige og. Sætning (EH 20.
Foldning af sandsnlighedsmål Lad µ og ν være to sandsnlighedsmål på (R, B). Fortolkning Lad φ : R R være φ(, ) = + for (, ) R. Lad X og Y være to reelle stokastiske variable defineret på (Ω, F, P). Definition
Læs mereTonelli light. Eksistensbeviset for µ ν gav målet. for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition:
Tonelli light Eksistensbeviset for µ ν gav målet ( ) λ(g) = G (x, y)dν(y) dµ(x) for G E K ved succesiv integration. Alternativ definition: ( ) λ(g) = G (x, y)dµ(x) dν(y). Som λ(a B) = µ(a)ν(b) gælder λ(a
Læs mereBetingning med en uafhængig variabel
Betingning med en uafhængig variabel Sætning Hvis X er en reel stokastisk variabel med første moment og Y er en stokastisk variabel uafhængig af X, så er E(X Y ) = EX. Bevis: Observer at D σ(y ) har formen
Læs mere4 Oversigt over kapitel 4
IMM, 2002-09-14 Poul Thyregod 4 Oversigt over kapitel 4 Introduktion Hidtil har vi beskæftiget os med data. Når data repræsenterer gentagne observationer (i bred forstand) af et fænomen, kan det være bekvemt
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 8.7, 8.8 og 8.10 Momenter af gennemsnit og andele kap. 8.7 Eksempel med simulationer Den centrale grænseværdisætning (Central Limit Theorem) kap. 8.8 Simulationer Normalfordelte
Læs mereStatistisk model. Definition: En statistisk model består af et repræsentationsrum (X, E) og en familie P af sandsynlighedsmål
Statistisk model Definition: En statistisk model består af et repræsentationsrum (X, E) og en familie P af sandsynlighedsmål på (X, E). Modellen er parametriseret hvis der findes en parametermængde Θ og
Læs mere1/41. 2/41 Landmålingens fejlteori - Lektion 1 - Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori - lidt om kurset Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Kursusholder
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians. Eksempler fra sidst. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume fra i mandags og et par eksempler mere om sammenhængen
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Middelværdi og varians Helle Sørensen Uge 6, onsdag SaSt2 (Uge 6, onsdag) Middelværdi og varians 1 / 18 Program I formiddag: Tætheder og fordelingsfunktioner kort resume
Læs mereProgram. Statistik og Sandsynlighedsregning. Eksempler. Sandsynlighedstæthed og sandsynlighedsmål
Program Statistik og Sandsynlighedsregning Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Varians og middelværdi Normalfordelingen Susanne Ditlevsen Uge 48, tirsdag Tætheder og fordelingsfunktioner
Læs mereLandmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 1 Det matematiske fundament Kontinuerte stokastiske variable - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/41 Landmålingens fejlteori - lidt om kurset
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/15 Hvad skal vi lave i dag? Definition af sandsynlighedsrum. Egenskaber ved Sandsynlighedsmål. (Kap. 3). Fødselsdagsproblemet (supplerende eksempel 3.1). Betingede sandsynligheder og uafhængighed
Læs mereTeoretisk Statistik, 16. februar Generel teori,repetition
1 Uge 8 Teoretisk Statistik, 16. februar 2004 1. Generel teori, repetition 2. Diskret udfaldsrum punktssh. 3. Fordelingsfunktionen 4. Tæthed 5. Transformationer 6. Diskrete vs. Kontinuerte stokastiske
Læs mere1 Sandsynlighed Sandsynlighedsbegrebet Definitioner Diskret fordeling Betinget sandsynlighed og uafhængighed...
Indhold 1 Sandsynlighed 1 1.1 Sandsynlighedsbegrebet................................. 1 1.2 Definitioner........................................ 2 1.3 Diskret fordeling.....................................
Læs mereHvorfor er det lige at vi skal lære det her?
Lektion 8 Stokastiske variable En stokastisk variabel er en afbildning af udfaldsrummet ind i de reelle tal. Man benytter ofte store bogstaver som X, Y og Z til at betegne en stokastisk variabel. Ved at
Læs mereModul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable
Forskningsenheden for Statistik ST501: Science Statistik Bent Jørgensen Modul 2: Sandsynlighedsmodeller og diskrete stokastiske variable 2.1 Sandsynlighedsbegrebet............................... 1 2.1.1
Læs mereDeskriptiv teori i flere dimensioner
Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner I kapitel 13 og 14 udviklede vi en række deskriptive værktøjer til at beskrive sandsynlighedsmål på (R, B) Vi vil i dette kapitel forsøge at udvikle varianter
Læs mereDefinition. Definitioner
Definition Landmålingens fejlteori Lektion Diskrete stokastiske variable En reel funktion defineret på et udfaldsrum (med sandsynlighedsfordeling) kaldes en stokastisk variabel. - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 4: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Rune Haubo B Christensen (based on slides by Per Bruun Brockhoff) DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger. Per Bruun Brockhoff. Stokastiske Variable
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereSandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger
Tue Tjur Marts 2007 Sandsynlighedsregning Oversigt over begreber og fordelinger Stat. MØK 2. år Kapitel : Sandsynlighedsfordelinger og stokastiske variable En sandsynlighedsfunktion på en mængde E (udfaldsrummet)
Læs mereForelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 2: Kapitel 4, Diskrete fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereNanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/
Nanostatistik: sandsynligheder Kursushjemmeside: http://www.imf.au.dk/ kurser/nanostatistik/ JLJ Nanostatistik: sandsynlighederkursushjemmeside:http://www.imf.au.dk/kurser/nanostatistik/ p. 1/16 Højder
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet March 1, 2013 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereSusanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag susanne
Statistik og Sandsynlighedsregning 1 Repetition MS kapitel 1 3 Susanne Ditlevsen Institut for Matematiske Fag Email: susanne@math.ku.dk http://math.ku.dk/ susanne Hvad er sandsynlighed? - beskriver systemer
Læs mereStatDataN: Middelværdi og varians
StatDataN: Middelværdi og varians JLJ StatDataN: Middelværdi og varians p. 1/33 Repetition Stokastisk variabel: funktion fra udfaldsrum over i de hele tal eller over i de reelle tal Ex: Ω = alle egetræer,
Læs mereWigner s semi-cirkel lov
Wigner s semi-cirkel lov 12. december 2009 Eulers Venner Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Diagonalisering af selvadjungeret matrix Lad H være en n n matrix med komplekse
Læs mereStatistik Lektion 2. Betinget sandsynlighed Bayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV Binomialfordelingen
Statistik Lektion etinget sandsynlighed ayes regel Diskrete stokastiske variable Middelværdi og varians for diskret SV inomialfordelingen Repetition Udfaldsrum S Hændelse S Simpel hændelse O i 1, 3 4,
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 11, 2016 1/22 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereAnvendt Statistik Lektion 2. Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger
Anvendt Statistik Lektion 2 Sandsynlighedsregning Sandsynlighedsfordelinger Normalfordelingen Stikprøvefordelinger Sandsynlighed: Opvarmning Udfald Resultatet af et eksperiment kaldes et udfald. Eksempler:
Læs mereForelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger
Kursus 02402 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Bygning 324, Rum 220 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereDefinition: Normalfordelingen. siges at være normalfordelt med middelværdi µ og varians σ 2, hvor µ og σ er reelle tal og σ > 0.
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Repetition:
Læs mereDeskriptiv teori i flere dimensioner
Kapitel 17 Deskriptiv teori i flere dimensioner I kapitel 13 og 14 udviklede vi en række deskriptive værktøjer til at beskrive sandsynlighedsmål på (R, B). Vi vil i dette kapitel forsøge at udvikle varianter
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Den hændelse, der ikke indeholder
Læs mereHvad skal vi lave i dag?
p. 1/2 Hvad skal vi lave i dag? Eksempler på stokastiske variable. Ventetid på krone ved møntkast. Antal plat ved n kast. Antal radioaktive henfald. Ventetiden på en flyulykke. Udtrækning af tal i et interval.
Læs mereStatistik og Sandsynlighedsregning 2
Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Sandsynlighedstætheder og kontinuerte fordelinger på R Helle Sørensen Uge 6, mandag SaSt2 (Uge 6, mandag) Tætheder og kont. fordelinger 1 / 19 Program Velkommen I dag:
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2. Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ. Definition: Normalfordelingen
Landmålingens fejlteori Lektion Sandsynlighedsintervaller Estimation af µ Konfidensinterval for µ - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet En stokastisk variabel er en variabel,
Læs mereStatistik. Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning
Statistik Introduktion Deskriptiv statistik Sandsynslighedregning Introduktion Kasper K. Berthelsen, Institut f. Mat. Fag 8 Kursusgange Individuel mundtlig eksamen (7-skala) Udgangspunkt i opgaver Software:
Læs mereMeddelelse 2. Forelæsningerne i uge 6 ( ) Gennemgangen af BPT fortsættes. Vi afslutter Kapitel 4 og når sikkert et godt stykke ind i Kapitel 5.
Institut for Matematiske Fag arhus Universitet STTISTIK(2003-ordning) Jens Ledet Jensen Jørgen Granfeldt 2. februar 2006 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 5 (30.1 5.2) Ved forelæsningen mandag den 30.
Læs mereElementær sandsynlighedsregning
Elementær sandsynlighedsregning Sandsynlighedsbegrebet Et udfaldsrum S er mængden af alle de mulige udfald af et eksperiment. En hændelse A er en delmængde af udfaldsrummet S. Et sandsynlighedsmål er en
Læs mereIndledning. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Indledning I disse noter vil uddybe nogle af Øksendals resultater i afsnittene 4 og 7 samt give andre beviser for dem. Disse resultater er gennemgået til forelæsningerne. 1 Martingalerepræsentationssætningen
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/29 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereNATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4
NATURVIDENSKABELIG KANDIDATEKSAMEN VED KØBENHAVNS UNIVERSITET. MI 2007 Obligatorisk opgave 4 Sættet består af 3 opgaver med ialt 15 delopgaver. Besvarelsen vil blive forkastet, medmindre der er gjort et
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variabler Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse
Læs mereMM501 forelæsningsslides
MM501 forelæsningsslides uge 40, 2010 Produceret af Hans J. Munkholm bearbejdet af JC 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen s.445-8 dx Eksempler
Læs mereSandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Program: 1. Repetition: sandsynlighedsregning 2. Sandsynlighedsregning fortsat: stokastisk variabel, sandsynlighedsfunktion/tæthed, fordelingsfunktion. 1/16 Sandsynlighedsregning: endeligt udfaldsrum (repetition)
Læs mereKursusindhold: X i : tilfældig værdi af ite eksperiment. Antag X i kun antager værdierne 1, 2,..., M.
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 9, 2015 Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen
Læs mereKursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder. Monte Carlo
Kursusindhold: Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Sandsynlighedsregning og lagerstyring Normalfordelingen og Monte
Læs mereStatistik. Hjemmeside: kkb. Statistik - lektion 1 p.1/22
Statistik Kursets omfang: 2 ECTS Inklusiv mini-projekt! Bog: Complete Business Statistics, AD Aczel & J. Sounderpandian Software: SPSS eller Excel?? Forelæser: Kasper K. Berthelsen E-mail: kkb@math.aau.dk
Læs mereDen Brownske Bevægelse
Den Brownske Bevægelse N.J. Nielsen 1 Notation I dette notesæt vil vi generelt benytte samme notation som i det øvrige undervisningsmateriale i MM23. For ethvert n N betegner B n Borelalgebraen på R, og
Læs mereFornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve
Fornyelsesteori med anvendelser: Punktprøve May 9, 2003 For at få kredit for kurset Fornyelsesteori med anvendelser kræves at afleveringsopgave 1 og 2 samt nedenstående punktprøve besvares tilfredsstillende.
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 2 - Transformation af stokastiske variable
Landmålingens fejlteori Lektion 2 Transformation af stokastiske variable - kkb@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ kkb/undervisning/lf12 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition:
Læs mereOversigt. Course 02402/02323 Introducerende Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Course 02402/02323 Introducerende Statistik Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger Klaus K. Andersen og Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik og Dataanalyse Danmarks Tekniske Universitet
Læs mereSandsynlighedsregning
Mogens Bladt www2.imm.dtu.dk/courses/02405 28. September, 2007 Stokastiske variable Betragt 3 kast med en mønt. Så er udfaldsrummet Ω = {(p, p, p), (p, p, k), (p, k, p), (p, k, k), (k, p, p), (k, p, k),
Læs mereProdukt og marked - matematiske og statistiske metoder
Produkt og marked - matematiske og statistiske metoder Rasmus Waagepetersen Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet February 19, 2016 1/26 Kursusindhold: Sandsynlighedsregning og lagerstyring
Læs mereOverheads til forelæsninger, mandag 5. uge På E har vi en mængde af mulige sandsynlighedsfordelinger for X, (P θ ) θ Θ.
Statistiske modeller (Definitioner) Statistik og Sandsynlighedsregning 2 IH kapitel 0 og En observation er en vektor af tal x (x,..., x n ) E, der repræsenterer udfaldet af et (eller flere) eksperimenter.
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Forår 2007
Dagens program Kapitel 4: Diskrete fordelinger Afsnit 4.1-4.2, 4.7: Bernoulli fordeling Binomial fordeling Store Tals Lov (Laws of Averages, Laws of Large Numbers) 1 Bernoulli fordeling Kvantitative Metoder
Læs mereOversigt. Kursus Introduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger. Per Bruun Brockhoff.
Kursus 242 Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kapitel 5: Kontinuerte fordelinger Per Bruun Brockhoff DTU Compute, Statistik Bygning 35/324 Danmarks Tekniske Universitet 28 Lyngby Danmark e-mail:
Læs mereStatistik Lektion 2. Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var.
Statistik Lektion Uafhængighed Stokastiske Variable Sandsynlighedsfordeling Middelværdi og Varians for Stok. Var. Repetition Stikprøve Stikprøvestørrelse n Stikprøvemiddelværdi Stikprøvevarians s Population
Læs mereStatistik Lektion 3. Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen
Statistik Lektion 3 Simultan fordelte stokastiske variable Kontinuerte stokastiske variable Normalfordelingen Repetition En stokastisk variabel er en funktion defineret på S (udfaldsrummet, der antager
Læs mereSkriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528)
Skriftlig Eksamen Kombinatorik, sandsynlighed og randomiserede algoritmer (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Mandag den 3 Januar 2011, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler
Læs mereEn martingalversion af CLT
Kapitel 11 En martingalversion af CLT Når man har vænnet sig til den centrale grænseværdisætning for uafhængige, identisk fordelte summander, plejer næste skridt at være at se på summer af stokastiske
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereOversigt nr. 1. n+2. n(n + 2) n=1. konvergerer ikke uniformt på [0, 1], så teknikkerne fra
INTEGRATIONSTEORI 1. februar 2019 Oversigt nr. 1 Lærebog. I dette kursus følger vi i store træk mine noter, som I kan finde på moodle-siden. Det vil løbende blive opdateret, så nøjes venligst med at printe
Læs mereSandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 4. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner: Afsnit 3.3 og 3.4 Varians/standardafvigelse
Læs mereNanostatistik: Stokastisk variabel
Nanostatistik: Stokastisk variabel JLJ Nanostatistik: Stokastisk variabel p. 1/34 Repetition Ω: udfaldsrummet: alle de mulige udfald af et experiment P(A): ss for hændelsen A = frekvens i uafhængige gentagelser
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 3.1-3.2 Middelværdi -Definition - Regneregler Betinget middelværdi Middelværdier af funktioner af stokastiske variable Loven om den itererede middelværdi Eksempler 1 Beskrivelse af
Læs mereSupplerende opgaver. S1.3.1 Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at
Supplerende opgaver Analyse Jørgen Vesterstrøm Forår 2004 S.3. Lad A, B og C være delmængder af X. Vis at (A B C) (A B C) (A B) C og find en nødvendig og tilstrækkelig betingelse for at der gælder lighedstegn
Læs mereSandsynligheder. Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder
Sandsynligheder Mængder Hændelser Sandsynligheder Regler for sandsynligheder Sandsynligheder En sandsynlighed er et kvantitativt mål for usikkerhed et mål der udtrykker styrken af vores tro på forekomsten
Læs mereLandmålingens fejlteori - Lektion 3. Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering
Landmålingens fejlteori Lektion 3 Estimation af σ Dobbeltmålinger Geometrisk nivellement Linearisering - rw@math.aau.dk Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 1/31 Repetition: Middelværdi og
Læs mereNanostatistik: Opgaver
Nanostatistik: Opgaver Jens Ledet Jensen, 19/01/05 Opgaver 1 Opgaver fra Indblik i Statistik 5 Eksamensopgaver fra tidligere år 11 i ii NANOSTATISTIK: OPGAVER Opgaver Opgave 1 God opgaveskik: Når I regner
Læs mereMM501/MM503 forelæsningsslides
MM501/MM503 forelæsningsslides uge 50, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm 1 Separabel 1. ordens differentialligning En generel 1. ordens differentialligning har formen dx Eksempler = et udtryk, der indeholder
Læs mereKvantitative Metoder 1 - Efterår Dagens program
Dagens program Afsnit 6.1. Ligefordelinger, fra sidst Den standardiserede normalfordeling Normalfordelingen Beskrivelse af normalfordelinger: - Tæthed og fordelingsfunktion - Middelværdi, varians og fraktiler
Læs mereSandsynlighedsteori 1.1 Uge 44.
Institut for Matematiske Fag Aarhus Universitet Den 18. oktober 2004. Sandsynlighedsteori 1.1 Uge 44. Forelæsninger: Vi afslutter foreløbigt den rene mål- og integralteori med at gennemgå afsnittet Produktmål,
Læs mereStatistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab. Statistisk Model
Statistik ved Bachelor-uddannelsen i folkesundhedsvidenskab Statistisk Model Indhold Binomialfordeling Sandsynlighedsfunktion Middelværdi og spredning 1 Aalen: Innføring i statistik med medisinske eksempler
Læs mereTeoretisk Statistik, 13 april, 2005
Poissonprocessen Teoretisk Statistik, 13 april, 2005 Setup og antagelser Fordelingen af X(t) og et eksempel Ventetider i poissonprocessen Fordeling af ventetiden T 1 til første ankomst Fortolkning af λ
Læs mereSandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen
Sandsynlighedsregning 3. forelæsning Bo Friis Nielsen Anvendt Matematik og Computer Science Danmarks Tekniske Universitet 2800 Kgs. Lyngby Danmark Email: bfni@dtu.dk Dagens emner Stokastiske variable:
Læs mereNote om Monte Carlo metoden
Note om Monte Carlo metoden Kasper K. Berthelsen Version 1.2 25. marts 2014 1 Introduktion Betegnelsen Monte Carlo dækker over en lang række metoder. Fælles for disse metoder er, at de anvendes til at
Læs mere1 Beviser for fornyelsessætningen
Hvordan beviser man fornyelsessætningen? 1 1 Beviser for fornyelsessætningen I dette notat skal vi diskutere, hvorman man kan bevise fornyelsessætningen. Vi vil starte med at se på tilfældet, hvor ventetidsfordelingen
Læs mereOversigt. Introduktion til Statistik. Forelæsning 2: Stokastisk variabel og diskrete fordelinger
Introduktion til Statistik Forelæsning 2: og diskrete fordelinger Oversigt 1 2 3 Fordelingsfunktion 4 Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 017 Danmarks Tekniske Universitet 2800
Læs mereBilledbehandling og mønstergenkendelse: Lidt elementær statistik (version 1)
; C ED 6 > Billedbehandling og mønstergenkendelse Lidt elementær statistik (version 1) Klaus Hansen 24 september 2003 1 Elementære empiriske mål Hvis vi har observationer kan vi udregne gennemsnit og varians
Læs mereIntroduktion til Statistik. Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger. Peder Bacher
Introduktion til Statistik Forelæsning 3: Kontinuerte fordelinger Peder Bacher DTU Compute, Dynamiske Systemer Bygning 303B, Rum 009 Danmarks Tekniske Universitet 2800 Lyngby Danmark e-mail: pbac@dtu.dk
Læs mereHvorfor er normalfordelingen så normal?
Hvorfor er normalfordelingen så normal? Søren Højsgaard Institut for Matematiske Fag, Aalborg Universitet October 24, 2018 normalfordelingen så normal? October 24, 2018 1 / 13 Højde af kvinder Histogram
Læs mereSandsynlighedsbaserede metoder
48 Metodeartikel Sandsynlighedsbaserede metoder Et førstehåndsindtryk med pseudotilfældige tal Daniel Kjær For nogle uger siden pålagde jeg mig selv den opgave at aflevere to artikler til Famøs om Monte
Læs mereTØ-opgaver til uge 45
TØ-opgaver til uge 45 Først laver vi en liste over de ligninger med mere i [IPT], der skal bruges: [1]: Ligning (2.5) på side 4. [2]: Ligning (2.6) på side 5. [3]: Sætning 3.1, ligning (3.3) på side 7.
Læs mere