Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed"

Transkript

1 Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27

2 Sidste uge så vi på: Lidt repetition Cantors og Russells paradokser (1899, 1901), som truede mængdelærens grundlag. Et efterfølgende forsøg på at redde mængdelæren ved formalisering (Russell, Hilbert m.fl.). Gödels ufuldstændighedssætninger, som viser at alle formaliserede systemer af en vis styrke nødvendigvis enten er inkonsistente eller ufuldstændige. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 2/27

3 Ufuldstændighed og matematisk praksis Gödels resultat omhandler formelle systemer, det vil sige, systemer som overholder en streng syntaks, og hvor beviser har en strengt defineret struktur. Svarer sådanne formelle systemer til sædvanlig matematisk praksis? Med andre ord: Kan Gödels resultater overføres til rammen af sædvanlig matematisk praksis, sådan at vi kan konkludere at matematikken som sådan er ufuldstændig (eller inkonsistent)? For at tilnærme et svar kigger vi først på den aksiomatiske mængdelære, altså formaliseringer af mængdelæren. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 3/27

4 Den naive mængdelære Cantors naive mængdebegreb (1895) kan formuleres på følgende måde (jvf. forrige forelæsning): Ethvert prædikat (enhver egenskab) bestemmer entydigt en mængde bestående at de objekter som opfylder prædikatet (egenskaben). Lidt mere formelt: Ethver prædikat P bestemmer entydigt en mængde M P for hvilken der gælder x(p(x) x M P ). Mængden M P bestemt af P betegner vi normalt {y P(y)}. Ovenstående kan derfor omskrives til: For ethvert prædikat P findes mængden {y P(y)} og der gælder x(p(x) x {y P(y)}). Det leder direkte frem til følgende aksiom-skema som formaliserer det naive mængdebegreb: UC x(ϕ(x) x {y ϕ(y)}), for enhver formel ϕ. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 4/27

5 Formalisering af den naive mængdelære Betragt igen aksiom-skemaet som formaliserer det naive mængdebegreb: UC x(ϕ(x) x {y ϕ(y)}), for enhver formel ϕ. Vi kan opnå et formelt system ved til dette aksiom at tilføje følgende slutningsregel: S Udfra xψ(x) sluttes ψ(t), for enhver formel ψ og ethvert mængde-udtryk t. Vi så sidst at det formelle system indeholdende UC og S er inkonsistent: Vi kan reproducere Russells paradoks i systemet. Konklusion. Cantors naive mængdebegreb er inkonsistent, ikke kun i en uformel sædvanlig matematisk ramme, men også i en strengt formaliseret ramme. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 5/27

6 Mod en ny mængdelære Eftersom Cantors naive mængdebegreb er inkonsistent har vi altså brug for et bedre mængdebegreb for at sikre mængdelærens grundlag. Men hvilket? Og hvordan? Først kan man se på at begrænse aksiomet UC, så det ikke kan lede til inkonsistenser. Det kan gøres ved at relativisere aksiomet: ZF8 x(ϕ(x) x M x {y M φ(y)}), for enhver mængde M og enhver formel ϕ. Nu siger aksiomet at givet en mængde M og et prædikat P kan vi altid udtage mængden af de elementer i M som opfylder P. Det oprindelige aksiom er blevet relativiseret til M. I denne form er aksiomet blevet til et delmængdeaksiom (jvf. forelæsningen om udvalgsaksiomet): Vi kan udtage vilkårlige delmængder af givne mængder. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 6/27

7 Betragt igen delmængdeaksiomet: Opbygning af mængder ZF8 x(ϕ(x) x M x {y M φ(y)}), for enhver mængde M og enhver formel ϕ. Delmængdeaksiomet leder ikke i sig selv til paradokser og inkonsistens. Men det leder heller ikke i sig selv til en mængdeteori: Hvorfra skal vi få de mængder som vi skal bruge delmængdeaksiomet til at udtage delmængder af? Indtil videre har vi ingen. Vi må tilføje nogen aksiomer som vi kan opbygge mængder med. Vi kan starte helt blødt med at erklære eksistensen af en tom mængde : ZF3 x(x ) Men den tomme mængde giver jo heller ikke i sig selv så meget sjov. Vi må have fat i nogen lidt større mængder... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 7/27

8 Mere om opbygning af mængder Potensmængder: En standard-måde at opbygge en større mængde fra en mindre på (jvf. Cantors sætning). Vi kan altså få opbygget en hel del mængder ved at hævde eksistensen af potensmængden af enhver mængde: ZF7 x(x P(M) x M), for enhver mængde M. Dette er potensmængdeaksiomet (jvf. forelæsningen om udvalgsaksiomet). Potensmængdeaksiomet + den tomme mængde giver eksistensen af uendeligt mange forskellige mængder:, P( ), P(P( )), P(P(P( ))), P(P(P(P( )))), P 5 ( ), P 6 ( ),... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 8/27

9 Mere om opbygning af mængder Potensmængdeaksiomet + den tomme mængde giver:, P( ), P(P( )), P(P(P( ))), P(P(P(P( )))), P 5 ( ), P 6 ( ),... Men alle disse mængder har hver især kun endeligt mange elementer. For at kunne generere uendelige mængder bliver vi nødt til eksplicit at hævde eksistensen af en uendelig mængde: ZF4 I ( I x I (x {x} I )) Ovenstående kaldes uendelighedsaksiomet og betegnes ofte Inf. Zermelo-Fraenkel mængdelære, ZF: Ovenstående aksiomer (ZF3, ZF4, ZF7, ZF8) + et par yderligere helt naturlige aksiomer + en enkelt slutningsregel (modus ponens). Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 9/27

10 Zermelo-Fraenkel mængdelære (ZF & ZFC) Zermelo-Fraenkel mængdelære, ZF, er et alternativ til Cantors naive mængdelære. Forskelle: Konsistens. ZF formodes at være konsistent. Ingen konsistenser kendt, Cantors og Russells paradokser kan ikke umiddelbart formaliseres i ZF (hvorfor?). Opbygning af mængder nedefra. I ZF bygges mængder op nedefra: starter med den tomme mængde og bygger mere og mere komplekse mængder op derfra. Kompleksitet. ZF er et komplekst system af ikke-trivielle aksiomer. Den naive mængdelære kunne potentielt have klaret sig med UC + meget lidt mere. Udvalgsaksiomet kan tilføjes til ZF hvorved man får ZFC. ZFC er i dag det tætteste vi er kommet på et alment accepteret formelt grundlag for matematikken. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 10/27

11 ZFC og den sædvanlige matematik Formalisering. Al mainstream matematik kan (øjensynligt) formaliseres i ZFC. Meget af den er allerede blevet formaliseret igennem computer-genererede eller computer-assisterede beviser. Forventning: hvis man kan bevise et matematisk resultat med sædvanlige midler, kan man også bevise det rent formelt i ZFC. Bemærk dog: der kan være ret stor forskel på det almindelige bevis og dets formaliserede sidestykke (formelle beviser er bl.a. altid ufatteligt lange). Konklusion. ZFC synes at være en passende formalisering af matematikken. MEN: Vi ved at ZFC må være ufuldstændigt (Gödels sætning). Hvordan kan ZFC både siges at være en formalisering af matematikken og så stadig være ufuldstændigt?... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 11/27

12 ZFC og ufuldstændighed Konsistens. I det følgende antager vi stiltiende at ZFC er konsistent. Ufuldstændighed af ZFC. Et eksempel på en sætning som hverken kan bevises eller modbevises i ZFC er kontinuumshypotesen. Kontinuumshypotesen udtrykker følgende: Der findes ingen mængde som har større kardinalitet end N men mindre kardinalitet end P(N). (der ligger ikke nogen kardinalitet imellem de naturlige tal og kontinuumet). Kontinuumshypotesen forkortes ofte CH. Da CH er uafgørlig (hverken kan bevises eller modbevises) i ZFC, er både ZFC+CH og ZFC+ CH konsistente. To varianter af mængdelæren. Én hvor CH holder, og én hvor den ikke gør. Men hvad er det rigtige? Er kontinuumshypotesen så gyldig eller ej i vores sædvanlige matematiske virkelighed?... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 12/27

13 Kontinuumshypotesen Det viser sig lige så umuligt at bevise kontinuumshypotesen (eller dens negation) med sædvanlige midler som i ZFC. Altså må vi indtil videre acceptere at der kan findes flere ligeværdige varianter af mængdelæren med hver deres sæt af matematiske egenskaber. Det er i virkeligheden ikke en helt ny situation i matematikken, jvf. uafhængigheden af parallel-postulatet (det 5. aksiom) i Euklids Elementer, som igennem 2000 år voldte mange matematikere alvorlige hovedbrud. Der er dog også stadig mange matematikere som mener at CH enten må være universelt sand eller universelt falsk og som leder efter passende matematisk evidens for enten den ene eller den anden påstand. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 13/27

14 Formalisme vs. matematisk praksis Generisk ufuldstændighed. ZFC og enhver udvidelse med yderligere aksiomer er ufuldstændig (Gödels sætning), så der er ikke noget håb for en entydig mængdeteori i en ren formel ramme. Kan vi så stadig tro på en entydig mængdeteori i en ikke-formel matematisk virkelighed, eller skal vi acceptere en bred vifte af sådanne mængdeteorier i lighed med Euklidisk og ikke-euklidiske geometrier? Et problem. Hvis man tror på en entydig mængdeteori, kan man ikke samtidig tro på at matematikken lader sig fuldstændigt formalisere (jvf. Gödels sætning). Formaliseringens status. Der findes i dag ikke gode eksempler på matematiske sætninger som ikke lader sig formalisere. Tilsyneladende god grund til at mene at al matematik lader sig formalisere. Mulig konklusion. Begrænsningen udtrykt i Gödels sætning omfatter ikke kun formelle systemer, men også sædvanlig matematisk praksis. Men der er stadig potentielle udveje... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 14/27

15 Et dynamisk syn på matematikken Med et dynamisk syn på matematikken kan Gödels sætning ikke siges at give ufuldstændighed som sådan. Snapshot-formalisering. Ethvert snapshot af matematikken med de metoder og antagelser som på et givet tidspunkt opfattes som gyldige kan muligvis godt indfanges i et formelt system. Dette system er så ufuldstændigt. Matematikkens dynamik. Men matematikken er til forskel fra et formelt system noget som udvikles dynamisk, og flere aksiomer kan komme til efterhånden. Konsekvenser af Gödel under dynamisk opfattelse. Vi bliver aldrig færdige med at fastlægge matematikkens egenskaber og antagelser (aksiomer), men må til stadighed tilføje nye aksiomer i takt med at vi erobrer nyt matematisk land. Kontra-intuitiv konsekvens. Selve mængdebegrebet vil være i stadig udvikling og aldrig blive entydigt fastlagt. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 15/27

16 Pseudo-fuldstændighed En anden vej uden om Gödel kunne være følgende: Måske er ZFC eller en passende udvidelse pseudo-fuldstændig på den måde at de eneste uafgørlige sætninger er patologiske, selv-refererende formler af den type som konstrueres i Gödels bevis (en slags støj i ZFC). For at vurdere dette synpunkt må vi tage et nærmere kig på de uafgørlige formler som konstrueres i Gödels bevis... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 16/27

17 Repetition af Gödel Nummerering af formler. Ethvert formelt system har kun tælleligt mange formler, som derfor kan nummereres: ϕ 1 (x), ϕ 2 (x), ϕ 3 (x),.... Repræsenterbarhed: Mængden M er repræsenterbar i det formelle system hvis der eksisterer en formel ϕ(x) så der for alle i gælder: i M ϕ(i) kan bevises i systemet. Heterologiske formler og tal: Formlen ϕ n (x) kaldes heterologisk hvis ϕ n (n) kan bevises. n kaldes da et heterologisk tal. Tilstrækkelig styrke: Et formelt system siges at have tilstrækkelig styrke hvis mængden af heterologiske tal er repræsenterbar i det. Gödels ufuldstændighedssætning. Ethvert konsistent formelt system af tilstrækkelig styrke er ufuldstændigt. Gödels bevis. Hvis systemet er konsistent og af tilstrækkelig styrke findes en formel ϕ h (x) som repræsenterer mængden af heterologiske tal. Da bliver formlen ϕ h (h) uafgørlig (formalisering af Grellings paradoks). Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 17/27

18 Om Gödels uafgørlige formler Gödel konstruerer en konkret uafgørlige formel ϕ h (h). Hvad udtrykker denne formel? Der gælder: ϕ h (i) kan bevises i er et heterologisk tal ϕ i (i) kan bevises. ϕ h (i) udtrykker således: negationen af den i te formel anvendt på i kan bevises. Specielt fås at ϕ h (h) udtrykker: Negationen af den h te formel anvendt på h kan bevises. Men, hov: Den h te formel anvendt på h er jo formlen ϕ h (h) selv! Altså udtrykker formlen ϕ h (h) at dens egen negation kan bevises. (heraf følger så at formlen kan bevises hvis og kun hvis dens negation kan, og hermed må man så vælge mellem konsistens og fuldstændighed). Formlen ϕ h (h) er således en slags selv-referende formel. Er vi overhovedet interesseret i at kunne bevise den slags formler?... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 18/27

19 Mere om Gödels uafgørlige formler Vi vil i det følgende prøve bedre at forstå Gödels uafgørlige formler. Vi har brug for et par nye begreber. Sekvenser af tegnstrenge. Beviserne i et formelt system er sekvenser af tegnstrenge over systemets alfabet. Mængden af sekvenser af tegnstrenge kan nummereres 0,1,2,... (f.eks. leksikografisk). Vi definerer nu følgende relation B over de naturlige tal: (p, q, r) B sekvens nr. p er et formelt bevis, og sidste element er formlen ϕ q (r). ω-konsistens: Et formelt system er ω-konsistent hvis der gælder, at når x N(ϕ(x)) kan bevises, så findes der et n N så ϕ(n) ikke kan bevises. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 19/27

20 Forfinet version af Gödels sætning Sætning (Gödels første ufuldstændighedssætning). Ethvert ω-konsistent formelt system hvori mængden B er repræsenterbar er ufuldstændigt. Bevis. Lad der være givet et formelt system som opfylder: systemet er ω-konsistent, systemet er fuldstændigt, mængden B er repræsenterbar i det. Tilstrækkeligt at vise at mængden af heterologiske tal er repræsenterbar i det (hvorfor?). Repræsenterbarhed af B giver formel ϕ b (x, y, z) repræsenterende B. Lad ψ(x) = w N(ϕ b (w, x, x)). Der gælder nu: ψ(n) kan bevises w N(ϕ b (w, n, n)) kan bevises der eksisterer m N så ϕ b (m, n, n) kan bevises der eksisterer m N så sekvens nr. m er bevis for ϕ n (n) ϕ n (n) kan bevises n er et heterologisk tal Formlen ψ(x) repræsenterer således mængden af heterologiske tal. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 20/27

21 Den forfinede version udtrykker: Gödels sætning Sætning (Gödels første ufuldstændighedssætning). Ethvert ω-konsistent formelt system hvori mængden B er repræsenterbar er ufuldstændigt. Denne version er tættere på Gödels oprindelige formulering. Begrebet tilstrækkelig styrke er nu blevet bragt lidt ned på jorden: repræsenterbarhed af B er tilstrækkeligt. Medlemskab af B kan afgøres ved en mekanisk procedure: For at afgøre om et trippel (p, q, r) er i B skal vi blot checke om sekvens nr. p (i den leksikografiske ordning) er et formelt bevis hvis sidste element er formlen ϕ q (r). Vi kan let checke om en given sekvens er et bevis, da vi blot skal checke om strengene i sekvensen er formler, der overholder slutningsreglerne for systemet (eller er aksiomer). Og vi kan naturligvis også let checke om sidste formel i en sekvens er en bestemt formel. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 21/27

22 Beregnelighed Begrebet mekanisk procedure kan gives præcist indhold igennem begrebet beregnelighed. Begrebet beregnelighed kan defineres via Turing-maskiner. Turing-maskiner. En Turing-maskine er en abstrakt form for computer med ubegrænset hukommelse. Turing-maskiner er rent matematisk defineret, og blev defineret af Turing allerede i 1936, længe før den første fysiske computer. Beregnelighed: En mængde M kaldes beregnelig hvis der findes en Turing-maskine som for alle x kan afgøre om x M eller ej (maskinen svarer ja hvis x M, ellers nej ). Turing-maskiner, computere og andre formalismer. Det kan vises at Turing-maskiner kan beregne nøjagtig de samme ting som moderne computere hvis vi ser bort fra at en computer kun har begrænset hukommelse. Desuden har alle andre forsøg på at indfange begrebet mekanisk procedure i en matematisk formalisme vist sig at lede til samme klasse af beregnelige relationer som Turing-maskinerne. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 22/27

23 Mere om beregnelighed Church-Turings tese. Da alle forsøg på at indfange begrebet mekanisk procedure har ledt til samme beregnelighedsbegreb, er det nu alment accepteret at det intuitive begreb beregnelighed har en entydig matematisk betydning, som netop indfanges af ovenstående definition via Turing-maskiner (dette synspunkt kaldes Church-Turings tese). Man kan nu vise følgende: Hvis både mængden af aksiomer og mængden af slutningsregler for et formelt system er beregnelig, da er relationen B for systemet ligeledes beregnelig (hvorfor, intuitivt set, forholder det sig sådan?). Vi kan nu præcises Gödels sætning yderligere: Sætning (Gödels første ufuldstændighedssætning). Lad S være et formelt system hvori mængden af aksiomer og mængden af slutningsregler begge er beregnelige. Antag at alle beregnelig relationer over de naturlige tal er repræsenterbare i S. Da gælder, at hvis S er ω-konsistent, så er S ufuldstændigt. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 23/27

24 Beregnelighed og ufuldstændighed Betragt igen den nye formulering af Gödels sætning: Sætning (Gödels første ufuldstændighedssætning). Lad S være et formelt system hvori mængden af aksiomer og mængden af slutningsregler begge er beregnelige. Antag at alle beregnelige relationer over de naturlige tal er repræsenterbare i S. Da gælder, at hvis S er ω-konsistent, så er S ufuldstændigt. Kravet om beregnelighed af aksiomer (og slutningsregler) er naturligt: Ellers kan vi ikke rent mekanisk afgøre om noget er et aksiom eller ej, og dermed kan der blive tvivl om et påstået aksiom faktisk er et aksiom. Er det naturligt at forvente at alle beregnelige relationer er repræsenterbare i vores formelle systemer? Svaret er ikke umiddelbart åbenlyst, men bliver det når vi (Gödel) indser at alle systemer der som minimum indeholder aritmetik, herunder ZF og ZFC, har egenskaben. Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 24/27

25 Gödels anden ufuldstændighedssætning Via repræsenterbarheden af relationen B ved en formel ϕ b (x, y, z) kan et formelt system udtrykke sin egen konsistens: y, z N x N(ϕ b (x, y, z)) Formlen udtrykker at der findes en formel ϕ y (z) for hvilken intet bevis x eksisterer. Altså: Der findes en formel som ikke kan bevises. Dette er ækvivalent med konsistens. Gödels anden ufuldstændighedssætning. Gödels anden sætning viser at ovenstående konsistensudsagn er en uafgørlig formel i ethvert konsistent system. Formelle systemer kan altså ikke bevise deres egen konsistens. Betyder det noget for matematikken? Formlen ovenfor er måske også en af de som vi ikke bør forvente afgørligheden af pga. dens selvrefererende natur. Indtil videre har vi stadig ikke noget argument imod at systemer såsom ZFC kunne være pseudo-fuldstændige. Men det kommer nu... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 25/27

26 Uendelighed og konsistens ZFC indeholder uendelighedsaksiomet Inf. Vi bruger ZFC-Inf til at betegne ZFC uden Inf. Lad Con(ZFC-Inf) betegne en formel som udtrykker konsistensen af ZFC-Inf (på samme vis som på foregående slide). Inf er uafgørlig i ZFC-Inf (ellers var der jo ikke nogen grund til at have Inf med i ZFC). Det samme er Con(ZFC-Inf), pga. Gödels anden ufuldstændighedssætning. Til gengæld kan ZFC bevise Con(ZFC-Inf), fordi ZFC-Inf er en simpel teori uden uendelige mængder (ZFC-Inf+ Inf er blot almindelig aritmetik). Når ZFC kan bevise Con(ZFC-Inf), må gælde at ZFC-Inf kan bevise Inf Con(ZFC-Inf). Da ZFC-Inf ikke kan bevise sin egen konsistens, må også gælde at ZFC-Inf kan bevise Con(ZFC-Inf) Inf. Altså fås at ZFC-Inf kan bevise Inf Con(ZFC-Inf)... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 26/27

27 Uendelighed og konsistens fortsat Som nævnt kan ZFC-Inf bevise Inf Con(ZFC-Inf). Fra ZFC-Inf s synspunkt er Inf og Con(ZFC-Inf) altså ækvivalente udsagn. Men det ene, Inf, har status af et glemt aksiom som udtrykker eksistensen af uendelige mængder, mens det andet har status af en patologisk, selv-refererende sætning produceret af Gödels paradoks-inspirerede konstruktioner. Dette viser, at vi ikke kan skelne mellem formler som udtrykker naturlige mængdeteoretiske egenskaber (såsom Inf) og patologiske, selv-reference formler der kommer fra formalisering af paradokser (såsom Con(ZFC-Inf)). Det giver med andre ord ikke mening at tale om pseudo-fuldstændighed. Når et system er ufuldstændigt indeholder det givetvis meningsfulde og vigtige udsagn som er uafgørlige, selvom selve eksistensen af uafgørlige udsagn går via en form for formalisering af selv-referende, paradoksale udsagn. Vi hænger altså godt og grundigt på den ufuldstændighed... Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 27/27

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning

Læs mere

Formelle systemer og aksiomatisk mængdelære

Formelle systemer og aksiomatisk mængdelære Formelle systemer og aksiomatisk mængdelære Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/32 Lidt

Læs mere

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Gödels første ufuldstændighedssætning

Læs mere

Selvreference i begrænsningsresultaterne

Selvreference i begrænsningsresultaterne Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.

Læs mere

Thomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen. 7. marts 2005

Thomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen. 7. marts 2005 Om Gödels sætning Thomas Bolander og Helge Elbrønd Jensen 7. marts 2005 Resumé Gödels sætning er en af det 20. århundredes mest berømte matematiske sætninger. Den er kendt langt ud over de professionelle

Læs mere

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik UNF foredrag, HCØ, 13. april 2010 Thomas Bolander, UNF, F10 s. 1/34 Introduktion En populær formulering af Gödel s (første) ufuldstændighedssætning

Læs mere

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931

Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste

Læs mere

Henrik Bulskov Styltsvig

Henrik Bulskov Styltsvig Matematisk logik Henrik Bulskov Styltsvig Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk Disposition

Læs mere

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42

t a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42 Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder

Læs mere

Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009

Udvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009 Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4

Læs mere

Gödels ufuldstændighedssætninger

Gödels ufuldstændighedssætninger Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Compute UNF foredrag, HCØ, 16. september 2014 (c_e)l[^ga=f]2 (F[_E_B])L[=A,_Ac]L[=E,_B,_E]- [E,B,E]2L[F,=B,=E]2 L[^F,C=F] Thomas Bolander, UNF, 16/9-2014

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides

01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides 01017 Diskret Matematik E12 Alle bokse fra logikdelens slides Thomas Bolander 1 Udsagnslogik 1.1 Formler og sandhedstildelinger symbol står for ikke eller og ( A And) hvis... så... hvis og kun hvis...

Læs mere

LIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM

LIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM LIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM Denne note omhandler uendelighedsbegrebet, som det er indført af Georg Cantor omkring 1870 Vi henviser til [4] for Cantors arbejder For datiden var Cantors idéer revolutionerende,

Læs mere

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen

Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen 12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre

Læs mere

Konstruktion af de reelle tal

Konstruktion af de reelle tal Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe

Læs mere

Hvad er formel logik?

Hvad er formel logik? Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt

Læs mere

Uendelige rækker og Taylor-rækker

Uendelige rækker og Taylor-rækker Uendelige rækker og Taylor-rækker Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 200 Thomas Bolander, FUKBH 0 s. /24 Forhold mellem endelighed

Læs mere

5 hurtige til de voksne

5 hurtige til de voksne 16 Interview 5 hurtige til de voksne om intuitionisme Jingyu She og Maria Bekker-Nielsen Dunbar Hvad er det, du vil med matematik? Du vil gerne opbygge nogle modeller af et eller andet, som på en eller

Læs mere

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang

16. marts P NP. Essentielle spørgsmål: NP P? Et problem Q kaldes NP -fuldstændigt 1 Q NP 2 R NP : R pol Q. Resume sidste gang 16. marts Resume sidste gang Abstrakt problem konkret instans afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor svaret

Læs mere

Om matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen

Om matematisk logik. Henning Christiansen, Troels Andreasen Om matematisk logik Henning Christiansen, Troels Andreasen Contents 1 Indledning 3 2 Propositionel logik 5 2.1 Propositionelle logiksprog..................... 5 2.1.1 Syntaks...........................

Læs mere

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er

1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn

Læs mere

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen.

Logik. Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. Logik Helge Elbrønd Jensen og Tom Høholdt Fortolket af Michael Elmegård og Øistein Wind-Willassen. 25. juni 2014 2 Indhold 1 Matematisk Logik 5 1.1 Udsagnslogik.................................... 5 1.2

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

Epistemisk logik og kunstig intelligens

Epistemisk logik og kunstig intelligens Epistemisk logik og kunstig intelligens Thomas Bolander, DTU Informatik Gæsteforelæsning i Kognitionsforskning II, CST, KU, efteråret 2009 Thomas Bolander, Kognitionsforskning II 09 s. 1/22 Logik Logik

Læs mere

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012

Trekanter. Frank Villa. 8. november 2012 Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1

Læs mere

16. december. Resume sidste gang

16. december. Resume sidste gang 16. december Resume sidste gang Abstrakt problem, konkret instans, afgørlighedsproblem Effektiv kodning (pol. relateret til binær kodning) Sprog L : mængden af instanser for et afgørlighedsproblem hvor

Læs mere

Turing og den universelle maskine

Turing og den universelle maskine Hilbert forestillede sig, undslipper ikke paradokserne: den fuldstændige formalisering er umulig. Reaktionerne var til at starte med stor forbløffelse. Logikkens og matematikkens fundamenter var pludselig

Læs mere

Brug og Misbrug af logiske tegn

Brug og Misbrug af logiske tegn Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Noter til Perspektiver i Matematikken

Noter til Perspektiver i Matematikken Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden

Læs mere

Gult Foredrag Om Net

Gult Foredrag Om Net Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges

Læs mere

Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517)

Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Skriftlig Eksamen Beregnelighed (DM517) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Torsdag den 1 November 212, kl. 1 14 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug af computer

Læs mere

Implikationer og Negationer

Implikationer og Negationer Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet

Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Projekt 1.4 De reelle tal og 2. hovedsætning om kontinuitet Mens den 1. hovedsætning om kontinuerte funktioner kom forholdsvis smertefrit ud af intervalrusebetragtninger, så er 2. hovedsætning betydeligt

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode

Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13

Læs mere

Hjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996

Hjerner i et kar - Hilary Putnam. noter af Mogens Lilleør, 1996 Hjerner i et kar - Hilary Putnam noter af Mogens Lilleør, 1996 Historien om 'hjerner i et kar' tjener til: 1) at rejse det klassiske, skepticistiske problem om den ydre verden og 2) at diskutere forholdet

Læs mere

Banach-Tarski Paradokset

Banach-Tarski Paradokset 32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af

Læs mere

Den sproglige vending i filosofien

Den sproglige vending i filosofien ge til forståelsen af de begreber, med hvilke man udtrykte og talte om denne viden. Det blev kimen til en afgørende ændring af forståelsen af forholdet mellem empirisk videnskab og filosofisk refleksion,

Læs mere

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel

Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel Opgaver hørende til undervisningsmateriale om Herons formel 20. juni 2016 I Herons formel (Danielsen og Sørensen, 2016) er stillet en række opgaver, som her gengives. Referencer Danielsen, Kristian og

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Den matematiske grundlagskrise 12. januar 2010. Søren Frejstrup Grav Petersen

Den matematiske grundlagskrise 12. januar 2010. Søren Frejstrup Grav Petersen Den matematiske grundlagskrise 12. januar 2010 Asger Haugstrup Helene Juncher Søren Frejstrup Grav Petersen Mikkel Nichlas Rauf Rasmus Sylvester Bryder Indhold 1 Problemformulering 2 2 Indledning 2 3 Logicisme

Læs mere

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1

Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Matematik: Videnskaben om det uendelige 1 Ottende forelæsning: Den aksiomatiske metode II Klaus Frovin Jørgensen 15. november, 2010 1 / 30 Fra sidste gang (1/2) Generelt har vi set, at: Et basalt element

Læs mere

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur

Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur Appendiks 6: Universet som en matematisk struktur En matematisk struktur er et meget abstrakt dyr, der kan defineres på følgende måde: En mængde, S, af elementer {s 1, s 2,,s n }, mellem hvilke der findes

Læs mere

Limitations in Formal Systems and Languages

Limitations in Formal Systems and Languages Limitations in Formal Systems and Languages Abstract This thesis has two major aims. The first is to demonstrate the centrality of Cantor s diagonal argument in the proofs of the classical limitation results

Læs mere

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock

Logik. Af Peter Harremoës Niels Brock Logik Af Peter Harremoës Niels Brock December 2009 1 Indledning Disse noter om matematisk logik er en videreudbygning af det, som står i bogen MAT A [1]. Vi vil her gå lidt mere systematisk frem og være

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

Baggrundsnote om logiske operatorer

Baggrundsnote om logiske operatorer Baggrundsnote om logiske operatorer Man kan regne på udsagn ligesom man kan regne på tal. Regneoperationerne kaldes da logiske operatorer. De tre vigtigste logiske operatorer er NOT, AND og. Den første

Læs mere

Matematikkens fundament i krise

Matematikkens fundament i krise Matematikkens fundament i krise Videnskabsfagprojekt ved IMFUFA, RUC David Hilbert 1862-1943 Gottlob Frege Georg Cantor 1845-1918 Gottlob Frege Henri Poincaré 1854-1912 Gottlob Frege Bertrand Russell 1872-1970

Læs mere

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.

Tal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal. 1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber

Læs mere

Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger. Jørgen Ebbesen

Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger. Jørgen Ebbesen "0" 1 "ƒ" 3 " " 5 " " 7 " " 9 "(" 11 ")" 13 Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger Jørgen Ebbesen Aksiomatiske systemer og Gödels sætninger. Her kan man fx tage udgangspunkt i et eller flere eksempler

Læs mere

Gentzen og de transfinitte bevismetoder

Gentzen og de transfinitte bevismetoder Gentzen og de transfinitte bevismetoder Klaus Frovin Jørgensen Afdeling for Filosofi og Videnskabsteori, RUC Den 15. november 2011 1 / 27 Konsistensbeviser og grundlagskrisen Grundlagskrisen opstod på

Læs mere

Den sene Wittgenstein

Den sene Wittgenstein Artikel Jimmy Zander Hagen: Den sene Wittgenstein Wittgensteins filosofiske vending Den østrigske filosof Ludwig Wittgensteins (1889-1951) filosofi falder i to dele. Den tidlige Wittgenstein skrev Tractatus

Læs mere

Nogle grundlæggende begreber

Nogle grundlæggende begreber BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element

Læs mere

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528)

Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Skriftlig Eksamen Diskret Matematik (DM528) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den 20 Januar 2009, kl. 9 13 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater etc.) samt brug

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA!

1 Beregnelighed. 1.1 Disposition. 1.2 Præsentation. Def. TM. Def. RE/R. Def. 5 egenskaber for RE/R. Def. NSA. Bevis. NSA!RE. Def. SA. Bevis. SA! 1 Beregnelighed 1.1 Disposition Def. TM Def. RE/R Def. 5 egenskaber for RE/R Def. NSA Bevis. NSA!RE Def. SA Bevis. SA!R Bevis. SA RE Def. Beslutningsproblem Arg. Self-Accepting er uløselig 1.2 Præsentation

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Formaliseringens grænser i matematik og logik

Formaliseringens grænser i matematik og logik i løbet af 1900-tallet afmonterede mange af de klippefaste videnskabelige overbevisninger fra 1800-tallet og erstattede dem med nye, mere præcise, men også mere relativerende lovmæssigheder. Det viste

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Uendelighed og kardinalitet

Uendelighed og kardinalitet Steen Bentzen Uendelighed og kardinalitet - mængder og de reelle tal. Forlaget Bentz - - Indholdsfortegnelse Forord.. s. 2 Kapitel : Ækvipotens og kardinalitet generelt... s. 3 Kapitel 2: Ækvipotens og

Læs mere

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?

Primtal - hvor mange, hvordan og hvorfor? Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret

Læs mere

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger

Kalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning

Læs mere

Matematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming

Matematisk Metode. Jesper Lützen og Ian Kiming Matematisk Metode Jesper Lützen og Ian Kiming 17. oktober 2008 ii Contents Introduktion. Den aksiomatisk-deduktive metode ix 1 Logik 1 1.1 Udsagn og prædikater........................ 1 1.2 Sammensatte

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

Sammenhængskomponenter i grafer

Sammenhængskomponenter i grafer Sammenhængskomponenter i grafer Ækvivalensrelationer Repetition: En relation R på en mængde S er en delmængde af S S. Når (x, y) R siges x at stå i relation til y. Ofte skrives x y, og relationen selv

Læs mere

************************************************************************

************************************************************************ Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man

Læs mere

Statistik og Sandsynlighedsregning 2

Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Statistik og Sandsynlighedsregning 2 Uafhængighed og reelle transformationer Helle Sørensen Uge 8, mandag SaSt2 (Uge 8, mandag) Uafh. og relle transf. 1 / 16 Program I dag: Uafhængighed af kontinuerte

Læs mere

Funktionsterminologi

Funktionsterminologi Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.

Gruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,

Læs mere

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)

Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...

Læs mere

Logik, computere og kunstig intelligens

Logik, computere og kunstig intelligens Logik, computere og kunstig intelligens 218 219 Af Lektor Thomas Bolander, Professor Jørgen Fischer Nilsson og Lektor Jørgen Villadsen, DTU Informatik Med anvendt matematik tænkes almindeligvis på udvikling

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik

Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Side 9 sætningen: Kolmogorov s konsistensætning Tue Tjur, Institut for Matematisk Statistik Advarsel: I denne artikel gives udtryk for holdninger til sandsynlighedsregningens grundlag. Disse er forfatterens

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Nasser 9. april 20 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Første konstruktion af Cantor mængden

Første konstruktion af Cantor mængden DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er

Læs mere

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN

MODELSÆT 2; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN MODELSÆT ; MATEMATIK TIL LÆREREKSAMEN Forberedende materiale Den individuelle skriftlige røve i matematik vil tage udgangsunkt i følgende materiale:. En diskette med to regnearks-filer og en MathCad-fil..

Læs mere

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik

BOSK F2012, 1. del: Prædikatslogik ε > 0. δ > 0. x. x a < δ f (x) L < ε February 8, 2012 Prædikater Vi skal lære om prædikatslogik lad os starte med prædikater. Et prædikat er et orakel der svarer ja eller nej. Eller mere præcist: Prædikater

Læs mere

Eksamen i Diskret Matematik

Eksamen i Diskret Matematik Eksamen i Diskret Matematik Første Studieår ved Det Teknisk-Naturvidenskabelige Fakultet 15. juni, 2015. Kl. 9-13. Nærværende eksamenssæt består af 12 nummererede sider med ialt 17 opgaver. Tilladte hjælpemidler:

Læs mere

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:

Lad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt: SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

Formaliseringen af beregnelighed

Formaliseringen af beregnelighed Formaliseringen af beregnelighed - et eksempel på matematikkens udvikling Toke Høiland-Jørgensen Tim Tejsner Vejleder: Anders Madsen Videnskabsfagsprojekt, efteråret 2012 Matematik RUC Resume Med dette

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle

1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle 1 Sætninger om hovedidealområder (PID) og faktorielle ringe (UFD) 1. Introducér ideal, hovedideal 2. I kommutativt integritetsområde R introduceres primelement, irreducibelt element, association 3. Begrebet

Læs mere

Funktionel afhængighed

Funktionel afhængighed Databaser, efterår 2002 Funktionel afhængighed Troels Andreasen Datalogiafdelingen, hus 42.1 Roskilde Universitetscenter Universitetsvej 1 Postboks 260 4000 Roskilde Telefon: 4674 2000 Fax: 4674 3072 www.dat.ruc.dk

Læs mere

Introduktion til prædikatlogik

Introduktion til prædikatlogik Introduktion til prædikatlogik Torben Braüner Datalogisk Afdeling Roskilde Universitetscenter 1 Plan Symbolisering af sætninger Syntaks Semantik 2 Udsagnslogik Sætningen er den mindste syntaktiske enhed

Læs mere

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi

Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Types, tokens og rationalisme i matematikkens filosofi Klaus Frovin Jørgensen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 6. marts, 2010 1 / 29 Hilbert og den aksiomatiske metode David Hilbert (1862-1943)

Læs mere

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning

af koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens

Læs mere

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger

Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger enote 11 1 enote 11 Lineære differentialligningers karakter og lineære 1. ordens differentialligninger I denne note introduceres lineære differentialligninger, som er en speciel (og bekvem) form for differentialligninger.

Læs mere

Matroider Majbritt Felleki

Matroider Majbritt Felleki 18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Matematik 3GT. Topologi. Christian Berg

Matematik 3GT. Topologi. Christian Berg Matematik 3GT Topologi Christian Berg 2001 Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 2001 FORORD Kurset 3GT er et nyt kursus i 5. semester omhandlende mængdelære, generel topologi og

Læs mere

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden

Sortering. Eksempel: De n tal i sorteret orden Sortering 1 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden 6, 2, 9, 4, 5, 1, 4, 3 1, 2, 3, 4, 4, 5, 9 2 / 34 Sortering Input: Output: Eksempel: n tal De n tal i sorteret orden

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Formål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1

Formål & Mål. Ingeniør- og naturvidenskabelig. Metodelære. Kursusgang 1 Målsætning. Kursusindhold. Introduktion til Metodelære. Indhold Kursusgang 1 Ingeniør- og naturvidenskabelig metodelære Dette kursusmateriale er udviklet af: Jesper H. Larsen Institut for Produktion Aalborg Universitet Kursusholder: Lars Peter Jensen Formål & Mål Formål: At støtte

Læs mere

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer.

Grådige algoritmer. Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for optimeringsproblemer. Grådige algoritmer Et generelt algoritme-konstruktionsprincip ( paradigme ) for

Læs mere

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515)

Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM515) Skriftlig Eksamen Introduktion til lineær og heltalsprogrammering (DM55) Institut for Matematik & Datalogi Syddansk Universitet Tirsdag den Juni 009, kl. 9 Alle sædvanlige hjælpemidler (lærebøger, notater

Læs mere