Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16

Størrelse: px
Starte visningen fra side:

Download "Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16"

Transkript

1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på et lukket og begrænset interval J kan approksimeres vilkårligt godt med et polynomium p i den forstand, at for enhver tolerance ε > 0, kan vi finde et polynomium p ε, så der for alle x J gælder at f(x) p ε (x) < ε. Dette faktum kaldes Weierstraß approksimationssætning, og vi vil blot bruge det som motivation for at approksimere funktioner med polynomier. Antag nu, at vi har to n tegradspolynomier p n og q n og n + 1 punkter x 0,..., x n som opfylder, at p n (x i ) q n (x i ) for i 0,..., n. Så er p n q n (højst) et n tegradspolynomium med n + 1 rødder i x 0,..., x n. Men et n tegradspolynomium kan højst have n rødder (algebraens fundamentalsætning), med mindre det er identisk lig 0, og p n må altså være lig q n. Vi har vist følgende sætning: Sætning 1.1 (Entydighed af approksimerende polynomier). Hvis p n og q n er n tegradspolynomier med samme værdi i de n + 1 punkter x 0,..., x n, så er p n q n. Vi vil i det følgende beskæftige os med at approksimere funktioner med polynomier. Lad f betegne den funktion, vi ønsker at approksimere. Antag, at vi kender funktionens værdi i de n+1 punkter x 0...., x n. Disse punkter, f(x 0 ),..., f(x n ), vil vi i det følgende benævne f 0,..., f n hvor altså f i f(x i ). Jf. ovenstående Sætning 1.1 kan vi højst finde ét n tegradspolynomium, som går gennem f 0,..., f n. Det viser sig, at der altid eksisterer et sådant polynomium (vi har altså både eksistens og entydighed). Vi antager nu for en kort bemærkning, at x 0 < < x i < x i+1 <... < x n og at p n er det entydige n tegradspolynomium, som opfylder, at p n (x i ) f i for alle i 0,..., n. Idéen med polynomiumsinterpolation er så, at for ethvert x [x 0, x n ] er den interpolerede værdi p n (x) et kvalificeret bud på, hvad f(x) er. Det kaldes tilsvarende ekstrapolation, såfremt x < x 0 eller x > x n, og x altså ikke ligger imellem ( inter ) x i erne, men udenfor ( ekstra som i extraterrestial). 1

2 De følgende to afsnit præsenterer to forskellige konstruktive metoder til at finde et n tegradspolynomium p n, som opfylder, at p n (x i ) f i for alle i 0,..., n, og er hver især i sig selv konstruktive beviser for eksistensen. Vores primære interesse i de to metoder er dog, at de resulterende polynomier (som pr. entydigheden er identiske) er på så forskellig form rent algebraisk, at de i numerisk sammenhæng er interessante af forskellige årsager. 1.2 Lagrange-interpolation Idéen i Lagrange-interpolation er lidt i familie med idéen bag basisfunktionerne, vi så i forbindelse med finite element-metoden: Vi finder passende funktioner (her n tegradspolynomier) L i, som opfylder, at L i (x j ) δ ij, hvor δ ij 0 for i j og δ ii 1. Vi kan så konstruere p n ved blot at sætte: p n (x) f i L i (x). i0 Vi tjekker nu, om p n (x j ) f j : p n (x j ) f i L i (x j ) i0 f i δ ij f f j f j 1 + f j f n 0 f j i0 som ønsket. Tilbage står konstruktionen af L i erne. Hvis n 1, kan vi vælge og hvis n 2, kan vi vælge L 0 (x) x x 1 x 0 x 1 og L 1 (x) x x 0 x 1 x 0, L 0 (x) (x x 1)(x x 2 ) (x 0 x 1 )(x 0 x 2 ), L 1(x) (x x 0)(x x 2 ) (x 1 x 0 )(x 1 x 2 ) og L 2 (x) (x x 0)(x x 1 ) (x 2 x 0 )(x 2 x 1 ). Den vakse læser vil nu muligvis have gættet mønsteret for et vilkårligt n: L i (x) l i(x) l i (x i ) hvor l i (x) j i(x x j ) (x x 0 ) (x x i 1 )(x x i+1 ) (x x n ), hvor er et såkaldt produkttegn, som svarer til sumtegnet blot med den forskel, at man ganger ting sammen i stedet for at addere dem, og hvor j i indikerer, at produktet er over alle værdier af j som ikke er i, altså j 0,..., i 1, i + 1,..., n. Da produktet således består af n faktorer af formen (x x i ), vil resultatet l i være et n tegradspolynomium. Sætter vi x j med j i ind i l i, vil én af faktorerne være 0 og resultatet derfor ligeledes være nul. Sætter vi x i ind i l i, så er der derimod tale om et produkt af n tal, som ikke er nul, og resultatet er derfor heller ikke nul, og vi kan da i definitionen af L i tillade os at dividere med l i (x i ), således at Vi har hermed vist, at L i (x j ) δ ij som ønsket. L i (x i ) l i(x i ) l i (x i ) 1. 2

3 Eksempel 1.2 (Bogens Example 1 side 807, Example 2 side 808 og Example 3 side 809). Vi vil approksimere ln(9.2) ved interpolation ud fra værdierne af ln(9.0) og ln(9.5): 1 p 1 (x) f i L i (x) ln(9.0) x 9.5 x ln(9.5) og dermed p 1 (9.2) i0 Vi har dog ikke styr på, hvor præcist dette resultat er. Vi prøver derfor at se, hvad der sker, hvis vi tager et punkt mere med i interpolationen, eksempelvis ln(11.0). Da er 2 p 2 (x) f i L i (x) i0 (x 9.5)(x 11.0) ln(9.0) ( )( ) + ln(9.5) (x 9.0)(x 11.0) ( )( ) (x 9.0)(x 9.5) + ln(11.0) ( )( ) Forskellen p 2 (9.2) p 1 (9.2) er et estimat på fejlen. Snyder vi og finder den korrekte værdi af ln(9.2), vil vi se, at den korrekte fejl er , og vores estimat er altså ikke helt i skoven. Vi vil fremhæve to pointer i forhold til dette eksempel. For det første bemærker vi, at det er næsten som at begynde forfra, når man kender p n og vil have fat i p n+1 (her med n 1), og for det andet noterer vi os vigtigheden af fejlvurderinger i forbindelse med polynomier. Vi vil om lidt se, at der findes en anden metode til at konstruere de interpolerende polynomier, hvor p n genbruges i udtrykket for p n+1. Hvad angår fejlvurderinger, så kan det vises, at fejlen kan udtrykkes ε n (x) f(x) p n (x) (x x 0 )(x x 1 ) (x x n ) f (n+1) (t x ) (n + 1)! for et passende t x, som afhænger af x. Når x [x 0, x n ] vil t x [x 0, x n ] og hvis x [x 0, x n ], vil t x [min(x 0, x), max(x n, x)]. Ved at vælge største og mindste værdi af f (n+1) i intervallet kan vi altså komme med en præcis nedre og øvre grænse for fejlen. 1 Eksempel 1.3 (Example 3 side 809 fortsat). Der findes et t 9.2 så fejlen fra sidste eksempel kan skrives ε 1 (9.2) ( )( ) ln (t 9.2 ). 2! Vi vil finde en øvre og nedre grænse for fejlen. Først finder vi ln : (1) ln (x) 1 x så ln (x) 1 x 2. På intervallet [x 0, x 1 ] [9.0, 9.5] antager ln altså sin minimale og sin maksimale værdi i hhv. 9.0 og 9.5. Derfor må ( )( ) ε 1 (9.2) ( )( ) I dette tilfælde giver (1) altså et ret godt indtryk af fejlens størrelse. 1 Præcis i den forstand, at fejlen nødvendigvis må ligge mellem den øvre og nedre grænse. Der kan imidlertid sagtens være stor afstand mellem øvre og nedre grænse, så vi bliver altså ikke nødvendigvis særligt meget klogere på fejlens størrelse. 3

4 I tilfælde, hvor (1) giver et stort spænd mellem øvre og nedre grænse, hvor de afledte af f i sig selv er svære at udregne, eller hvor f s afledte simpelthen er ukendte, er det stadig en god idé at sammenligne p n med p n+1, når man skal estimere fejlen. 1.3 Newtons generelle divideret differens-metode Som sagt findes der netop ét n tegradspolynomium p n som går gennem n + 1 givne datapunkter (x i, f i ), i 0,..., n, og i Lagrange-metoden skulle man begynde forfra, hvis man pludselig fik et datapunkt mere, og derfor mulighed for at vælge et (n + 1) stegradspolynomium i stedet. I Newtons divideret differens-metode søger man i stedet g n p n p n 1 således, at p n kan skrives p n g i, (2) i0 hvor g i er et i tegradspolynomium, som går gennem det i te punkt (x i, f i ) men er 0 i (x j, f j ) for j < i. Altså må g i kunne skrives som g i (x) f[x 0,..., x i ](x x 0 ) (x x i 1 ) f[x 0,..., x i ] j<i(x x j ), (3) Hvor f[x 0,..., x i ] er en passende koefficient. Det slemme er nu, at koefficienten er givet ved en fæl, rekursiv 2 formel. Det er klart, at koefficienten (bestemt af punktet (x 0, f 0 )) i nultegradspolynomiet g 0 p 0 f[x 0 ] som går gennem (x 0, f 0 ) må være f[x 0 ] f 0. (4) Alle andre koefficienter (bestemt af de k + 1 punkter (x i, f i ), i 0,..., k) er så rekursivt defineret ved f[x 0,..., x k ] f[x 1,..., x k ] f[x 0,..., x k 1 ] x k x 0, (5) altså en brøk, hvor tælleren er differensen mellem koefficienter bestemt af de k punkter, som er tilbage, hvis man smider hhv. (x 0, f 0 ) og (x k, f k ) væk, og nævneren er differensen x k x 0. Det overlades til læseren at tjekke, at de påståede egenskaber er opfyldt! Sætter vi (2), (3), (4) og (5) sammen, fås p n (x) f[x 0,..., x i ] x j ) j<i(x i0 f[x 0 ] + f[x 0, x 1 ](x x 0 ) + f[x 0, x 1, x 2 ](x x 0 )(x x 1 ) (6) + + f[x 0,..., x n ](x x 0 )... (x x n 1 ). Vi bemærker, at i rekursionen (5) æder man enten det yderste venstre eller det yderste højre x i. Det betyder, at de eneste koefficienter f[ ], vi behøver at kende for at udregne f[x 0,..., x k ], er dem på formen f[x i,..., x i+j ], hvor i 0 og i + j k og ingen x l mellem x i og x i+j udelades. Udregningen kan derfor organiseres i følgende skema: 2 Rekursion er ca. det modsatte af iteration. Ved iteration finder man næste skridt ud fra de skridt, der allerede er taget; i rekursion finder man udtrykkene i skridt n ved at kende udtrykkene fra skridt n 1. 4

5 i f[x i ] f[x i, x i+1 ] f[x i 1, x i, x i+1 ] f[x i 1, x i, x i+1, x i+2 ] f[x 0,..., x k ] 0 f 0 f[x 1 ] f[x 0 ] x 1 x 0 f1 f0 x 1 x 0 1 f 1 f[x 1, x 2 ] f[x 0, x 1 ] x 2 x 0 f[x 2] f[x 1] f[x1] f[x0] x 1 x 0 x 2 x 0 f[x 2 ] f[x 1 ] x 2 x 1 f2 f1 f[x 1, x 2, x 3 ] f[x 0, x 1, x 2 ] x 3 x 0 f[x 2,x 3 ] f[x 1,x 2 ] x 3 x 1 f[x 1,x 2 ] f[x 0,x 1 ] x 2 x 0 x 3 x 0 2 f 2 f[x 2, x 3 ] f[x 1, x 2 ] f[x 3] f[x 2] x 3 x 2 f[x2] f[x1]... f[x 3 ] f[x 2 ] x 3 x 2 f3 f2 x 3 x 2 f[x 2, x 3, x 4 ] f[x 1, x 2, x 3 ] x 4 x 1 f[x 3,x 4 ] f[x 2,x 3 ] x 4 x 2 f[x 2,x 3 ] f[x 1,x 2 ] x 3 x 1 x 4 x 1 3 f 3 f[x 2, x 3 ] f[x 1, x 2 ] f[x 3] f[x 2] x 3 x 2 f[x2] f[x1] f[x 0,..., x k ] f[x 4 ] f[x 3 ] x 4 x 3 f4 f3 x 4 x 3 f[x 3, x 4, x 5 ] f[x 2, x 3, x 4 ] x 5 x 2 f[x 4,x 5 ] f[x 3,x 4 ] x 5 x 3 f[x 3,x 4 ] f[x 2,x 3 ] x 4 x 2 x 5 x 1.. f[x k ] f[x k 1 ] x k x k 1 f k f k 1 x k x k 1 k f k Denne tabel er måske i første omgang mere forvirrende end informativ, men pointen er, at første søjle blot er de kendte data, anden søjle er blot den parvise forskel mellem en underbo og en overbo i første søjle divideret med forskellen på de to tilhørende x i er, og generelt udregnes en søjle som forskellen på en underbo og en overbo i søjlen før divideret med forskellen på de tilhørende x i er med hhv. størst og mindst indeks. Skulle det stadig være uklart, regner vi nu et konkret eksempel, som bør sammenlignes med ovenstående. 5

6 Eksempel 1.4 (Bogens Example 4 på side 812). Vi fortsætter med eksemplet med ln. Indtil nu har vi haft tre datapunkter, (9.0, ln(9.0)), (9.5, ln(9.5)) og (11.0, ln(11.0)). Vi tilføjer (8.0, ln(8.0)) og sætter x 0 8.0, x 1 9.0, x og x Så ser tabellen ud som følger: 3 i f[x i ] f[x i, x i+1 ] f[x i 1, x i, x i+1 ] f[x 0, x 1, x 2, x 3, x 4 ] 0 f 0 ln(8.0) ln(9.0) ln(8.0) f 1 ln(9.0) ln(9.5) ln(9.0) ( ) f 2 ln(9.5) Sågiver (6) 3 f 3 ln(11.0) p 3 (x) ln(11.0 ln(9.5) f[x 0,..., x i ] x j ) j<i(x i (x 8.0) (x 8.0)(x 9.0) (x 8.0)(x 9.0)(x 9.5), som giver p 3 (9.2) Som bekendt var p 1 (9.2) og p 2 (9.2) mens ln(9.2) , og vi ser, at præcisionen stiger med graden af polynomiet/antallet af målepunkter. 1.4 Newtons forward difference-formel Hvis datapunkterne er indsamlet med jævne mellemrum i den forstand, at x i+1 x i h for alle i 0,..., n 1, så kan både (5) og (6) simplificeres en del. Vi springer udledningen over og går direkte til formlerne: p n (x) ( i f 0 ) i0 ( x x0 h i ), (7) hvor k f j er defineret rekursivt ved k f j k 1 f j+1 k 1 f j for k 1 og 0 f j f j, mens ( ) r s 1 ( ) i0 (r i) r(r 1)(r 2) (r (s 1)) r for s N og 1. s s! s (s 1) Alle tal er angivet med 6 betydende cifre men udregnet med langt højere præcision. 6

7 Vi bemærker, at k her ikke har noget med differentialoperatorer at gøre. Navnet forward difference skyldes, at 1 h f j er den forward difference, vi så i forbindelse med finite difference-metoden, mens 1 h k k f j er højereordens differenskvotienter i stil med den centrale andenordens differenskvotient, vi også stiftede bekendtskab med i samme ombæring, og som altså vil gå mod den k te afledede, hvis h går mod 0. Da k f j er defineret rekursivt på en måde, som minder meget om koefficienterne f[ ] (faktisk er f[x 0,..., x k ] 1 k!h k k f 0 ), så kan k f j også med fordel udregnes vha. en tilsvarende tabel og tilsvarende fremgangsmåde, den største forskel værende at der ikke skal divideres med en forskel mellem x i er. Det kan vises, at for r x x 0 h ε n (x) f(x) p n (x) og et t x [x 0, x n ] som afhænger af x, så er hn+1 (n + 1)! r(r 1) (r n)f (n+1) (t x ) for x [x 0, x n ]. Vi bemærker, at produktet r(r 1) (r n) er mindre jo mere centralt x ligger mellem x i erne. Dermed er fejlen også mindre, desto mere centralt x ligger. Det kan endvidere vises, at fejlen ε n (x) er af samme størrelsesorden som g n+1 (x), som dermed kan bruges som estimat for fejlen. 1.5 Newtons backward difference-formel Holder vi os til faste afstande mellem x i erne, findes der oplagt en backward difference-pendant til (7). Den ser ud som følgende. p n (x) ( i f 0 ) i0 ) + i 1 h, i ( x x0 hvor k f j er defineret rekursivt ved k f j k 1 f j k 1 f j 1 for k 1 og 0 f j f j, mens ( ) r s s 1 i0 (r i) s! r(r 1)(r 2) (r (s 1)) s (s 1) 2 1 for s N og ( ) r 1 0 som før. Eksempler på brug af Newtons forward og backward diffence-formler kan findes i bogen på side 814 og 816, hhv. 7

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 13 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 3 Morten Grud Rasmussen 3. november 206 Numerisk metode til Laplace- og Poisson-ligningerne. Finite difference-formulering af problemet I det følgende

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter

Matematisk modellering og numeriske metoder. Overskrifter Matematisk modellering og numeriske metoder Overskrifter Morten Grud Rasmussen 25. november, 2013 Lektion 1 Ordinære differentialligninger ODE er helt grundlæggende Løsninger Begyndelsesværdiproblemer

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 4 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 4 Morten Grud Rasmussen 17. september, 013 1 Homogene andenordens lineære ODE er [Bogens afsnit.1] 1.1 Linearitetsprincippet Vi så sidste gang, at førsteordens

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 15 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 15 Morten Grud Rasmussen 1. november, 2013 1 Numerisk analyse [Bogens afsnit 19.1 side 788] 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 1 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rasmussen 4. september, 2013 1 Ordinære differentialligninger ODE er 1.1 ODE er helt grundlæggende Definition 1.1 (Ordinære differentialligninger).

Læs mere

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011

π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 π er irrationel Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder

Matematisk modellering og numeriske metoder Matematisk modellering og numeriske metoder Morten Grud Rasmussen 14. september 016 1 Numerisk analyse 1.1 Grundlæggende numerik Groft sagt handler numerisk analyse om at bringe matematiske problemer på

Læs mere

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium

Taylorudvikling I. 1 Taylorpolynomier. Preben Alsholm 3. november Definition af Taylorpolynomium Taylorudvikling I Preben Alsholm 3. november 008 Taylorpolynomier. Definition af Taylorpolynomium Definition af Taylorpolynomium Givet en funktion f : I R! R og et udviklingspunkt x 0 I. Find et polynomium

Læs mere

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel

Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel enote 17 1 enote 17 Taylor s approksimationsformler for funktioner af én variabel I enote 14 og enote 16 er det vist hvordan funktioner af én og to variable kan approksimeres med førstegradspolynomier

Læs mere

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak

Introduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk

Læs mere

Algebra - Teori og problemløsning

Algebra - Teori og problemløsning Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.

Læs mere

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.

Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra

Læs mere

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til.

Polynomium Et polynomium. Nulpolynomiet Nulpolynomiet er funktionen der er konstant nul, dvs. P(x) = 0, og dets grad sættes per definition til. Polynomier Polynomier Polynomium Et polynomium P(x) = a n x n + a n x n +... + a x + a 0 Disse noter giver en introduktion til polynomier, centrale sætninger om polynomiumsdivision, rødder og koefficienter

Læs mere

Numerisk. differentiation. Erik Vestergaard

Numerisk. differentiation. Erik Vestergaard Numerisk differentiation Erik Vestergaard 2 Erik Vestergaard www.matematikfysik.dk Erik Vestergaard, 25. Billeder: Forside: istock.com/iunewind Side 5: istock.com/cienpies Desuden egne illustrationer Erik

Læs mere

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning

Chapter 3. Modulpakke 3: Egenværdier. 3.1 Indledning Chapter 3 Modulpakke 3: Egenværdier 3.1 Indledning En vektor v har som bekendt både størrelse og retning. Hvis man ganger vektoren fra højre på en kvadratisk matrix A bliver resultatet en ny vektor. Hvis

Læs mere

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som

Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som Polynomier, rødder og division Sebastian Ørsted 20. november 2016 Jeg foretager her en kort indføring af polynomier over såvel de reelle som de komplekse tal, hvor fokus er på at opbygge værktøjer til

Læs mere

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel

Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Noter til Computerstøttet Beregning Taylors formel Arne Jensen c 23 1 Introduktion I disse noter formulerer og beviser vi Taylors formel. Den spiller en vigtig rolle ved teoretiske overvejelser, og også

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 18 Matematisk modellering numeriske metoder Lektion 18 Morten Grud Rasmussen 12. november, 2013 1 Numeriske metoder til førsteordens ODE er [Bens afsnit 21.1 side 898] 1.1 Euler-metoden Vi stiftede allerede

Læs mere

BEVISER TIL KAPITEL 3

BEVISER TIL KAPITEL 3 BEVISER TIL KAPITEL 3 Alle beviserne i dette afsnit bruger følgende algoritme fra side 88 i bogen. Algoritme: Fremgangsmåde til udledning af forskellige regneregler for differentiation af forskellige funktionstyper

Læs mere

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning.

Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes

Læs mere

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring

matx.dk Differentialregning Dennis Pipenbring mat.dk Differentialregning Dennis Pipenbring 0. december 00 Indold Differentialregning 3. Grænseværdi............................. 3. Kontinuitet.............................. 8 Differentialkvotienten

Læs mere

Arealer som summer Numerisk integration

Arealer som summer Numerisk integration Arealer som summer Numerisk integration http://www.zweigmedia2.com/realworld/integral/numint.html Her kan ses formlerne, som er implementeret nedenfor med en effektiv kode. Antag, at funktionen er positiv,

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 17 Mtemtisk modellering og numeriske metoder Lektion 1 Morten Grud Rsmussen 8. november, 1 1 Numerisk integrtion og differentition [Bogens fsnit 19. side 84] 1.1 Grundlæggende om numerisk integrtion Vi vil

Læs mere

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011

Mujtaba og Farid Integralregning 06-08-2011 Indholdsfortegnelse Integral regning:... 2 Ubestemt integral:... 2 Integrationsprøven:... 3 1) Integration af potensfunktioner:... 3 2) Integration af sum og Differens:... 3 3) Integration ved Multiplikation

Læs mere

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013)

Introduktion til Laplace transformen (Noter skrevet af Nikolaj Hess-Nielsen sidst revideret marts 2013) Introduktion til Laplace transformen (oter skrevet af ikolaj Hess-ielsen sidst revideret marts 23) Integration handler ikke kun om arealer. Tværtimod er integration basis for mange af de vigtigste værktøjer

Læs mere

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013

Komplekse tal. Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 Komplekse tal Mikkel Stouby Petersen 27. februar 2013 1 Motivationen Historien om de komplekse tal er i virkeligheden historien om at fjerne forhindringerne og gøre det umulige muligt. For at se det, vil

Læs mere

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet

Fraktaler. Mandelbrots Mængde. Foredragsnoter. Af Jonas Lindstrøm Jensen. Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Komplekse tal 3 1.1 Definition.......................................

Læs mere

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen

Potensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er

Læs mere

Differentialregning Infinitesimalregning

Differentialregning Infinitesimalregning Udgave 2.1 Differentialregning Infinitesimalregning Noterne gennemgår begreberne differentialregning, og anskuer dette som et derligere redskab til vækst og funktioner. Noterne er supplement til kapitel

Læs mere

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier

Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Projekt 3.5 faktorisering af polynomier Hvilke hele tal går op i tallet 60? Det kan vi få svar på ved at skrive 60 som et produkt af sine primtal: 60 3 5 Divisorerne i 60 er lige præcis de tal, der kan

Læs mere

Løsning af simple Ligninger

Løsning af simple Ligninger Løsning af simple Ligninger Frank Nasser 19. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

Mere om differentiabilitet

Mere om differentiabilitet Mere om differentiabilitet En uddybning af side 57 i Spor - Komplekse tal Kompleks funktionsteori er et af de vigtigste emner i matematikken og samtidig et af de smukkeste I bogen har vi primært beskæftiget

Læs mere

Flere ligninger med flere ukendte

Flere ligninger med flere ukendte Flere ligninger med flere ukendte Frank Villa 14. februar 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her.

Læs mere

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011

Omskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011 Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Newton-Raphsons metode

Newton-Raphsons metode Newton-Raphsons metode af John V. Petersen Indhold Indledning: Numerisk analyse og Newton-Raphsons metode... 2 Udlede Newtons iterations formel... 2 Sætning 1 Newtons metode... 4 Eksempel 1 konvergens...

Læs mere

Fraktaler Mandelbrots Mængde

Fraktaler Mandelbrots Mængde Fraktaler Mandelbrots Mængde Foredragsnoter Af Jonas Lindstrøm Jensen Institut For Matematiske Fag Århus Universitet Indhold Indhold 1 1 Indledning 3 2 Komplekse tal 5 2.1 Definition.......................................

Læs mere

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal?

Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Her er et spørgsmål, du måske aldrig har overvejet: kan man finde to trekanter med samme areal? Det er ret let at svare på: arealet af en trekant, husker vi fra vor kære folkeskole, findes ved at gange

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 6 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 6 Morten Grud Rasmussen 24. september, 2013 1 Forcerede oscillationer [Bogens afsnit 2.8, side 85] 1.1 Et forstyrret masse-fjeder-system I udledningen

Læs mere

Euklids algoritme og kædebrøker

Euklids algoritme og kædebrøker Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n

Læs mere

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby

En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby 24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder

Læs mere

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition

Kursusgang 3 Matrixalgebra Repetition Kursusgang 3 Repetition - froberg@math.aau.dk http://people.math.aau.dk/ froberg/oecon3 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet 16. september 2008 1/19 Betingelser for nonsingularitet af en Matrix

Læs mere

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier

DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier DesignMat Den komplekse eksponentialfunktion og polynomier Preben Alsholm Uge 8 Forår 010 1 Den komplekse eksponentialfunktion 1.1 Definitionen Definitionen Den velkendte eksponentialfunktion x e x vil

Læs mere

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning

UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,

Læs mere

Afstande, skæringer og vinkler i rummet

Afstande, skæringer og vinkler i rummet Afstande, skæringer og vinkler i rummet Frank Villa 2. maj 202 c 2008-20. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Polynomier Kort gennemgang af polynomier og deres asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN.

MODUL 8. Differensligninger. Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN. Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. MODUL 8 Differensligninger Forfattere: Michael ELMEGÅRD & Øistein WIND-WILLASSEN Modulet er baseret på noter af Peter BEELEN. 26. august 2014 2 Indhold 1 Introduktion 5 1.1 Rekursioner og differensligninger.........................

Læs mere

Grænseværdier og Kontinuitet

Grænseværdier og Kontinuitet Grænseværdier og Kontinuitet Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:

Læs mere

MM502+4 forelæsningsslides

MM502+4 forelæsningsslides MM502+4 forelæsningsslides uge 11+12 1, 2009 Produceret af Hans J. Munkholm, delvis på baggrund af lignende materiale udarbejdet af Mikael Rørdam 1 I nærværende forbindelse er 11 + 12 23 1 Egenskaber for

Læs mere

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet

Komplekse Tal. 20. november 2009. UNF Odense. Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Komplekse Tal 20. november 2009 UNF Odense Steen Thorbjørnsen Institut for Matematiske Fag Århus Universitet Fra de naturlige tal til de komplekse Optælling af størrelser i naturen De naturlige tal N (N

Læs mere

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet

Sikre Beregninger. Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet Sikre Beregninger Kryptologi ved Datalogisk Institut, Aarhus Universitet 1 Introduktion I denne note skal vi kigge på hvordan man kan regne på data med maksimal sikkerhed, dvs. uden at kigge på de tal

Læs mere

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011

Differentiation. Frank Nasser. 11. juli 2011 Differentiation Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).

Analyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x

Læs mere

Byggeriets Evaluerings Center

Byggeriets Evaluerings Center Byggeriets Evaluerings Center Bygge Rating Notat om pointsystem til faktablade og karakterbøger for entreprenører og bygherrer Version 2015 Indholdsfortegnelse 1 Bygge Rating... 3 2 Bygge Rating for entreprenører...

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter

Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Kvadratrodsberegning ved hjælp af de fire regningsarter Tidligt i historien opstod et behov for at beregne kvadratrødder med stor nøjagtighed. Kvadratrødder optræder i forbindelse med retvinklede trekanter,

Læs mere

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007

Funktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007 Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Note om interior point metoder

Note om interior point metoder MØK 2016, Operationsanalyse Interior point algoritmer, side 1 Note om interior point metoder Som det er nævnt i bogen, var simplex-metoden til løsning af LP-algoritmer nærmest enerådende i de første 50

Læs mere

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version

University of Copenhagen. Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs. Publication date: Document Version Peer-review version university of copenhagen University of Copenhagen Notat om statistisk inferens Larsen, Martin Vinæs Publication date: 2014 Document Version Peer-review version Citation for published version (APA): Larsen,

Læs mere

Matematik og IT Anton Vilhelm Wiinstedt Clausen 3.b Studieretningsprojekt Numeriske metoder Frederiksberg Tekniske gymnasium 13/12 2010

Matematik og IT Anton Vilhelm Wiinstedt Clausen 3.b Studieretningsprojekt Numeriske metoder Frederiksberg Tekniske gymnasium 13/12 2010 Indholdsfortegnelse Abstract...2 Indledning...3 Konvergens...3 Konvergenskriterier...3 Konvergensorden...3 Fejlestimater...3 Stopkriterier...4 Taylor's Theorem...4 Numeriske metoder...4 Newtonsmetode...4

Læs mere

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011

Matematik A. Højere teknisk eksamen. Forberedelsesmateriale. htx112-mat/a-26082011 Matematik A Højere teknisk eksamen Forberedelsesmateriale htx112-mat/a-26082011 Fredag den 26. august 2011 Forord Forberedelsesmateriale til prøverne i matematik A Der er afsat 10 timer på 2 dage til

Læs mere

De rigtige reelle tal

De rigtige reelle tal De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig

Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig Arealet af en trekant Der er mange formler for arealet af en trekant. Den mest kendte er selvfølgelig som også findes i en trigonometrisk variant, den såkaldte 'appelsin'-formel: Men da en trekants form

Læs mere

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter

4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Dette er den fjerde af fem artikler under den fælles overskrift Studier på grundlag af programmet SKALAGENERATOREN (forfatter: Jørgen Erichsen) 4. Snittets kædebrøksfremstilling og dets konvergenter Vi

Læs mere

Matematisk induktion

Matematisk induktion Induktionsbeviser MT01.0.07 1 1 Induktionsbeviser Matematisk induktion Sætninger der udtaler sig om hvad der gælder for alle naturlige tal n N, kan undertiden bevises ved matematisk induktion. Idéen bag

Læs mere

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå

qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå qwertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqw ertyuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwert yuiopåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyui Polynomier opåasdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopå Kort gennemgang af polynomier og deres egenskaber. asdfghjklæøzxcvbnmqwertyuiopåasd

Læs mere

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011

Andengradsligninger. Frank Nasser. 11. juli 2011 Andengradsligninger Frank Nasser 11. juli 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion

Læs mere

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?

1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion? 1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også

Læs mere

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken.

Der er felter, og på hvert af disse felter har tårnet træk langs linjen og træk langs rækken. SJOV MED SKAK OG TAL Af Rasmus Jørgensen Når man en sjælden gang kører træt i taktiske opgaver og åbningsvarianter, kan det være gavnligt at adsprede hjernen med noget andet, fx talsjov, og heldigvis byder

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del f(5) () f f () f ( ) I 5 () 006 Karsten Juul Indhold 6 Kontinuert funktion 7 Monotoniforhold7 8 Lokale ekstrema44 9 Grænseværdi5 Differentialregning del udgave 006 006 Karsten

Læs mere

Differentialregning. Ib Michelsen

Differentialregning. Ib Michelsen Differentialregning Ib Michelsen Ikast 2012 Forsidebilledet Tredjegradspolynomium i blåt med rød tangent Version: 0.02 (18-09-12) Denne side er (~ 2) Indholdsfortegnelse Introduktion...5 Definition af

Læs mere

Grundlæggende Matematik

Grundlæggende Matematik Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske

Læs mere

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11

Matematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 11 Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 11 Morten Grud Rasmussen 5. november 2016 1 Partielle differentialligninger 1.1 Udledning af varmeligningen Vi vil nu på samme måde som med bølgeligningen

Læs mere

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof

DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof DesignMat Uge 1 Gensyn med forårets stof Preben Alsholm Efterår 2010 1 Hovedpunkter fra forårets pensum 11 Taylorpolynomium Taylorpolynomium Det n te Taylorpolynomium for f med udviklingspunkt x 0 : P

Læs mere

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80)

Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Forslag til løsning af Opgaver til afsnittet om de naturlige tal (side 80) Opgave 1 Vi skal tegne alle de linjestykker, der forbinder vilkårligt valgte punkter blandt de 4 punkter. Gennem forsøg finder

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal, og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression

Anvendt Statistik Lektion 7. Simpel Lineær Regression Anvendt Statistik Lektion 7 Simpel Lineær Regression 1 Er der en sammenhæng? Plot af mordraten () mod fattigdomsraten (): Scatterplot Afhænger mordraten af fattigdomsraten? 2 Scatterplot Et scatterplot

Læs mere

Implicit givne og inverse funktioner

Implicit givne og inverse funktioner Implicit givne og inverse funktioner Morten Grud Rasmussen 1 11. april 2016 1 Implicit givne funktioner I lineær algebra har vi lært meget om at løse lineære ligningsystemer og om strukturen af løsningsmængden.

Læs mere

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013

Punktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013 Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik

Læs mere

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9

Indhold. Indledning 7 Læsevejledning 9 Indhold Indledning 7 Læsevejledning 9 1 Hvad er åbne opgaver? 13 2 Hvorfor arbejde med åbne opgaver? 17 3 Udfordringer i arbejdet med åbne opgaver 19 4 En ny didaktisk kontrakt 21 5 Et par eksempler 23

Læs mere

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1

gudmandsen.net 1 Parablen 1.1 Grundlæggende forhold y = ax 2 bx c eksempelvis: y = 2x 2 2x 4 y = a x 2 b x 1 c x 0 da x 1 = x og x 0 = 1 gudmandsen.net Ophavsret Indholdet stilles til rådighed under Open Content License[http://opencontent.org/openpub/]. Kopiering, distribution og fremvisning af dette dokument eller dele deraf er fuldt ud

Læs mere

1 monotoni & funktionsanalyse

1 monotoni & funktionsanalyse 1 monotoni & funktionsanalyse I dag har vi grafregnere (TI89+) og programmer på computer (ex.vis Derive og Graph), hvorfor det ikke er så svært at se hvordan grafen for en matematisk funktion opfører sig

Læs mere

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2

Affine rum. a 1 u 1 + a 2 u 2 + a 3 u 3 = a 1 u 1 + (1 a 1 )( u 2 + a 3. + a 3. u 3 ) 1 a 1. Da a 2 Affine rum I denne note behandles kun rum over R. Alt kan imidlertid gennemføres på samme måde over C eller ethvert andet legeme. Et underrum U R n er karakteriseret ved at det er en delmængde som er lukket

Læs mere

Statistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller

Statistik II 1. Lektion. Analyse af kontingenstabeller Statistik II 1. Lektion Analyse af kontingenstabeller Kursusbeskrivelse Omfang 5 kursusgange (forelæsning + opgaveregning) 5 kursusgange (mini-projekt) Emner Analyse af kontingenstabeller Logistisk regression

Læs mere

Oprids over grundforløbet i matematik

Oprids over grundforløbet i matematik Oprids over grundforløbet i matematik Dette oprids er tænkt som en meget kort gennemgang af de vigtigste hovedpointer vi har gennemgået i grundforløbet i matematik. Det er en kombination af at repetere

Læs mere

Matematik for økonomer 3. semester

Matematik for økonomer 3. semester Matematik for økonomer 3. semester cand.oecon. studiet, 3. semester Planchesæt 2 - Forelæsning 3 Esben Høg Aalborg Universitet 10. september 2009 Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet Esben

Læs mere

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen

Matema10k. Matematik for hhx C-niveau. Arbejdsark til kapitlerne i bogen Matema10k Matematik for hhx C-niveau Arbejdsark til kapitlerne i bogen De følgende sider er arbejdsark og opgaver som kan bruges som introduktion til mange af bogens kapitler og underemner. De kan bruges

Læs mere

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer

Lineære 1. ordens differentialligningssystemer enote enote Lineære ordens differentialligningssystemer Denne enote beskriver ordens differentialligningssystemer og viser, hvordan de kan løses enoten er i forlængelse af enote, der beskriver lineære

Læs mere

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder

Funktionsundersøgelse. Rasmus Sylvester Bryder Funktionsundersøgelse Rasmus Sylvester Bryder 7. november 2008 Dette projekt aeveres i forbindelse med LA T EX 2ε-kurset vejledningsuge 2, 2008-09 på KU; til projektet benyttes noter givet til opgaveløsning.

Læs mere

Differential- regning

Differential- regning Differential- regning del () f () m l () 6 Karsten Juul Indhold Tretrinsreglen 59 Formler for differentialkvotienter64 Regneregler for differentialkvotienter67 Differentialkvotient af sammensat funktion7

Læs mere

Analyse af ombytningspuslespil

Analyse af ombytningspuslespil Analyse af ombytningspuslespil 1 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset webside. 2 / 7 Konkret eksempel på algoritmeanalyse Prøv ombytningspuslespillet på kurset

Læs mere

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)

Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet

Læs mere

Studieretningsopgave

Studieretningsopgave Virum Gymnasium Studieretningsopgave Harmoniske svingninger i matematik og fysik Vejledere: Christian Holst Hansen (matematik) og Bodil Dam Heiselberg (fysik) 30-01-2014 Indholdsfortegnelse Indledning...

Læs mere

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden

Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden d. 6.10.2016 De Økonomiske Råds Sekretariat Test for strukturelle ændringer i investeringsadfærden Dette notat redegør for de stabilitetstest af forskellige tidsserier vedrørende investeringsadfærden i

Læs mere

Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed

Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed Approximations-algoritmer Sidste gang Motivation Definitioner Approximations-algoritme for knudeoverdækning Approximations-algoritme for TSP med trekantsulighed Negativt resultat om generel TSP Approximations-algoritme

Læs mere

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav.

Secret Sharing. Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav. 1 Læsevejledning Secret Sharing Olav Geil Institut for Matematiske Fag Aalborg Universitet email: olav@math.aau.dk URL: http://www.math.aau.dk/ olav September 2006 Nærværende note er tænkt som et oplæg

Læs mere

Eksponentielle sammenhænge

Eksponentielle sammenhænge Eksponentielle sammenhænge 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Indholdsfortegnelse Variabel-sammenhænge... 1 1. Hvad er en eksponentiel sammenhæng?... 2 2. Forklaring med ord af eksponentiel vækst... 2, 6

Læs mere

Polynomier af én variabel

Polynomier af én variabel enote 30 1 enote 30 Polynomier af én variabel I denne enote introduceres komplekse polynomier af én variabel. Der forudsættes elementært kendskab til komplekse tal og kendskab til reelle polynomier af

Læs mere