LIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM
|
|
- Simon Jeppesen
- 7 år siden
- Visninger:
Transkript
1 LIDT OM UENDELIGHED HENRIK HOLM Denne note omhandler uendelighedsbegrebet, som det er indført af Georg Cantor omkring 1870 Vi henviser til [4] for Cantors arbejder For datiden var Cantors idéer revolutionerende, og de mødte stor modstand fra Leopold Kronecker Denne modstand var muligvis medvirkende til Cantors nervesammenbrud og depressioner Julius Dedekind og David Hilbert støttede dog Cantors teorier Blandt de elementære danske introduktioner til emnet finder man [16] og [17] Lidt mere avancerede er fremstillingerne [1, Kapitel 1], [2], [15] og [19] Sidstnævnte indholder mange øvelser, og kan varmt anbefales 1 Afbildninger Det forudsættes, at læseren er bekendt med definitionen af en afbildning (funktion) f : X Y mellem to mængder X og Y Man omtaler X som definitionsmængden for f, medens Y kaldes dispositionsmængden for f Før vi kan tale om uendelighedsbegrebet, bliver vi nødt til at introducere lidt notation for afbildninger, som gjort nedenfor (11) Definition En afbildning f : X Y kaldes: (a) injektiv, hvis der for alle elementer x 1, x 2 X gælder implikationen: f(x 1 ) = f(x 2 ) = x 1 = x 2 (b) surjektiv, hvis der til ethvert y Y findes et x X med f(x) = y (c) bijektiv, hvis den både er injektiv og surjektiv (12) Bemærkning For en afbildning f : X Y noterer vi følgende egenskaber: (1) At f er injektiv betyder, at der til hvert element y Y findes højst et element x X således at f(x) = y (2) At f er surjektiv betyder, at der til hvert element y Y findes mindst et element x X således at f(x) = y (3) Hvis f er bijektiv gælder altså, at der til hvert element y Y findes præcis et element x X opfyldende f(x) = y Udarbejdet i forbindelse med HCØ dagene 13 og 14 oktober
2 2 HENRIK HOLM (13) Invers afbildning I det tilfælde at en afbildning f : X Y er bijektiv kan vi definere den inverse afbildning f 1 : Y X ved for y Y at fastsætte f 1 (y) = x, hvor x er det entydigt bestemte element i X med egenskaben f(x) = y Bemærk at f 1 : Y X også er bijektiv, og at der gælder identiteterne: (f 1 f)(x) = x og (f f 1 )(y) = y, for alle x X og y Y Opgave (51) viser, at der også gælder det omvendte: hvis der findes en afbildning g : Y X med egenskaberne (g f)(x) = x og (f g)(y) = y, for alle x X og y Y, da er f bijektiv og f 1 = g (14) Eksempel Konkrete eksempler kendes allerede fra gymnasiet: (a) Betragt funktionen f : [0, [ R defineret ved f(x) = x for x [0, [ Da er f injektiv, thi hvis x 1, x 2 [0, [ med f(x 1 ) = f(x 2 ), altså x 1 = x 2, da vil også x 1 = ( x 1 ) 2 = ( x 2 ) 2 = x 2 Derimod er f ikke surjektiv, fordi til fx y = 1 R findes intet x [0, [ som opfylder f(x) = y (b) Betragt funktionen g : R [ 1, 1] defineret ved g(x) = cos x for x R Da er g ikke injektiv, thi fx er x 1 = 0 og x 2 = 2π forskellige elementer i R, men alligevel er g(x 1 ) = cos 0 = 1 = cos 2π = g(x 2 ) Dog er det velkendt, at g er surjektiv (dette ses nok lettest ved at bemærke, at cos er kontinuert med cos 0 = 1 og cos π = 1) (c) Funktionen h: R R defineret ved h(x) = x for x R er bijektiv, og den inverse funktion h 1 : R R er givet ved h 1 (y) = 3 y 1 for y R 2 Uendelighedsbegrebet Vi begynder med Cantors helt centrale definitioner: (21) Definition (Cantor, omkring 1870) For mængder X og Y defineres: (a) Vi siger at X har mindre mægtighed, eller kardinalitet, end Y hvis der findes en injektiv afbildning f : X Y I denne situation skrives X Y (b) Vi siger at X har samme mægtighed, eller kardinalitet, som Y hvis der findes en bijektiv afbildning f : X Y Vi udtrykker også dette ved at sige, at X og Y er ækvipotente I denne situation skrives X Y (c) Vi skriver X Y hvis der gælder X Y og der ikke gælder X Y (22) Definition En mængde X siges at være uendelig hvis N X
3 LIDT OM UENDELIGHED 3 (23) Eksempel Mængderne Z og N er ækvipotente Dette ses ved at betragte den bijektive afbildning f : Z N, defineret ved: { 2n hvis n > 0 f(n) =, n Z 2n + 1 hvis n 0 Afbildningen illustreres af figuren: f Z =, 3, 2, 1, 0, +1, +2, +3, N =, 7, 5, 3, 1, 2, 4, 6, (24) Eksempel Mængderne N N = { (m, n) m, n N } og N er ækvipotente Dette ses ved at betragte den bijektive afbildning f : N N N, defineret ved: f(m, n) = 1 (m + n 2)(m + n 1) + n, (m, n) N N 2 Afbildningen illustreres af figuren: n (1, 4) (2, 4) (3, 4) (4, 4) (1, 3) (2, 3) (3, 3) (4, 3) (1, 2) (2, 2) (3, 2) (4, 2) (1, 1) (2, 1) (3, 1) (4, 1) m (25) Eksempel Mængderne Q og N er ækvipotente Det kønneste er nok at benytte Bernsteins ækvivalenssætning (28) nedenfor, dvs ved at vise både N Q og Q N Idet N Q er selvfølgelig N Q For at vise det omvendte Q N bemærkes, at ethvert rationalt tal x Q på entydig måde kan fremstilles som brøk: ( ) x = p, hvor p Z og q N er primiske q At p og q er primiske betyder, at den største fælles divisor for p og q er lig 1 Vi kan derfor definere en afbildning f : Q Z N ved f(x) = (p, q), når x = p q Q er givet ved ( ) Det er klart, at f er injektiv, og derfor vil Q Z N Af Eksempel (23) følger at Z N, og dermed giver Opgave (55) samt Eksempel (24) at Z N N N N Derfor viser Sætning (27) at Q N, som ønsket
4 4 HENRIK HOLM I 1874 viser Cantor [3], som den første, at der er flere reelle tal end naturlige tal Vi giver her det bevis, der nu kendes som Cantors diagonalargument (26) Sætning (Cantors diagonalargument) Der gælder N R Bevis Idet N R gælder selvfølgelig N R Betragt nu mængden D R bestående af alle reelle tal x hvis heltalsdel er nul, og hvis decimalbrøksfremstilling udelukkende består af 0 er og 1 er, dvs x har formen x = 0, d 1 d 2 d 3 hvor d 1, d 2, d 3, {0, 1} Naturligvis er D R, så ifølge Opgave (57) er det tilstrækkeligt at vise N D Afbildningen h: N D defineret ved h(n) = 0, 11 }{{ 1} 000 n 1 er er oplagt injektiv, og derfor vil N D Antag nu, for modstrid, at N D, dvs der findes en bijektiv afbildning f : N D Sæt nu x 1 = f(1) = 0, d (1) 1 d (1) 2 d (1) 3 d (1) n d (1) n+1 x 2 = f(2) = 0, d (2) 1 d(2) 2 d(2) 3 d (2) n d (2) n+1 x n = f(n) = 0, d (n) 1 d (n) 2 d (n) 3 d (n) n d (n) n+1 hvilket udgør samtlige elementer i D, da f specielt er surjektiv Betragt herefter elementet y = 0, q 1 q 2 q 3 D defineret ved { q n = 1 d (n) 0 hvis d (n) n = 1 n = 1 hvis d (n) n = 0 Pr konstruktion er y x n (thi de afviger på n te decimal) for ethvert n N, hvilket strider mod at y D (27) Sætning Lad X, Y og Z være vilkårlige mængder Relationerne og har da følgende fundamentale egenskaber: (1) Der gælder altid X X (2) Hvis X Y, da vil også Y X samt X Y og Y X (3) Hvis X Y og Y Z, da vil X Z (4) Hvis X Y og Y Z, da vil X Z Bevis Dette er indholdet af Opgave (56) Blandt de mere avancerede egenskaber hører det næste resultat, der i 1897 blev vist af Felix Bernstein, og nu går under navnet Bernsteins ækvivalenssætning Beviset for sætningen, samt sætningens lidt indviklede historie, findes i M Frewers artikel [9], der er en hyldest til Bernstein i anledning af 100-års dagen for hans fødsel Beviset læses dog nok nemmere i fx [1, Sætning 23] eller [15, Sætning 15VII]
5 LIDT OM UENDELIGHED 5 (28) Bernsteins ækvivalenssætning (1897) Hvis X og Y er mængder opfyldende både X Y og Y X, da vil X Y (29) Potensmængde Lad X være en mængde Da defineres potensmængden P(X) som mængden af alle delmængder af X, altså P(X) = { A A X } (210) Sætning For enhver mængde X gælder X P(X) Bevis Afbildningen X P(X), x {x} er oplagt injektiv, hvilket viser X P(X) Antag nu, for modstrid, at der findes en bijektion f : X P(X), og definer da A = { x X x / f(x) } P(X) Da f specielt er surjektiv findes a X så f(a) = A, og pr definition gælder så: hvilket er en modstrid a A a / f(a) = A, (211) Bemærkning Man kan faktisk vise at P(N) R, så derfor er Sætning (26) et specialtilfælde af Sætning (210) Beviset for sidstnævnte sætning er da også en variation af Cantors diagonalargument 3 Aksiomer Før vi kan gå ordentligt videre, er det nødvendigt med en kort introduktion til matematikkens grundlag (31) Aksiomer Et aksiom, eller et postulat, er kort fortalt et udsagn, som antages at være sandt, og derfor kan/skal et aksioms gyldighed ikke bevises Aksiomer er altså en slags matematiske fundamentalsætninger, der fungerer som grundlag når man, ud fra disse, skal bevise andre sætninger De fleste har sikkert hørt om den græske matematiker Euklid (ca 300 fvt) i forbindelse med geometri Hans berømte parallel-postulat [7, bog I, p 4, Postulat 5] er et godt eksempel på et aksiom fra hans samtids matematik (32) ZFC er matematikkens grundlag I 1908 opstillede Ernst Zermelo [21], med senere bidrag fra Adolf Fraenkel [8] i 1922, et system af aksiomer, der nu betegnes ZF Dette system har vist sig at være yderst tilfredstillende i den forstand, at meget af den matematik vi kender i dag, kan udledes fra ZF aksiomerne Et af ZF aksiomerne siger faktisk, at det er lovligt at definere potensmængden som gjort i (29) helt præcist siger aksiomet at potensmængden virkelig findes En overgang troede man, at ZF aksiomerne var tilstrækkelige til at beskrive hele matematikken, men senere viste det sig, at yderligere et aksiom var nødvendigt for en tilfredsstillende beskrivelse, nemlig det såkaldte udvalgsaksiom På engelsk kaldes det for the Axiom of Choice, og forkortes derfor AC Det fulde aksiomsystem bestående af både ZF aksiomerne og udvalgsaksiomet AC betegnes ZFC, altså ZFC = ZF+AC, og det er i dag det alment accepterede grundlag for matematikken
6 6 HENRIK HOLM (33) Konsistens, fuldstændighed og uafhængighed Lad T være et system af aksiomer, fx kunne T være ZF eller ZFC Vi indfører da sprogbrugen: (a) Vi kalder T for konsistent, hvis det ikke er muligt at udlede en modstrid ud fra aksiomerne i T (b) Vi kalder T for fuldstændigt, hvis der for ethvert udsagn U gælder, at enten U eller U (her betegner U negationen, altså det modsatte, af U) kan udledes fra akisomerne i T (c) Et udsagn U siges at være uafhængigt, eller uafgørligt, af T, hvis man hverken kan udlede U eller U ud fra aksiomerne i T Et uafgørligt udsagn er altså i en vis forstand hverken sandt eller falsk, hvis man som grundlag udelukkende arbejder med aksiomsystemet T Bemærk iøvrigt, at (c) er ækvivalent med, at aksiomsystemerne T + U og T + ( U), altså T hvor vi tilføjer henholdsvis U og U, begge er konsistente At arbejde med et aksiomsystem der ikke er konsistent, er næsten meningsløst Det bør nævnes, at man desværre ikke ved om ZF er konsistent Man kan dog vise, at ZFC er konsistent såfremt ZF er det; jævnfør paragraf (34) nedenfor ZFs konsistens er altså udelukkende en trossag, men vi bliver styrket i troen, når vi tænker på, at ingen endnu har fundet en modstrid i matematikken, trods mange hundrede års forskning I løbet af 1930 erne viser Kurt Gödel, ved metoder udviklet i [10], sine berømte ufuldstændighedssætninger, der blandt andet udsiger, at under forudsætning af ZFCs konsistens, er ZFC ikke fuldstændigt Der findes altså udsagn som ikke kan afgøres inden for rammerne af ZFC, altså inden for rammerne af den moderne matematik Vi skal se på et sådan eksempel i paragraf (44) (34) Zermelos udvalgsaksiom Allerede i 1904 indgik udvalgsaksiomet faktisk som ingrediens i Zermelos bevis [20] for den såkaldte velordningssætning, formodet af Cantor På daværende tidspunkt anså Zermelo og hans kollegaer udvalgsaksiomet (der er særdeles intuitivt) for at være en oplagt sand sætning de havde ikke gjort sig klart, at det faktisk var et aksiom, som man var nødt til at antage Senere påpegede Émile Borel, at der også gælder det omvendte, nemlig at velordningssætningen kan bruges til at bevise udvalgsaksiomet Lad os nu formulere indholdet af det vigtige udvalgsaksiom: UDVALGSAKSIOMET (AC) Hvis (X i ) i I er en familie af ikke-tomme delmængder af en mængde X, da findes en afbildning u: I X opfyldende u(i) X i for ethvert i I Under forudsætning af ZFs konsistens viste Gödel i sit klassiske værk [11 13] fra omkring 1940, at ZF+AC er konsistent I 1963 viste Paul Cohen [5, 6], under samme forudsætning, at også ZF+( AC) er konsistent Dette viser, at udvalgsaksiomet er uafhængigt af ZF, hvis sidstnævnte er konsistent
7 LIDT OM UENDELIGHED 7 4 Anvendelser af udvalgsaksiomet Vi giver nu en række konsekvenser af udvalgsaksiomet nogle mere overraskende end andre Vi begynder med det intuitive resultat: (41) Sætning Lad X og Y være mængder Da gælder X Y hvis og kun hvis der findes en surjektiv afbilding g : Y X Bevis Kun hvis: Antag X Y, dvs der findes en injektiv afbildning f : X Y Betragt nu billedet (værdimængden) for f defineret ved: Ỹ = { y Y der findes x X med y = f(x) } Da f er injektiv opnås en bijektiv afbildning f : X Ỹ ved for x X at definere f(x) = f(x) Lad nu x 0 X være vilkårlig En surjektiv afbildning g : Y X fås da ved at fastsætte: { f g(y) = 1 (y) hvis y Ỹ x 0 hvis y / Ỹ, y Y Hvis: Antag at g : Y X er surjektiv For hvert x X er originalmængden Y x = { y Y g(y) = x } altså ikke tom Anvendes udvalgsaksiomet på familien (Y x ) x X af delmængder af Y fås en afbildning u: X Y således at u(x) Y x, altså g(u(x)) = x, for alle x X Dette tvinger u til at være injektiv (se også Opgave (51)(1)), og derfor X Y, som ønsket Nedenfor følger to andre, men væsentligt sværere, anvendelser af udvalgsaksiomet (42) Sætning Lad X være en uendelig mængde Da er produktmængden ækvipotent med X, altså X X X X X = { (x, y) x, y X} Bevis Beviset, som overspringes, benytter specialtilfældet N N N fra Eksempel (24) Der henvises til fx [1, Sætning 54] (43) Sætning For vilkårlige mængder X og Y gælder præcis en af mulighederne: X Y, Y X eller X Y Bevis Beviset overspringes, men læseren henvises til fx [15, Sætning 16II] (44) Cantors kontinuumshypotese Vi har i Sætning (26) set, at N R Det er derfor naturligt at spørge, om der findes en kardinalitet mellem N og R, med andre ord, findes der en mængde X opfyldende N X R? Cantor fremsatte i 1877 nedenstående formodning, som går under navnet kontinuumshypotesen På engelsk kaldes den the Continuum Hypothesis, og forkortes derfor CH
8 8 HENRIK HOLM KONTINUUMSHYPOTESEN (CH) Der findes ingen mængde X opfyldende N X R Omkring 1940 viste Gödel [11 13], at hvis ZFC er konsistent, da er også ZFC+CH konsistent I 1963 viste Cohen [5,6], at hvis ZFC er konsistent, da er også ZFC+( CH) konsistent Under forudsætning af ZFCs konsistens gælder derfor, at kontinuumshypotesen er uafhængig af ZFC De konsekvenser af udvalgsaksiomet som er præsenteret ovenfor, vil formentlig ikke stride mod, og måske ligefrem appelere til læserens intuition En anden konsekvens af udvalgsaksiomet er Hausdorffs paradoks; se [18, Theorem 26] eller originalreferencen [14]; som altså slet ikke er et paradoks, men en sætning Af Hausdorffs paradoks følger nedenstående meget anti-intuitive resultat (45) Sætning Betragt i rummet R 3 enhedskugleoverfladen S = { (x, y, z) R 3 x 2 + y 2 + z 2 = 1 } Da findes en inddeling af S i ti parvis disjunkte delmængder A 1,, A 10, altså S = A 1 A 10 og A i A j = hvis i j, samt ti andre delmængder B 1,, B 10 af R 3 opfyldende: (1) For hvert i fremkommer mængden B i ved at rotere og translatere A i passende (2) Mængderne B 1,, B 4 er parvis disjunkte og S = B 1 B 4 (3) Mængderne B 5,, B 10 er parvis disjunkte og S = B 5 B 10 Bevis Der henvises til [18, Paragraf 11] Sagt med almindelige ord udsiger Sætning (45), at kugleoverfladen S kan inddeles i ti disjunkte stykker således, at de fire første stykker kan sættes sammen til den oprindelige kugleoverflade S, og de sidste seks stykker kan sættes sammen til endnu en kopi af S Vi har altså fordoblet kugleoverfladen S!
9 LIDT OM UENDELIGHED 9 5 opgaver (51) Opgave Lad f : X Y være en afbildning Vis at der gælder følgende: (1) Hvis der findes en (venstreinvers) afbildning v : Y X opfyldende (v f)(x) = x for alle x X, da er f injektiv (2) Hvis der findes en (højreinvers) afbildning h: Y X opfyldende (f h)(y) = y for alle y Y, da er f surjektiv (3) Hvis der findes en (invers) afbildning g : Y X opfyldende (g f)(x) = x og (f g)(y) = y for alle x X og y Y, da er f bijektiv med f 1 = g (Vink til sidste del af (3): Hvis y Y kan vi skrive y = f(x) for et entydigt bestemt x X Konkluder nu at faktisk g(y) = f 1 (y)) (52) Opgave Giv et eksempel på en funktion f : R R, som hverken er injektiv eller surjektiv (53) Opgave For hvert naturligt tal n N defineres mængden I n = {1, 2,, n} Vis, at der for vilkårlige m, n N gælder I m I n hvis og kun hvis m n (54) Opgave Betragt et lukket interval [a, b] (hvor selvfølgelig a < b) i R Vis at [a, b] er ækvipotent med [0, 1] (Vink: Betragt f : [0, 1] [a, b] defineret ved f(x) = (b a)x + a for x [0, 1]) (55) Opgave For vilkårlige mængder X of Y defineres produktmængden, X Y = { (x, y) x X og y Y } Vis, at hvis X, X, Y og Y er mænger med X X og Y Y, da vil også X Y X Y (56) Opgave Giv et bevis for Sætning (27) (57) Opgave Vis at der for alle mængder X, Y og Z gælder implikationen: X Y og Y Z = X Z (Vink: brug Bernsteins ækvivalenssætning) (58) Opgave For mængde X defineres en ny mængde 2 X bestående af samtlige funktioner f : X {0, 1} Vis at 2 X er ækvipotent med P(X), altså at 2 X P(X) (Vink: Definer en afbildning Φ: 2 X P(X) ved til en funktion f : X {0, 1} i 2 X at lade svare delmængden Φ(f) = {x X f(x) = 1} af X) (59) Opgave Vis at 2 N R; jævnfør Bemærkning (211) (Vink: Betragt fx afbildningen Ψ: 2 N R der til en funktion f : N {0, 1} i 2 N lader svare decimalbrøken Ψ(f) = 0, f(1)f(2)f(3) i R)
10 10 HENRIK HOLM Litteratur 1 Christian Berg, Topologi, HCØ tryk, Københavns universitet, Jørgen Brandt og Knud Nissen, QED en introduktion til matematisk bevis, Abacus, Georg Cantor, Über eine Eigenschaft des inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen, Journal f Reine und Angew Math 77 (1874), , (findes også i [4] p ) 4, Gesammelte Abhandlungen mathematischen und philosophischen Inhalts, Springer- Verlag, Berlin, 1980, (genoptryk af 1932 udgaven, med en introduktion af E Zermelo, og en biografi om Cantor skrevet af A Fraenkel) 5 Paul Cohen, The independence of the continuum hypothesis, Proc Nat Acad Sci USA 50 (1963), , The independence of the continuum hypothesis II, Proc Nat Acad Sci USA 51 (1964), Euklid, Euklids elementer, bog I XIII, Gyldendalske Boghandels Forlag (F Hegel & Søn), København, 1897, oversat af Cand Mag Thyra Eibe og med en indledning af Prof, Dr H G Zeuten 8 Adolf Fraenkel, Zu den Grundlagen der Cantor Zermeloschen Mengenlehre, Math Ann 86 (1922), M Frewer, Felix Bernstein, Jahresber Deutsch Math-Verein 83 (1981), no 2, Kurt Gödel, Über formal unentscheidbare Sätze der Principia mathematica und verwandter Systeme I, Monatshefte für Mathematik und Physik 38 (1931), , The consistency af the axiom of choice and the generalized continuum hypothesis, Proc Nat Acad Sci USA 24 (1938), , Consistency-proof for the generalized continuum hypothesis, Proc Nat Acad Sci USA 25 (1939), , The consistency of the axiom of choice and of the generalized continuum hypothesis with the axioms of set theory, Annals of Mathematics Studies, no 3, Princeton University Press, Princeton, N J, Felix Hausdorff, Grundzüge der Mengenlehre, Chelsea Publishing Company, New York, N Y, 1949, (dette er et fotografisk genoptryk af førsteudgaven fra 1914, Veit, Leipzig, indeholdende materiale, som blev udeladt fra senere udgaver) 15 Torkil Heide og Hans Jørgen Helms, Mængdelære og transfinite kardinaltal, Universitetsforlaget, København, Lars Mejlbo, Om det uendelige, i serien Matematikkens aspekter, Matematiklærerforeningen, 1991, (kan rekvireres ved henvendelse til LMFK sekretariatet, Slotsgade 2, 3 sal, 2200 København N, tlf , LMFK@skolekomdk) 17, Uendelighedens paradokser, i serien Matematikkens aspekter, Matematiklærerforeningen, trykt af Aarhus universitet, 1991, (kan rekvireres ved henvendelse til LMFK sekretariatet, Slotsgade 2, 3 sal, 2200 København N, tlf , LMFK@skolekomdk) 18 Wac law Sierpiński, On the congruence of sets and their equivalence by finite decomposition, Lucknow University Studies, no xx, The Lucknow University, Lucknow, Flemming Topsøe, Introduktion til abstrakt matematik, HCØ tryk, Københavns universitet, 1998, (kan hentes elektronisk på 20 Ernst Zermelo, Beweis dass jede Menge wohlgeordnet kann, Math Ann 59 (1904), , Untersuchungen über die Grundlagen der Mengenlehre I, Math Ann 65 (1908), Henrik Holm, Matematisk Afdeling, Universitetsparken 5, DK 2100 København Ø, Danmark, Tlf , E mail: holm@mathkudk
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, Indledning
UENDELIG, MERE UENDELIG, ENDNU MERE UENDELIG, ESBEN BISTRUP HALVORSEN 1 Indledning De fleste kan nok blive enige om, at mængden {a, b, c} er større end mængden {d} Den ene indeholder jo tre elementer,
Læs mereUdvalgsaksiomet. Onsdag den 18. november 2009
Udvalgsaksiomet Onsdag den 18. november 2009 Eksempler Fourier udvikling af f(x)=x 4 3 5 10 2 1 1 2 0 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51 53 55 57 59 61 63 1 2 3 4
Læs mereUfuldstændighed, mængdelære og beregnelighed
Ufuldstændighed, mængdelære og beregnelighed Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Sidste
Læs mereAnalyse 2. Gennemgå bevis for Sætning Supplerende opgave 1. Øvelser. Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 3. og 6. september 2013 Gennemgå bevis for Sætning 2.10 Sætning 1. For alle mængder X gælder #X < #P(X). Bevis. Der findes en injektion X P(X), fx givet ved x
Læs mereMatematik YY Foråret Kapitel 1. Grupper og restklasseringe.
Matematik YY Foråret 2004 Elementær talteori Søren Jøndrup og Jørn Olsson Kapitel 1. Grupper og restklasseringe. Vi vil i første omgang betragte forskellige typer ligninger og søge efter heltalsløsninger
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/21 Gödels ufuldstændighedssætning
Læs meret a l e n t c a m p d k Matematiske Metoder Anders Friis Anne Ryelund 25. oktober 2014 Slide 1/42
Slide 1/42 Hvad er matematik? 1) Den matematiske metode 2) Hvad vil det sige at bevise noget? 3) Hvor begynder det hele? 4) Hvordan vælger man et sæt aksiomer? Slide 2/42 Indhold 1 2 3 4 Slide 3/42 Mængder
Læs mereElementær Matematik. Mængder og udsagn
Elementær Matematik Mængder og udsagn Ole Witt-Hansen 2011 Indhold 1. Mængder...1 1.1 Intervaller...4 2. Matematisk Logik. Udsagnslogik...5 3. Åbne udsagn...9 Mængder og Udsagn 1 1. Mængder En mængde er
Læs mereUendelighed og kardinalitet
Steen Bentzen Uendelighed og kardinalitet - mængder og de reelle tal. Forlaget Bentz - - Indholdsfortegnelse Forord.. s. 2 Kapitel : Ækvipotens og kardinalitet generelt... s. 3 Kapitel 2: Ækvipotens og
Læs mereBeregnbarhed, diagonalisering og matematikkens grundlag
Beregnbarhed, diagonalisering og matematikkens grundlag Stig Andur Pedersen Afdelingen Filosofi og Videnskabsteori, RUC 1 Matematikkens grundlagsproblemer Omkring år 1900 havde matematikken udviklet metoder
Læs mereKalkulus 2 - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger
Kalkulus - Grænseovergange, Kontinuitet og Følger Mads Friis 8. januar 05 Indhold Grundlæggende uligheder Grænseovergange 3 3 Kontinuitet 9 4 Følger 0 5 Perspektivering 4 Grundlæggende uligheder Sætning
Læs mere1 Om funktioner. 1.1 Hvad er en funktion?
1 Om funktioner 1.1 Hvad er en funktion? Man lærer allerede om funktioner i folkeskolen, hvor funktioner typisk bliver introduceret som maskiner, der tager et tal ind, og spytter et tal ud. Dette er også
Læs mereProjekt 7.10 Uendelighed Hilberts hotel
Hvad er matematik? ISBN 909 Projekter: Kapitel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel Projekt 0 Uendelighed Hilberts hotel (Materialet i dette projekt er hentet fra Hvad er matematik? A, indledningen til
Læs mereFørste konstruktion af Cantor mængden
DYNAMIK PÅ CANTOR MÆNGDEN KLAUS THOMSEN Første konstruktion af Cantor mængden For de fleste der har hørt on Cantor-mængden, er den blevet defineret på flg måde: I = 0 I = I = 0 0 OSV Cantor mængden C er
Læs mereGödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931
Kommentar til 1 Gödel: Über formal unentschiedbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I, 1931 Denne afhandling af den 24-årige Kurt Gödel er blevet en klassiker. Det er vist den eneste
Læs mereNoter til Perspektiver i Matematikken
Noter til Perspektiver i Matematikken Henrik Stetkær 25. august 2003 1 Indledning I dette kursus (Perspektiver i Matematikken) skal vi studere de hele tal og deres egenskaber. Vi lader Z betegne mængden
Læs mereNogle grundlæggende begreber
BE2-kursus 2010 Jørgen Larsen 5. februar 2010 Nogle grundlæggende begreber Lidt simpel mængdelære Mængder består af elementer; mængden bestående af ingen elementer er, den tomme mængde. At x er element
Læs mereAnalyse 1. Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund. 25. maj 2018
Analyse 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund 25. maj 2018 Indhold Introduktion Aksiomer og den matematiske metode Formalistisk struktur Mængder Introduktion Definitioner Delmængder Fællesmængde og foreningsmængde
Læs mereArchimedes Princip. Frank Nasser. 12. april 2011
Archimedes Princip Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er
Læs mereBanach-Tarski Paradokset
32 Artikeltype Banach-Tarski Paradokset Uden appelsiner Andreas Hallbäck Langt de fleste af os har nok hørt om Banach og Tarskis såkaldte paradoks fra 1924. Vi har hørt diverse poppede formuleringer af
Læs mereOm uendelighedsbegrebet
Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 27. oktober 2004 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab
Læs mereMatematik 3GT. Topologi. Christian Berg
Matematik 3GT Topologi Christian Berg 2001 Universitetsparken 5 2100 København Ø c Matematisk Afdeling 2001 FORORD Kurset 3GT er et nyt kursus i 5. semester omhandlende mængdelære, generel topologi og
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Nasser 12. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mere[FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers. 2.0
MaB Sct. Knud Gymnasium, Henrik S. Hansen % [FUNKTIONER] Hvornår kan vi kalde en sammenhæng en funktion, og hvilke egenskaber har disse i givet fald. Vers..0 Indhold Funktioner... Entydighed... Injektiv...
Læs mereKonstruktion af de reelle tal
Konstruktion af de reelle tal Rasmus Villemoes 17. oktober 2005 Indledning De fleste tager eksistensen af de reelle tal R for givet. I Matematisk Analyse-bogen Funktioner af en og flere variable af Ebbe
Læs mereMatematikkens metoder illustreret med eksempler fra ligningernes historie. Jessica Carter Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12.
illustreret med eksempler fra ligningernes historie Institut for Matematik og Datalogi, SDU 12. april 2019 Matematiklærerdag, Aarhus Universitet I læreplanen for Studieretningsprojektet står: I studieretningsprojektet
Læs mereOm uendelighedsbegrebet
Om uendelighedsbegrebet Henrik Stetkær 19. september 2006 I disse noter vil vi diskutere uendelighedsbegrebet, specielt egenskaber ved tællelige mængder. Vi går ud fra, at læseren har et elementært kendskab
Læs mereNoter om primtal. Erik Olsen
Noter om primtal Erik Olsen 1 Notation og indledende bemærkninger Vi lader betegne de hele tal, og Z = {... 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3...} N = {0, 1, 2, 3...} Z være de positive hele tal. Vi minder her om et
Læs mereEuklids algoritme og kædebrøker
Euklids algoritme og kædebrøker Michael Knudsen I denne note vil vi med Z, Q og R betegne mængden af henholdsvis de hele, de rationale og de reelle tal. Altså er { m } Z = {..., 2,, 0,, 2,...} og Q = n
Læs merePunktmængdetopologi. Mikkel Stouby Petersen. 1. marts 2013
Punktmængdetopologi Mikkel Stouby Petersen 1. marts 2013 I kurset Matematisk Analyse 1 er et metrisk rum et af de mest grundlæggende begreber. Et metrisk rum (X, d) er en mængde X sammen med en metrik
Læs mereRaymond Queneau. Litteraturens grundlag
Raymond Queneau Litteraturens grundlag Efter at have overværet en forelæsning i Halle af Wiener (ikke Norbert, selvfølgelig) om Desargues og Pappus teoremer mumlede David Hilbert tænksomt, mens han ventede
Læs mereGödels ufuldstændighedssætninger
Gödels ufuldstændighedssætninger Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige Folkeuniversitetet i København, efteråret 2009 Thomas Bolander, FUKBH 09 s. 1/27 Gödels første ufuldstændighedssætning
Læs mereFunktionsterminologi
Funktionsterminologi Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereSkriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508)
INSTITUT FOR MATEMATIK OG DATALOGI SYDDANSK UNIVERSITET, ODENSE Skriftlig eksamen - med besvarelse Topologi I (MM508) Mandag d. 14. januar 2007 2 timer med alle sædvanlige hjælpemidler tilladt. Opgavesættet
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 8. X = U xi = {x i } = {x 1,..., x n }, U α, U α = α. (X \ U α )
GEOMETRI-TØ, UGE 8 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imf.au.dk. Opvarmningsopgave 1. Lad X være en mængde og T familien af alle delmængder
Læs mere************************************************************************
Projektet er todelt: Første del har fokus på Euklids system og består af introduktionen, samt I og II. Anden del har fokus på Hilberts system fra omkring år 1900 og består af III sammen med bilagene. Man
Læs mere= λ([ x, y)) + λ((y, x]) = ( y ( x)) + (x y) = 2(x y).
Analyse 2 Øvelser Rasmus Sylvester Bryder 17. og 20. september 2013 Supplerende opgave 1 Lad λ være Lebesgue-målet på R og lad A B(R). Definér en funktion f : [0, ) R ved f(x) = λ(a [ x, x]). Vis, at f(x)
Læs mereOm begrebet relation
Om begrebet relation Henrik Stetkær 11. oktober 2005 Vi vil i denne note diskutere det matematiske begreb en relation, herunder specielt ækvivalensrelationer. 1 Det abstrakte begreb en relation Som ordet
Læs mere8 Regulære flader i R 3
8 Regulære flader i R 3 Vi skal betragte særligt pæne delmængder S R 3 kaldet flader. I det følgende opfattes S som et topologisk rum i sportopologien, se Definition 5.9. En åben omegn U af p S er således
Læs mereBrug og Misbrug af logiske tegn
Brug og Misbrug af logiske tegn Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereSelvreference i begrænsningsresultaterne
Selvreference i begrænsningsresultaterne Thomas Bolander, IMM, DTU. tb@imm.dtu.dk To pointer: (1) Der skal kun meget lidt udover selvreference til for at få de klassiske logiske begrænsningsresultater.
Læs mereTal. Vi mener, vi kender og kan bruge følgende talmængder: N : de positive hele tal, Z : de hele tal, Q: de rationale tal.
1 Tal Tal kan forekomme os nærmest at være selvfølgelige, umiddelbare og naturgivne. Men det er kun, fordi vi har vænnet os til dem. Som det vil fremgå af vores timer, har de mange overraskende egenskaber
Læs mereEksempel på den aksiomatisk deduktive metode
Eksempel på den aksiomatisk deduktive metode Et rigtig godt eksempel på et aksiomatisk deduktivt system er Euklids Elementer. Euklid var græker og skrev Elemeterne omkring 300 f.kr. Værket består af 13
Læs mereMatematiske metoder - Opgavesæt
Matematiske metoder - Opgavesæt Anders Friis, Anne Ryelund, Mads Friis, Signe Baggesen 24. maj 208 Beskrivelse af opgavesættet I dette opgavesæt vil du støde på opgaver, der er markeret med enten 0, eller
Læs meret a l e n t c a m p d k Kalkulus 1 Mads Friis Anders Friis Anne Ryelund Signe Baggesen 10. januar 2015 Slide 1/54
Slide 1/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 2/54 Indhold 1 2 3 4 5 Slide 3/54 1) Hvad er et aksiom? Slide 4/54 1) Hvad er et aksiom? 2) Hvorfor har vi brug for aksiomer? The Monty Hall Problem Slide 4/54 1) Hvad
Læs mereTrekanter. Frank Villa. 8. november 2012
Trekanter Frank Villa 8. november 2012 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion 1 1.1
Læs mereGult Foredrag Om Net
Gult Foredrag Om Net University of Aarhus Århus 8 th March, 2010 Introduktion I: Fra Metriske til Topologiske Rum Et metrisk rum er en mængde udstyret med en afstandsfunktion. Afstandsfunktionen bruges
Læs mereTALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning.
Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning, oktober 2008, Kirsten Rosenkilde 1 TALTEORI Wilsons sætning og Euler-Fermats sætning. Disse noter forudsætter et grundlæggende kendskab til talteori som man kan
Læs mereDe rigtige reelle tal
De rigtige reelle tal Frank Villa 17. januar 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs merePolynomiumsbrøker og asymptoter
Polynomiumsbrøker og asymptoter Frank Villa 9. marts 2012 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold
Læs mereFunktionalligninger. Anders Schack-Nielsen. 25. februar 2007
Funktionalligninger Anders Schack-Nielsen 5. februar 007 Disse noter er en introduktion til funktionalligninger. En funktionalligning er en ligning (eller et ligningssystem) hvor den ubekendte er en funktion.
Læs mereProjekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A)
Projekt 10.1 Er der huller i Euklids argumentation? Et moderne aksiomsystem (især for A) Indhold Introduktion... 2 Hilberts 16 aksiomer Et moderne, konsistent og fuldstændigt aksiomsystem for geometri...
Læs merePointen med Differentiation
Pointen med Differentiation Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk:
Læs mereElementær Matematik. Funktioner og deres grafer
Elementær Matematik Funktioner og deres grafer Ole Witt-Hansen 0 Indhold. Funktioner.... Grafen for en funktion...3. grafers skæring med koordinat akser...4. To grafers skæringspunkter...4 3. Egenskaber
Læs merePrimtal - hvor mange, hvordan og hvorfor?
Johan P. Hansen 1 1 Institut for Matematiske Fag, Aarhus Universitet Gult foredrag, EULERs Venner, oktober 2009 Disposition 1 EUKLIDs sætning. Der er uendelig mange primtal! EUKLIDs bevis Bevis baseret
Læs mereaf koblede differentialligninger (se Apostol Bind II, s 229ff) 3. En n te ordens differentialligning
EKSISTENS- OG ENTYDIGHEDSSÆTNINGEN Vi vil nu bevise eksistens- og entydighedssætningen for ordinære differentialligninger. For overskuelighedens skyld vil vi indskrænke os til at undersøge een 1. ordens
Læs mereAarhus Universitet 5. februar Meddelelse 2
fdeling for Teoretisk Statistik IOSTTISTIK Institut for Matematiske Fag Preben læsild arhus Universitet 5. februar 2003 Meddelelse 2 Forelæsningerne i uge 6 (3-7.2) Ved forelæsningen den 4.2 gav Frank
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 8
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 8 Morten Grud Rasmussen 18. oktober 216 1 Fourierrækker 1.1 Periodiske funktioner Definition 1.1 (Periodiske funktioner). En periodisk funktion f er
Læs mereMatematik Camp Noter og Opgaver
Matematik Camp 2018 Noter og Opgaver Freja Elbro Simon Skjernaa Erfurth Jonas Rysgaard Jensen Benjamin Muntz Anders Jess Pedersen Eigil Fjeldgren Rischel Nikolaj Jensen Ulrik Indhold Indhold i 1 Introduktion
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 16
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 16 Morten Grud Rasmussen 6. november, 2013 1 Interpolation [Bogens afsnit 19.3 side 805] 1.1 Interpolationspolynomier Enhver kontinuert funktion f på
Læs mere1 < 2 og 1 > 2 (2.1) er begge udsagn. Det første er sandt det andet er falsk. Derimod er
Kapitel 2 Logik Dette kapitel omhandler matematiske udsagn og prædikater. I et formelt kursus om logik opstiller man helt præcise regler for hvilke tegnstrenge, der kan tillades i opbygningen af udsagn
Læs mereHvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen
12 Det filosofiske hjørne Hvad er et tal? Dan Saattrup Nielsen Det virker måske som et spøjst spørgsmål, men ved nærmere eftertanke virker det som om, at alle vores definitioner af tal refererer til andre
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS August 2012 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereImplikationer og Negationer
Implikationer og Negationer Frank Villa 5. april 2014 Dette dokument er en del af MatBog.dk 2008-2012. IT Teaching Tools. ISBN-13: 978-87-92775-00-9. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereOmskrivningsregler. Frank Nasser. 10. december 2011
Omskrivningsregler Frank Nasser 10. december 2011 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Indhold 1 Introduktion
Læs mereNoter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec.
Noter om Komplekse Vektorrum, Funktionsrum og Differentialligninger LinAlg 2004/05-Version af 16. Dec. 1 Komplekse vektorrum I defininitionen af vektorrum i Afsnit 4.1 i Niels Vigand Pedersen Lineær Algebra
Læs mereProjekt 7.9 Euklids algoritme, primtal og primiske tal
Projekter: Kapitel 7 Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projekt 79 Euklids algoritme, primtal og primiske tal Projektet giver et kig ind i metodee i modee talteori Det kan udbygges med
Læs mereMatroider Majbritt Felleki
18 Rejselegatsformidlingsaktivitet Matroider Majbritt Felleki Den amerikanske matematiker Hassler Whitney fandt i 1935 sammenhænge mellem sætninger i grafteori og sætninger i lineær algebra. Dette førte
Læs merePointen med Funktioner
Pointen med Funktioner Frank Nasser 0. april 0 c 0080. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette er en
Læs mereKomplekse tal og algebraens fundamentalsætning.
Komplekse tal og algebraens fundamentalsætning. Michael Knudsen 10. oktober 2005 1 Ligningsløsning Lad N = {0,1,2,...} betegne mængden af de naturlige tal og betragt ligningen ax + b = 0, a,b N,a 0. Findes
Læs mereGrundlæggende Matematik
Grundlæggende Matematik Hayati Balo, AAMS Juli 2013 1. Matematiske symboler For at udtrykke de verbale udsagn matematisk korrekt, så det bliver lettere og hurtigere at skrive, indføres en række matematiske
Læs mereNoter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts Polynomier
Noter om polynomier, Kirsten Rosenkilde, Marts 2006 1 Polynomier Disse noter giver en kort introduktion til polynomier, og de fleste sætninger nævnes uden bevis. Undervejs er der forholdsvis nemme opgaver,
Læs mereFormelle systemer og aksiomatisk mængdelære
Formelle systemer og aksiomatisk mængdelære Thomas Bolander, DTU Informatik Matematik: Videnskaben om det uendelige 2 Folkeuniversitetet i København, efteråret 2011 Thomas Bolander, FUKBH 11 s. 1/32 Lidt
Læs mereKirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino
12 Formidlingsaktivitet Kirchberger s sætning om separation af to mængder Maria Larissa Ziino I denne artikel fremføres to sætninger af henholdsvis den østrigske matematiker Eduard Helly og den tyske matematiker
Læs mereEn differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby
24 En differentiabel funktion hvis afledte ikke er kontinuert Søren Knudby Det er velkendt for de fleste, at differentiabilitet af en reel funktion f medfører kontinuitet af f, mens det modsatte ikke gælder
Læs mereAlgebra - Teori og problemløsning
Algebra - Teori og problemløsning, januar 05, Kirsten Rosenkilde. Algebra - Teori og problemløsning Kapitel -3 giver en grundlæggende introduktion til at omskrive udtryk, faktorisere og løse ligningssystemer.
Læs merePotensrækker. Morten Grud Rasmussen 1 10. november 2015. Definition 1 (Potensrække). En potensrække er en uendelig række på formen
Potensrækker Morten Grud Rasmussen 1 10 november 2015 Definition og konvergens af potensrækker Definition 1 Potensrække) En potensrække er en uendelig række på formen a n pz aq n, 1) hvor afsnittene er
Læs mereDM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser:
DM517:Supplerende noter om uafgørlighedsbeviser: Jørgen Bang-Jensen October 9, 2013 Abstract Formålet med denne note er at give en form for kogebogsopskrift på, hvorledes man bygger et uafgørlighedsbevis
Læs mereLINALG JULENØD 2013 SUNE PRECHT REEH
LINALG JULENØD 203 SUNE PRECHT REEH Resumé I denne julenød skal vi se på lineær algebra for heltallene Z Hvad går stadig godt? og hvad går galt? I de reelle tal R kan vi for ethvert a 0 altid finde R som
Læs mereUENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK
UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED... 4 4.
Læs mereHilbert rum. Chapter 3. 3.1 Indre produkt rum
Chapter 3 Hilbert rum 3.1 Indre produkt rum I det følgende skal vi gøre brug af komplekse såvel som reelle vektorrum. Idet L betegner enten R eller C minder vi om, at et vektorrum over L er en mængde E
Læs mereFremkomsten af mængdelæren. Stig Andur Pedersen
Fremkomsten f mængdelæren Stig Andur Pedersen 1 Fourier række for f(x)=x x n 1 ( 1) 2 sin( nx) n n= 1 sin(2 x) sin(3 x) sin(4 x) = 2 sin( x) + + 2 3 4 De første 15 led er tget med på kurven. 2 Fourierrække
Læs mereSpilstrategier. 1 Vindermængde og tabermængde
Spilstrategier De spiltyper vi skal se på her, er primært spil af følgende type: Spil der spilles af to spillere A og B som skiftes til at trække, A starter, og hvis man ikke kan trække har man tabt. Der
Læs merebrikkerne til regning & matematik tal og algebra preben bernitt
brikkerne til regning & matematik tal og algebra 2+ preben bernitt brikkerne. Tal og algebra 2+ 1. udgave som E-bog ISBN: 978-87-92488-35-0 2008 by bernitt-matematik.dk Kopiering af denne bog er kun tilladt
Læs mereUENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK
UENDELIGHEDER OG VERDENSBILLEDER MATEMATIK x-klasserne Gammel Hellerup Gymnasium INDHOLDSFORTEGNELSE UENDELIGHEDSBEGREBET... 3 1. POTENTIEL OG AKTUEL UENDELIGHED -... 4. RÆKKER... 6 3. TÆLLELIGHED... 14
Læs merez 1 = z 1z 1z 1 z 1 2 = z z2z 1 z 2 2
M å l e p u n k t R i e m a n n s k G e o m e t r i E 8 J a ko b L i n d b l a d B l a ava n d 2 5 3 6 7 5 27 oktober 28 I n s t i t u t fo r M at e m at i s k e Fag A a r h u s U n i v e r s i t e t indledning
Læs mereProjekt 2.2 Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion
ISBN 978877664974 Projekter: Kapitel. Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Projekt. Omvendt funktion og differentiation af omvendt funktion Vi har i Bbogens kapitel 4 afsnit
Læs mereOrdbog over Symboler
Ordbog over Symboler Frank Nasser 20. april 2011 c 2008-2011. Dette dokument må kun anvendes til undervisning i klasser som abonnerer på MatBog.dk. Se yderligere betingelser for brug her. Bemærk: Dette
Læs mereLad os som eksempel se på samtidigt kast med en terning og en mønt:
SANDSYNLIGHEDSREGNING Stokastisk eksperiment Et stokastisk eksperiment er et eksperiment, hvor vi fornuftigvis ikke på forhånd kan have en formodning om resultatet af eksperimentet Til gengæld kan vi prøve
Læs mereIntroduktion til differentialregning 1. Jens Siegstad og Annegrethe Bak
Introduktion til differentialregning 1 Jens Siegstad og Annegrete Bak 16. juli 2008 1 Indledning I denne note vil vi kort introduktion til differentilregning, idet vi skal bruge teorien i et emne, Matematisk
Læs mereLineær Algebra - Beviser
Lineær Algebra - Beviser Mads Friis 8 oktober 213 1 Lineære afbildninger Jeg vil i denne note forsøge at give et indblik i, hvor kraftfuldt et værktøj matrix-algebra kan være i analyse af lineære funktioner
Læs mereOM DET UENDELIGT SMAA OG DET UENDELIGT STORE I MATHEMATIKKEN (FRIT EFTER GEORG BRANDES 1869)
OM DET UENDELIGT SMAA OG DET UENDELIGT STORE I MATHEMATIKKEN (FRIT EFTER GEORG BRANDES 869) Mogens Esrom Larsen 29. august 20 Institut for Matematiske Fag Matematisk Afdeling Københavns Universitet Allerede
Læs mereDen moderne grundlagsdiskussion. Tirsdag den 22. November 2011
Den moderne grundlagsdiskussion Tirsdag den 22. November 2011 The empirical law of epistemology!"#$%"&'()*"+,"-(#./%&"0%1-2"+,"('3+*#"!"#$"%&'("'')*"'+(0.#"+,"%$*,'$-+(-,.,$/0( %'12/4"5"6/+6+*%"#+"/%,%/"#+"#$%"+0*%/7(8+-")$19$"#$%*%"%:(36'%*"1''.*#/(#%"(*"#$%"
Læs mereANALYSE 1, 2014, Uge 5
ANALYSE, 204, Uge 5 Afleveringsfrist for Prøve 2 er Tirsdag den 20/5 kl 0:5. Forelæsninger Tirsdag Vi går videre med Afsnit 4 om uniform konvergens af Fourierrækker, hvor hovedsætningen er Sætning 4.3.
Læs mereGruppeteori. Michael Knudsen. 8. marts For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel.
Gruppeteori Michael Knudsen 8. marts 2005 1 Motivation For at motivere indførelsen af gruppebegrebet begynder vi med et eksempel. Eksempel 1.1. Lad Z betegne mængden af de hele tal, Z = {..., 2, 1, 0,
Læs mere5 hurtige til de voksne
16 Interview 5 hurtige til de voksne om intuitionisme Jingyu She og Maria Bekker-Nielsen Dunbar Hvad er det, du vil med matematik? Du vil gerne opbygge nogle modeller af et eller andet, som på en eller
Læs mereGEOMETRI-TØ, UGE 12. A σ (R) = A f σ (f(r))
GEOMETRI-TØ, UGE 12 Hvis I falder over tryk- eller regne-fejl i nedenstående, må I meget gerne sende rettelser til fuglede@imfaudk Opvarmningsopgave 1, [P] 632 Vis at Ennepers flade σ(u, v) = ( u u 3 /3
Læs mereMatematisk modellering og numeriske metoder. Lektion 5
Matematisk modellering og numeriske metoder Lektion 5 Morten Grud Rasmussen 19. september, 2013 1 Euler-Cauchy-ligninger [Bogens afsnit 2.5, side 71] 1.1 De tre typer af Euler-Cauchy-ligninger Efter at
Læs mereHvad er formel logik?
Kapitel 1 Hvad er formel logik? Hvad er logik? I daglig tale betyder logisk tænkning den rationelt overbevisende tænkning. Og logik kan tilsvarende defineres som den rationelle tænknings videnskab. Betragt
Læs mere